Corrigé Cours TRIANGLES ET QUADRILATERES PARTICULIERS

Cours de Mr JULES v3.6 Classe de Sixième Contrat 4 Page 1 sur 20
NOM et Prénom : …………………………………………. 6ème ……
TRIANGLES ET QUADRILATERES PARTICULIERS
« La preuve est une idole devant laquelle le
mathématicien se torture. »
Sir Arthur Eddington
1
I. Les Polygones. _____________________________________________________________________2
II. Les Triangles. ______________________________________________________________________2
III. Les Quadrilatères. ________________________________________________________________5
IV. Pour préparer le test et le contrôle. __________________________________________________18
Corrigé en rouge et italique.
 Matériel : Règle, équerre, compas porte crayon, crayons de couleur…
 Pré-requis pour prendre un bon départ :
A refaire
A revoir
Maîtrisé
Droites, segments, demi droites.
Cercles et disques.
Polygones : Définition, vocabulaire et constructions.
Trois théorèmes fondamentaux sur les droites.
1
Eddington, Sir Arthur Stanley (1882-1944). Astronome et physicien britannique.
Albert Einstein et Sir Arthur Eddington
à Cambridge dans les années 20.

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Le but de ce livret est d’étudier certaines configurations géométriques « fermées », en particulier les
configurations à 3 droites (les triangles) et les configurations à 4 droites (les quadrilatères).
I. LES POLYGONES.
Définition : Un polygone est une ligne brisée (c-à-d formée de segments) fermée.
Etymologiquement, le mot polygone vient du grec polus, plusieurs et gonia, angles.
A. Vocabulaire :
 Ce polygone s’appelle ABCDE. S’appelle-t-il aussi CEDBA ? Oui.
Trouvez lui un autre nom : EABCD ou CBAED etc. (10 noms différents).
 Combien a-t-il de sommets (coins) ? 5. Combien de côtés ? 5.
Un polygone a-t-il toujours autant de sommets que de côtés ? Oui !
Citez 2 côtés adjacents (c-à-d consécutifs, c-à-d 2 côtés qui se suivent) :
[ CD ] et [ DE ] ou [ AB ] et [ BC ]
Ce polygone à 5 côtés fait partie de la famille des pentagones.
 Une diagonale d’un polygone est un segment qui relie 2 sommets sans être un côté. Exemple : [EC].
Sur la figure, tracez en rouge 3 diagonales Combien ce polygone ABCDE. a-t-il de diagonales ? 5.
Combien de diagonales possède un hexagone (polygone à 6 côtés) ? = = 9 diagonales.
B. Reproductions de polygones par triangulation :
 Sans rien mesurer, reproduire exactement chaque polygone au compas et à la règle (côté non mesuré) :
Méthode de construction par triangulation.
Sur la figure de départ, on numérote les sommets pour tous les identifier (si besoin).
Reproduction du segment [ ] :
On place le point . Puis on trace une demi-droite partant de .
On reporte sur cette demi-droite la longueur qu’on a capturée (prise) au compas sur la figure d’origine.
Construction des autres points :
A partir des 2 premiers points et déjà placés, on construit le point en reportant les longueurs et prises au
compas sur la figure d’origine. Puis on trace le nouveau côté [ ].
De la même manière, on construit au compas le point à partir des 2 premiers points et puis on trace le côté [ ].
On recommence avec les autres points manquants.
Chaque point à partir du est déterminé par 2 arcs de cercle tracés à partir des points et . C’est comme si à chaque fois
on construisait le 3ème sommet d’un triangle à partir des 2 autres. Voilà pourquoi on parle de triangulation.
2 côtés
2 sommets

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A
B
8 cm
A
B
C
3 cm
6 cm
A
C
B
C
 Ce quadrilatère AOUT a été tracé à main levée en réduction.
Les longueurs (en cm) sont : AO = 4 ; OU = 5 ; TU = 9 ; TA = 6 ; OT = 8.
1. D’abord reporter toutes ces mesures sur le croquis.
2. Reconstruire au compas et à la règle graduée AOUT en vraie grandeur.
II. LES TRIANGLES.
A. Construction d’un triangle connaissant ses 3 longueurs :
Méthode générale pour tracer une figure à partir d’un énoncé :
 Sans suivre le plan de construction, on fait d’abord un petit croquis à main levée de la figure pour
avoir une idée de la forme.
On reporte sur ce petit croquis les informations données par l’énoncé (longueurs, angles, codages etc)
 Puis, on suit le plan de construction, étape par étape, à la règle et au compas, pour construire
proprement la figure.
Attention aux notations dans le plan de construction : côtés [entre crochets] et longueurs sans rien !
Pour tracer un triangle quelconque au compas et à la règle graduée, il suffit de connaître ses trois
longueurs, (2 voire 1 longueur seulement quand le triangle est spécial).
Exemple : On veut tracer le triangle ABC sachant que AB = 8 cm, AC = 3 cm, BC = 6 cm.
Plan de construction en 3 étapes
 Tracer le segment (le plus grand en général)
[AB] de longueur 8 cm.
 Construire au compas le point C tel que :
AC = 3 cm et CB = 6 cm.
 Tracer les côtés [AC] et [CB].
Figure (croquis d’abord !)
Définition : Un triangle est un polygone à 3 côtés.
TUU T
OO
T
A

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B. Trois sortes de triangles particuliers :
Comment rendre plus particulier un triangle quelconque comme celui que vous venez de construire ?
Tout simplement en agissant sur les longueurs des côtés ou/et sur la position relative de deux côtés.
1. Triangle isocèle :
L’adjectif isocèle est formé à partir de 2 mots grecs : isos  égal et skelos  jambes.
3 définitions :  Un triangle isocèle est un triangle qui a au moins 2 côtés de même longueur.
 Le sommet où le triangle est isocèle s’appelle le sommet principal.
 Le côté opposé au sommet principal s’appelle la base.
 Figure :  D’après le codage CA = CB.
Donc le triangle ABC est isocèle en C.
Il faut toujours préciser en quel sommet un triangle est isocèle !
 Son sommet principal est C.  Sa base est le segment [BA].
 Construction :
Pour tracer un triangle isocèle, il suffit de connaître 2 longueurs : celle de la base et celle d’un côté.
Exemple : Tracer le triangle isocèle MOU de sommet principal M, avec MO = 3 cm et OU = 5 cm.
Plan de construction en 3 étapes
 Tracer la base [OU] de longueur 5 cm.
 Construire le sommet principal M tel que :
MO = 3 cm et MU = 3 cm
 Tracer les côtés [MO] et [MU].
Figure (croquis d’abord !)
Codage !
Traduction mathématique de la définition des triangles isocèles : (faites d’abord un petit croquis codé à droite)
 Utiliser l’égalité de 2 longueurs d’un triangle isocèle : croquis
(1 condition ou hypothèse)
(1 résultat ou conclusion)
Quand
ABC est un triangle isocèle en A
alors
AB = AC
Autrement dit : Lorsqu’un triangle est isocèle, il a deux côtés de même longueur.
 Prouver qu’un triangle est isocèle en un point (réciproque) :
(2 conditions ou hypothèses)
(1 résultat ou conclusion)
Quand
 ABC est un triangle
 AB = AC
alors
Le triangle ABC
est isocèle en A.
Autrement dit : Lorsqu’un triangle a deux côtés de même longueur, alors il est isocèle.
O
U
5 cm
O
U
M
3 cm
3 cm
O
M
U
M
B
A
C
B
C 
A

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 Exercice : Ci-contre, tracer le cercle C( O ; 3 ) . Figure
Sur ce cercle C, placer A et B deux points distincts (séparés) non diamétralement opposés.
Quelle est la nature du triangle BOA ? Justifier évidemment !
Il ne faut pas oublier le codage, cela aide énormément !
Puisque A et B sont sur C
( O ; 3 ) alors OA = OB (= 3 cm)
Puisque
BOA est un triangle
OA = OB alors BOA est un triangle
isocèle en O.
2. Triangle équilatéral :
L’adjectif équilatéral est formé de deux mots latins : aequus  égal et lateris  côté.
Définition : Un triangle équilatéral est un triangle qui a 3 côtés de même longueur.
Remarque : Un triangle équilatéral fait donc partie de la famille des triangles isocèles.
 Construction :
Pour tracer un triangle équilatéral, il suffit de connaître 1 longueur : celle de n’importe quel côté !
Exemple : On veut tracer un triangle équilatéral NUL tel que NU = 3 cm.
Plan de construction en 3 étapes
 Tracer le côté [NU] de longueur 3 cm.
 Construire le sommet L tel que :
LN = 3 cm
et LU = 3 cm
 Tracer les côtés [LN] et [LU].
Figure (croquis d’abord !)
Codage !
Traduction mathématique de la définition des triangles équilatéraux : (faites d’abord un petit croquis codé)
 Utiliser l’égalité des 3 longueurs d’un triangle équilatéral : Croquis
(1 condition ou hypothèse)
(1 résultat ou conclusion)
Quand
ABC est un triangle équilatéral
alors
AB = BC = AC
Autrement dit : Lorsqu’un triangle est équilatéral, alors ses 3 côtés ont la même longueur.
 Prouver qu’un triangle est équilatéral (réciproque) :
Autrement dit : Lorsqu’un triangle a ses 3 côtés de même longueur, alors il est équilatéral.
(2 conditions ou hypothèses)
(1 résultat ou conclusion)
Quand
 ABC est un triangle
 AB = AC = BC
alors
Le triangle ABC est
équilatéral.
OO
A
B
N
U
3 cm
N
U
L
3 cm
3 cm
N
L
U
L
B
A
C