Puissance d’un point par rapport à un cercle. I- Définition et théorème. Définition : Soient C un cercle, O un point et D une droite passant par O, sécante à C en A et B. On appelle puissance du point O par rapport au cercle C, le produit algébrique. Théorème 1 : Si par un point on mène une sécante à un cercle, Le produit des mesures algébriques des deux vecteurs ayant pour origine le point O et pour extrémités les points communs au cercle et à la sécante est constant quand la sécante pivote autour du point O. Remarque : Soient [AB] et [CD] deux cordes d’un cercle C. Si les droites se coupent en un point O, la connaissance des points O, A, B et C permet de construire le point D d’une manière unique. Démonstration : On distingue deux cas de figures. 1) Le premier cas : (O est extérieur au cercle) Les angles , interceptent le même arc donc ils sont égaux. Par conséquent les triangles OCA et OBD sont semblables On peut donc écrire : Les mathématiques au collège Page 1 On en déduit : Cette relation s’écrit algébriquement de la façon suivante : Car les vecteurs : sont de même sens (arbitrairement choisit sur (AB)) De même les vecteurs sont de même sens (arbitrairement choisit sur (DC)). 2) Le deuxième cas : (O à l’intérieur du cercle) Les triangles OAC et OBD sont semblables. Car Donc : On en déduit : Dans ce cas les vecteurs sont de sens opposés De même pour les vecteurs Algébriquement on a : . Conclusion : . Remarque : 12- Si C Alors Théorème 2 : Si deux droites produit scalaire des vecteurs . se coupent en O, et si l’on a : Alors les quatre points A, B, C et D sont sur un même cercle. On dit qu’ils sont cocycliques. Démonstration : Les deux droites sont sécantes, donc les points A, B et C ne sont pas alignés. Il existe donc un et un seul cercle circonscrit au triangle ABC, ce cercle coupe en un point . D’après le théorème 1. Or par hypothèse on a On en déduit : Donc Les points sont confondus. Les mathématiques au collège Page 2 II- Calcul de la puissance d’un point par rapport à un cercle. 1- O est intérieur au cercle. Soit O un point situé à la distance d du centre I du cercle. Or Donc Soit . Remarque : Pour les points intérieurs au cercle P est négatif. 2- O est sur le cercle. 3- O est extérieur au cercle. Théorème 3 : Quand un point est extérieur à un cercle sa puissance est le carré de la longueur du segment de la tangente compris entre le point et le point de contact. Démonstration : Si la sécante tourne et tend à se confondre avec Les deux points M et M’ tendent à se confondre avec le point C. Comme On a, à la limite : Théorème 4 : (réciproque) Si trois points alignés O, A, B et un autre point C vérifient : . Alors le cercle circonscrit au triangle ABC est tangent en C à Les mathématiques au collège Page 3 Démonstration : Soient une droite qui passe par les points O, A, B et On suppose que le cercle circonscrit au triangle D’après le théorème 1 On a donc Conclusion : d’intersection de Donc la droite une autre droite telles que coupe en un point . . donc les points sont confondus. Le seul point avec le cercle circonscrit au triangle ABC est le point C est tangente au cercle circonscrit au point C. Application : Ensemble des points d’intersection des tangentes issues d’un point O aux cercles circonscrits à deux points A et B tels que O, A et B sont alignés dans cette ordre. ..\fichiergeogebra\Tan_lieux_geo.ggb Les mathématiques au collège Page 4