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Chapitre 18
BISSECTRICE ET CERCLE INSCRIT
L’ensemble des points situés à égale distance des
côtés d’un angle est la bissectrice de cet angle.
Démonstration :
Sens direct
Montrons d’abord que si un point est équidistant des côtés
d’un angle alors il appartient à la bissectrice de cet angle.
Soit
;BCA un angle.
Soit M un point situé à égale distance des côtés de l’angle.
Soient F et H les points appartenant respectivement à [CA)
B
et [CB) tels que :
(MF)  (CA)
(MH)  (CB)
Donc MF = MH.
Comme MFC et MHC sont des triangles rectangles en F et H alors :
donc
donc
On en déduit que
;FCM et
;HCM ont la même mesure.
Donc M appartient à la bissectrice de
;ABC.
A
F
M
H
C
Error! = Error!
cos
;CMF = cos
;CMH
;CMF =
;CMH
Réciproque
Soient l’angle
;BCA, M un point de la bissectrice de
;BCA et les points F et H définis ci-dessus.
Donc
;FCM et
;HCM ont la même mesure.
Donc
;CMF et
;CMH aussi.
Donc : cos
;CMF = cos
;CMH.
Donc : Error! = Error!
d’où MF = MH. ■
Propriété :
Les trois bissectrices des angles d’un triangle sont concourantes en un
point I, appelé le centre du cercle inscrit de ce triangle.
Démonstration :
Soit un triangle ABC.
Soit M un point appartenant à la
bissectrice de
;BAC et à celle de
;ABC.
Soient D, F et H les points respectifs de
[AB], [AC] et [BC] tels que :
A
F
D
(MD)  (AB)
(MF)  (CA)
(MH)  (BC)
M est un point équidistant des côtés de
;BAC et des côtés de
Donc : MD = MF
MD = MH
Donc : MF = MH.
D’où M est également un point de la bissectrice de
;BCA.
Les trois bissectrices sont donc bien concourantes.
;ABC.
Appelons (C) le cercle de centre M et de rayon MD.
Comme :
(MD)  (AB)
(MF)  (CA)
et
(MH)  (BC)
donc (AB), (AC) et (BC) sont tangentes à (C) respectivement en D, F et H.
Donc le cercle (C) est inscrit dans le triangle ABC.
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