énoncé

Spé ψ
ψψ
ψ 2013-2014 page 1/3 Devoir n°7
Spé ψ
ψψ
ψ 2013-2014 Devoir n°7
OPTIQUE
Le VLTI (Very Large Telescope Interferometer) est un projet européen installé sur le site de
Cerro Paranal, dans les Andes Chiliennes, où le climat est particulièrement favorable aux
observations astronomiques. Il s'agit d'un ensemble de 4 télescopes optiques et infra-rouges de
8,20 m et de 4 télescopes auxiliaires (AT) de 1.80 m. Ces petits télescopes de 1,8 m sont capables
de se déplacer le long de voies ferrées. En l996, les astronomes ont déterminé, avec une excellente
précision, la géométrie de l’étoile double Capella, dans le domaine spectral du proche infrarouge.
La méthode utilisée est celle qui fut imaginée dès l 868 par Fizeau, puis mise en œuvre pour la
première fois par Michelson en 1920, dans le domaine visible.
1) Généralités
a) Rappeler la définition de l’indice absolu d’un milieu transparent. Donner un ordre
de grandeur de l’indice optique du verre ordinaire.
b) Dans quelle(s) conditions(s) l’approximation de l’optique géométrique est-elle
valable.
c) Comment appelle-t-on un système optique qui présente la symétrie de révolution
par rapport à un axe ? Comment appelle-t-on cet axe ?
d) Expliciter « l’approximation de Gauss ». Quelles sont les propriétés d’un système
optique centré utilisé dans ces conditions ?
2) Télescope
L’objectif d’un télescope est constitué d’un miroir
primaire sphérique M
P
, concave, dont le rayon de courbure sur
l’axe optique est R
P
= 30 m, et un petit miroir sphérique
secondaire M
S
convexe, de rayon de courbure R
S
= 32 m (figure
1). La distance entre les sommets S
1
et S
2
des deux miroirs est
e = 9 m. On rappelle la formule de conjugaison d’un miroir
sphérique de sommet S et de centre C
1 1 2
'
SA SA SC
+ = où A et
A’ sont les points image l’un de l’autre.
a) Où se trouve le foyer image F
P
du miroir primaire M
P
par rapport au sommet S
1
?
b) Quelle est, par rapport au sommet S
2
du miroir secondaire M
S
, la position du foyer
image F
C
du télescope? En déduire la distance qui sépare F
C
du sommet S
1
du miroir primaire.
Dans la suite, on assimile le télescope à une lentille mince convergente L, de centre O et de
distance focale image f ’ = 24,0 m.
3) Image d’un objet ponctuel
On considère un diaphragme percé d’une ouverture caractérisée par la fonction pupillaire
(
)
,
x y
P qui vaut 1 en tout point M de l’ouverture et 0 en tout point en dehors de l’ouverture; x et y
sont les coordonnées cartésiennes de M dans un système d’axes perpendiculaires situés dans le plan
du diaphragme,
Lorsqu’on éclaire un tel diaphragme, à l’aide d’une onde incidente plane tombant en
incidence normale, la répartition de l’éclairement, dans le plan Π, parallèle au plan du diaphragme
et situé à l’infini, se met sous la forme:
(
)
(
)
(
)
*
, ,
I P u v u v
= ψ ⋅ ψ avec
(
)
(
)
(
)
(
)
, , , exp 2
O
u v u v x y i ux vy dxdy
ψ = ψ π +
∫∫
P
P étant un point quelconque du plan Π;
(
)
,
O
u v
ψ l’amplitude de l’onde émise par le centre O du
diaphragme, u et v sont deux variables reliées aux coordonnées de P dans le plan Π. On rappelle
F
C
M
P
S
2
M
S
e
S
1
figure 1

Spé ψ
ψψ
ψ 2013-2014 page 2/3 Devoir n°7
que i est le nombre imaginaire tel que i2 = –1 , noté parfois j; le signe moins de l’argument de
l’exponentielle n’a qu’une importance conventionnelle.
On place le diaphragme devant la lentille représentant le télescope et l’on observe la
répartition de l’éclairement dans son plan focal image autour du foyer principal image F.
a) Pourquoi la figure de diffraction, observée dans le plan focal image de la lentille,
c’est-à-dire à distance finie, relève-t-elle de la théorie de la diffraction dite à l’infini. Quelle est la
signification physique de l’argument
(
)
2
ux vy
π + de l’exponentielle ? Justifier l’appellation
fréquences spatiales pour u et v.
b) Justifier l’expression
( ) ( ) ( )
22
sin c
I u K L u
= ε π ε
de l’éclairement dans le cas
d’une fente infiniment allongée selon Oy et de largeur ε selon Ox. Représenter avec soin le graphe
(
)
I u
, en calculant la hauteur relative du premier maximum secondaire comparée à celle du
maximum central
c) Quelle est la fréquence angulaire u’1 du premier zéro de la fonction. Que se passe-
t-il si ε est très petit devant λ ?
4) Fentes de Young (interféromètre stellaire de Fizeau-Amstrong)
Le diaphragme pupillaire est percé de deux fentes F1 et F2, de largeur négligeable et
distantes de a.
a) Trouver la répartition de l’éclairement I(X) dans le plan focal image de la lentille
lorsque l’étoile observée est un point lumineux situé sur l’axe de la lentille.
b) Quelle est l’allure des franges sur un écran placé dans le plan focal de la lentille.
Peut-on définir un interfrange. Dans l’affirmative, donner son expression et sa valeur numérique
pour a = 70,0 cm et λ = 635 nm.
5) Distance angulaire d’une étoile double symétrique
On pointe, avec le dispositif des
fentes de Young, le centre Ω d’une étoile
double symétrique ; cette étoile est
constituée de deux sources primaires E1 et
E2, de contributions égales en intensité :
IS1 = IS2 = IS.
On oriente la direction définie par
les fentes de telle sorte que F1F2 passant par
O soit parallèle à E1E2 (figure 2). La largeur
ε de chacune des fentes est négligeable
devant la distance a qui les sépare.
On désigne par λ la longueur
d’onde, DS la distance ΩO, xS1 la position de El selon un axe ΩxS parallèle à l’axe pupillaire Ox et
xS2 la position analogue de E2. On a ici: xS2 = –xS1.
a) Quelles sont, en fonction de IS, λ, a, X,
'
f
, DS et xSl, les contributions de El et E2
dans l’éclairement du plan focal de la lentille ?
b) On augmente la distance a entre les deux fentes à partir d’une valeur initiale très
faible. Montrer, sans calculer l’éclairement total, que la répartition de l’éclairement devient
uniforme lorsque a prend une valeur particulière a1 que l’on déterminera en fonction de λ et de la
distance angulaire θ qui sépare El et E2.
c) Dans le cas de Capella, supposée symétrique dans le visible, pour λ = 635 nm, on
a trouvé a1 = 116,5 cm. En déduire θ en milliseconde d’arc (On rappelle que 1" = 5 µrad.).
Commenter cette méthode.
6) Interféromètre à deux télescopes (synthèse d’ouverture)
F
’‘
E
2
'
f
E
1
D
S
F
1
X
Ω
θ
F
2
figure 2
a
x
x
S
z
O

Spé ψ
ψψ
ψ 2013-2014 page 3/3 Devoir n°7
Au lieu d’utiliser un seul télescope dont la pupille est percée de deux trous, on couple deux
télescopes identiques T1 et T2, de même ouverture circulaire, de diamètre négligeable par rapport à
la ligne de base a = T1T2 (Figure 3). Dans ce cas, la position moyenne de l’étoile est repérée par
l’angle α, différent de 0, que fait, avec la normale à T1T2, notée
Oz, la direction OΩ, O étant le milieu de T1T2. L’axe Ox est
horizontal, orienté vers l’ouest.; le plan Oxy est parallèle au plan
équatorial et Oz est parallèle à la verticale du lieu.
On désigne ici aussi par DS la distance OΩ, xSl la position
de E1 selon un axe ΩxS perpendiculaire à la direction OΩ, et xS2 la
position analogue de E2, avec: xS2 = – xS1.
Un dispositif annexe permet de faire interférer les ondes
optiques issues des deux foyers images en introduisant une
différence de marche supplémentaire Lf fixée.
En outre, le rayonnement est quasi-monochromatique et
centré sur la longueur d’onde λ = 635 nm. Enfin l’étoile est supposée symétrique: IS1 = IS2 = IS.
a) Exprimer les différences de marche δ1 = E1T2 – E1T1 et δ2 = E2T2 – E2T1, hors
contribution Lf. Montrer que les différences de phases spatiales correspondantes ∆φk (k = 1, 2) qui
prennent en compte toutes les contributions des différences de marche peuvent se mettre sous la
forme :
( )
2sin
Sk
k f
S
b x
a L
D
⋅
π
∆φ = + α −
λ
avec λ la longueur d’onde supposée monochromatique
émise par les étoiles E1 et E2, xSk (k = 1, 2) leurs positions et b une longueur que l’on explicitera.
b) Pour une étoile Ek donnée, l’intensité Ik est due au système d’interférences qui
résulte des différences de phases spatiales ∆φk. Il est aisé de l’exprimer par la relation
(
)
(
)
2 1 cos
k S k
I I
= + ∆φ
. Donner l’intensité totale I en fonction de IS, ∆φ1 et ∆φ2. Mettre cette
intensité totale sous la forme :
(
)
( )
( )
1 2
2
4 1 cos cos sin
S S
S f
S
x x
b
I I a L
D
− 
π π
= + α −
λ λ
c) Le système binaire est à la position moyenne α = 45° supposée constante. Les
télescopes sont mobiles sur des rails. On recommence la détermination de I pour différentes valeurs
de a. Tracer l’allure de
(
)
I a
(on pourra poser
1 2 1
2
S S S
S S
x x x
D D
−
θ = = ).
d) Montrer que l’on peut définir un contraste γ donné par
MAX MIN
MAX MIN
I I
I I
−
γ = +. Comment
peut-on distinguer une étoile double d’une étoile simple quasi ponctuelle ?
e) Trouver, en milliseconde d’arc, la plus petite distance angulaire que l’on a pu
détecter si la valeur maximale de a est a
MAX
= 57,00 m. Quel est l’intérêt d’un tel système par
rapport à celui décrit à la question 4 ?
f) On s’arrange généralement, via l’utilisation d’une ligne à retard, pour que L
f,
différence de marche supplémentaire mentionnée en introduction, soit égale à
(
)
sinb
α
. Quelle en
est la raison ?
T
2
O
T
1
D
S
E
1
(x
S1
)
x
Ω
α
E
2
(
x
S
2
)
figure 3
a
x
z