chap9

Théorème de Pythagore
C
H
A
P
I
T
R
E
9
1
Choix pédagogiques
1. Le point sur les classes précédentes
• En 6e, les élèves doivent connaître la définition d’un
cercle, d’un triangle rectangle et de son hypoténuse,
ils doivent savoir calculer l’aire d’un carré et donner la
valeur approchée d’un nombre. En 5e, ils apprennent à
calculer le carré d’un nombre et font l’acquisition des
priorités opératoires.
2. L’égalité de Pythagore
• L’objectif de l’activité 1est de donner une représen-
tation mentale de la propriété de Pythagore souvent
trop abstraite pour les élèves. Cette approche permet:
– de donner du sens aux carrés présents dans l’identité;
– une meilleure manipulation de l’égalité: pour calculer
le plus petit côté, les élèves penseront plus facilement
à soustraire l’aire du moyen côté à celle du grand côté.
La question c. consiste en une première application
numérique de cette égalité: on fait calculer la longueur
d’un côté d’un triangle rectangle à partir de celle des
deux autres côtés.
Attention: il faut du papier-calque pour réaliser cette
activité, on peut aussi donner une photocopie de la
figure.
• L’objectif de l’activité 2est de faire observer aux
élèves que l’égalité de Pythagore semble caractériser
uniquement les triangles rectangles. En effet, dans ses
commentaires, le programme précise: « On ne distingue
pas le théorème direct de sa réciproque (ni de sa forme
contraposée); on considère que l’égalité de Pythagore
caractérise la propriété d’être rectangle ».
On a donc choisi d’utiliser un logiciel de géométrie pour
faire observer aux élèves que, si le triangle n’est pas rec-
tangle alors l’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée (on
fait ainsi observer la contraposée de la réciproque du
théorème de Pythagore). Si la séance est réalisée en
salle informatique, le professeur pourra faire valider
aux élèves un item du B2i: C3-6 (Je sais utiliser un outil
de simulation (ou de modélisation) en étant conscient
de ses limites.). L’enseignant pourra souligner que l’on
ne fait, dans cette activité, que des observations et que
cette propriété sera admise dans le cours.
3. Distance d’un point à une droite
L’activité 3permet d’introduire la notion de distance
d’un point à une droite comme étant la plus petite
distance du point à tout point de la droite. Le « bon
sens » doit permettre aux élèves de faire la construc-
tion demandée. L’utilisation d’un logiciel de géométrie
permettra aux élèves de vérifier l’exactitude de leur
construction et d’émettre une conjecture. Cette activité
pourra permettre d’évaluer une nouvelle fois l’item C3-6
du B2i (l’élève est moins guidé pour l’utilisation du logi-
ciel que dans la précédente activité).
L’activité 4a pour but de démontrer cette conjecture en
utilisant le fait que l’hypoténuse d’un triangle rectangle
est le côté le plus long.
Remarque: la distance d’un point à une droite n’est pas
au du socle commun de 4e.
4. Tangente à un cercle
Dans l’activité 5, on définit et on construit avec l’équerre
la tangente au cercle en A, puis on utilise la distance
d’un point à une droite pour démontrer que la tangente
en A au cercle n’a qu’un seul point commun avec le
cercle.
Le programme demande de construire la tangente à un
cercle en l’un de ses points. En plus de la construction
avec l’équerre suggérée dans l’activité 5, on propose
une construction avec le compas à l’activité 6.
Remarque: Au socle commun de 4e, il est uniquement
demandé aux élèves de savoir reconnaître une tangente.
5. Savoir-faire
À l’énoncé 1, on utilise l’égalité de Pythagore pour cal-
culer une longueur dans un triangle rectangle.
On illustre ce savoir-faire par une figure similaire à celle
de l’activité 1 pour consolider la construction mentale de
cette égalité. Ce schéma peut permettre ainsi à certains
élèves de mieux comprendre la nécessité de faire une
soustraction pour déterminer I K2. On introduit aussi l’uti-
lisation de la touche de la calculatrice qui permet
d’obtenir une valeur approchée du nombre positif
dont le carré est égal à 72.
À l’énoncé 2, on utilise l’égalité de Pythagore pour
savoir si un triangle est ou n’est pas rectangle. On
présente ces deux cas à travers deux exemples en
mettant en évidence dans un premier temps le
côté le plus long du triangle (beaucoup d’élèves
font des erreurs en ne vérifiant pas la bonne éga-

2
• La définition d’une médiane d’un triangle dans l’exer-
cice 33.
• La médiatrice d’un segment dans les exercices 46, 57
et 90.
• L’aire d’un triangle dans les exercices 29, 30, 31, 32
puis 52, 73 et 79.
• L’aire d’un parallélogramme dans les exercices 53 et
93.
• Le parallélépipède rectangle dans l’exercice 36.
• Le cylindre et la construction d’un patron dans l’exer-
cice 39.
• Le prisme, la construction d’un patron, les calculs
d’aire latérale et de volume dans l’exercice 95.
On propose aux exercices 41, 42 et 77 des exemples
nécessitant les deux types d’utilisation de l’égalité de
Pythagore (c’est-à-dire le théorème et sa réciproque)
pour lesquels il est important de conserver la valeur
exacte des longueurs calculées élevées au carré pour
montrer que le triangle est rectangle.
Les exercices d’approfondissement 76, 79, 93, 94, 95,
98 et 99 peuvent être donnés en devoir maison (ou en
travail de groupe).
Dans les exercices 79, 93 et 94, il est important que le
professeur valorise toute démarche correcte même non
aboutie. Pour cela, il faut, dès le début de cette année
de 4e, inciter les élèves à expliciter leur raisonnement à
l’oral et à l’écrit.
Dans l’exercice 99, on peut concevoir que l’élève envoie,
au préalable, un message au professeur pour que celui-ci
vérifie la construction. L’item C5-3 du B2i (je sais envoyer
ou publier un message avec un fichier joint) peut être
alors validé.
L’étude de ce chapitre peut être partagée en deux
temps: le cours sur la distance d’un point à une droite
et sur la tangente ne doit pas nécessairement être fait
après celui sur l’égalité de Pythagore. Ceci peut per-
mettre aux élèves de revenir sur l’utilisation de cette
égalité (nécessaire pour le calcul de la distance d’un
point à une droite ou pour déterminer si une droite est
tangente à un cercle), on leur laisse ainsi un peu plus de
temps pour l’assimiler.
Attention cependant, on a fait le choix d’utiliser la dis-
tance d’un point à une droite dans l’activité 2 du cha-
pitre 10.
lité!). On insiste également sur la rédaction séparée
des calculs qui permet de montrer que l’égalité de
Pythagore est ou n’est pas vérifiée.
En 6e, les élèves ont défini le cercle comme étant
l’ensemble des points situés à la même distance
d’un même point. On propose à l’énoncé 3 une
méthode pour construire l’ensemble des points
situés à la même distance d’une même droite (d).
Cet exercice est l’occasion de revoir la définition de
la distance d’un point à une droite. Les élèves n’ont
pas de difficulté à construire un point ou quelques
points situés à 1,5 cm de la droite (d) mais certains
ne pensent pas à tracer une droite ou ne font des
constructions que d’un seul côté de la droite. Une
bonne maîtrise de ce savoir-faire sera nécessaire
dans les exercices 54, 56, 57 et 58 p. 183. L’exercice
90 p. 187 de « Je me prépare au contrôle » permet-
tra aux élèves de s’autoévaluer, puis on retrouvera
encore l’utilisation de cette méthode dans l’exer-
cice 98.
L’énoncé 4 a pour objectif de construire l’ensemble
des points situés à une certaine distance d’une
droite (d) avec un logiciel de géométrie. Il permet
de plus de découvrir l’onglet « tangentes » de Geo-
gebra.
Dans les exercices 8 et 9, on propose de construire,
pour un segment [AB] donné, l’ensemble des
points M tels que l’aire des triangles AMB ait une
valeur donnée.
On retrouve ce savoir-faire dans les exercices 73
et 97.
6. Compléments
On a souhaité, dans les exercices d’application de ce pre-
mier chapitre de géométrie, revoir à travers les exercices,
différentes notions des programmes de 6eet de 5e.
• La définition d’un cercle dans les exercices 54, 57, 58,
90 et 98.
• Les propriétés des quadrilatères particuliers dans les
exercices 15, 34, 36, 37, 89, 99.
• Les propriétés permettant de montrer qu’un quadri-
latère est un losange, un rectangle ou un carré dans les
exercices 21, 43, 44, 45, 55 et 60.
• La somme des mesures des angles d’un triangle dans
les exercices 23, 28a, 86, 88.

3
1. Devinettes
• Devinette*
Aire de la parcelle A: 1202= 14 400 m2.
Aire de la parcelle B: 1302= 16 900 m2.
Aire de la parcelle C: 1502= 22 500 m2.
Aire de la petite parcelle carrée:
16900 – 14400 = 2500m2= 502m2.
La petite parcelle carrée a pour côté 50 m.
Aire de la grande parcelle carrée:
22 500 – 14400 = 8100m2= 902m2.
La plus grande parcelle carrée a pour côté 90m.
• Devinette**
32= 9 42= 16 52=25=9+16
Je suis le nombre 5.
2. Je vérifie mes acquis
1. Bonne réponse: b.
2. Bonne réponse: c.
82+ 62=64+36=100=102
3. Bonne réponse: c.
4. Bonne réponse: b.
4×4 = 16 et 18 ×18 = 324 donc les réponses a. et c.
sont fausses.
5. Bonne réponse: c.
En effet, 2,8 < 31
11 < 2,9.
6. Bonne réponse: b.
7. Bonne réponse: c.
8. a. 9 b. 49 c. 64 d. 0,04 e. 0,81
9. a. 34 b. 77 c. 81 d. 25 e. 121
10. a. 8 b. 10 c. 0,3 d. 0,05 e. 0,7
3. Activités
11. a.
b. On en déduit que l’aire du carré de côté [BC] est égale
à la somme des aires des carrés de côtés [AB] et [AC].
Ainsi BC2= AB2+ AC2
2. On utilise l’égalité obtenue à la question 1.b.
BC2= AB2+ AC2
BC2= 32+ 42
BC2= 9 +16
BC2= 25
BC = 5cm
2Si le triangle ABC n’est pas un triangle rectangle,
il semble que l’aire du grand carré n’est pas égale à la
somme des aires des deux autres carrés.
3
c. Il semble que la distance PH est minimale lorsque (PH)
et (MH) sont perpendiculaires.
4a. Le triangle PHM est un triangle rectangle en H
donc son côté le plus long est son hypoténuse, c’est
donc le côté [PM]. Ainsi: PH < PM.
b. La plus petite distance entre un point P et un point
quelconque de la droite (d) est la distance PH où H est le
pied de la perpendiculaire à la droite (d) passant par P.
5a.
O
A
M
(d)
b. On sait que (OA) est perpendiculaire à la droite (d)
donc d’après l’activité 4, pour tout point M de (d) distinct
de A, on a OM > OA. On en déduit que M n’appartient
pas au cercle . A est le seul point commun au cercle 
et à la droite (d). Myriam a donc raison.
6Construction
O
A
O’
On construit le symétrique O’ de O par rapport à A.
Corrigés

4
L’égalité de Pythagore est vériée donc le triangle OPQ
est rectangle en D.
7Estelle a raison, seul le triangle GHIest rectangle
en I.
8Si hest la hauteur du triangle AMB relative au côté
[AB], l’aire de ce triangle est: 4×h
2= 2h. De 2h= 4,6
on déduit h= 2,3 cm.
AB
4 cm
(d1)
(d2)
2,3 cm
L’ensemble des points M cherchés est formé des droites
(d1) et (d2) ci-dessus.
9
L’ensemble cherché est formé par les deux droites ci-
dessus perpendiculaires au diamètre [CD].
5. Socle commun de 4e
10 b. Le triangle ABC est rectangle en A, donc d’après
l’égalité de Pythagore:
BC2= AB2+ AC2
BC2= 2,82+ 4,52
BC2= 28,09 cm2
L’aire de BCDE est égale à 28,09cm2.
11 a. Ce triangle est rectangle en Z, donc [YX] est son
hypoténuse et donc le côté le plus long.
b. YX2= ZX2+ ZY2= 3,32+ 5,62= 42,25
Donc YX = 6,5 cm.
12 JKL est un triangle rectangle en L donc, d’après l’éga-
lité de Pythagore:
JK2=JL2+ KL2
JL2=JK2– KL2
JL2= 5,22– 22
JL2= 27,04 – 4
JL2= 23,04
JL = 4,8 cm
Léo a raison.
O
A
O’
B
On trace deux arcs de cercle de centre O et O’ de même
rayon supérieur à OA. Ils se coupent en B.
O
A
BO’
On trace la droite (AB). C’est la tangente à en A.
Justification
OA = O’A et OB = O’B donc la droite (AB) est la média-
trice du segment [OO’]. Par conséquent, la droite (AB)
est perpendiculaire à la droite (OO’) en A.
4. Je m’exerce
1
E
D 4,8 cm
1,4 cm
F
b. EF2= 4,82+ 1,42= 25 donc EF = 5cm.
2a.
O
P M
4,5 cm
7,5 cm
b. PM2= 7,52– 4,52= 36 donc PM = 6 cm.
3JK2= 82– 32= 55 donc JK≈7,4 cm
4VW2= 1,22+ 2,252= 6,5025 donc VW = 2,55 cm.
5ON2= 9,82= 96,04
MN2+ MO2= 6,52+ 7,22= 94,09
L’égalité de Pythagore n’est pas vériée donc le triangle
MON n’est pas rectangle.
6PQ2= 3,52= 12,25
PO2+ OQ2= 2,12+ 2,82= 12,25

5
c. [AS] est le côté le plus long.
AS2= 9,72= 94,09 et PS2+ PA2= 93,97
AS2 PS2+ PA2
L'égalité de Pythagore n'est pas vériée donc le triangle
APS n'est pas rectangle.
20 FG = 130 cm.
[FG] est le côté le plus long.
FG2= 16900 et FE2+ EG2= 722+ 962= 14400.
FG2FE2+ EG2
L’égalité de Pythagore n’est pas vériée donc le triangle
EFG n’est pas rectangle. Le menuisier ne peut donc pas
être satisfait.
21 ABCD n’est pas croisé et ses côtés opposés sont deux
à deux de même longueur donc ABCD est un parallélo-
gramme.
AC2= 75,69 et AB2+ BC2= 6,32+ 62= 75,69
AC2= AB2+ BC2
L’égalité de Pythagore est vériée donc le triangle ABC
est rectangle en A.
Ainsi le parallélogramme ABCD a un angle droit, c’est
donc un rectangle.
22 Les droites(d2),(d3)et(d5) sonttangentes aucercle.
23 a. b.
A
B C
c.
BAC
= 180° – (57° + 33°) = 90°
La droite (AC) est perpendiculaireau diamètre [AB] donc
(AC) est la tangente à en A. Murielle a donc raison.
24 a.
C
B A
7,8 cm
7,2 cm
3 cm
b. [AB] est le côté le plus long.
AB2= 7,82= 60,84 et AC2+ BC2= 7,22+ 32= 60,84
AB2= AC2+ BC2
L’égalité de Pythagore est vériée donc le triangle ABC
est rectangle en C. Il sut donc de prolonger la droite
(AC) à la règle.
25 Le triangle ABC est un triangle rectangle en B;
d’après l’égalité de Pythagore:
AC2= AB2+ BC2
AC2= 802+ 602
AC2= 10000
AC = 100 m
Le triangle ADC est un triangle rectangle en D; d’après
13 a. On peut se placer dans le triangle FPJrectangle
en P ci-dessous.
F
P 24 m
7 m
J
D’après l’égalité de Pythagore:
FJ2= PJ2+ PF2
JF2= 72+ 242
JF2= 49 + 576
JF2= 625
JF=25m
En utilisant les passages piétons, Joris aurait parcouru
24 + 7 soit 31 m.
31–25=6
Joris a donc économisé 6 m.
6×0,9 = 5,4s
Joris a donc risqué sa vie pour gagner moins de
6secondes!
14 a. G
E F
4 cm
b. FG ≈ 5,7 cm.
15 La valeur approchée par excès au cm près de la lon-
gueur de la diagonale est 16,98 m.
16 Coralie a parcouru environ 232,83 m; Blaise a par-
couru environ 462,50 m.
462,50 – 232,83 = 229,67.
Coralie a parcouru environ 229 m de moins que Blaise.
17 a. EF = 8 cm FG = 8 cm
b. F est le milieu du segment [EG].
18 [DF] est le côté le plus long.
DF2= 6,52= 42,25
DE2+ EF2= 3,32+ 5,62= 10,89 + 31,36 = 42,25
DF2= DE2+ EF2
L’égalité de Pythagore est vériée donc le triangle DEF
est rectangle en E.
Justine a raison.
19 a.
A
P S
7,1 cm
9,7 cm
6,6 cm
b. Avec l’équerre, ce triangle semble être rectangle.