Nombres premiers, PGCD, PPCM

ENSEIGNEMENT DE PROMOTION SOCIALE
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Cours de
MATHEMATIQUES
- Nombres premiers, PGCD, PPCM -
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H. Schyns
Novembre 2002

Nombres premiers, PGCD, PPCMSommaire
H. SchynsS.1
Sommaire
1.NOMBRES PREMIERS
1.1.Définition
1.2.Exemples
1.3.Recherche des nombres premiers
1.4.Quelques curieuses propriétés de nombre premiers
1.5.Critères de divisibilité
1.6.Décomposition en facteurs premiers
1.6.1.Proposition
1.6.2.Méthode
2.PGCD - PLUS GRAND COMMUN DÉNOMINATEUR
2.1.Définitions
2.2.Méthode des facteurs premiers
2.3.Méthode d'Euclide
3.PPCM - PLUS PETIT COMMUN MULTIPLE
3.1.Définition
3.2.Méthode des facteurs premiers
INTERMÈDE HISTORIQUE : ERATOSTHÈNE (276 A.C. – 196 A.C.)
EXERCICES DU CHAPITRE
♦Exercice 1
♦Exercice 2
♦Exercice 3

Nombres premiers, PGCD, PPCM1 - Nombres premiers
H. Schyns1.1
1. Nombres premiers
1.1. Définition
Un nombre premier est un nombre entier qui n'est divisible de manière entière
que par 1 et par lui-même.
ou, ce qui revient au même
Un nombre premier est un nombre entier qui n'est le multiple d'aucun autre nombre
entier, à l'exception de 1 et de lui-même.
1.2. Exemples
5est un nombre premier car il n'est multiple d'aucun nombre entier (à l'exception
de 1 car 5 = 5 • 1).
6n'est pas un nombre premier car 6 est multiple de 2 et de 3.
7 est un nombre premier car il n'est multiple d'aucun nombre entier (à l'exception
de 1 car 7 = 7 • 1).
8n'est pas un nombre premier car 8 est multiple de 2 et de 4.
Notons que 1 n'est pas considéré comme un nombre premier.
1.3. Recherche des nombres premiers
Eratosthène de Cyrène, mathématicien grec qui vécut de 276 à 196 avant J.C. a mis
au point une méthode pour trouver tous les nombres premiers inférieurs à un
nombre quelconque. Sa méthode est connue sous le nom crible d'Eratosthène.
Utilisons cette méthode pour
rechercher tous les nombre
premiers compris entre 1 et
100.
Commençons par écrire la liste
des nombres de 1 à 100 dans
un tableau et supprimons 1 qui
n'est pas un nombre premier
par définition.
Le premier nombre disponible
dans le tableau est 2. On en
conclut que 2 est un nombre
premier. Dès lors, nous
pouvons éliminer tous les
multiples de 2 puisque, par
définition, un nombre premier
n'est multiple d'aucun nombre.
.
12345678910
11121314151617181920
21222324252627282930
31323334353637383940
41424344454647484950
51525354555657585960
61626364656667686970
71727374757677787980
81828384858687888990
919293949596979899100
12345678910
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Nombres premiers, PGCD, PPCM1 - Nombres premiers
H. Schyns1.2
Après 2, le premier nombre
disponible est 3. On en
conclut que 3 est un nombre
premier. Eliminons tous les
multiples de 3.
Après 3, le premier nombre
disponible est 5. On en déduit
que 5 est un nombre premier
et on élimine tous ses
multiples.
On trouve ensuite 7 et 11 et on
peut s'arrêter car
11 • 11 = 121 > 100
ce qui est plus grand que le
dernier chiffre du tableau.
Tous les nombres survivants
sont des nombres premiers :
235711
1317192329
3147414347
5359616771
7379838997
12345678910
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
12345678910
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21
22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Il est utile de mémoriser les premiers termes de cette série.
1.4. Quelques curieuses propriétés de nombre premiers
On démontre facilement que la suite des nombres premiers est infinie. Autrement
dit, quel que soit un nombre donné, aussi grand que l'on veut, il est toujours possible
de trouver un nombre premier qui lui soit supérieur.
Avec la série de nombres premiers que nous avons ci-dessus, nous sommes
capables d'extraire tous les nombres premiers jusqu'à 10 000 (10 000 = 100 • 100).
Ceci fait, nous serons en mesure d'extraire tous les nombres premiers jusqu'à
100 000 000 (100 000 000 = 10 000 • 10 000) et ainsi de suite.
Un nombre premier (à l'exception de 2 et 3) est toujours voisin d'un multiple de 6. Il
suffit soit de lui ajouter 1, soit de lui retirer 1. Vous pouvez le vérifier facilement sur
le tableau ci-dessus où on a représenté les multiples de 6 par des cases grises. Par
exemple :
83 + 1 = 84 = 14 • 6
79 - 1 = 78 = 13 • 6
Tout nombre entier non premier est le produit de deux ou plusieurs nombres qui sont
tous premiers. Par exemple :
3850 = 2 • 5 • 5 • 7 • 11
Le mathématicien Mersennes pensait que tous les nombres de la forme
M = 2N - 1

Nombres premiers, PGCD, PPCM1 - Nombres premiers
H. Schyns1.3
dans lesquels N est premier sont aussi des nombres premiers. En effet, par
exemple, prenons N=5 dans la liste des nombres premiers ci-dessus.
25 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 32 d'où 32 - 1 = 31
et 31 est bien un nombre premier. Prenons ce nombre comme nouveau N
231 = 2 • 2 •...• 2 • 2 = 2 147 483 648 d'où 2 147 483 647 est premier.
Mais la règle ne fonctionne pas dans tous les cas (p.ex. N=11 et 23). En réalité, les
nombres de Mersennes sont relativement rares et dès lors, ils passionnent les
mathématiciens.
Les grands nombres premiers (plus de 100 chiffres) sont d'une importance capitale
en cryptographie (système RSA). Ils servent à coder des documents confidentiels, à
protéger l'échange de données sur Internet, à tester la fiabilité des ordinateurs...
1.5. Critères de divisibilité
Il existe une série de petits "trucs" facile à mémoriser qui permettent de savoir
rapidement si un nombre est divisible par un autre.
Un nombre est divisible par
2si son dernier chiffre est divisible par 2.
65 328 est divisible par 2.
87 641 n'est pas divisible par 2.
3si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 3
65 328 est divisible par 3 car 6+5+3+2+8 = 24; 2+4=6 et 6 est multiple de 3
87 641 n'est pas divisible par 3 car 8+7+6+7+1 = 29; 2+9 = 11 non multiple
4si les deux derniers chiffres sont divisibles par 4
65 328 est divisible par 4 car 28 est divisible par 4.
87 641 n'est pas divisible par 4.
5si le dernier chiffre est 5 ou 0
65 325 est divisible par 5.
87 641 n'est pas divisible par 5.
6s'il est divisible par 2 et par 3
65 328 est divisible par 6 (voir plus haut).
87 641 n'est pas divisible par 6.
7hélas, pas de truc simple
8si les trois derniers chiffres sont divisibles par 8
65 328 est divisible par 8 car 328 = 41•8.
87 644 n'est pas divisible par 8.
9si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 9
65 628 est divisible par 9 car 6+5+6+2+8 = 27; 2+7=9 et 9 est multiple de 9.
87 641 n'est pas divisible par 9 car 8+7+6+7+1 = 29; 2+9 = 11 non multiple.
10si le dernier chiffre est 0
11si la différence entre la somme des chiffres de rang impair et la somme
des chiffres de rang pair est divisible par 11
89 936 est divisible par 11 car (8+9+6)-(9+3) = 11 est multiple de 11.
87 641 n'est pas divisible par 11 car (8+1+6)-(7+4) = 4 n'est pas multiple.