Chapitre 18 BISSECTRICE ET CERCLE INSCRIT L’ensemble des points situés à égale distance des côtés d’un angle est la bissectrice de cet angle. Démonstration : Sens direct Montrons d’abord que si un point est équidistant des côtés d’un angle alors il appartient à la bissectrice de cet angle. Soit BCA un angle. Soit M un point situé à égale distance des côtés de l’angle. Soient F et H les points appartenant respectivement à [CA) et [CB) tels que : (MF) (CA) (MH) (CB) Donc MF = MH. A F M B Comme MFC et MHC sont des triangles rectangles en F et H alors : donc donc H MF MH = MC MC cos CMF = cos CMH CMF = CMH On en déduit que FCM et HCM ont la même mesure. Donc M appartient à la bissectrice de ABC. Réciproque Soient l’angle BCA, M un point de la bissectrice de BCA et les points F et H définis ci-dessus. Donc FCM et HCM ont la même mesure. Donc CMF et CMH aussi. Donc : cos CMF = cos CMH. Donc : MF MH = MC MC Propriété : d’où MF = MH. ■ Les trois bissectrices des angles d’un triangle sont concourantes en un point I, appelé le centre du cercle inscrit de ce triangle. Démonstration : Soit un triangle ABC. Soit M un point appartenant à la bissectrice de BAC et à celle de ABC. C Soient D, F et H les points respectifs de [AB], [AC] et [BC] tels que : (MD) (AB) (MF) (CA) (MH) (BC) A F D M B H M est un point équidistant des côtés de BAC et des côtés de ABC. Donc : MD = MF MD = MH Donc : MF = MH. D’où M est également un point de la bissectrice de BCA. Les trois bissectrices sont donc bien concourantes. Appelons (C) le cercle de centre M et de rayon MD. Comme : (MD) (AB) (MF) (CA) et (MH) (BC) donc (AB), (AC) et (BC) sont tangentes à (C) respectivement en D, F et H. Donc le cercle (C) est inscrit dans le triangle ABC. ■ C