1. Groupe des déplacements laissants invariant un cube - IMJ-PRG

1. Groupe des déplacements laissants invariant un cube
A=1
B=2
C=3
D=4
E=5
F=6
G=7
H=8
On considère le cube de centre Oet de sommets A, B, C, D, E, F, G, H où A, B, C, D forment la face
supérieure et E, F, G, H la face inférieure. De plus A, B, F, E et B, C, F, G forment deux faces latérales.
On note Xl’ensemble des sommets et on numérote les sommets A→1, B →2..
1/ On note rSet rCles deux rotations d’axes passant par le centre du cube et respectivement par les
milieux des faces A, B, C, D et A, B, F, E telles que, dans les deux cas, l’image de Aest B. Montrer
que ces deux rotations définissent une permutation des 8sommets. On note respectivement αet βles
permutations correspondantes et Ple sous-groupe de S8engendré par αet β. Quel est l’orbite de 1sous
l’action du groupe engendré par α. Décomposer αet βen produit de cycles à supports disjoints. Calculer
αβ et βαβ. Quel est l’orbite de 1sous l’action de P. Montrer que opère transitivement sur l’ensemble des
sommets.
Rappels : Si Γ,un groupe, agit sur l’ensemble Xdes sommets, l’orbite de l’élément Asous l’action de
Γc’est l’ensemble des états qu’on peut atteindre partant de Aen faisant agir Γ. L’orbite est un sous-
ensemble de X.
Démonstration. L’orbite de 1sous l’action de < α > est {1,2,3,4}l’orbite de 1sous l’action de < β >
est {1,2,5,6}.On a
αβ =1 2 3 4 5 6 7 8
3 7 8 4 2 6 5 1 
βαβ =1 2 3 4 5 6 7 8
7 8 4 3 6 5 1 2 
L’orbite de 1sous l’action de < αβ > est {1,3,8}et l’orbite de 1sous l’action de < βαβ > est {1,7}.
L’orbite de 1sous l’action de Pcontient toutes les orbites de l’action des sous-groupes de Pdonc l’orbite
de 1est égale à X. 
2/ On note Γle groupe des isométries directes (déplacements) du cube. On sait que Γest formé de
rotations et que Γagit sur l’ensemble des sommets, ainsi tout élément ρde Γinduit une permutation ρ
de l’ensemble des sommets, donc un élément de S8. Cette application étant injective on décrit ainsi tout
élément de Γavec sa permutation correspondante dans S8.
En étudiant l’orbite de 1sous l’action de Γmontrer que 8divise l’ordre de Γ.
Démonstration. Le nombre d’éléments d’une orbite est l’indice du stablisateur d’un élément de l’orbite,
donc dans ce cas 8 = |X|divise |P|donc |Γ|.
1

3/ En étudiant l’élément αβ montrer que 24||Γ|et que le stabilisateur de 1dans Γcontient un élément
d’ordre 3.
Démonstration. La décomposition de αβ en cycles à supports disjoints montre que αβ est d’ordre 3et
que 4et 6sont fixés par αβ, donc αβ est un élément d’ordre 3dans le fixateur de 4et 6.Comme Γopère
transitivement sur Xon a |X|= 8 = |Γ|
|Γ6|=|Γ| 3k,donc 24||Γ|.Les stablisateurs de 1et de 6sont conjugués,
il en résulte que ΓAcontient un élément d’ordre 3.
4/ Le fixateur de 1noté ΓAest formé de rotations d’axe OA donc laisse aussi fixe le sommet G= 5.
Déterminer géométriquement l’orbite de Bsous l’action de ΓAet montrer géométriquement que |ΓA|= 3.
En déduire que |Γ|= 24.
Démonstration. Comme tout élément de Γest une isométrie l’orbite de Bsous l’action de ΓAest formée
de points Mtels que AM =AB donc ΓA(B)⊂ {B, E, D}et on a égalité car la rotation d’axe AO et
d’angle 2π/3est dans ΓAet permute les trois élément B, E, D. Si une rotation ρ6=Id ∈ΓAalors < ρ >
opère sans points fixes sur {B, E, D}car on aurait 3points fixes non alignés. Si une orbite sous l’action
de < ρ > sur {B, E, D}a deux éléments alors le troisième est fixe. Donc < ρ > a une seule orbite sur
{B, E, D},si ρ(B) = Dalors ρest la rotation d’angle 2π/3autour de AG, si ρ(B) = Ealors ρest la
rotation d’angle 4π/3autour de AG. Il en résulte que |ΓA|= 3.
Comme |X|= 8 = |Γ|
|ΓA|,on a|Γ|= 24.
5/ Montrer que Γopère fidèlement sur les diagonales, en déduire que Γ∼S4.
Démonstration. Une diagonale est une droite passant par Oet un sommet, par une rotation de Γelle est
transformée en une autre droite passant par Oet un autre sommet. Le stabilisateur d’une diagonale est
une rotation d’axe cette diagonale donc l’intersection des stabilisateurs est réduite à l’identité, l’action
de Γsur l’ensemble des diagonales est fidèle. L’image de Γpar cette opération est un sous groupe de S4
d’ordre 24 donc S4.Il en résulte que Γ∼S4.
6/ Si on numérote les diagonales OA →1, OB →2, OC →3, OD →4décrire le morphisme Γ⊂S8→
Γ∼S4
Démonstration. Si γ∈Γ⊂S8γ=12345678
γ1γ2γ3γ4γ5γ6γ7γ8
on pose γ′=1 2 3 4
γ′
1γ′ 2γ′ 3γ′ 4avec γi≡γ′
imod 4 
2. Groupe Kdes isométries laissant fixe un cube
7/ Montrer que le groupe Γest d’indice 2dans K.
Démonstration. Les isométries sont des applications affines de R3et si on représente les isométries par
des matrices, une isométrie est un déplacement si la matrice correspondante a un déterminant ≥0.D’où
on peut voir Γcomme le noyau du morphisme de A,groupe des applications affines de R3dans {±1},
morphisme définit par M7→ signe(det(M)).
8/ Montrer que Kopère sur l’ensemble des diagonales. Montrer que la symétrie centrale sde centre
O∈Ket que sstabilise toute diagonale. Montrer que Kest le produit direct du groupe a deux éléments
< s > et de Γ.
Démonstration. On remarque que s∈K /∈Pcar la matrice associée est −Id. une diagonale est globale-
ment invariante par s. Le noyau de l’opération de Ksur l’ensemble ds diagonales est < s >, c’est un sous
groupe distingué de K. Comme Pest d’indice 2dans Kon a Γ = P < s > . De plus < s > ∩P={e}
donc Kest le produit direct de Ppar < s > . 
3. Représentations de S4
http ://fr.wikipedia.org/wiki/Représentations_du_groupe_symétrique_d’indice_quatre