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Première S3
Problème Ouvert
1 Premier problème
un+2 =un+1 +un
Que dire des variations et des limites de la suite ?
1.1 Conjectures
J’ai écrit un algorithme en Python pour obtenir les 25 premiers termes de la suite u.
En lançant l’algorithme dans le shell, on obtient donc ces valeurs pour les 25 premiers termes de u.
On voit que la suite croit rapidement, on peut donc conjecturer que la suite uest croissante.
La limite de usemble être :
lim
n!+1
un=+1
Toujours avec python, on p eut obtenir un graphique pour sa suite u.
Coué Arnaud 1/5

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Ce graphique appuie les conjectures faites ci-dessus.
1.2 Variations
un+2 =un+1 +undonc un=un+2 un+1
La somme de deux entiers est un entier donc :
8n2N:un+2 un+1 >0
donc si n>1:
un+1 un>0
un+1 >un
donc la suite u est croissante sur N(pas strictement).
1.3 Limite
En modifiant mon algorithme, j’ai pu obtenir le rang n à partir du quel un>1.000.000.000
Je trouve donc n= 45,cequiveutdirequeàpartirdurang45,touslesrangssuivantssontsupérieurs
à1.000.000.000.Jepeuxdoncconjecturerque:
lim
n!+1
un=+1
Coué Arnaud 2/5

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2 Second problème
vn=un+1
un
2.1 Expression de vn+1 en fonction de vn
vn=un+1
un
donc :
vn+1 =un+2
un+1
=un+1 +un
un+1
=1+ un
un+1
=1+ 1
vn
2.2 Variations
En modifiant l’algorithme page 1, on peut calculer les rangs de v.
En lançant l’algorithme dans le shell, on obtient donc ces valeurs pour les 25 premiers termes de v.
Avec le s va leu rs ob tenue s, su r pyth on, o n p e ut co nstruire le gr aph iqu e de la s uit e v.
On voit clairement que la suite vn’est ni croissant ni décroissante.
Coué Arnaud 3/5

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2.3 Limite
2.3.1 Conjecture
Grâce à la calculatrice, on peut obtenir une valeur approchée de la limite de la suite.
Je conjecture donc que la limite de la suite est environ : 1,61803
2.3.2 Démonstration
Si vnaunelimiteL,commelasuiteueststrictementpositive,lalimiteLdevnne pourra être négative.
Ldoitforcementvérifierl’équationL=1+ 1
L
On peut, grâce au logiciel GeoGebra, obtenir le graphique "toile" associé à cette expression, pour avoir
un ordre d’idée de la limite de cette suite.
Résolvons donc l’équation L=1+ 1
Lpour mettre en évidence la limite de la suite v.
L11
L=0
L2L1=0on multiplie par L positif
On obtient donc un polynôme du second degré. Cherchons les racines de ce polynôme.
=b24.a.c =1
24⇥12⇥(1) = 5
x1=bp
2a=1p5 2
x2=b+p
2a=1+p5 2
Coué Arnaud 4/5

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Grâce à Xcas, un logiciel de calcul formel, on peut obtenir une valeur approchée des racines du
polynôme.
x1est négatif donc ce n’est pas la limite de la suite. x2est positif donc c’est la limite de v
3 Conclusion
La suite u est la très célèbre suite de Fibonacci, du nom de Léonardo Fibonacci, un mathématicien
italien du XIIIe siècle. La limite de la suite du quotient de deux termes consécutif de la suite de
Fibonacci nous donne le nombre d’or ( F)quiestaussiuneproportionconnuecommeétantune
proportion « parfaite ». La suite de Fibonacci est aussi formée par la somme des diagonales ascendantes
du triangle de Pascal.
Coué Arnaud 5/5