Angles d`un triangle I. Somme des mesures des angles d`un triangle

5e Triangles
Angles d’un triangle
Angles d’un triangle
I. Somme des mesures des angles d’un triangle
1. Propriété
Propriété :
La somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180°.
Exemple :
̂ + 𝐸𝐹𝐺
̂ + 𝐹𝐺𝐸
̂ = 180°
𝐺𝐸𝐹
2. Exemples d’utilisation
Exemple 1 : Peut-on construire un triangle MNO avec :
̂ = 58° ; 𝑀𝑂𝑁
̂ = 52° ; 𝑂𝑀𝑁
̂ = 69° ?
𝑀𝑁𝑂
Solution :
On calcule la somme des trois angles : 58° + 52° + 69° = 179°
Le résultat est différent de 180°, on ne peut donc pas construire le triangle MNO.
̂ mesure 63° et l’angle 𝐵𝐴𝐶
̂ mesure
Exemple 2 : Dans le triangle ABC, l’angle 𝐴𝐵𝐶
̂?
48°. Quelle est la mesure du troisième angle 𝐴𝐶𝐵
Solution : La somme des angles d’un triangle est égale à 180°.
̂ + 𝐴𝐵𝐶
̂ + 𝐵𝐴𝐶
̂ = 180°
Donc : 𝐴𝐶𝐵
̂ + 63° + 48° = 180°
𝐴𝐶𝐵
̂ + 111° = 180°
𝐴𝐶𝐵
̂ = 180° − 111°
Donc : 𝐴𝐶𝐵
̂ = 69°
Donc : 𝐴𝐶𝐵
II. Angles des triangles particuliers
1. Triangles rectangles
Définition :
On dit que deux angles sont complémentaires si leur somme est égale à 90°.
Propriété :
Les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires.
Exemple d’utilisation :
̂ mesure 43°.
Soit IJK un triangle rectangle en J tel que l’angle 𝐼𝐾𝐽
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Angles d’un triangle
5e Triangles
̂ ?
Quelle est la mesure de l’angle 𝐾𝐼𝐽
Solution : On sait que le triangle IJK est rectangle en J.
Or, les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires.
̂ = 90° − 𝐼𝐾𝐽
̂.
Donc : 𝐾𝐼𝐽
̂ = 90° − 43°
𝐾𝐼𝐽
̂ = 47°
𝐾𝐼𝐽
2. Triangles isocèles
Propriété :
Si un triangle est isocèle, alors ses angles à la base ont la même mesure.
Exemple d’utilisation 1 :
̂ mesure 53°.
Soit RST un triangle isocèle en R tel que l’angle 𝑅𝑆𝑇
̂ ?
Quelle est la mesure de l’angle 𝑆𝑅𝑇
Solution : On sait que RST est un triangle isocèle en R.
Or, si un triangle est isocèle, alors ses angles à la base ont la même mesure.
̂ = 𝑅𝑇𝑆
̂ = 53°
Donc : 𝑅𝑆𝑇
Or, la somme des angles d’un triangle est égale à 180°.
̂ = 180° − 2 × 53°
Donc : 𝑆𝑅𝑇
̂ = 180° − 106°
𝑆𝑅𝑇
𝑆𝑅𝑇 = 74°
Exemple d’utilisation 2 :
̂ mesure 68°.
Soit EFG un triangle isocèle en E tel que l’angle 𝐹𝐸𝐺
̂?
Quelle est la mesure de l’angle 𝐸𝐹𝐺
Solution : On sait que la somme des angles d’un triangle est égale à 180°.
̂ + 𝐸𝐺𝐹
̂ = 180° − 𝐹𝐸𝐺
̂
Donc : 𝐸𝐹𝐺
̂ + 𝐸𝐺𝐹
̂ = 180° − 68°
𝐸𝐹𝐺
̂
̂ = 112°
𝐸𝐹𝐺 + 𝐸𝐺𝐹
Or, si un triangle est isocèle, alors ses angles à la base ont la même mesure.
̂ = 𝐸𝐺𝐹
̂
Donc : 𝐸𝐹𝐺
̂=
Donc : 𝐸𝐹𝐺
112°
2
̂ = 56°
𝐸𝐹𝐺
3. Triangles équilatéraux
Propriété :
Si un triangle est équilatéral, alors tous ses angles sont égaux à 60°.
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