Fonction exponentielle Encadrement du nombre Exercices corrigés
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1
Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)
Exercice 1 : encadrement de par deux fonctions
Exercice 2 : encadrement de obtenu par une fonction et des changements de variables
Exercice 3 : encadrement de par la somme de factorielles et écriture d’un algorithme
Exercice 4 : valeur du nombre en faisant appel à l’intégration (intégration par parties)
Fonction exponentielle Encadrement du nombre
Exercices corrigés
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2
Pour tout , on pose 
et .
1) Montrer que, pour tout , et .
2) En déduire un encadrement de .
1) Montrons que, pour tout , et .
a) Montrons tout d’abord que .
Rappel : Fonction exponentielle et inverse d’un réel
Pour tout , 
avec .
La fonction est définie par 

, produit de deux fonctions continues et dérivables sur ,
d’une part la fonction  (fonction inverse de l’exponentielle) et la fonction
(fonction polynôme de degré 2) d’autre part.
Par conséquent, il vient que la fonction est dérivable sur donc sur .
Rappel : Fonction exponentielle et dérivée
Soit une fonction dérivable sur un intervalle . La fonction finie par est dérivable sur et, pour tout
, 
Remarque importante : Il en découle les résultats suivants : pour tout , et .
Ainsi, pour tout ,


 




Pour tout ,  et 
donc .
Ainsi, pour tout , . La fonction est donc décroissante sur .
Exercice 1 (2 questions) Niveau : facile
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Fonction exponentielle Encadrement du nombre Exercices corrigés
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3
Par ailleurs, la fonction étant continue en , 
existe et 

.
En conclusion, pour tout , .


b) Montrons désormais que .
La fonction est définie par 

 , produit de deux fonctions continues et dérivables sur ,
d’une part la fonction  (fonction inverse de l’exponentielle) et la fonction 
(fonction polynôme de degré 2) d’autre part.
Par conséquent, il vient que la fonction est dérivable sur donc sur .
Ainsi, pour tout ,





D’une part, pour tout , . D’autre part, pour tout , . Enfin, pour tout ,
 (car la fonction  est décroissante sur ), d’où  (du fait de la croissance
de la fonction sur ), c’est-à-dire . Il s’ensuit que, pour tout , . La
fonction est donc croissante sur .
Par ailleurs, la fonction étant continue en , 
existe et 
.
En conclusion, pour tout , .


2) Cherchons dès lors un encadrement de .
D’après la question précédente, pour tout , est décroissante, donc . Comme


et comme, d’après la question précédente, , il vient que

.
On a également établi que, pour tout , est croissante, donc . La question
précédente a permis de montrer que . Par ailleurs, 
. Par conséquent,
.
Il résulte alors que 
. En multipliant par , il vient finalement que .
Remarque : Ce résultat est conforme à celui affiché par la calculatrice : .
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4
Soit la fonction définie sur par .
1) Montrer que, pour tout réel, .
2) En déduire que, pour tout réel ,
.
Soit un entier naturel tel que .
3) Démontrer que 
.
4) Démontrer que 
.
5) En déduire un encadrement de en fonction de .
1) Montrons que, pour tout réel, , c’est-à-dire montrons que .
La fonction est la somme de deux fonctions continues et dérivables sur : d’une part la fonction
(fonction exponentielle) et d’autre part la fonction  (fonction affine).
Par conséquent, la fonction est dérivable sur et, pour tout , .
Rappel : Résolution dinéquation de la forme 
Soient et deux fonctions définies sur un intervalle (ou une réunion d’intervalles).
Pour tout réel ,  si et seulement si .
Or, . Ainsi, pour tout , , c’est-à-dire
croissante sur , et pour tout , , c’est-à-dire strictement décroissante sur .
Autrement dit, admet un minimum, atteint en . Comme , pour tout ,
. Finalement, pour tout , , c’est-à-dire .
2) Montrons désormais que, pour tout réel ,
.
La question précédente a permis d’établir que, pour tout , . En remplaçant par , il vient
alors l’inégalité .
Or, pour tout réel ,  car la fonction  est décroissante sur . Par conséquent, pour
tout réel ,  

 car la fonction
est décroissante
sur 
et car . En définitive,
 pour tout réel .
Exercice 2 (5 questions) Niveau : moyen
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3) Démontrons que 
, où 
Posons
et notons que
existe car .
Pour tout  , d’où
, c’est-à-dire
.
D’après la question 1), pour tout , . Il vient alors que
. D’où 

(car la fonction est croissante pour tout et tout ). Finalement, pour tout entier naturel tel
que ,
.
4) Démontrons que 
.
Posons
 et notons que
 existe car .
Pour tout  , d’où et

(d’après la décroissance de la fonction
sur 
),
c’est-à-dire
.
D’après la question 2), pour tout ,
. Il vient alors que

.
Or,










 



. Finalement, pour tout entier naturel tel
que , 
.
5) Des deux questions précédentes, on conclut que 

.
Remarque : Plus est grand, plus l’encadrement de est précis. Si , alors . Si
,  (encadrement à  près).
Remarque : est l’intervalle des
entiers naturels supérieurs ou égaux à 2.
En fait, .
Pour tout réel et pour tout entier relatif
, . Par ailleurs, .
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