énoncé

Spé ψ 2013-2014
Devoir n°7
OPTIQUE
Le VLTI (Very Large Telescope Interferometer) est un projet européen installé sur le site de
Cerro Paranal, dans les Andes Chiliennes, où le climat est particulièrement favorable aux
observations astronomiques. Il s'agit d'un ensemble de 4 télescopes optiques et infra-rouges de
8,20 m et de 4 télescopes auxiliaires (AT) de 1.80 m. Ces petits télescopes de 1,8 m sont capables
de se déplacer le long de voies ferrées. En l996, les astronomes ont déterminé, avec une excellente
précision, la géométrie de l’étoile double Capella, dans le domaine spectral du proche infrarouge.
La méthode utilisée est celle qui fut imaginée dès l 868 par Fizeau, puis mise en œuvre pour la
première fois par Michelson en 1920, dans le domaine visible.
1) Généralités
a) Rappeler la définition de l’indice absolu d’un milieu transparent. Donner un ordre
de grandeur de l’indice optique du verre ordinaire.
b) Dans quelle(s) conditions(s) l’approximation de l’optique géométrique est-elle
valable.
c) Comment appelle-t-on un système optique qui présente la symétrie de révolution
par rapport à un axe ? Comment appelle-t-on cet axe ?
d) Expliciter « l’approximation de Gauss ». Quelles sont les propriétés d’un système
optique centré utilisé dans ces conditions ?
2) Télescope
MP
L’objectif d’un télescope est constitué d’un miroir
primaire sphérique MP , concave, dont le rayon de courbure sur
FC
l’axe optique est RP = 30 m, et un petit miroir sphérique
S2
S1
secondaire MS convexe, de rayon de courbure RS = 32 m (figure
1). La distance entre les sommets S1 et S2 des deux miroirs est
MS
e = 9 m. On rappelle la formule de conjugaison d’un miroir
figure 1
1
1
2
sphérique de sommet S et de centre C
+
=
où A et
SA SA ' SC
e
A’ sont les points image l’un de l’autre.
a) Où se trouve le foyer image FP du miroir primaire MP par rapport au sommet S1 ?
b) Quelle est, par rapport au sommet S2 du miroir secondaire MS, la position du foyer
image FC du télescope? En déduire la distance qui sépare FC du sommet S1 du miroir primaire.
Dans la suite, on assimile le télescope à une lentille mince convergente L, de centre O et de
distance focale image f ’ = 24,0 m.
3) Image d’un objet ponctuel
On considère un diaphragme percé d’une ouverture caractérisée par la fonction pupillaire
P ( x, y ) qui vaut 1 en tout point M de l’ouverture et 0 en tout point en dehors de l’ouverture; x et y
sont les coordonnées cartésiennes de M dans un système d’axes perpendiculaires situés dans le plan
du diaphragme,
Lorsqu’on éclaire un tel diaphragme, à l’aide d’une onde incidente plane tombant en
incidence normale, la répartition de l’éclairement, dans le plan Π, parallèle au plan du diaphragme
et situé à l’infini, se met sous la forme:
I ( P ) = ψ ( u , v ) ⋅ ψ ( u , v ) avec ψ ( u , v ) = ψ O ( u , v ) ∫∫ P ( x, y ) exp i 2π ( ux + vy )  dxdy
*
P étant un point quelconque du plan Π; ψ O ( u , v ) l’amplitude de l’onde émise par le centre O du
diaphragme, u et v sont deux variables reliées aux coordonnées de P dans le plan Π. On rappelle
Spé ψ 2013-2014
page 1/3
Devoir n°7
que i est le nombre imaginaire tel que i2 = –1 , noté parfois j; le signe moins de l’argument de
l’exponentielle n’a qu’une importance conventionnelle.
On place le diaphragme devant la lentille représentant le télescope et l’on observe la
répartition de l’éclairement dans son plan focal image autour du foyer principal image F.
a) Pourquoi la figure de diffraction, observée dans le plan focal image de la lentille,
c’est-à-dire à distance finie, relève-t-elle de la théorie de la diffraction dite à l’infini. Quelle est la
signification physique de l’argument 2π ( ux + vy ) de l’exponentielle ? Justifier l’appellation
fréquences spatiales pour u et v.
2
b) Justifier l’expression I ( u ) = K ( Lε ) sin c 2 ( π u ε ) de l’éclairement dans le cas
d’une fente infiniment allongée selon Oy et de largeur ε selon Ox. Représenter avec soin le graphe
I ( u ) , en calculant la hauteur relative du premier maximum secondaire comparée à celle du
maximum central
c) Quelle est la fréquence angulaire u’1 du premier zéro de la fonction. Que se passet-il si ε est très petit devant λ ?
4) Fentes de Young (interféromètre stellaire de Fizeau-Amstrong)
Le diaphragme pupillaire est percé de deux fentes F1 et F2, de largeur négligeable et
distantes de a.
a) Trouver la répartition de l’éclairement I(X) dans le plan focal image de la lentille
lorsque l’étoile observée est un point lumineux situé sur l’axe de la lentille.
b) Quelle est l’allure des franges sur un écran placé dans le plan focal de la lentille.
Peut-on définir un interfrange. Dans l’affirmative, donner son expression et sa valeur numérique
pour a = 70,0 cm et λ = 635 nm.
5) Distance angulaire d’une étoile double symétrique
On pointe, avec le dispositif des
xS
fentes de Young, le centre Ω d’une étoile
x
X
double symétrique ; cette étoile est
F1
constituée de deux sources primaires E1 et
E1
E2, de contributions égales en intensité :
a
F ’‘ z
O
Ω
IS1 = IS2 = IS.
θ
E2
On oriente la direction définie par
F2
les fentes de telle sorte que F1F2 passant par
D
f'
S
O soit parallèle à E1E2 (figure 2). La largeur
ε de chacune des fentes est négligeable
figure 2
devant la distance a qui les sépare.
On désigne par λ la longueur
d’onde, DS la distance ΩO, xS1 la position de El selon un axe ΩxS parallèle à l’axe pupillaire Ox et
xS2 la position analogue de E2. On a ici: xS2 = –xS1.
a) Quelles sont, en fonction de IS, λ, a, X, f ' , DS et xSl, les contributions de El et E2
dans l’éclairement du plan focal de la lentille ?
b) On augmente la distance a entre les deux fentes à partir d’une valeur initiale très
faible. Montrer, sans calculer l’éclairement total, que la répartition de l’éclairement devient
uniforme lorsque a prend une valeur particulière a1 que l’on déterminera en fonction de λ et de la
distance angulaire θ qui sépare El et E2.
c) Dans le cas de Capella, supposée symétrique dans le visible, pour λ = 635 nm, on
a trouvé a1 = 116,5 cm. En déduire θ en milliseconde d’arc (On rappelle que 1" = 5 µrad.).
Commenter cette méthode.
6) Interféromètre à deux télescopes (synthèse d’ouverture)
Spé ψ 2013-2014
page 2/3
Devoir n°7
Au lieu d’utiliser un seul télescope dont la pupille est percée de deux trous, on couple deux
télescopes identiques T1 et T2, de même ouverture circulaire, de diamètre négligeable par rapport à
la ligne de base a = T1T2 (Figure 3). Dans ce cas, la position moyenne de l’étoile est repérée par
l’angle α, différent de 0, que fait, avec la normale à T1T2, notée
E2(xS2)
Ω
Oz, la direction OΩ, O étant le milieu de T1T2. L’axe Ox est
E1(xS1)
horizontal, orienté vers l’ouest.; le plan Oxy est parallèle au plan
z
équatorial et Oz est parallèle à la verticale du lieu.
x
On désigne ici aussi par DS la distance OΩ, xSl la position
α
de E1 selon un axe ΩxS perpendiculaire à la direction OΩ, et xS2 la
DS
position analogue de E2, avec: xS2 = – xS1.
Un dispositif annexe permet de faire interférer les ondes
O
x
optiques issues des deux foyers images en introduisant une T
T1
2
a
différence de marche supplémentaire Lf fixée.
figure 3
En outre, le rayonnement est quasi-monochromatique et
centré sur la longueur d’onde λ = 635 nm. Enfin l’étoile est supposée symétrique: IS1 = IS2 = IS.
a) Exprimer les différences de marche δ1 = E1T2 – E1T1 et δ2 = E2T2 – E2T1, hors
contribution Lf. Montrer que les différences de phases spatiales correspondantes ∆φk (k = 1, 2) qui
prennent en compte toutes les contributions des différences de marche peuvent se mettre sous la

2π  b ⋅ xSk
+ a sin ( α ) − L f  avec λ la longueur d’onde supposée monochromatique
forme : ∆φk =

λ  DS

émise par les étoiles E1 et E2, xSk (k = 1, 2) leurs positions et b une longueur que l’on explicitera.
b) Pour une étoile Ek donnée, l’intensité Ik est due au système d’interférences qui
résulte des différences de phases spatiales ∆φk. Il est aisé de l’exprimer par la relation
I k = 2 I S (1 + cos ( ∆φk ) ) . Donner l’intensité totale I en fonction de IS, ∆φ1 et ∆φ2. Mettre cette

 πb ( xS 1 − xS 2 ) 
 2π

intensité totale sous la forme : I = 4 I S 1 + cos 
a sin ( α ) − L f )  
cos 
(


DS
 λ
 
 λ


c) Le système binaire est à la position moyenne α = 45° supposée constante. Les
télescopes sont mobiles sur des rails. On recommence la détermination de I pour différentes valeurs
x − xS 2 2 xS 1
de a. Tracer l’allure de I ( a ) (on pourra poser θ = S 1
=
).
DS
DS
d) Montrer que l’on peut définir un contraste γ donné par γ =
I MAX − I MIN
. Comment
I MAX + I MIN
peut-on distinguer une étoile double d’une étoile simple quasi ponctuelle ?
e) Trouver, en milliseconde d’arc, la plus petite distance angulaire que l’on a pu
détecter si la valeur maximale de a est aMAX = 57,00 m. Quel est l’intérêt d’un tel système par
rapport à celui décrit à la question 4 ?
f) On s’arrange généralement, via l’utilisation d’une ligne à retard, pour que Lf,
différence de marche supplémentaire mentionnée en introduction, soit égale à b sin ( α ) . Quelle en
est la raison ?
Spé ψ 2013-2014
page 3/3
Devoir n°7