5e Triangles Angles d’un triangle Angles d’un triangle I. Somme des mesures des angles d’un triangle 1. Propriété Propriété : La somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180°. Exemple : ̂ + 𝐸𝐹𝐺 ̂ + 𝐹𝐺𝐸 ̂ = 180° 𝐺𝐸𝐹 2. Exemples d’utilisation Exemple 1 : Peut-on construire un triangle MNO avec : ̂ = 58° ; 𝑀𝑂𝑁 ̂ = 52° ; 𝑂𝑀𝑁 ̂ = 69° ? 𝑀𝑁𝑂 Solution : On calcule la somme des trois angles : 58° + 52° + 69° = 179° Le résultat est différent de 180°, on ne peut donc pas construire le triangle MNO. ̂ mesure 63° et l’angle 𝐵𝐴𝐶 ̂ mesure Exemple 2 : Dans le triangle ABC, l’angle 𝐴𝐵𝐶 ̂? 48°. Quelle est la mesure du troisième angle 𝐴𝐶𝐵 Solution : La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. ̂ + 𝐴𝐵𝐶 ̂ + 𝐵𝐴𝐶 ̂ = 180° Donc : 𝐴𝐶𝐵 ̂ + 63° + 48° = 180° 𝐴𝐶𝐵 ̂ + 111° = 180° 𝐴𝐶𝐵 ̂ = 180° − 111° Donc : 𝐴𝐶𝐵 ̂ = 69° Donc : 𝐴𝐶𝐵 II. Angles des triangles particuliers 1. Triangles rectangles Définition : On dit que deux angles sont complémentaires si leur somme est égale à 90°. Propriété : Les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires. Exemple d’utilisation : ̂ mesure 43°. Soit IJK un triangle rectangle en J tel que l’angle 𝐼𝐾𝐽 1/2 Angles d’un triangle 5e Triangles ̂ ? Quelle est la mesure de l’angle 𝐾𝐼𝐽 Solution : On sait que le triangle IJK est rectangle en J. Or, les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires. ̂ = 90° − 𝐼𝐾𝐽 ̂. Donc : 𝐾𝐼𝐽 ̂ = 90° − 43° 𝐾𝐼𝐽 ̂ = 47° 𝐾𝐼𝐽 2. Triangles isocèles Propriété : Si un triangle est isocèle, alors ses angles à la base ont la même mesure. Exemple d’utilisation 1 : ̂ mesure 53°. Soit RST un triangle isocèle en R tel que l’angle 𝑅𝑆𝑇 ̂ ? Quelle est la mesure de l’angle 𝑆𝑅𝑇 Solution : On sait que RST est un triangle isocèle en R. Or, si un triangle est isocèle, alors ses angles à la base ont la même mesure. ̂ = 𝑅𝑇𝑆 ̂ = 53° Donc : 𝑅𝑆𝑇 Or, la somme des angles d’un triangle est égale à 180°. ̂ = 180° − 2 × 53° Donc : 𝑆𝑅𝑇 ̂ = 180° − 106° 𝑆𝑅𝑇 𝑆𝑅𝑇 = 74° Exemple d’utilisation 2 : ̂ mesure 68°. Soit EFG un triangle isocèle en E tel que l’angle 𝐹𝐸𝐺 ̂? Quelle est la mesure de l’angle 𝐸𝐹𝐺 Solution : On sait que la somme des angles d’un triangle est égale à 180°. ̂ + 𝐸𝐺𝐹 ̂ = 180° − 𝐹𝐸𝐺 ̂ Donc : 𝐸𝐹𝐺 ̂ + 𝐸𝐺𝐹 ̂ = 180° − 68° 𝐸𝐹𝐺 ̂ ̂ = 112° 𝐸𝐹𝐺 + 𝐸𝐺𝐹 Or, si un triangle est isocèle, alors ses angles à la base ont la même mesure. ̂ = 𝐸𝐺𝐹 ̂ Donc : 𝐸𝐹𝐺 ̂= Donc : 𝐸𝐹𝐺 112° 2 ̂ = 56° 𝐸𝐹𝐺 3. Triangles équilatéraux Propriété : Si un triangle est équilatéral, alors tous ses angles sont égaux à 60°. 2/2