ELECTROSTATIQUE DES CONDUCTEURS (en équilibre) I : CONDUCTEUR 28/11/2011

28/11/2011
ELECTROSTATIQUE DES CONDUCTEURS
(en équilibre)
I : CONDUCTEUR
Rappel :
Matière : assemblage d'atomes
Atome : assemblage de neutrons
de protons
Noyau
et d'électrons
La matière contient un grand nombre de charges mais les atomes sont neutres et
donc par conséquent la matière est neutre aussi (en générale)
A l'échelle macroscopique on a :  = 0 (dans la matière neutre) et donc E = 0
A l'échelle microscopique ce n'est plus vrai
 ceci explique les forces de liaisons chimiques.
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I-1 Conducteurs à l'équilibre :
Conducteur : Corps où certains porteurs de charges sont libres
- par exemple les électrons (périphériques) libres dans un métal
- par exemple les ions dans une électrolyte
 La présence d'un champ E (aussi petit soit il) entraine un mouvement des porteurs
Isolant : Les charges restent localisées
Equilibre d'un conducteur :
Neutre et isolé :   0
 
E0
partout
V  C te

On sait que : E  gradV 
 
 E  0  V  C te
Isolé mais chargé :
On apporte de charges q.
Où se mettent-elles?
 Le retour à l'équilibre entraine un déplacement de
charges (10-9s).
Vitesse des charges qlqs milliers km/s
Equilibre Atteint
 Charges immobiles
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Equilibre  E = 0 dans tout le conducteur
si E = 0   = 0 dans le conducteur d'après le Th. de Gauss
Les charges en excès se mettent en surface : densité de surface 
Comme pour les conducteurs isolés et neutre, on peut démontrer :
 
E  0 dans le conducteur  V  Cte
 Circulation nulle
• Le volume du conducteur est équipotentiel
• La surface est une équipotentielle  le champ électrique en surface est 
au conducteur
Pas de composante tangentielle sinon les charges en surface bougeraient
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Champ et charge dans une cavité d'un conducteur
Cavité vide de charges
 Potentiel de la cavité Constant

 Champ E est nul
  qint  0
 pas de charges en surface intérieure

 E  dS  0
 int  0  ext
S
Deux conducteur identiques (de formes) l'un plein et l'autre creux (et vide
de charges) se comporte de façon identiques.
Les charges en excès se mettent en surface : densité de surface 
Application cage de Faraday
Un conducteur creux, maintenu à un potentiel constant, permet donc de
réaliser un écran électrostatique parfait.
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Conducteur neutre placé dans un champ E
E


f  e  E
-
+
+
+
+
+
Métal : réseau d'ions (>0) baigné dans un "gaz" d'électrons libres de telle sorte que le
métal est neutre et isolé, donc que  = 0 partout
Sous l'action de E : les électrons se déplacent sous l'effet de f
et apparition de charges + du coté opposé
 Il en résulte un champ électrique générée par ce couple de charges
positives et négatives.
Lorsque ce champ, opposé au champ extérieur, lui devient égale en norme :

Erésul tan t  0  équilibre
Conducteur neutre à l'équilibre dans un
champ E extérieur : Eint= 0  int = 0
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I-2 Capacité d'un Conducteur :
Charges : réparties en surface  densité 
Eint= 0
Champ E : int = 0
E  à la surface
Potentiel : volume et surface : équipotentiels
Relation Charge - Potentiel :
Conducteur sans charges (neutre) :  V = 0 (par convention)
Conducteur chargé :  en surface → Q
int = 0
conducteur équipotentiel → V
On peut montrer que  V et Q, on a toujours
Q
 Cte
V
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Q
 C : représente la capacité du conducteur isolé. C ne dépend que de la forme
V
géométrique et est toujours >0 ( Q et V de même signe).
C s'exprime en Farad.
Exemple : Sphère métallique chargé en surface

Extérieur : E est
E
R
V
radial
Surface :
Q
4 0 r 2
VS 
Intérieur :
Q
4 0 r
Q
d'où C 
 4 0 R
VS
Q
4 0 R
 
E0
V  VS
Si R=1m  C = 1.1.10-10 F
C = 0.11 nF
Si l'on veut C = 1F  R = 9.106 km !
Remarque : La terre est un conducteur isolé sphérique
R = 6400 km  C = 710 µF
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I-3 Champ au voisinage d'un conducteur : Théorème de Coulomb
Conducteur équipotentiel :
+++
 E est  à la surface

E
++
++
 Eint = 0
dS
Surface fermée 
+
extérieur : tube de champ ( à la surface) et limité
par dS (// conducteur et très proche)
 ++
+
+

 0 car E int  0
 in t

Surf . lat . tube

dS
Intérieur : surface qlcq s'appuyant sur dS en surface

E
  dS  ?     

 int

 0 car E  dSlat
dS



 E.dS car E// dS et E  C te sur dS

Surf . lat . tube

E
  dS  E.dS

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Théorème de Gauss

q
dS
  E  dS   int 

0
 0 E  



0
on a aussi E  dS  E.dS 


Théorème de Coulomb
Au voisinage (immédiat) de la surface d'un conducteur, le champ
électrique est perpendiculaire à cette surface et vaut :

E
0
(Valeur
algébrique)
Remarque : Le champ passe de Eint = 0 à Eext = /0 en traversant des charges
de surface de densité  :
 discontinuité de /0 déjà vu
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Lignes de champ :
Conducteur isolé : Chargé par exemple  > 0
Peut-on avoir des lignes de champ se
refermant sur le conducteur?
A
B
NON
Car conducteur équipotentiel et les lignes
de champ selon les potentiels décroissant
d'où :
Ligne 'bleue' imposerait VB < VA
La densité de charge à la surface d'un conducteur
isolé a toujours le même signe
car en B : ligne de champ dirigée vers le conducteur
supposerait  < 0
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Pouvoir des pointes :
Au voisinage de la surface : E 

0
donc E  
Comment varie ? (tout en gardant le même signe)
Exemple :
Deux sphères conductrices de rayons R1 et R2
R2
R1
reliées par un fil de métal très fin.
Mises au potentiels V : le même pour les 2.
(2)
Elles sont supposées "assez" loin l'une de l'autre
(1)
(1) prend Q1 → 1 telle que
V
Q1
4 0 R 1
1 
Q1
V
V
 0  E1 surf 
2
R1
R1
4R 1
(2) prend Q2 → 2 telle que
V
Q2
4 0 R 2
2 
Q2
V
V
 0  E 2 surf 
2
R2
R2
4R 2
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Donc : Pour un même conducteur, le champ au voisinage de la surface est
d'autant plus grand que son rayon de courbure est plus petit.
"Pouvoir des pointes"  le champ électrique dans leur voisinage peut ioniser le gaz
ambiant.
I-4 Pression Electrostatique
On a vu que : E
+++

0


E
++
++



On peut dire que : E  EdS  Eext.
dS
+
 ++
+
+
Champ dû aux charges
sur le disque dS
Champ dû à toutes les
autres charges
 2 0
 2 0
E




 E ext  E ext 
0 2 0
20
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La charge élémentaire dS ( qui crée le champ /20) est placé dans le champs /20 dû à
toutes les autres charges de la surface du conducteur
 Il va apparaitre une force ( à la surface)


dF  dS.E ext
 2
 
dF 
dS.n (n : normale extérieur)
20
dF est toujours dirigée vers l'extérieure du conducteur. On définit la pression
électrostatique :
dF 2
P

20
F
+
+
+
+
+
+
++ +
+
Expérience
dS
métal
Liquide Conducteur
(exemple mercure)
F apparait quand on met des charges
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II : SYSTÈME DE CONDUCTEURS
On a un ensemble de conducteurs, répartis dans l'espace, portés aux potentiels V i et ayant
des charges Qi. Ils créent un champ E que l'on peut déterminer en appliquant :
V = 0 + Conditions aux limites (c-à-d V=Vi sur le conducteur i)
On peut montrer (principe de superposition) que si on impose soit la charge,
soit le potentiel pour chacun des conducteurs, les potentiels, charges et
distributions de charges sont parfaitement déterminés
II-1 Répartition des lignes de Champ
• Elles sont normales à la surface des conduteurs et vont des charges + vers les charges –
• V décroit le long d'une ligne de champ
• Une ligne de champ ne peut se refermer sur un même conducteur.
• Un conducteur "isolé" dans l'espace à une charge d'un seul signe sur toute sa surface
• Une ligne de champ partant d'un conducteur (i.e.  > 0) va soit à l'infini (V = 0), soit sur un
autre conducteur de potentiel inférieur.
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++
+
++
++
V
+
-
V' < V
-
- -
- -
+
+
+
+
- -
dS2
Théorème des Eléments correspondants :
soit un tube de champ partant de la surface A1 pour aller sur A2
dS1
++ 
1
Surface fermée 

E
  dS  0

-2
A2
A1
car

E  dS sur le tube
 
E  0 dans les conducteurs
Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 15
D'où :
q
int
 1dS1  2dS2  0  dQ1  dQ 2
 Les quantités d'électricité portées par deux éléments correspondants d'un tube de
force du champ E sont égales et de signe opposé c'est-à-dire les charges électriques
portées par deux éléments correspondants sont opposées.
II-2 Influence électrostatique
II-2-a : Conducteur isolé
Expérience
+ ++ +
+ ++
- - -Q
1
-- - -
++ +
+Q1 + + +
++
B Conducteur initialement
neutre isolé
A Porteur de charges (>0)
B est influencé par A : sa charge totale reste Cte (=0 ici)
La répartition change : Charge –Q1 attirée par la charge >0 de A
Charge +Q1 va du coté opposé
Remarque : le champ à l'intérieur de B reste nul
mais son potentiel est modifié
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Il y a influence partielle de A sur B
D'après le théorème des éléments correspondants:
Q A  Q1
et
Car influence partielle
VA  VB
Si B n'est pas neutre initialement :
Influence de A  QB totale reste Cte
Nouvelle répartition de charge
Nouveau potentiel
II-2-b : Conducteur relié à la terre : "au sol"
Terre = sphère "conductrice" globalement neutre ( les circonstances car masse
énorme). Potentiel de la terre = Cte =0 (par convention).
Quand on relie un conducteur chargé au sol, ses charges s'écoulent au sol 
c'est-à-dire qu'elles se répartissent sur toute la surface de la terre :
La charge du conducteur devient 0 et son potentiel devient  0
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Expérience
On continue l'expérience
précédente
+ ++ +
+ ++
++ +
+Q1 + + +
++
- - -Q
1
-- - -
B
A
On relie B "au sol"
+ ++ +
+ ++
- - -Q
1
-- - -
B
A
On a toujours –Q1 en influence
avec la charge QA de A
•La charge +Q1 s'écoule au sol
•Le potentiel de B devient  0 (Sol)
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Remarque : La charge de B n'est plus globalement nulle
Le Potentiel de B =0
Ce n'est pas contradictoire car B n'est pas isolé (on aurait dans ce cas
QB=CVB) mais sous l'influence de A.
II-3 Influence totale
Il s'agit du cas où un conducteur "entoure" complètement un autre :
A et B initialement neutres
A
B
II-2-a : On apporte des charges sur B : en le mettant au potentiel V
• Elles se répartissent sur la surface extérieure de B
• Rien n'a changé à l'intérieur  Ecran électrostatique
Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 19
II-2-b : On apporte des charges sur A et B reste isolé :
(par exemple en le reliant au potentiel V > 0)
+
+ +
+
Par influence  Charges < 0 sur la surface
+
intérieure de B or la neutralité de B est
+
conservée
+ B +
-  Charges > 0 sur la surface extérieure
+
+ +
de B
+
+ + + + + + + + + +
+
- - - - - +
- - - + +
+
+
+
+
+
+
A
+
+
+
++
+
+
+
- - - - - - +
++
+
+
+ + + + + +
Toutes les lignes de champs issues de A se referment sur B int 
QA = -QBint
 Th. éléments correspondants
QBext = QA
Ce résultat ne dépend pas de la position de A à l'intérieur de B
Le champ électrique E vaut :
0 dans A
0 dans B
 0 entre A et B
 0 à l'extérieure de B
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II-2-c : A partir de b) on met B au sol :
On a toujours QA sur A donc par
influence totale :
-QA = QBint
- - - - - - - - - ++ + +
+
+
A
+
+
B ++
+
+
- - - - - - - -
Mais QBext = 0 → les charges extérieures s'écoulent au sol.
Le champ électrique E vaut : O dans A, dans B et à l'extérieure de B mais  0 entre
A et B
II-2-d : A partir de b) on amène des charges sur B :
La charge intérieure de A restant la même; on a la même influence totale entre A et B
→ seule la charge extérieure de B change
Les charges externes sont sans influence sur l'état électrique à l'intérieure de B :
Ecran électrostatique
Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 21
III : CAPACITES D'UN SYSTÈME DE CONDUCTEURS CONDENSATEURS
III-1 Coefficients d'influence - Capacités
Soient n conducteurs en présence à l'équilibre :
Relations entre leurs Vi et leur Qi?  Principe de superposition
1er état d'équilibre :
Conducteur n° 1 au potentiel V1
Tous les autres conducteurs au potentiel 0 Volt
Nous avons vu qu’un conducteur isolé, à l’équilibre électrostatique, est caractérisé par sa
charge Q et son potentiel V, qui sont reliés entre eux par la capacité C : Q = CV.
Par influence, il apparaît une charge sur tous les autres conducteurs.
Conducteur 1 au potentiel V1
Charge q11 = C11 V1
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Conducteur 2 au potentiel 0
Charge q21 = C12 V1
.........
Conducteur n au potentiel 0
Charge qn1 = C1n V1
2eme état d'équilibre :
Conducteur n° 2 au potentiel V2
Tous les autres conducteurs au potentiel 0 Volt
Conducteur 2 au potentiel V2 → Charge q22 = C22 V2
Conducteur 1 au potentiel 0 → Charge q12 = C21 V2
Conducteur 3 au potentiel 0 → Charge q32 = C23 V2
....
Conducteur n au potentiel 0 → Charge qn2 = C2n V2
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On continu jusqu'au dernier état d'équilibre :
Conducteur n au potentiel Vn
Tous les autres conducteurs au potentiel 0 Volt
Conducteur 1 au potentiel 0 → Charge q1n = Cn1 Vn
Conducteur 2 au potentiel 0 → Charge q2n = Cn2 Vn
Conducteur 3 au potentiel 0 → Charge q3n = Cn3 Vn
....
Conducteur n au potentiel Vn → Charge qnn = Cnn Vn
Etat d'équilibre final : Superposition de tous les états précédents
c-à-d :
Conducteur 1 au potentiel V1 avec une charge Q1
Conducteur 2 au potentiel V2 avec une charge Q2
"
"
"
Conducteur n au potentiel Vn avec une charge Qn
Q1  q11  q12    q1n
Q  q  q    q
 2
21
22
2n


Q n  q n1  q n 2    q nn
Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 24
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Ou encore :
Q1  C11V1  C 21V2    Cn1Vn
Q  C V  C V    C V
 2
12 1
22 2
n2 n


Q n  C1n V1  C 2 n V2    C nn Vn
•Les charges sont des fontions linéaires des potentielles
•Les coefficients Cii sont les capacités des conducteurs i, dans le système
•Les coefficients Cij (avec ij) sont appelés coefficients d'influence : Cij = Cji
•Ils s'expriment en Farads
•Les capacités sont > 0 ou Cii > 0
•Les coefficients d'influence sont < 0 ou Cij < 0
Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 25
En effet, soit l'état d'équilibre n°=1 et supposons que V1=+1Volt :
(car les lignes de champ
La charge du conducteur 1 est : q11 = C11V1=C11 > 0
partent de 1)
Tous les autres conducteurs au potentiel nul : qi1 = C1iV1=C1i < 0
De plus,
q11  q12  q13    q1n 
ou encore
C11  C21  C31    Cn1 
(car les lignes de champ
aboutissent à i )
Cii et Cij ne dépendent
que de la géométrie des
conducteurs
III-2 Condensateur
On appelle condensateur un ensemble de deux conducteur en influence totale
Par exemple un conducteur B entourant complètement un conducteur A forme un
condensateur :
A au potentiel VA → QA
B au potentiel VB → QB int=-QA pour la surface intérieure
q pour la surface extérieure
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A et B sont les armatures du condensateur.
Q A  C11VA  C21VB

Q B  C12VA  C22VB
vrai  VA et VB
Prenons maintenant quelques cas particuliers :
B
-QA
QA
A
q
Si VA = VB
A et B au même potentiel  conducteur unique
0  C11  C 21 VA
 Cavité vide  QA = 0
 C11  C 21  C
QB  C12  C22 VB  q  C0VB
où C0 est la capacité du conducteur B isolé dans l'espace
C0  C12  C22
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Si VB = 0
q=0
Q A  C11VA  Q B  C12VA
 C12  C11  C
C0  C22  C
C est la capacité du condensateur
On appelle charge du condensateur la valeur commune du module des
charges portées par les charges en influence totale
Dans notre cas :
Q  Q A  CVA  VB  si VA  VB
Q B   CVA  VB   C0 VB

 
 
Q A
q
Décharger un condensateur c'est relier les armatures par un fil conducteur :
 QA et –QA se neutralisent
 il ne reste que q à l'extérieur de B
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III-3 Capacité de condensateurs de forme simple
III-3-a : Condensateur sphérique :
 A : Sphère de rayon R1
 B : Sphère creuse de :
Rint = R2
A
Rext = R3
R2
B
A est au potentiel VA
R1
Que vaut E?
E entre A et B
B est au potentiel VB
R3
Par symétrie  E est radial et

E  Cte si r  Cte
On prend donc comme surface de Gauss () : Sphère de rayon r (R1 < r < R2)
Th. Gauss :

Q
2
E
  dS  E.4r  0A
E
QA
4 0 r 2
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Que vaut V?

dV  E  dl  Edr
VA  VB    Edr 
R1
R2
VA  VB  Q A
QA  1
1 
 

4 0  R1 R 2 
R 2  R1
4 0 R 1R 2
C  4 0
R1R 2
R 2  R1
Indépendante de R3
III-3-b : Condensateur cylindrique :
B
R2
A
 B : Cylindre creux de :
Rint = R2
R1
h
 A : Cylindre de rayon R1
R3
Rext = R3
On supposera que la hauteur des
cylindres est très grande
A est au potentiel VA
B est au potentiel VB
E entre A et B ?
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QA 1
2 0 h r
Th. Gauss :
E
Que vaut V?
dV  Edr
VA  VB 
R 
Q A B1
QA
dr 
Ln  2 

2 0 h A r
2 0 h  R1 
C  2 0 h
1
R 
Ln  2 
 R1 
A
 A : Plan de surface S
Indépendante de R3
III-3-c : Condensateur plan :
A
 B : Plan // A de même surface S à la
distance e
e
B
B
x
A:
VA  Q A
A 
B : VB
Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 31
 Q B  Q A
 B   A
QA
S
Si e est très petit par rapport aux dimensions des armatures : le champ est uniforme
A
entre les armatures :
E
0
 VA  VB    E.dx 
A
B
C  0
A
x B  x A   Q A e
0
S0
S
e
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III-4 Association de condensateurs
III-4-a : Condensateur en parallèle :
A
C1
C2
C3
Ci
Toutes les armatures internes
sont reliées à A et toutes les
armatures externes à B
U
B
La différence de potentiel (ddp) est : VA-VB = U
 tous les condensateurs ont la même (VA-VB)
Q1  C1U
Q2  C2 U
La charge totale de toutes les armatures internes sera :
Q   Qi   Ci U

i
i
Q  U  Ci  UC eq
Q i  Ci U
i
Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 33
L'ensemble des condensateurs en parallèle est équivalent à un condensateur
unique de capacité :
Ceq   Ci
i
III-4-b : Condensateur en série :
A
C1
+Q
C2
-Q
+Q
C3
-Q
+Q
Ci
-Q
+Q
B
-Q
On établit une d.d.p. entre A et B : VA-VB
si il apparait une charge +Q sur une des armatures de C 1, il y aura alors une charge
opposées (-Q) sur l'autre armature.
Le conducteur reliant les armatures de C1 et C2 est isolé  Charge Cte
C1
C2
Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 34
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On peut faire la même chose pour les autres conducteurs :
d'où : la charge en B sera -Q
Au total, on aura :
....
Q Q
Q
VA  VB  

C1 C 2
Ci
VA  VB  Q
i
VA  VB 
C3
C2
Ci-1
Ci
1
Ci
Q
Ceq
L'ensemble des condensateurs en série est équivalent à un condensateur
unique de capacité :
1
1

Ceq
i Ci
Cours Electrostatique – Electrostatique des conducteurs à l'équilibre - 35
III-4-c : Association série-parallèle :
Le condensateur équivalent est obtenu par combinaison des deux règles précédentes.
III-5 Condensateurs à lame diélectrique
Dans ce cas là on remplace l'air entre les deux armatures par un diélectrique.
On constate que la capacité a une valeur multipliée par un coefficient caractéristique du
diélectrique :
Ce coefficient est la constante diélectrique ou permittivité relative r
Exemple : condensateur plan : C   r  0
S
e
condensateur sphérique : C   r 4 0
condensateur cylindrique : C
  r 2 0
R1R 2
R 2  R1
h
R 
Ln  2 
 R1 
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On définit la permittivité absolue du diélectrique :  = r 0
Remarque :
r est sans dimensions
 = r 0 : dimensions de 0
0 ≈ 8.8542 x 10-12 F/m
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