Geogebra: ES20 La droite d`Euler - HEP

Haute Ecole Pédagogique – BEJUNE
PF1 – Didactique des mathématiques S4
CH-ACo février 2016
Geogebra : La droite d'Euler
Tout réviser sur les éléments particuliers du triangle
Quelques indications générales
 Pour l'utilisation de tous les outils, une aide souvent très utile s'affiche à droite du menu des outils
Geogebra.
 Geogebra nomme tous les objets. Si on attache de l'importance au nom des objets, il est utile de
les renommer tout de suite.
 On ne peut utiliser un objet (un point par exemple) que s'il est créé (une intersection sans point
affiché ne peut être utilisée).
 On peut facilement déplacer le nom des objets avec la souris, mais certaines contraintes de
proximité existent.
 Pour placer un point sur une intersection, il suffit de le poser avec la souris en regardant bien ce qui
s'écrit à proximité sur l'écran. De cette manière, on ne crée qu'un point. Si on demande
l'intersection (de deux cercles par exemple), deux points seront créés.
 Menu des outils Geogebra :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Consignes
a. Construire un triangle ABC, en utilisant l'outil Polygone (menu 5).
b. Construire les bissectrices des trois angles avec l'outil Bissectrice (menu 4).
c. Placer un point avec l'outil Nouveau point (menu 2) exactement sur l'intersection des bissectrices,
en lisant l'étiquette qui s'affiche (il est sur les trois bissectrices).
d. Déformer le triangle en déplaçant un de ses sommets avec l'outil Déplacer (menu 1), pour
constater que les bissectrices se croisent toujours en un même point, situé à l'intérieur du triangle.
e. Cliquer sur ce point pour faire apparaître le menu contextuel, aller dans Propriétés et le renommer
CI (centre du cercle inscrit), puis fermer cette boîte des propriétés.
f. Cacher alors les trois bissectrices (dans la fenêtre algèbre, cliquer sur le point devant l’objet).
g. Construire les médiatrices des trois côtés l'outil Médiatrice (menu 4).
h. Déformer le triangle en déplaçant un de ses sommets avec l'outil Déplacer (menu 1), pour
constater que les médiatrices se croisent toujours en un même point, qui peut être à l'intérieur ou à
l'extérieur du triangle.
i. Placer un point exactement sur l'intersection des médiatrices, en lisant l'étiquette qui s'affiche (il
est sur les trois médiatrices), puis le renommer CC (centre du cercle circonscrit) comme cela a
déjà été fait (5e et 6e puces).
j. Placer trois points aux intersections des médiatrices et des côtés et les renommer Ma, Mb et Mc,
comme cela a déjà été fait. Ils serviront pour la construction des médianes. En mettant un espace
souligné entre M et a, le a apparaîtra en indice : Ma.
k. Cacher alors les trois médiatrices, comme cela a déjà été fait.
l. Construire les hauteurs issues des trois sommets avec l'outil Perpendiculaire (menu 4).
m. Déformer le triangle en déplaçant un de ses sommets, pour constater que les hauteurs se croisent
toujours en un même point, qui peut être à l'intérieur ou à l'extérieur du triangle.
n. Placer un point exactement sur l'intersection des hauteurs, en lisant l'étiquette qui s'affiche (il est
sur les trois perpendiculaires), puis le renommer OC (orthocentre).

Haute Ecole Pédagogique – BEJUNE
PF1 – Didactique des mathématiques S4
CH-ACo février 2016
o. Cacher alors les trois hauteurs.
p. Construire les trois médianes issues du triangle avec l'outil Segment entre deux points (menu 3),
en reliant chaque sommet au milieu du côté opposé.
q. Déformer le triangle en déplaçant un de ses sommets, pour constater que les médianes se
croisent toujours en un même point, situé à l'intérieur du triangle.
r. Placer un point exactement sur l'intersection des médianes, en lisant l'étiquette qui s'affiche (il est
sur les segments tracés), puis le renommer CG (centre de gravité).
s. Cacher alors les trois médianes.
t. On remarque, surtout lors de cette dernière fois où l'on cache des objets, que tous les objets
construits sont encore existants et qu'il n'est pas toujours facile de repérer celui qu'on veut cacher.
u. Déformer le triangle en déplaçant un de ses sommets, pour repérer lequel des trois centres n'est
pas toujours aligné sur les autres.
v. Construire une droite passant par deux des trois points qui paraissent alignés avec l'outil Droite
passant par deux points (menu 3).
w. Nommer cette droite « DroiteEuler »
x. On peut vérifier que le troisième point appartient bien à la droite de Euler (menu 10, relation puis
en cliquant sur le point et la droite).
y. En déformant le triangle, faire les constatations suivantes :
i. cette droite passe toujours par le 3e point qui paraissait aligné, mais pas forcément par le 4e,
ii. lorsque les quatre points sont alignés (que la droite passe aussi par le 4e), alors le triangle est
isocèle,
iii. lorsque les quatre points sont confondus, alors le triangle est équilatéral.
Pour fignoler un peu
Comme outil de démonstration ou de correction, on peut fignoler un peu le fichier :
 Placer une case avec l'outil Boîte de sélection des outils à Afficher/Cacher (menu 11);
o dans la case Légende, la nommer Bissectrices ;
o dans la ligne Sélectionner les objets dans la construction ou dans la liste, sélectionner les trois
bissectrices utiles (celles qui déterminent le centre du cercle inscrit, puisqu'il y en a trois autres
extérieures au triangle);
o pour finir, cliquer sur Appliquer.
 En sélectionnant cette case et en allant dans Propriétés, lui attribuer une couleur et appliquer la
même aux trois bissectrices concernées.
 Faire de même pour les médiatrices, les hauteurs, les médianes.
 Attribuer éventuellement une autre couleur et un trait plus épais à la droite d'Euler.
 Il est maintenant possible de faire apparaître à n'importe quel moment les éléments qui ont
déterminé les trois points de la droite d'Euler ainsi que le quatrième qui ne s'y trouve pas
forcément.
 Pour montrer les cas particuliers des triangles
isocèle et équilatéral, il est aussi possible de
placer les trois angles avec l'outil Angles (menu
8), en désignant les côtés dans le sens
antihoraire.
 Ici aussi, il est possible de montrer ou non ces
angles avec l'outil Boîte de sélection des outils
à Afficher/Cacher (menu 11).