Puissance d`un point par rapport à un cercle.

Les mathématiques au collège Page 1
Puissance d’un point par rapport à un cercle.
I- Définition et théorème.
Définition :
Soient C un cercle, O un point et D une droite passant par O, sécante à C en A et B.
On appelle puissance du point O par rapport au cercle C, le produit algébrique.
Théorème 1 :
Si par un point on mène une sécante à un cercle, Le produit des mesures algébriques des deux
vecteurs ayant pour origine le point O et pour extrémités les points communs au cercle et à la
sécante est constant quand la sécante pivote autour du point O.
Remarque :
Soient [AB] et [CD] deux cordes d’un cercle C.
Si les droites se coupent en un point O, la connaissance des points O, A, B et
C permet de construire le point D d’une manière unique.
Démonstration :
On distingue deux cas de figures.
1) Le premier cas : (O est extérieur au
cercle)
Les angles
 , interceptent le
même arc 
 donc ils sont égaux.
Par conséquent les triangles OCA et
OBD sont semblables
On peut donc écrire :

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On en déduit : 
Cette relation s’écrit algébriquement de la façon suivante :
Car les vecteurs :  sont de même sens (arbitrairement choisit sur (AB))
De même les vecteurs sont de même sens (arbitrairement choisit sur (DC)).
2) Le deuxième cas : (O à l’intérieur du cercle)
Les triangles OAC et OBD sont semblables.
Car
Donc : 
On en déduit : 
Dans ce cas les vecteurs  sont de sens opposés
De même pour les vecteurs .
Algébriquement on a : 
Conclusion :  .
Remarque :
1-  produit scalaire des vecteurs 
2- Si C Alors.
Théorème 2 :
Si deux droites se coupent en O, et si l’on a :
Alors les quatre points A, B, C et D sont sur un même cercle. On dit qu’ils sont
cocycliques.
Démonstration :
Les deux droites sont sécantes, donc les points A, B et C ne sont pas alignés. Il existe
donc un et un seul cercle circonscrit au triangle ABC, ce cercle coupe en un
point.
D’après le théorème 1. 
Or par hypothèse on a
On en déduit : 
Donc  Les points sont confondus.

Les mathématiques au collège Page 3
II- Calcul de la puissance d’un point par rapport à un cercle.
1- O est intérieur au cercle.
Soit O un point situé à la distance d du centre I
du cercle. 
Or
Donc
Soit
.
Remarque : Pour les points intérieurs au cercle P est négatif.
2- O est sur le cercle.
3- O est extérieur au cercle.
Démonstration :
Si la sécantetourne et
tend à se confondre avec
Les deux points M et M’ tendent
à se confondre avec le point C.
Comme
On a, à la limite :
Théorème 4 : (réciproque)
Si trois points alignés O, A, B et un autre point C vérifient :
. Alors le cercle circonscrit au triangle ABC est tangent en C à 
Théorème 3 :
Quand un point est extérieur à un cercle sa puissance est le carré de la
longueur du segment de la tangente compris entre le point et le point de contact.

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Démonstration :
Soient une droite qui passe par les points O, A, B et une autre droite telles que
On suppose que le cercle circonscrit au triangle coupe en un point 
D’après le théorème 1 .
On a donc
.
Conclusion :  donc les points sont confondus. Le seul point
d’intersection de avec le cercle circonscrit au triangle ABC est le point C
Donc la droite est tangente au cercle circonscrit au point C.
Application :
Ensemble des points d’intersection des tangentes issues d’un point O aux cercles
circonscrits à deux points A et B tels que O, A et B sont alignés dans cette ordre.
..\fichiergeogebra\Tan_lieux_geo.ggb