Résolution numérique du problème et les

Résolution numérique du problème et les résultats obtenu
chapitre V
V) Résolution numérique du problème et les résultats obtenus
obtenu
V-1 La méthode numérique de résolution
olution et de discrétisation d’équation de
convection
V-1-1 Planning de résolution d’un problème
La figure ci-dessous
dessous représente les étapes de résolution numérique du problème
convectif de transfert de chaleur
aleur entre le fluide et le sol:
sol
. . .
é
’
è
V-1-2 La résolution
olution numérique de l’équation de convection
Ces phénomènes sont en générale complexes
compl
et régis par des équations aux dérivées
partielles. La résolution de ce fait se fait numériquement:
Nous avons l’équation ci-dessous
ci
qui caractérise le phénomène de convection :
=
… … … … … … … … … … … … … … ( . 1))
51
Résolution numérique du problème et les résultats obtenu
chapitre V
La discrétisation de l’équation:
On pose la vitesse
=
constante
= 1,
,
,
= 1,
,
,
.
.
,
.
é
Du fait de la présence d’une dérivée seconde par rapport à , il est nécessaire
d’introduire trois points en espace. Pour un pas d’espace
uniforme, la méthode la plus
simple : Explicite. Les dérivées sont approchées comme suit:
⎧
⎪
≈
⎨
⎪
⎩
−
≈
(
+
é
−2
ℎ
(
+1
−1
.
.
.
é
52
ℎ
à
é
)
+1
)
………(
é
. 2)
Résolution numérique du problème et les résultats obtenu
En remplaçant l’approximation (
−
+
=
ℎ
chapitre V
. 2) dans l’équation(
−2
. 1), il vient:
………………………………(
. 3)
En considérons le cas de l’écoulement d’air à l’intérieur de la conduite avec une
=
vitesse constante
⟹
(
⟹
ℎ
(
.
. 4) ⟹
ℎ
Où :
.
−
. 3) ⟹
−
.
ℎ
.
.
−
:
On pose:
=
en tous points de la section droite.
=
−
.
+
=
.
+
−
+
.
=
.
− 2.
ℎ
ℎ
= −2.
− 2.
−2
…………(
.
.
.
+
.
. 4)
…………(
. 5)
.
et
⟹
=
=
.
−
.
+
…………(
. 6)
V-2 Résultats et Interprétations
Introduction
Dans ce chapitre on présente les résultats des calculs effectués relatifs à l’influence de
quelques paramètres sur la variation de la température du sol ainsi que celle à la sortie de
l’échangeur air/sol.
53
Résolution numérique du problème et les résultats obtenu
chapitre V
V-2-1 Variation de la température ambiante
Les figures (
.
) et
.4(
) montrent
.5
la variation de la température ambiante de
.
forme sinusoïdale de période journalière et annuelle.
La figure (
. )1 présente la variation de la température ambiante annuelle, pour ville Biskra
d’amplitude
=22.625°C,
= 12°
et
de
température
moyenne
annuelle
=17.16° ,
=28.08°C.
50
45
la température(°c)
40
35
30
25
20
15
10
5
0
1
2
3
4
5
Tambiant min
.
.
La figure (
6
7
le temps(mois)
.
la température(°c)
11
12
Tambiant max
. )5 présente la variation de la température ambiante journalière, d’amplitude de
2
3
Tambiant
.
10
é
= 28.08° .
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
.
9
Tambiant moy
= 12° et de température moyenne annuelle
1
8
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
le temps(heure)
.
é
54
è
Résolution numérique du problème et les résultats obtenu
chapitre V
V-2-2 Variation de la température du sol
La figure (
. )6montre la variation de la température du sol qui forme une sinusoïde
= 12° et de
de période journalière dans les différentes des profondeurs, d’amplitude
= 28.08° .
température moyenne annuelle
la température(c°)
50
40
30
20
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
le temps(heur)
T(12:00h)pour x=0m
T(12:00h)pour x=3m
T(12:00h)pour x=20m
.
.
.
’é
T(12:00h)pour x=1m
T(12:00h)pour x=4m
é
. )7 et (
Les figures (
T(12:00h)pour x=2m
T(12:00h)pour x=6m
.)8 présentent la variation de la température du sol en
= 12°
fonction de la profondeur et de la nature du sol, pour minuit et midi, d’amplitude
et de température moyenne annuelle
= 28.08° . Cette valeur se stabilise pour des
profondeurs supérieures à 6m quelque soit le temps.
30
la température(°c)
25
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
la profondeur(m)
T(sable sec)pour t=00:00h
T(argil sec)pour t=00:00h
.
.
.
T(sable saturé)pour t=00:00h
T(argil saturé)pour t=00:00h
’é
é
55
à
à
la température(°c)
Résolution numérique du problème et les résultats obtenu
chapitre V
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
T(sable sec)pour t=12:00h
T(argil sec)pour t=12:00h
.
.
La figure (
.
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
la profondeur(m)
T(sable saturé)pour t=12:00h
T(argil saturé)pour t=12:00h
’é
é
à
à
. )9 présente la variation de la température du sol (sable saturé) en deux
= 12° et de
temps t=00:00h et t=12 :00h en fonction de la profondeur, d’amplitude
= 28.08° . Sa valeur se stabilise pour des profondeurs
température moyenne annuelle
supérieures à 6m quelque soit le temps.
la température(c°)
50
40
Sable sec
30
20
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
la profondeur(m)
t=00:00h
.
.
t=12:00h
.
é
V-2-3 Variation de la température de l’air dans l’échangeur

à
Tronçon vertical
En ce qui concerne l’échange thermique entre l’échangeur et le fluide caloporteur nous
avons obtenu les résultats suivants :
56
Résolution numérique du problème et les résultats obtenu
La figure (
chapitre V
) présente la variation de la température de l'air en centre du tube
. 10
enterré verticalement suivant la nature de sol (argile sec, argile saturé, sable sec, sable saturé)
et en fonction de la profondeur. On observe la même variation de la température de l’air
quelque soit la nature du sol.
la température (K°)
50
40
= 0.03 /
30
20
10
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6 3,8 4
le profondeur(m)
T (c°)argile sec
T (c°)argile saturé
T (c°) sable sec
T (c°)sable saturé
.
.
.
é
La figure (
′
) montre qu’en saison estivale, la température du sol (sable sec)
. 11
atténué par rapport à la température de l’air dans un canal enterré verticalement, où l’air
la température(°c)
écoule à une vitesse constante
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
= 0.03
/.
= 0.03 /
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
2,2
2,4
2,6
2,8
3
la profondeur(m)
Température de l'air dans la canale pour t=12:00h
.
.
.
température de sol(sable sec) pour t=12:00h
é
On constate que la température de l’air baisse de l’entrée jusqu’à une profondeur
relative à un tronçon de la longueur verticale du tube équivaut à 1,1m. Par ailleurs on peut
dire que la température dans les différentes sections transversale du tube est homogène.
57
Résolution numérique du problème et les résultats obtenu
La figure (
chapitre V
) présente la variation de la température de l'air dans un tube enterré
. 12
verticalement en fonction de la profondeur pour quelques valeurs du rayon du canal. On
observe la même variation de la température de l’air, où l’air écoule à une vitesse constante
= 0.03
50
/.
température(°c)
40
30
= 0.03 /
20
10
0
0,1
0,2
0,3
T pour r=0,1m
T pour r=0,02m
.
0,4
0,5
0,6
profondeur(m)
T pour r=0,08m
T pour r=0m
.
0,7
0,9
T pour r=0,06m
T pour r=0,02m
.
La figure (
0,8
1
1,1
T pour r=0,04m
T pour r=0,04m
é
) présente la variation de la température de l'air dans un tube enterré
. 13
verticalement en fonction du rayon du canal pour quelques valeurs de la profondeur.
50
45
la température(°c)
40
35
30
25
V=0.03m/s
20
15
10
5
0
0,1
0,08
0,06
T pour x=0,1m
T pour x=0,5m
T pour x=0,9m
.
0,04
0,02
0
la rayon(m)
T pour x=0,2m
T pour x=0,6m
T pour x=1m
.
0,02
0,04
T pour x=0,3m
T pour x=0,7m
T pour x=1,1m
.
é
58
0,06
0,08
0,1
T pour x=0,4m
T pour x=0,8m
Résolution numérique du problème et les résultats obtenu
chapitre V
Tronçon horizontal :
En ce qui concerne l’échange thermique entre le fluide caloporteur qui écoule dans le

tube enterré horizontalement et le sol. Nous avons obtenu les résultats suivants :
) et (
. 14
Les figures (
) montre l’influence de la vitesse et la longueur sur la
. 15
température de l’air à la sortie de tube.
La figure (
) présente la variation de la température de l'air à sortie du tube
. 14
enterré horizontalement suivant la longueur du canal et la vitesse de l’air.
40
la température(c°)
35
30
25
20
R=0.1m
15
10
5
0
4
8
12
16
Tsortée(0,04m/s)
Tsortée(3m/s)
.
.
La figure (
20
24
28
32
36
40
44
la longueur(m)
Tsortée(0,08m/s)
Tsortée(0,3m/s)
Tsortée(10m/s)
Tsortée(30m/s)
.
48
52
56
60
Tsortée(1m/s)
àé
é
) présente la variation de la température de l'air à sortie du tube
. 15
enterré horizontalement en fonction de la vitesse de l'air pour quelques valeurs de la
40
35
30
25
20
15
10
5
0
.
Tsortée pour L=10m
Tsortée pour L=40m
.
àé
59
50
40
30
20
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
la vitesse de l'air(m/s)
Tsortée pour L=5m
.
0,3
0,2
0,1
0,08
0,06
R=0.1m
0,04
la température (c°)
profondeur.
Tsortée pour L=70m
′
é
Résolution numérique du problème et les résultats obtenu
chapitre V
Les figures (VI. 16) et (VI. 17) présentent la variation de la température de l'air à la
sortie du tube enterré horizontalement en fonction du rapport (
35
/ ).
la température(°c)
30
25
20
15
= 0.03 /
10
5
la température(°c)
2,04
1,9
1,961
1,821
1,76
1,7
1,645
1,594
1,545
1,5
1,457
1,416
1,378
1,342
1,31
1,275
1,244
1,21
1,186
1,13
R/r
Tsortée pour L=70m
.
1,159
1,11
1,085
1,0625
1,041
1,02
0
.
Tsortée pour L=40m
Tsortée pour L=10m
.
àé
(
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Tsortée pour L=5m
é
/)
= 0.03 /
2,4 2,42 2,45 2,48 2,51 2,55 2,58 2,61 2,64 2,68 2,72 2,75 2,79 2,83 2,87 2,91 2,95
3
R/r
Tsortée pour L=70m
.
.
Tsortée pour L=40m
.
Tsortée pour L=10m
àé
60
(
/)
Tsortée pour L=5m
é
Résolution numérique du problème et les résultats obtenu
La figure (
chapitre V
) présente la variation de la température de l'air à la sortie du tube
. 18
enterré horizontalement en fonction de la conductivité thermique du tube pour quelques
valeurs de la vitesse de l’air.
35
la température(c°)
30
25
20
15
10
= 70
5
0
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,2
la conductivitée thermique du tube (W/m.c°)
Tsortéepour vair=0,03m/s
Tsortéepour vair=2m/s
.
.
Tsortéepour vair=0,08m/s
Tsortéepour vair=10m/s
.
àé
La figure (
é
é
) présente la variation de la température de l'air à la sortie du tube
. 19
enterré horizontalement en fonction de la conductivité thermique du tube pour quelques
valeurs de la longueur du tube.
40
température(°c)
35
30
25
20
15
= 0.03 /
10
5
0
0,0002
0,0004
Tsortée pour L=70m
.
.
0,0008
0,0016
0,002
λtube( W/m.°c)
Tsortée pour L=40m
.
0,02
Tsortée pour L=10m
àé
61
0,2
2
Tsortée pour L=4m
é
é
Résolution numérique du problème et les résultats obtenu
La figure (
chapitre V
) présente la variation de la température de l'air à la sortie du tube
. 20
enterré horizontalement en fonction de la conductivité thermique du sol pour quelques valeurs
de la longueur du tube.
40
température(°c)
35
30
25
20
15
10
5
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,65
0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
0,95
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
λsol (W/m.°c)
Tsortée pour L=70m
.
.
La figure (
Tsortée pour L=40m
.
Tsortée pour L=10m
àé
Tsortée pour L=4m
é
é
) présente la variation de la température de l'air à la sortie de tube
. 21
enterrée horizontalement en fonction de la conductivité de l’air.
35
30
25
20
15
10
5
0
0,02
0,021
0,022
0,023
0,024
0,025
0,026
0,027
0,028
0,029
0,03
0,031
0,032
0,033
0,034
0,035
0,036
0,037
0,038
0,039
0,04
0,041
0,042
0,043
0,044
0,045
la température de l'air(°c)
40
Tsortée
.
la conductivité thermique de l'air ( W/m.°c)
.
.
àé
62
é
é
′
Résolution numérique du problème et les résultats obtenu
chapitre V
La figure (VI. 22) présente la variation de la température de l'air à la sortie du tube
enterrée horizontalement en fonction de l’efficacité du tube pour quelques valeurs de la
longueur du tube.
40
35
température(°c)
30
25
20
= 0.1
15
10
5
0,81
0,92
0,94
0,95
0,94
0,92
0,9
0,88
0,86
0,84
0,82
0,8
0,78
0,63
0,52
0,44
0,39
0,34
0,31
0,28
0,26
0,24
0,13
0,1
0,07
0,06
0
efficacité(  )
Tsortée pour L=40
.
.
Tsortée pour L=100m
Tsortée pour L=10
.
Tsortée pour L=5
àé
’
é
La figure (VI. 23) présente la variation de la différence de pression du tube enterré
horizontalement en fonction de la longueur du tube pour une vitesse
la différence de la pression(Pa)
300
250
= 0.03
/.
= 0.03 /
200
150
100
50
0
4
8
12
.
20
24
28
32
36
40
44
48
longueur du tube(m)
Δp(Pa)
.
16
.
é
63
52
56
60
64
68
70
é
Résolution numérique du problème et les résultats obtenu
chapitre V
La figure (VI. 24) présente la variation des pertes de charge du tube enterré
horizontalement en fonction de la longueur du tube pour une vitesse
0,03
/.
V=0.03m/s
0,025
les pertes de charge
= 0.03
0,02
0,015
0,01
0,005
0
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
44
48
52
56
60
64
68
70
longueur du tube(m)
ΔH
.
.
.
La figure (VI. 25) présente la variation de la différence de la pression du tube enterré
horizontalement en fonction de la vitesse de l’air pour une longueur
la différent de la pression(Pa)
5000
4500
= 70 .
= 70
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
0,03 0,04 0,06 0,08 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Δp
la vitesse(m/s)
.
.
.
é
64
1
1,1 1,2 1,3 1,4
Résolution numérique du problème et les résultats obtenu
chapitre V
La figure (VI. 26) présente la variation des pertes de charge d’un tube enterré
= 70 .
horizontalement en fonction de la vitesse de l’air pour une longueur
0,5
les pertes de charge
0,45
= 70
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0,03 0,04 0,06 0,08 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
ΔH
1
1,1 1,2 1,3 1,4
la vitesse(m/s)
.
.
.
’
65