Chapitre 23 : Somme des angles dans un triangle

Chapitre 23 : Somme des angles dans un triangle
1. Problème
L'armation suivante est-elle vraie ?
Armation : Dans un triangle, la somme de mesures des angles en degré est égale à 180.
2. Expérimentation et conjecture
Après avoir tracé plusieurs triangles à l'aide de géogébra, nous pouvons formuler la
conjecture suivante :
Conjecture :
Il semble que : Dans un triangle, la somme des mesures des angles en degré soit égale à 180.

3. Démonstration
Hypothèse : ABC est un triangle.
On appelle :
•I le milieu de [AC].
•J le milieu de [BC].
•(d), la droite parallèle à (AB) passant par C.
•B' le symétrique de B par rapport à I.
•A' le symétrique de A par rapport à J

1. On démontre que les droites (d) et (AB) sont symétriques par rapport à I :
On sait que :
•C est le symétrique de A par rapport à I car I est le milieu de [AC].
Propriété : Une symétrie centrale transforme une droite en une droite qui lui est parallèle.
Conclusion : La droite symétrique de la droite (AB) est donc la droite passant par C et
parallèle à (AB), c'est la droite (d).
On en déduit que : B', le symétrique de B par rapport à I appartient à (d).
2. De la même façon, on démontrerait que A', le symétrique de A par rapport à
J appartient à (d).
3. On en déduit que A', B' et C sont alignés.
4. On démontre que : les angles alternes-internes
^
BAC
et
̂
B ' CA
sont égaux.
On sait que : B', A et C sont les symétriques respectifs de B, C et A par rapport à I.
Propriété : Une symétrie centrale transforme un angle en un angle qui lui est égal.
Conclusion : Les angles alternes-internes
̂
BAC
et
̂
B ' CA
sont égaux.
5. De même façon, on démontrerait que : les angles alterne-internes
̂
ABC
et
̂
A ' CB
sont égaux.
6. Conclusion
Les points B', C et A' étant alignés, on a :
̂
B ' CA
+
̂
ACB
+
̂
A' CB
= 180
On en déduit que :
̂
BAC
+
̂
ACB
+
̂
ABC
= 180

4. Enoncé du théorème
On vient de démontrer le théorème suivant :
Théorème:
Dans un triangle, la somme des mesures des angles en degré est égale à 180.
5. Autres propriétés
Lors de la démonstration, on a également démontré la propriété suivante :
Propriété :
Si deux angles sont en position d'angles alternes-internes par rapport à une droite sécante à
deux droites parallèles alors ils sont égaux.
On admet que la réciproque de cette propriété est vraie
Propriétés :
Si deux angles, en position d'angles alternes-internes par rapport à une droite sécante à
deux droites sont égaux alors ces deux dernières sont parallèles.