Quelques_methodes_variationnelles_dans_la_restauration_d__images.pdf

Table des Matières
Introduction 2
1 Généralités sur le traitement des images 6
1.1 Qu’est ce qu’une image numérique? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Matlab et les images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Exemple: visualisation d’une image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Dégradation d’images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Restauration d’images et régularisation de Tychonov 12
2.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Régularisation de Tychonov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1 La condition d’optimalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.2 Résolution numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1 L’utilisation de l’indice ISNR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Restauration d’images via l’équation de la chaleur 28
3.1 Lien entre l’équation de la chaleur et la restauration d’images . . . . . . . . . . . 29
3.2 Discrétisation du problème (3:1) ........................... 29
3.3 Résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1

4 Restauration d’images par variation totale 33
4.1 Fonctions à variation bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1.1 Dé…nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1.2 Exemples: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.1.3 Propriétés structurelles des fonctions BV . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.1.4 Etude de l’espace BV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.1.5 Décomposition da la variation totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.1.6 Approximation-Compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Le modèle de Rudin-Osher et Fatemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2.1 Théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2.2 Condition d’optimalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3 Discrétisation du problème (4.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3.1 Théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3.2 Algorithme de projection de Chambolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4 Résultas numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Conclusion 50
5 Annexes 51
5.1 Annexe A: Quelques notions d’optimisation convexe . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.1.1 Dé…nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.1.2 La Gâteaux di¤érentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.1.3 Le sous di¤érentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.1.4 La transformation de Legendre-Fenchel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2 Annexe B: Codes Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2

Notations
: désigne un ensemble ouvert borné de Rn
 = @: frontière de C1par morceaux
C0
c(;Rn): l’espace des fonctions continues à support compact dans à valeurs dans Rn
C1
c(;Rn): l’espace des fonctions continûment di¤érentiables à support compact dans à
valeurs dans Rn.
supp : le support d’une fonction.
L1() : l’espace des fonctions intégrables sur :
L2() : l’espace des fonctions de carré intégrables sur :
k:k2:la norme de L2():
H1() = f2L2();@f
@xi
2L2();8i=1; n
H1
0() = f2H1() ; fj= 0
kfkH1
0() =kfk2+krfk2
rf: le gradient de la fonction f:Rn!Rest @f
@x1
;   ;@f
@xnt
=rf
f: le laplacien de la fonction f:Rn!Rest n
P
i=1
@2f
@x2
i
= f
divu : la divergence d’un vecteur u2Rnest divu =
n
P
i=1
@ui
@xi
AB:le produit de Kronecker de A2Mm;n(R),B2Mp;q(R)est dé…ni par
AB=2
6
6
6
4
a11B   a1nB
.
.
.....
.
.
am1   amn
3
7
7
7
52Mmp;nq(R)
3

Introduction
Le traitement d’images numériques désigne l’ensemble des techniques permettant de modi…er
une image numérique dans le but de l’améliorer ou d’en extraire des informations, plusieurs
type d’actions peuvent être envisagées : détection des contours, …ltrage, segmentation, restau-
ration,. . .
Plusieurs applications sont tributaires de la qualité des images. Mais celle-ci n’est pas tou-
jours satisfaisante, pour diverses raisons (défauts dans le capteur, le bruit naturel, des problèmes
de transmission, etc.). Dans ce travail nous intéressons à quelques méthodes de la restauration
d’images qui consistent à enlever ou diminuer les défauts de ces images.
Dans le chapitre 1 nous allons donner quelques généralités sur le traitement d’images con-
cernant la dé…nition d’une image numérique, Matlab et les images et la dégradation d’image
par un opérateur de ‡ou et un bruit additif.
Dans le chapitre 2 nous présentons le problème de la restauration d’image, malheureusement
c’est un problème mal posé pour le résoudre nous introduisons la régularisation proposée par
Tychonov. C’est un problème de minimisation d’une fonctionnelle à deux termes, le premier
est le terme d’ajustement aux données et le deuxième est le terme de régularisation. Nous
formulons le problème et nous proposons une discrétisation par les schémas aux di¤érences
…nies ainsi qu’une implémentation numérique.
Dans le chapitre 3 nous allons donner une autre approche en utilisant une EDP de la chaleur.
Nous proposons une discrétisation du problème et implémentons le résultat.
Dans le chapitre 4 nous introduisons une amélioration de la régularisation de Tychonov
par le modèle de Rudin-Osher et Fatemi. Ils ont proposé la variation totale comme terme de
régularisation. Nous présentons d’abord l’espace adapté à ce type de problème c’est l’espace des
4

fonctions à variation bornée et la formulation mathématique du problème avec ses conditions
d’optimalités, ensuite nous résolvons numériquement le problème par l’algorithme de chambolle.
5