1 Loi de désintégration radioactive a

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LOI DE DÉSINTÉGRATION RADIOACTIVE
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Loi de désintégration radioactive
a
L'évenement "T > t" signie que la réalisation de la variable aléatoire T , qui prend des
valeurs dans R+ , est supérieure (pour l'ordre des réels) à l'élément t ∈ R. Autrement
dit, dans cet exemple, la durée de vie (qui est ALEATOIRE) de l'atome est supérieure
à t.
Je dis t ∈ R mais comme la loi de T à pour support R+ (i.e. sa densité
est nulle en dehors de R+ ), si t < 0, l'évenement "T > t" a une probabilité nulle. Ici
tu peux donc mettre R+ à la place de R, c'est la même chose.
Remark 1.1.
Pour la deuxième partie de la question. On rappelle d'abord la densité de la loi
exponentielle. Si T ∼ E(λ) ("T est une variable aléatoire de loi exponentielle de
paramètre λ"), alors sa densité f : R+ → R+ est dénie par f (x) = 1 − λe−λx . On a
bien
P(T ≥ t) = 1 − P(T < t)
= 1 − P(T ≤ t)
Z t
f (x)dx
= 1−
−∞
= e
−λx
1. Pour les loi a densité P(T = t) = 0 d'où l'égalité entre les deux
premières lignes. (la 2emem est inutile pour la rédaction).
Rt
2. t 7→ −∞ f (x)dx est exactement la fonction de répartition de la loi exponentielle
de paramètre λ.
Remark 1.2.
3. Tu peux aussi dire que pour tout intervalle I de R
Z
P(T ∈ I) =
1I (x)f (x)dx
R
avec 1I (x) = 1 si x ∈ I et 0 sinon. Dans ton exemple I = [t, +∞).
On remarque donc la décroissance exeponentielle de la durée de vie probable d'un
atome.
2
2
DEMI-VIE D'UN ÉLÉMENT RADIOACTIF
b
La probabilité qu'un atome ne soit pas désintégré en t est égale à e−λt .
Tous les atomes se comportent de façon indépendante donc la proba qu'aucun ne soit
désintégré est égale au produit des probas que chacun ne soit pas désintégré, i.e. e−N0 λt .
Remark 1.3.
Il s'agit de compter le nomber d'atome qui ne sont pas désintégré sachant que tous
les atomes se comportent indépendemment les uns des autres et qu'ils ont la même
probabilité d'etre désintégré. Le nombre d'atome non desintégré suit donc une lui
binomiale de paramètre p.
c
Pour une loi binomiale, de paramètre p à N0 réalisations la moyenne est donnée par
pN0 donc le résultat est immédiat.
2
Demi-vie d'un élément radioactif
a
T ∼ E(λ), alors P(T < t) = 1 − e−λt . Il faut donc résoudre 1 − e−λt = 21 pour trouver
le résultat. Avec la question c de la partie précédente, ici p = 1 − P(T < t 21 ) = 1/2,
on a bien que le nombre moyen d'atome d'intégrés à t 1 égal à N0 /2.
2
b
ln(2)
Cette fois on a p = 1 − P(T < 2t 21 ) = e−2λ λ = 14 . Il reste donc en moyenne N0 /4
atomes non désintégrés après deux demi-vie.
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DURÉE DE VIE D'UN ÉLÉMENT RADIOACTIF
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Durée de vie d'un élément radioactif
Le resultat se montre avec une intégration par partie. Soit F (x) = − λ1 f (x). Alors
F 0 = f et on a :
Z
+∞
xf (x)dx
Z +∞
+∞
= [xF (x)]0 −
F (x)dx
0
Z
1 +∞
=
f (x)dx
λ 0
1
=
λ
τ = E[T ] =
0
car comme f est une densité de probabilité sur R+ , on a
1
τ = t 1 / ln(2) et on a bien ln(2)
≈ 1.44.
2
4
R +∞
0
(1)
f (x)dx = 1. Donc
Application
1
λ=
ln(2)
t1
. Ensuite tu mets la demi-vie en seconde et ça te donne la constante radioac-
2
tive unité s− 1 du coup).
2
Pour les deux questions tu appliques la formule P(T < t) = 1 − e−λt avec le lambda
calculé à la question précédente et t = 4 ou 10h que tu convertis au préalable en
secondes. Sinon tu peux tout laisser en heure et l'unité de ta constante est alors h−1 .
Il faut surtout que tout soit dans les meme grandeur mais bon je suppose qu'on vous
le rabache susament en physique.
3
On doit trouver t∗ ∈ R+ , tel que pour t ≥ t∗ , on a P(T < t) ≥ 0.95. On résout
∗
e−λt = 0.95 ⇔ t∗ = −
ln(0.95)
λ