CHAPITRE 12 : BISSECTRICE Objectifs Connaître et utiliser la

CHAPITRE 12 : BISSECTRICE
Objectifs
Connaître et utiliser la définition de la bissectrice.
Utiliser différentes méthodes pour tracer la bissectrice d’un angle.
Caractériser les points de la bissectrice d’un angle donnée par la propriété
d’équidistance aux deux côtés de l’angle.
Construire le cercle inscrit dans un triangle.
TD n°1p77
TD n°2p71
TD n°4 et 5p77
TD n°1p78
I. Bissectrice
1. Définition
Définition : La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles adjacents
de même mesure.
Bissectrice de l’angle
2. Propriétés
Propriété (admise) : Si un point appartient à la bissectrice d’un angle, alors il est équidistant des deux
côtés de cet angle.
Exemple :
Donnée : F appartient à la bissectrice de l’angle
.
Conclusion : F est équidistant des deux côtés de l’angle. (GF = FH)
Propriété (admise) : Si un point est équidistant des côtés d’un angle, alors il appartient à la bissectrice
de cet angle.
Exemple :
Donnée : F est équidistant des deux côtés de l’angle.
(GF = FH)
Conclusion : F appartient à la bissectrice de l’angle
.
II. Cercle inscrit
Définition : Le cercle inscrit dans un triangle est le cercle tangent aux trois côtés de ce triangle.
Propriété : Les bissectrices des angles d’un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du
cercle inscrit dans ce triangle.
Exemple :
Démonstration :
Soit ABC un triangle, tel que les bissectrices des angles
et
s’intersectent au point I.
On sait que I appartient à la bissectrice
.
Or, si un point appartient à la bissectrice d’un angle, alors il est équidistant des deux côtés de cet
angle.
Donc I est équidistant des côtés [BA] et [BC].
On sait que I appartient à la bissectrice
.
Or, si un point appartient à la bissectrice d’un angle, alors il est équidistant des deux côtés de cet
angle.
Donc I est équidistant des côtés [CB] et [CA].
Comme I est équidistant des côtés [BA] et [BC] et des côtés [CB] et [CA], alors il est équidistant des
côtés [BA] et [CA].
On sait que I est équidistant des côtés [AB] et [AC].
Or, si un point est équidistant des côtés d’un angle, alors il appartient à la bissectrice de cet angle.
Donc I appartient à la bissectrice de l’angle
.
Donc I est le point d’intersection des trois bissectrices du triangle ABC.