z(r) = %r!

Travaux participatifs
7. Bille sur une surface creuse en rotation
z(r)
On considère un paraboloïde de révolution
(surface S obtenue par la rotation d’une parabole %r!
autour de son axe Oz).
L’équation de la génératrice (courbe obtenue
en coupant cette surface par un plan contenant
son axe vertical) est alors de la forme :
z(r) = %r2 où % est une constante positive.
=
Z
'
Y
r
X
S est en rotation autour de son axe vertical (Oz) à la vitesse angulaire
. On pose une bille sans vitesse initiale
par rapport à S. Déterminer la relation entre % et ' pour que la bille reste immobile par rapport à S (condition
d’équilibre).
dans le réf de la paraboloïde , on veut :
orientation de la réaction du support ? (en l'absence de frottement)
z=%r2, donc la tangente est orientée selon le vecteur
, donc
alors la bille est immobile si
8.A/ Poids apparent
Dans l'étude des mouvements au voisinage de la Terre, on peut utiliser les trois référentiels décrits ci-dessous :
- référentiel géocentrique inertiel, c'est-à-dire non entraîné par le
mouvement de rotation de la Terre sur elle-même, associé au repère
OXYZ
er
Z
e
#
A
e
- référentiel géocentrique non inertiel, solidaire du mouvement de
rotation de la Terre sur elle-même, associé au repère OX'Y'Z.
- référentiel local non inertiel, ou "référentiel du laboratoire",
associé au repère (A,
).
On considère un objet de masse m, situé au point A sur la Terre
"
(
Y'
Y
O
X'
supposée sphérique à la latitude (. On désigne par
la vitesse
angulaire de rotation diurne de la Terre autour de l'axe NS des pôles X
et par g0 l’intensité du champ de pesanteur aux pôles.
1. Déterminer les composantes du "poids apparent" de la particule dans le référentiel du laboratoire, exprimé
dans le repère orthonormé direct (A,
) où Aer représente "la verticale" et Ae est dirigé vers le Sud
"
(voir schéma).
2
2
2. Montrer qu’en première approximation (toujours dans le référentiel du laboratoire) : g = g0 - ! R cos (.
3. En déduire la variation relative de g entre le pôle et l’équateur.
-2
On donne les valeurs suivantes : R = 6400 km et g0 = 9.83 ms .
1)
car " =cste = &/2 – ( et
.
donc
!
!
! ! ! !
! !
!
Papparent = mg + Fentr + Fcomp = mg " m # $ ve + 0 + 0
(
)
!
! !
!
!
'!
*
= "mger " m#2 Rsin % eZ $ eY & = "mger + m#2 Rsin %e X & = m) g + #2 OA& ,
(
+
où A' est la projection de A sur le plan OXY
(
!
2)
!
!
!
e X " = sin #er + cos #e#
)
!
!
%
(!
donc gapparent = ' -g + $2 Rsin 2 # *er + $2 Rsin # cos #e#
&
)
+ gapp = g , $2 Rcos 2 -
3)
!
8.B/
Chute libre et déviation vers l’Est
Soit maintenant un objet ponctuel M, de masse m, qui est lâché sans vitesse initiale d'une hauteur r à la
verticale du point A (cf exercice précédent).
La force de gravitation provoque une chute verticale. Comme il a été montré dans l'exercice précédent, la
pseudo-force d’entraînement provoque un déplacement vers l’équateur du point d’impact sur le sol.
Montrer que, maintenant que l'objet a une vitesse relative non nulle dans le référentiel du laboratoire, alors son
point d'impact sera dévié vers l'Est sous l'effet de la force de Coriolis.
et on admet que la vitesse relative est à peu près colinéaire à er , donc on obtient :
= déviation vers l'Est
9. Y'a quelque chose qui cloche là-dedans…
Nous développons ci-dessous un raisonnement faux qui nous conduirait à démontrer qu’un point matériel lâché
sans vitesse initiale serait dévié vers…. l’Ouest. Vous devez identifier l’erreur de raisonnement :
" Raisonnons dans un repère géocentrique inertiel. La Terre a, dans ce repère, un mouvement de rotation
autour de l’axe SN. Dans ce repère, un point matériel de masse m, lâché au point Mo, est soumis à la force
gravitationnelle dirigée vers le centre O de la Terre. Sa trajectoire est donc rectiligne, selon le rayon MoO.
Pendant la durée de la chute, la Terre tourne de l’Ouest vers l’Est, et le point matériel touche donc la Terre en
un point P’ situé à l’ouest du point P, intersection de la Terre et de OMo (P se trouve à la verticale de Mo)."
Cet "argument" a été utilisé pour s’opposer à l’idée que la Terre pouvait tourner sur elle-même.
10. Caractérisation d'un ressort
On considère le montage représenté schématiquement ci-dessus (vu de haut). Il se compose d'un tube horizontal
de longueur l = 30 cm, dans lequel glisse sans frottement une bille d'acier M de masse m = 50 g. La bille est
soudée à un ressort (dont l'autre extrémité est fixée au tube en O) de longueur à vide x0 et de constante de
raideur k. L'origine du repère étant en O, on désigne par Oz l'axe vertical (orthogonal au plan de la figure) et
par Ox l'axe du tube.
On fait tourner le tube, à une vitesse angulaire ' autour de l'axe Oz. Dans la suite, on se placera dans le repère
tournant R' (Oxz) lié au tube en rotation.
1. Montrer que la force exercée par le ressort sur la bille dérive d'une énergie potentielle que l'on explicitera.
La force de! rappel exercée par le ressort sur la masse est donnée, dans le référentiel R' en rotation, par
!
l'expression : F = "k( x " x 0 )e x
k
qui caractérise une force centrale et dérive de l'énergie potentielle E p ( x) = ( x " x 0 ) 2 nulle quand x = x0.
2
!
2. Le référentiel R ' est-il inertiel ?
non
!
3. Etablir l'expression de la pseudo-force d'entraînement qui s'applique sur la bille lorsque la vitesse angulaire
' est constante. Montrer qu'elle dérive d'une énergie potentielle de la forme '2 x2.
!
! !
!
!
!
Fentr = "m# $ ventr = "m# $ x#e y = +m#2 xex
(
!
!
)
A cette pseudo-force on associe l'énergie potentielle :
!
1
E p,entr ( x) = " Fentr .dl = " m$2 xdx = " m$2 x 2
2
cette énergie étant nulle quand il n'y a pas de rotation ('=0).
#
#
4. Tracer la courbe représentant l'énergie potentielle totale de la bille, Ep,T (x), dans les trois cas suivants :
' = !0/2 ; ' = !0 ; ' = 2 !0 (avec
).
Discuter, dans ces trois cas, l'existence et la stabilité des positions d'équilibre.
L'énergie potentielle totale est donc (avec "0 = k m )
!
%
(
(2 #2 % x (2 *
2 2 '% x
k
2 1
2 2 m% 2
2
2 2( 1
E p,T ( x) = ( x " x 0 ) " m# x = '$0 ( x " x 0 ) " # x * = m$ 0 x 0 ' "1 * "
' *
'& x 0 )
2&x ) *
) 2
2
2
2&
0
$
&
)
0
!
2
2
Posons u = x/x0 et Ep,0 = m !0 x0 /2, alors
#
&
#3
&
2 1
si '=!0/2 : E p,T (u) = E p,0 % u "1 " u 2 ( = E p,0 % u 2 " 2u +1 (
4 '
$
$4
'
#
&
2
si '=!0 : E p,T (u) = E p,0 % u "1 " u 2 ( = E p,0 "2u +1
$
'
#
&
2
!
#
&
si '=2!0 : E p,T (u) = E p,0 % u "1 " 4u 2 ( = E p,0 % 3u 2 " 2u +1 (
$
'
$
'
( )
( )
(
)
( )
Seul
! le premier régime ' = !0/2 permet d'obtenir une position d'équilibre stable, l'énergie potentielle présentant
un minimum pour u = 2/3. Dans les deux autres cas, la décroissance de l'énergie potentielle en fonction de u est
monotone.
!
5. Déterminer et exprimer, en fonction de la vitesse angulaire ', les positions d'équilibre stable xe. Représenter
graphiquement xe(').
$
'
'2 *2 $ x '2 )
2 2 &$ x
1
Revenons à l'expression E p,T ( x) = m" 0 x 0 & #1 ) #
& ) .
&% x 0 (
2%x ( )
2
0
"
%
(
0
% %
(
(
dE p,T ( x)
2
x
$2 * *
= m"0 x 0 ' '1#
#1
sa dérivée
' x0 '
2* *
dx
"
&
)
&
)
0
!
%
(
2
x
#2 *
$0
=1 + xe = x 0
d'où les éventuelles positions d'équilibre : e '1"
2
x0 ' $ 2 *
$ 0 " #2
&
0 )
!
Comme xe >0, cela implique qu'il ne peut y avoir de positions d'équilibre que si ' < !0, ce qui justifie les
résultats de la question précédente.
!
6. On trouve expérimentalement les points représentés sur la figure ci-dessous, correctement ajustés par la
forme parabolique : x = a + b '2 avec a ) 5,69 cm et b ) 0,972 cm.s2.
Commenter ce résultat. En déduire la forme de la force exercée par le ressort sur la bille en fonction de
l'élongation (x-x0).
Si ' << !0 alors on a :
$ 4
xe
"2
"
=1+
+ O&
2
& 4
x0
#0
% #0
'
)
)
(
On peut donc identifier
a = x0 = 5.69 cm et b = x0/ !02 * !02 = x0 /b = 5.69 / 0.972 = 5.854.
Ainsi !0 = 2.42 rad.s-1, ce qui correspond à une raideur k = m !02= 50.10-3 5.854 = 0.293 kg.s-2.
!
%
(
!
% $ (2 * "
2'
F
=
"m
#
x
"
x
"
x
Finalement la force totale exercée sur la bille est
* ex
0 '
0 '
& #0 ) *
&
)
%
(
!
% $ (2 %
2
2 (** "
'
x
+
b$
e
qui se ramène pour les pulsations ' << !0 à F = "m# 0 ' b$2 " '
*
'
)* x
& #0 ) &
&
)
!
4
!
% $ (4 "
2 % $ ( "
soit avec b = x0 / !0 : F " m# 0 x 0 '
* e x = kx 0 ' * e x
& #0 )
& #0 )
!
2
!