revision devoir de synthese n 3

Mr :Khammour.Khalil Sujet de révision :Devoir de synthèse n°3 4èmeMath
Année scolaire :2013/2014 Mai 2014
Exercice n°1 :
Soit f la fonction définie sur IR+ par :
2
( ) 1 x f x e
. (C) désigne la courbe représentative de f dans un repère
orthonormé  .
1) a) Etudier la continuité et la dérivabilité de f à droite en 0.
b) Dresser le tableau de variation de f.
2) Soit  la fonction définie sur IR+ par :
22
( ) 1
x
x e x
.
a) Dresser le tableau de variation de la fonction dérivée  de  ,en déduire que l’équation   admet une
unique solution  et que 
    .
b) Dresser le tableau de variation de  , en déduire que l’équation f(x) =x admet dans IR*+ une solution unique 
et que      .
c) Etudier la position relative de (C) par rapport à la droite  d’équation y =x puis tracer (C) et 
3) Montrer que f réalise une bijection de IR+ sur [0,1[ .On note
1
gf
.
Expliquer g(x) pour x  et tracer sa courbe (C’) dans le même repère que (C).
4) a) Vérifier que :    , on a :
2
2
2 1 1 2
1 1 1
xx x x
.
b) En utilisant une intégration par parties, calculer l’intégrale
2
0ln 1I x dx
.
Vérifier que
2
2 2ln 1I
c) En déduire l’aire A( de la partie limitée par (C) et (C’) et les droites d’équations x= et x=0.
Exercice n°2 :
Soit
f
la fonction définie sur IR* par :
() x
e
fx x
.
1) Etudier les variations de la fonction
f
et construire sa courbe représentative C dans un plan rapporté à un
repère orthonormé    .
2) Soit
n
U
la suite réelle définie sur IN* par :
1() n
nn
U n f x dx
.
a) Montrer que si
, 1 alors on a: ( )
1
xx
ee
x n n f x
nn
.
b) En déduire que :
11
111
2nn
n
e e U e e
.
c) Trouver
lim n
nU
.
3) Soit
n
V
la suite réelle définie sur IN* par :
1
n
nk
k
VU
.
a) Montrer que la suite
n
V
est croissante et qu’elle vérifie
1(1 )
n
n
Ve
e
.
b) En déduire que la suite
n
V
est convergente.
c) On pose :
lim n
n
lV
prouver que
11
2l ee
.

Exercice n°3 :
Khalil fabrique, en amateur, des appareils électroniques. Il achète pour cela, dans un magasin, des
composants tous identiques en apparence, mais dont certains présentent un défaut. On estime que la
probabilité qu'un composant soit défectueux est égale à 0,02.
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
On admet que le nombre de composants présentés dans le magasin est suffisamment important pour que
l'achat de 50 composants soit assimilés à 50 tirages indépendants avec remise, et on appelle X le nombre
de composants défectueux achetés. Khalil achète 50 composants.
1) Quelle est la probabilité qu'exactement deux des composants achetés soient défectueux ? En donner
une valeur approchée à 10-2 prés.
2) Calculer la probabilité qu'au moins un des composants achetés soit défectueux ?
En donner une valeur approchée à 10-2 prés.
3) Quel est dans un lot de 50 composants achetés, le nombre moyen de composants défectueux ?
Partie B
On suppose que la durée de vie T1 (en heures) de chaque composant défectueux suit une loi exponentielle
de paramètre = 5×10-4 et que la durée de vie T2 (en heures) de chaque composant non défectueux suit une
loi exponentielle de paramètre = 10-4.
1) Calculer la probabilité que la durée de vie d'un composant soit supérieure à 1000 heures :
a) si ce composant est défectueux
b) si ce composant n'est pas défectueux
Donner une valeur approchée de ces probabilités à 10-2 prés.
2) Soit T la durée de vie (en heures) d'un composant achetés au hasard. Démontrer que la probabilité que
ce composant soit encore en état de marche après t heures de fonctionnement est :
( ) 0,02P T t
3) Sachant que le composant acheté est encore en état de marche 1000 heures après son installation, quelle
est la probabilité que ce composant soit défectueux ? En donner une valeur approchée à 10-3 prés.
Exercice n°4 :
On s’intéresse à l’évolution du parc automobile dans une ville donnée.
Année
1970
1974
1980
1985
1990
1995
1996
1997
Rang de l’année Xi
1
5
11
16
21
26
27
28
Nombre de voitures Yi
(en milliers)
11 ,8
14,6
18,4
24,7
26,7
27,7
27,8
25,5
1) Représenter le nuage de point Mi(xi ; yi), associé à cette série statistique double dans un repère orthogonal où
0,5 cm représente une année en abscisse et 1 cm pour mille voitures en ordonnées.(En commençant la
graduation à 10 milles).
2) a) Déterminer le point moyen G de cette série statistique double et le placer sur la figure. Calculer la covariance
cov ,XY
.
b) Calculer le coefficient de corrélation linéaire r de cette série. Un ajustement affine de cette série est-il justifié ?
c) Déterminer une équation de la droite de régression de Y en X et la tracer.
3) En supposant que ce modèle reste valable jusqu'à l’an 2003, faire une estimation du nombre de voitures dans cette
ville .