Math m5 2005

République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
UNIVERSITE MOHAMED KHIDER BISKRA
FACULTE DES SCIENCES ET DES SCIENCES DE L’INGENIEUR
DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES
MEMOIRE
Présenté en vue de l’obtention du diplôme de
Magister en Mathématiques
Par
BERKANE Hassiba
Thème
Méthodes du Bootstrap pour les queues de
distributions
Option
Analyse & Modèles Aléatoires
Soutenu publiquement le : 17/05/2005
Devant le jury :
Président : B. MEZERDI
Rapporteur : A. NECIR
Examinateur : K. BOUKHETALA
Examinateur : S. BAHLALI
PR.
M.C.
PR.
DR. M.A.C.
U.M.K. Biskra.
U.M.K. Biskra.
U.S.T.H.B. Alger.
U.M.K. Biskra.

Remerciements
Le moment est venu d’exprimer toute ma reconnaissance à mon encadreur, Dr.
A. Necir
Maître de Conférences à l’université de Biskra, de m’avoir proposé un sujet très
intéressant, et
qui m’a fait découvrir la statistique, pour son enthousiasme et son soutien
sans faille durant la réalisation de ce mémoire. Il a toujours été disponible pour me
prodiguer ses conseils.
,
J’exprime ma profonde gratitude au Pr. B. Mezerdi qui m’a fait l’honneur de
présider le jury de ce mémoire. Je lui suis très reconnaissante pour l’attention qu’il a
porté à ce travail.
J’adresse mes sincères remerciements au Dr. S. Bahlali et au Pr. K. Boukhetala
pour l’intérêt qu’ils ont manifesté a ce mémoire en acceptant de l’examiner.
L’occasion m’est donnée ici de remercier ma sœur Houda, M
elles. R. Fouzia, et G.
Soufia pour toute l’aide qu’elles m’ont apporté. Je souhaite remercier aussi Mer. D. Yahia,
pour leur aide.
J’exprime ma gratitude à ma famille qui m’a toujours soutenue et encouragée dans
la voie que je m’étais fixée. Je remercie particulièrement mes parents qui m’ont stimulée
et encouragé pendant mes études.
Mes vifs remerciements vont également à tous mes enseignants en graduation, et
en post graduation, notamment, Mr. B. Labed, Dr. L. Melkmi, Dr. A. Belaggoun.
J’adresse un amical remerciement le plus sincère à touts mes collègues pour leur
sympathie et leur soutien.

1
Table des matières
0.1. Notations ................................ 3
0.2. Introduction ............................... 5
Chapitre 1. NOTIONS DE STATISTIQUE ............... 7
1.1. Théorie de l’estimation ........................ 7
1.1.1. ModèlesStatistiques ....................... 7
1.1.2. Estimateur . ........................... 8
1.2. Méthodes paramétriques ....................... 9
1.2.1. Biaisetrisque........................... 9
1.2.2. Intervalles de confiance...................... 12
1.2.3. Test d’hypothèses ......................... 14
1.3. Méthodes non-paramétriques .................... 17
1.3.1. Estimationnon-paramétrique .................. 17
1.3.2. Modèle d’échantillonnage d’une loi sur R............ 17
1.3.3. Testsnon-paramétriques..................... 20
Chapitre 2. PROCEDURE DU BOOTSTRAP ............. 23
2.1. Principe du Bootstrap ........................ 23
2.2. Validité du Bootstrap ......................... 28
2.2.1. Théorieasymptotiquedubootstrap............... 28
2.2.2. Théorèmecentralelimite..................... 30
2.3. Consistance du bootstrap ...................... 33
2.3.1. DistributiondelaStatistique .................. 37

2
Chapitre 3. UTILISATION DU BOOTSTRAP POUR LES PRO-
BLEMES STATISTIQUES ........................ 43
3.1. Méthodes de rééchantillonnage ................... 43
3.1.1. Bootstrapdesindividus ..................... 43
3.2. Erreur standard et biais d’un paramètre ............. 44
3.2.1. Estimationdel’erreur-standard ................. 44
3.2.2. Estimationdubiais........................ 48
3.2.3. Estimationsparlejackknife ................... 50
3.3. Bootstrap pour les tests d’hypothèse ............... 53
3.4. Intervalle de Confiance et Bootstrap ............... 56
3.4.1. Méthodedel’erreur-standard .................. 56
3.4.2. Méthodedespourcentilessimples ................ 57
3.4.3. Méthodedespourcentilescorrigéspourlebiais......... 58
3.4.4. Méthodedespourcentilesaveccorrectionpourlebiaisetaccé-
lération .............................. 58
3.4.5. Méthode du bootstrap-t ..................... 59
3.5. Techniques du bootstrap pour les modèles de régression ... 63
3.5.1. BootstrapdesRésidus ...................... 63
3.5.2. Lesintervallesdeprédictionbootstrap ............. 65
3.5.3. Bootstrapparpaires ....................... 68
Chapitre 4. BOOTSTRAP POUR LES VALEURS EXTRÊMES .. 72
4.1. Méthodes classiques d’estimation des quantiles extrêmes ... 72
4.1.1. Méthodedesvaleursextrêmes.................. 73
4.1.2. Méthodedesexcès ........................ 74
4.1.3. Méthodedesquantiles ...................... 76
4.2. Test d’adéquation pour les queues de distributions ...... 79
4.2.1. Test d’adéquation via la distance L2-Wasserstein pondérés . . 80
4.3. Simulations ............................... 89

3
0.1 Notations
v.a.r.Variable aléatoire réelle.
θ, TnValeur de population, fonction des données.
ΘEspace des paramètres.
=Espace des fonctions de distributions.
D
→Convergence en distribution.
p
→Convergence en probabilité.
p.s
→Convergence presque sûre.
D
=Egalité en distribution.
FFonction de répartition.
F−1Fonction des quantiles de la queue.
Pn,F
nLoi de probabilité, fonction de la distribution empirique.
F−1
nFonction des quantiles du queue empirique.
Gγ,σ Fonction de répartition de la loi des valeurs extrêmes.
i.i.d. Indépendante et identiquement distribuée.
X∗=(X∗
1,...,X∗ n)Échantillon Bootstrap.
FDC Fonction de distribution cumulative.
FDE Fonction de distribution empirique.
MdnMédiane empirique.
PR Probabilité de rejeter.
J(Tn)Estimateur du jackknife de Tn.
IC Intervalle de confiance.
CBa Correction pour le biais et accélération.
EQM Erreur quadratique moyenne.
Gγ,σ,DPG Distribution de Paréto Généralisée.
γIndex des valeurs extrêmes
{B(t); 0 ≤t≤1}Pont Brownien.
{W(t); 0 ≤t<∞}ProcessusdeWiener.