1. Groupe des déplacements laissants invariant un cube - IMJ-PRG

1. Groupe des déplacements laissants invariant un cube
D=4
C=3
A=1
B=2
H=8
G=7
E=5
F=6
On considère le cube de centre O et de sommets A, B, C, D, E, F, G, H où A, B, C, D forment la face
supérieure et E, F, G, H la face inférieure. De plus A, B, F, E et B, C, F, G forment deux faces latérales.
On note X l’ensemble des sommets et on numérote les sommets A → 1, B → 2..
1/ On note rS et rC les deux rotations d’axes passant par le centre du cube et respectivement par les
milieux des faces A, B, C, D et A, B, F, E telles que, dans les deux cas, l’image de A est B. Montrer
que ces deux rotations définissent une permutation des 8 sommets. On note respectivement α et β les
permutations correspondantes et P le sous-groupe de S8 engendré par α et β. Quel est l’orbite de 1 sous
l’action du groupe engendré par α. Décomposer α et β en produit de cycles à supports disjoints. Calculer
αβ et βαβ. Quel est l’orbite de 1 sous l’action de P. Montrer que opère transitivement sur l’ensemble des
sommets.
Rappels : Si Γ, un groupe, agit sur l’ensemble X des sommets, l’orbite de l’élément A sous l’action de
Γ c’est l’ensemble des états qu’on peut atteindre partant de A en faisant agir Γ. L’orbite est un sousensemble de X.
Démonstration. L’orbite de 1 sous l’action de
est {1, 2, 5, 6}. On a
1
αβ =
3
1
βαβ =
7
< α > est {1, 2, 3, 4} l’orbite de 1 sous l’action de < β >
2
7
3 4
8 4
5 6
2 6
7 8
5 1
2
8
3 4
4 3
5 6
6 5
7 8
1 2
L’orbite de 1 sous l’action de < αβ > est {1, 3, 8} et l’orbite de 1 sous l’action de < βαβ > est {1, 7}.
L’orbite de 1 sous l’action de P contient toutes les orbites de l’action des sous-groupes de P donc l’orbite
de 1 est égale à X.
2/ On note Γ le groupe des isométries directes (déplacements) du cube. On sait que Γ est formé de
rotations et que Γ agit sur l’ensemble des sommets, ainsi tout élément ρ de Γ induit une permutation ρ
de l’ensemble des sommets, donc un élément de S8 . Cette application étant injective on décrit ainsi tout
élément de Γ avec sa permutation correspondante dans S8 .
En étudiant l’orbite de 1 sous l’action de Γ montrer que 8 divise l’ordre de Γ.
Démonstration. Le nombre d’éléments d’une orbite est l’indice du stablisateur d’un élément de l’orbite,
donc dans ce cas 8 = |X| divise |P | donc |Γ|.
1
3/ En étudiant l’élément αβ montrer que 24||Γ| et que le stabilisateur de 1 dans Γ contient un élément
d’ordre 3.
Démonstration. La décomposition de αβ en cycles à supports disjoints montre que αβ est d’ordre 3 et
que 4 et 6 sont fixés par αβ, donc αβ est un élément d’ordre 3 dans le fixateur de 4 et 6. Comme Γ opère
|Γ|
transitivement sur X on a |X| = 8 = |Γ
= |Γ|
3k , donc 24||Γ|. Les stablisateurs de 1 et de 6 sont conjugués,
6|
il en résulte que ΓA contient un élément d’ordre 3.
4/ Le fixateur de 1 noté ΓA est formé de rotations d’axe OA donc laisse aussi fixe le sommet G = 5.
Déterminer géométriquement l’orbite de B sous l’action de ΓA et montrer géométriquement que |ΓA | = 3.
En déduire que |Γ| = 24.
Démonstration. Comme tout élément de Γ est une isométrie l’orbite de B sous l’action de ΓA est formée
de points M tels que AM = AB donc ΓA (B) ⊂ {B, E, D} et on a égalité car la rotation d’axe AO et
d’angle 2π/3 est dans ΓA et permute les trois élément B, E, D. Si une rotation ρ 6= Id ∈ ΓA alors < ρ >
opère sans points fixes sur {B, E, D} car on aurait 3 points fixes non alignés. Si une orbite sous l’action
de < ρ > sur {B, E, D} a deux éléments alors le troisième est fixe. Donc < ρ > a une seule orbite sur
{B, E, D}, si ρ(B) = D alors ρ est la rotation d’angle 2π/3 autour de AG, si ρ(B) = E alors ρ est la
rotation d’angle 4π/3 autour de AG. Il en résulte que |ΓA | = 3.
, on a|Γ| = 24.
Comme |X| = 8 = |Γ|Γ|
A|
5/ Montrer que Γ opère fidèlement sur les diagonales, en déduire que Γ ∼ S4 .
Démonstration. Une diagonale est une droite passant par O et un sommet, par une rotation de Γ elle est
transformée en une autre droite passant par O et un autre sommet. Le stabilisateur d’une diagonale est
une rotation d’axe cette diagonale donc l’intersection des stabilisateurs est réduite à l’identité, l’action
de Γ sur l’ensemble des diagonales est fidèle. L’image de Γ par cette opération est un sous groupe de S4
d’ordre 24 donc S4 . Il en résulte que Γ ∼ S4 .
6/ Si on numérote les diagonales OA → 1, OB → 2, OC → 3, OD → 4 décrire le morphisme Γ ⊂ S8 →
Γ ∼ S4
1 2 3 4 5 6 7 8
Démonstration. Si γ ∈ Γ ⊂ S8 γ =
γ1 γ2 γ3 γ4 γ5 γ6 γ7 γ8
1
2
3
4
on pose γ ′ =
avec γi ≡ γi′ mod 4
γ1′ γ2′ γ3′ γ4′
2. Groupe K des isométries laissant fixe un cube
7/ Montrer que le groupe Γ est d’indice 2 dans K.
Démonstration. Les isométries sont des applications affines de R3 et si on représente les isométries par
des matrices, une isométrie est un déplacement si la matrice correspondante a un déterminant ≥ 0. D’où
on peut voir Γ comme le noyau du morphisme de A, groupe des applications affines de R3 dans {±1},
morphisme définit par M 7→ signe(det(M )).
8/ Montrer que K opère sur l’ensemble des diagonales. Montrer que la symétrie centrale s de centre
O ∈ K et que s stabilise toute diagonale. Montrer que K est le produit direct du groupe a deux éléments
< s > et de Γ.
Démonstration. On remarque que s ∈ K ∈
/ P car la matrice associée est −Id. une diagonale est globalement invariante par s. Le noyau de l’opération de K sur l’ensemble ds diagonales est < s >, c’est un sous
groupe distingué de K. Comme P est d’indice 2 dans K on a Γ = P < s > . De plus < s > ∩P = {e}
donc K est le produit direct de P par < s > .
3. Représentations de S4
http ://fr.wikipedia.org/wiki/Représentations_du_groupe_symétrique_d’indice_quatre