Chapitre 6 : Somme des angles dans un triangle 1. Problème Marc prétend qu'il a dessiné un triangle dont la somme des angles mesuraient 190°. Qu'en pensez-vous? 2. Expérimentation et conjecture Après avoir tracé plusieurs triangles à l'aide de géogébra, nous pouvons formuler la conjecture suivante : Conjecture : Il semble que : Dans un triangle, la somme des mesures des angles en degré soit égale à 180. 3. Démonstration Hypothèse : ABC est un triangle. On appelle : • I le milieu de [AC]. • J le milieu de [BC]. • (d), la droite parallèle à (AB) passant par C. • B' le symétrique de B par rapport à I. • A' le symétrique de A par rapport à J 1. On démontre que les droites (d) et (AB) sont symétriques par rapport à I : On sait que : • C est le symétrique de A par rapport à I car I est le milieu de [AC]. Propriété : Une symétrie centrale transforme une droite en une droite qui lui est parallèle. Conclusion : La droite symétrique de la droite (AB) est donc la droite passant par C et parallèle à (AB), c'est la droite (d). On en déduit que : B', le symétrique de B par rapport à I appartient à (d). 2. De la même façon, on démontrerait que A', le symétrique de A par rapport à J appartient à (d). 3. On en déduit que A', B' et C sont alignés. 4. On démontre que : les angles alternes-internes ^ B ' CA sont égaux. BAC et ̂ On sait que : B', A et C sont les symétriques respectifs de B, C et A par rapport à I. Propriété : Une symétrie centrale transforme un angle en un angle qui lui est égal. Conclusion : Les angles alternes-internes ̂ BAC et ̂ B ' CA sont égaux. 5. De même façon, on démontrerait que : les angles alterne-internes ̂ ABC et ̂ A' CB sont égaux. 6. Conclusion Les points B', C et A' étant alignés, on a : ̂ ACB + ̂ B ' CA + ̂ A' CB = 180 On en déduit que : ̂ BAC + ̂ ACB + ̂ ABC = 180 4. Enoncé du théorème On vient de démontrer le théorème suivant : Théorème: Dans un triangle, la somme des mesures des angles en degré est égale à 180. 5. Autres propriétés Lors de la démonstration, on a également démontré la propriété suivante : Propriété : Si deux angles sont en position d'angles alternes-internes par rapport à une droite sécante à deux droites parallèles alors ils sont égaux. On admet que la réciproque de cette propriété est vraie Propriétés : Si deux angles, en position d'angles alternes-internes par rapport à une droite sécante à deux droites sont égaux alors ces deux dernières sont parallèles.