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Chapitre 11
PARALLÉLOGRAMME
1°/
Définition
A
B
Définition : Un parallélogramme est un quadrilatère
qui a ses côtés opposés parallèles.
D
2°/
C
Propriétés du parallélogramme
Pour toutes les démonstrations on utilisera un parallélogramme ABCD ayant O comme
centre de symétrie.
Propriété : Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se
coupent en leur milieu et leur point d’intersection est le centre de
symétrie.
Démonstration :
 Si O est le centre de symétrie alors A et C sont
symétriques par rapport à O.
 Donc O est le milieu de [AC]. De même O est le milieu
de [BD].
 O est donc le point d’intersection des diagonales et c’est D
également leur milieu. ■
A
B
O
C
Propriété : Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés
sont de même longueur.
Démonstration :
 Dans la symétrie par rapport à O, le symétrique de A est
C et le symétrique de B est D.
 Donc [AB] et [CD] sont symétriques par rapport à O.
 On sait que la symétrie centrale conserve les
longueurs. Donc AB = CD.
 De même : AC = BD car [AC] et [BD] sont symétriques D
par rapport à O.
■
A
B
O
C
Propriété : Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles
opposés ont la même mesure.
Démonstration :
 On sait que la symétrie centrale conserve les mesures
d’angles.

;ABC et
;CDA sont symétriques par rapport à O.
Donc
;ABC =
;CDA.
 De même
;BCD et
;DAB sont
D
symétriques par rapport à O. Donc
;BCD =
;DAB.■
A
B
O
C
Propriété : Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles
consécutifs sont supplémentaires.
Démonstration :
 â et d̂ sont supplémentaires donc aˆ  dˆ  180°
A
 ABCD est un parallélogramme donc d1 est parallèle à d2.
 d3 coupe d1 et d2 donc b̂ et d̂ sont correspondants
et égaux. D’où :
d3 d̂ â
aˆ  bˆ  aˆ  dˆ  180°
D
 Donc â et b̂ sont supplémentaires. ■
d1
3°/
B
b̂
C
d2
Reconnaître un parallélogramme
Propriété :
Si les diagonales d’un quadrilatère ont le même milieu, alors c’est un
parallélogramme.
Démonstration :
 Soit O le milieu de [AC] et [BD]. Donc dans la symétrie
A
B
de centre O :
O
A est le symétrique de C et B le symétrique de
D. Donc (AB) et (CD) sont symétriques par
rapport à O.
D
C
 Une droite et sa symétrique par rapport à un point sont
parallèles.
Donc (AB) et (CD) sont parallèles.
 De même (AD) et (BC) sont parallèles.
 Le quadrilatère ABCD ayant ses côtés opposés parallèles est un parallélogramme. ■