PARALLÉLOGRAMME Chapitre 11

D
A B
C
D
A B
C
O
D
A B
C
O
Chapitre 11 PARALLÉLOGRAMME
1°/ Définition
Définition : Un parallélogramme est un quadrilatère
qui a ses côtés opposés parallèles.
2°/ Propriétés du parallélogramme
Pour toutes les démonstrations on utilisera un parallélogramme ABCD ayant O comme
centre de symétrie.
Propriété : Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se
coupent en leur milieu et leur point d’intersection est le centre de
symétrie.
Démonstration :
 Si O est le centre de symétrie alors A et C sont
symétriques par rapport à O.
 Donc O est le milieu de [AC]. De même O est le milieu
de [BD].
 O est donc le point d’intersection des diagonales et c’est
également leur milieu. ■
Propriété : Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés
sont de même longueur.
Démonstration :
 Dans la symétrie par rapport à O, le symétrique de A est
C et le symétrique de B est D.
 Donc [AB] et [CD] sont symétriques par rapport à O.
 On sait que la symétrie centrale conserve les
longueurs. Donc AB = CD.
 De même : AC = BD car [AC] et [BD] sont symétriques
par rapport à O. ■

D
A B
C
O
D
A B
C
D
A B
C
O
Propriété : Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles
opposés ont la même mesure.
Démonstration :
 On sait que la symétrie centrale conserve les mesures
d’angles.
 ABC et CDA sont symétriques par rapport à O.
Donc ABC = CDA.
 De même BCD et DAB sont symétriques par
rapport à O. Donc BCD = DAB.■
Propriété : Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles
consécutifs sont supplémentaires.
Démonstration :
a
ˆ
et
d
ˆ
sont supplémentaires donc
 da ˆ
ˆ
180°
 ABCD est un parallélogramme donc d1 est parallèle à d2.
 d3 coupe d1 et d2 donc
b
ˆ
et
d
ˆ
sont correspondants
et égaux. D’où :
 ba ˆ
ˆ
 da ˆ
ˆ
180° d3
d
ˆ
a
ˆ
b
ˆ
 Donc
a
ˆ
et
b
ˆ
sont supplémentaires. ■
d1 d2
3°/ Reconnaître un parallélogramme
Propriété : Si les diagonales d’un quadrilatère ont le même milieu, alors c’est un
parallélogramme.
Démonstration :
 Soit O le milieu de [AC] et [BD]. Donc dans la symétrie
de centre O :
A est le symétrique de C et B le symétrique de
D. Donc (AB) et (CD) sont symétriques par
rapport à O.
 Une droite et sa symétrique par rapport à un point sont
parallèles.
Donc (AB) et (CD) sont parallèles.
 De même (AD) et (BC) sont parallèles.
 Le quadrilatère ABCD ayant ses côtés opposés parallèles est un parallélogramme. ■