Le cas o`u l’´energie totale E est E

F (r) ⇡
F (r) ⇡
(r
(r
r⌦ ) U (r⌦ ) + . . .
r⌦ ) U 00 (r⌦ ) + . . .
Energie cinétique et potentielle
ère
approximation
le comportement
des points
d’équilibre
estseconde
le comporteme
n oscillateur
harmonique.
La constante au
de voisinage
rappel équivalente
est donnée
par lastable
dérivée
du
autre
aspect
géométrique
entiel
point d’équilibreLa
U constante
(r ).
lateurauharmonique.
de rappel équivalente est donnée par la dérivée seconde
première approximation le comportement au voisinage des points d’équilibre stable est le comportement
00
⌦
00
au
point
d’équilibre
U
(r⌦ ).
pects géométrique II
Une
d’expliciter l’aspect géométrique est de montrer que le temps t est un paramètre qui
Onautre
peut façon
aussi
éométrique
II expliciter l’aspect géométrique en montrant que le temps est un paramètre qui
peut
être de
déduit
de la trajectoire.
exemple
la conservation
de l’énergie
pourà une
t être
déduit
la trajectoire.
Si nous Par
repartons
de considérons
la conservation
de l’énergie pour
un problème
autre
façon d’expliciter
l’aspect géométrique est de montrer que le temps t est un paramètre q
un
problème
à
une
dimension:
mension, on peut écrire :
déduit de la trajectoire. Si nous repartons
✓ ◆2 de la conservationrde l’énergie pour un problème à u
= E:
n, on peut écrire
1/2mv2
U (x)
!
1/2m
✓
dx
dt
= (E
◆2
U (x))
!
temps
est2 donc déterminé par l’intégrale
: dx
1/2mv
1
= E U (x) !
/2m
= (E U (x)) !
dtr Z x2
m
dx
p
Le temps peut être déterminer
t2 part1l’intégrale:
=
2 x1
E U (x)
est donc déterminé par l’intégrale :
m
dx
p
= dt
2 E U (x)
r
m
dx
p
= dt
2 E U (x)
Z x2 d’atteindre un point d’équilibre instable et de
te intégrale nous permet aussi de dire qu’il r
est impossible
m
dx
p instable et que l’on choisit comme énergie
= le point d’équilibre
arrêter en un temps fini. En e↵ett2si x⌦t1est
2 x1
E U (x)
ale la valeur de l’énergie potentielle en ce point E = U (x⌦ ) de telle sorte que la vitesse y est nulle en
´grale
permetd’énergie,
aussi de alors
dire lequ’il
estnécessaire
impossible
d’équilibre
instable et
tu de lanous
conservation
temps
pourd’atteindre
y arriver estun
de point
la forme
:
r
r
Z e↵et
Z d’équilibre
x⌦
x⌦
r en un temps fini.
En
si
x
est
le
point
instable
m
dx⌦
m
dxet que l’on choisit comme éner
p
p
t ⌦ t1 =
⇡
00
2
2
E en
U (x)
E ⌦ )Ude
(x⌦telle
) 1/sorte
)(x lax⌦
)2
x1
2U (x⌦
valeur de l’énergie potentielle
ce point E x=
U (x
que
vitesse
y est nulle
1
a conservation d’énergie, alors le temps nécessaire pourThéorèmes/
y arriverénergie
est de
la forme
:
cinétique
- potentielle
r
r
Z
Z
103
on géométrique
peut écrire II
:
cts
2
dx
m
dx
1/2m
r
✓
◆
p
mv
=
E
U
(x)
!
=
(E
U
(x))
!
2
r
✓
◆
2
Une autre façon dx
d’expliciter
l’aspect
géométrique
est potentielle
de montrer
que le autre
temps t est un paramètre
qui
Energie
cinétique
et
dt
2
m
dx
dx
m
dx
E
U
1/2mv12 = E
1
p pour un
(x) !
= (E
U (x)) ! p
=
dt
2m U
!être déduit
/2mde laUtrajectoire.
= (E
(x))
!
=
dt
Si /nous
repartons
de
la
conservation
de
l’énergie
problème
à une
dt
2
E
U
(x)
dt
2
aspect
géométrique
E U (x)
nsion,
on
peut
écrire
:
onc déterminé par l’intégrale :
est donc déterminé par l’intégrale : ✓ ◆2
r
dx r
m
dx
Z
’intégrale
r
1/2mv2 := E
1
Z
x2
p
U (x) !
/2m
=x(E U (x))
!
= dt
m
dx
dx
dtm
2 E U (x)
p
p
r
Z t2x2t2t1 =t1 =
2 x 2 E U (x)
mpar l’intégrale : dx
E U (x)
x1
emps est donc déterminé
p r Z
t 2 t1 =
grale
nousintégrale
permetpermet
aussi
qu’ilE
estimpossible
impossible
d’atteindre
un point
d’équilibre
et d
Cette
de dire qu’il
est
un point
d’équilibre
instableinstable
et
x d’atteindre
2 de
U
(x)
m
dx
x1
p
t2 t1qu’il
=
nous
permet
aussi
de
est
impossible
d’atteindre
un
point
d’équ
arrêter
en En
un temps
en de
uns’y
temps
fini.
e↵et sifini.
xdire
est
le
point
d’équilibre
instable
et
que
l’on
choisit
comme
énerg
2
⌦
2
1
2
E
x1
U (x)
de
dire
qu’il
est
impossible
d’atteindre
d’équilibre
et
aleur
de l’énergie
potentielle
en
point
E
=
U (x⌦d’atteindre
)un
de point
telle sorte
qued’équilibre
la vitesse
y estl’on
nulle
temps
fini.
En
e↵etdesi
xce⌦
est
point
d’équilibre
instable
et instable
que
che
enintégrale
nous
permet
aussi
dire
qu’il
estle
impossible
un point
instable
et de
Energie potentielle de telle
conservation
d’énergie,
alors
le
temps
nécessaire
pour
y
arriver
est
del’on
la forme
: comme énergie
rrêter
en
un
temps
fini.
En
e↵et
si
x
est
le
point
d’équilibre
instable
et
que
choisit
⌦
retdesi l’énergie
en ce
point
E =etUque
(x⌦ )l’on
de
telle
que
la v
x⌦ estSoitlexpotentielle
point
instable
choisit
comme
éner
sorte
que la sorte
vitesse
est
nulle
un point d’équilibre
d’équilibre
instable
r
Z x⌦ potentielle en ce r
Z
parque
conservation
l’énergie
e la valeur de m
l’énergie
point
la vitesse ydeest
nulle en
dx
m E x=⌦ U (x⌦ ) de telle sorte
dx
servation
d’énergie,
le
nécessaire
y
arriver
est
de
la
form
pE alors
p sorte pour
tielle
point
=
U
(x
)
de
telle
que
la
vitesse
y
est
nulle
t⌦ t1en
= ce
⇡temps
⌦
u de la conservation
le temps2nécessaire
pour
y arriver
: x⌦ )2
1/2de
2 xd’énergie,
E alors
U (x)
E U
(x⌦ ) est
U 00la
(xforme
x1
⌦ )(x
1
r
r yr
Zmxnécessaire
Z
Z x Z xest
alors lertemps
pour
arriver
de ladxforme : dx
⌦x
⌦
dx
m m
m
dx
p
p
t ⌦ t1 =
⇡
Théorèmes/ énergie cinétique - potentielle 1
p
p⌦ ) 1/2U 00 (x⌦ )(x x⌦ )2
t1 =
⇡
2
2
E U (x)
E U (x
x
x
r
Z
x⌦U (x)
1/2U 00 (x )(x
2
2
E
E
U
(x
)
x
x
⌦
⌦
1 m
1 dx
dx
p
p
⇡
Théorèmes/ énergie cinétique - potentielle 103
2 x1
E U (x)
E U (x⌦ ) 1/2U 00 (x⌦ )(x x⌦ )2
⌦
1
⌦
1
Théorèmes/ énergie cin
Théorèmes/ énergie cinétique - potentielle
dt
2
x1
E
U
Energie cinétique et potentielle autre
rrêter
en un temps par
fini. En
e↵et si x est: le point d’équilibre instable et que l’on choisit comme énergie
c déterminé
l’intégrale
aspect
géométrique
e la valeur de l’énergie potentielle en ce point E = U (x ) de telle sorte que la vitesse y est nulle en
e intégrale nous permet aussi de dire qu’il est impossible d’atteindre un point d’équilibre instable et de
⌦
r
Z
⌦
x2
u de la conservation d’énergie, alors le temps nécessaire
pour
y arriver
m
dxest de la forme :
p
t1 =r Z x⌦
r
Z x⌦ t2
m
dx
m2
dx(x)
E
U
x
1
p
p
t ⌦ t1 =
⇡
2 x1
2 x1
E U (x)
E U (x⌦ ) 1/2U 00 (x⌦ )(x x⌦ )2
ous permet aussi de dire qu’il est impossible
d’atteindre00 un -point
d’éq
Théorèmes/ énergie cinétique
potentielle 103
ment près de x⌦ . De plus le caractère instable nous impose que U < 0, ce qui nous
00
ant
x
suffisamment
près
de
x
.
De
plus
le
caractère
instable
nou
temps
fini.
En
e↵et
si
x
est
le
point
d’équilibre
instable
et
que
l’on
c
1
⌦
dans
le
voisinage
de
car
le
point
est
instable
⌦
ère instable nous impose que U < 0, ce qui nous
de
l’énergie :près
potentielle
E instable
= U (xnous
de telle
que
la nv
suffisamment
de x⌦ . Deen
pluscele point
caractère
quesorte
U 00 < 0,
ce qui
d’affirmer
⌦ ) impose
Cette intégrale permet de dire qu’il est impossible d’atteindre un point d’équilibre instable et
r
mer
:
Z xen
Z x⌦ y arriver est de
r
⌦ un temps
rvation
d’énergie,
alors
pour
de s’y m
arrêter
fini.dx le temps nécessaire
m
dx
1
⇡
r2
p
=
la for
00 (x )|
r
Z
|U
x|
x|
⌦
r
x1 |x⌦
x
Z
r
⌦
Z x
m r m Z x dxm dx x⌦ m r dx
dx
m
m
dx
p
p
t1 =
⇡
Z
r
p
p
= point00 x se rapporche =
t
t
⇡
t
t
⇡
⌦
1
⌦
1
00 (x
x
1
⌦
2 x21 mx E 1/2U
2
iverge logarithmiquement.
Autrement
dit,
le
de
x
exponen
00
00 (x
⌦
(x)
E
U
(x
)
/
U
|U
(x
)|
|x
x|
x1 00 (x ⌦
2
|U
x|
⌦
⌦
⌦ )(
1/ |U
x
2 (x⌦x)||x⌦ dx
|U
)||x
x|
⌦
x1Z
1/2|U 00 (x )||x
x⌦
⌦
⌦
⌦
⌦
=temps caractéristique défini par U 00 et la masse :
ec un
1
|U (x )|
1
2
⌦
⌦1
00
pression diverge logarithmiquement.
dit, le point x seThéorèmes/
rapporche deénergie
x⌦ expon
⌦
⌦
x1 Autrement
cin
r
tte
expression
diverge
logarithmiquement.
Autrement
dit, le poin
m U 00 et la masse
tement
avec un temps
caractéristique
défini par
:
t/⌧
|x x⌦ | ⇡ e
⌧=
00 (x )|
00
|U
r⌦
nt lentement avec un temps caractéristique
défini
par
U
et la ma
m
⌦
|x x⌦ | ⇡ e t/⌧ ⌧ =
|U 00 (x⌦ )|
r
x|
|x
x|
ent dit, le point x se rapporche de x
exponen-
ffirmer :
Energie cinétique et potentielle autre
aspect
géométrique
r
Z
Z
r
x1 suffisamment près de x⌦ . De plus le caractère instable nous impose que U 00 < 0, ce qu
ffirmer :
t⌦
m
t1 ⇡
r 2 Z
x⌦
x1
p
dx
1/2|U 00 (x )||x
⌦
⌦
=
x| r
m
|U 00 (x⌦Z)|
x⌦
x1
dx
|x⌦
x|
x⌦
x⌦
m
dx
m
dx
p
=
t ⌦ t1 ⇡
00 (x )|
00
1
|U
x|
/
|U
(x
)||x
x|
xpression diverge 2logarithmiquement.
Autrement
dit,
le⌦pointx1x |x
se⌦rapporche
de x
x1
2
⌦
⌦
entement avec un temps caractéristique défini par U 00 et la masse :
expression diverge logarithmiquement. Autrement dit, le point x se rapporche de x⌦ exp
entement avec un temps caractéristique défini par Ur00 et la
masse :
m
|x x⌦ | ⇡ e t/⌧ ⌧ =
r |U 00 (x⌦ )|
m
t/⌧
|x x⌦ | ⇡ e
⌧=
|U 00 (x⌦ )|
On se rapproche du point d’équilibre instable exponentiellement lentement avec un temps
caractéristique qui dépend de la masse de l’objet et de la dérivée seconde du potentiel.
otentiel
U
.
Pour la gravitation locale, nous avons :
fondamentales de laEnergie
physique cinétique
sont conservatives
;
et potentielle
nous
:
!
!
nt
doncavons
d’un potentiel
U Champ
. !
de
gravitation
!
f = m g = mg 1z = rU
>
U (x, y, z) = m
avitation
locale, nous
avons
: vu!
!Pour la gravitation
!
locale
nous
avons
que:
!
m g = mg
1z = totale
rU s’écrit
> donc
U :(x, y, z) = mgz
etf la=conservation
de l’énergie
!
!
!
!
f = m g = mg 1z = rU
> U (x, y, z) = mgz
1/2mv2 + mgz = E
rgie totale s’écrit donc :
la conservation
de l’énergie
donc:donc :
rvation
de l’énergie
totales’écrit
s’écrit
Gravitation universelle1
2 = E
/2mv +1/mgz
mv
+ mgz = E
2
2
Nous pouvons évaluer le potentiel pour chaque force rencontrée. Par exemple,
laNous
force
quivu s’exerce
de A sur
B est donnée par
avons
la force universelle
de gravitation:
n universelle
G MA MB !
!
ons évaluer le potentiel pour chaque force rencontrée.
pour la gravi
BA
F A/B = Par exemple,
3
|AB|
otentiel pour chaque force rencontrée. Par exemple, pour la grav
i s’exerce de A sur B est donnée par
sur
donnée
parde référence centré en O, nous pouvons calculer la p
DansBunest
système
inertiel
G MA MB !
!
BA
F A/B =
✓
◆
3
|AB|
!MB !! G MA MB
! d !
G
M
!
A
vB =
BA· OB
F A/B = PB = F A/B ·BA
3
|AB|
dt
orce gravitationnelle
ce d’attraction gravitationnelle entre deux points de masses m1 et m2 varie en raison inverse
La force gravitationnelle
distance r entre les deux objets, elle est dirigée suivant le vecteur qui relie les deux objets et
la distance r entre les deux objets, elle est dirigée suivant le vecteur qui relie les deux objets et est
!
!
nelle
produit
masses
deux
F 1/2 créée par la masse m1 et qui agit
onnelle auau
produit
des massesdes
des deux
objets. Lades
force F
crééeobjets.
par la masseLa
m etforce
qui agit sur
!
que celle F !
agissant de m sur m s’écrivent :
pour
gravitation
nous
avons
vus’écrivent
que:
ueRappel,
celle F
agissant
de
m
sur
m
:
2
1
2/1 la
m m
m m
orce d’attraction gravitationnelle entre deux points de masses m1 et m2 varie en raison inverse du
1
1/2
2
2/1
!
F 1/2 =
1
1
G
2
r2
!
1 1/2
et
!
F 2/1 =
G
1
r2
2
!
1 2/1
m!1 m2est !
m1 m2 !
!
!unité qui est
m ·kg ·s , le vecteur 1
un vecteur de longueur
F 1/2 = G
1 1/2 et F 2/1 = G
1 2/1
2
2
m vers m .
r
r
ton a aussi montré qu’un corps sphérique de rayon R, de centre C et dont la masse M est distribuée
!
ment, autrement dit : dont la masse par unité
la même
2 partout dans la sphère,
ns
le SI : 6.67259 ⇥ 10 11 mde3volume
·kg est1 ·s
, le vecteur 1produit
1/2 est un vecteur de longueur unité qui
dans le SI : 6.67259 ⇥ 10
1
1
11 3
2
1/2
2
e d’attraction gravitationnelle totale identique à celle produite par un seul point de même masse
de la .sphère.
mau1 centre
versC m
2
n a aussi montré qu’un corps sphérique de rayon R, de centre C et dont la masse M est distrib
ent, autrement dit : dont la masse par unité de volume est la même partout dans la sphère, prod
d’attraction gravitationnelle totale identique à celle produite par un seul point de même ma
Newton a aussi montré qu’un corps sphérique
centre
C de produites
la sphère.
forces
gravitationnelles
par chaque partie de cette sphère sur une masse m s’additionnent
de rayon R, de centre C et dont la masse M est
laisser qu’une force totale pointant vers le centre de la sphère et indépendante de son rayon R. On
distribué
c faire abstraction des rayons des planètes dans le calcul de la force de gravitation, sous
l’hypothèseuniformément, autrement dit : dont la
planètes sont sphériques.
masse par unité de volume est la même partout
ation !
a de la Terre (de masse M ) et l’accélération !
a de la Lune (de masse M ) sont déterminées
dans la sphère, produit une force d’attraction
quations :
gravitationnelle totale identique à celle produite
M M !
!
M !
a =F
= G
1
par un seul point de même masse M situé au
r
M M !
!
centre C de la sphère.
M !
a =F
= G
1
TH
T
T
L
L
L
L
T /L
T
L
2
TL
T /L
T
T
L/T
T
L
2
rT L
L/T
est la distance qui sépare la Terre de la Lune et où nous avons fait l’hypothèse que la masse
(inertie)
fois plus petite que la Lune. On peut donc, sans g
La
force
gravitationnelle
e la Terre sera 100 fois plus petit que celui de la Lune. M
TL
T /L
pour ne laisser qu’une force totale pointant
vers
le centre!
de la sphère et indépendante d
!
Lune, est construit en divisant le vecteur Terre-Lune : T L, par sa longueur kT Lk. Les
peut donc!faire abstraction!
des rayons des planètes dans le calcul de la force de gravitatio
ment des vecteurs positions OL de la Lune et OT de la Terre sont :
que ces planètes sont sphériques.
!
!
L’accélération
a
de
la
Terre
(de
masse
M
)
et
l’accélération
a L de la Lune (de masse M
T
T
8
!
⇣
⌘
2
d
G MT
! G MT LT
!
!
!
>
>
OL = !système
OL =de !
les
équations
>
L’accélération
lacartésiennes
Terre
100OL
fois àplus
petite
que la Lune. On peu
! par
! 3 estOT
inertiel
de
coordonnées
considéré
l’instant
t,
2 Dans un
<
2 :
2
dt
kLT k kLT k
kOT OLk
que
la
Lune.
On
peut
donc,
grand
calcul,
stepositionnons
petite
que
la
Lune.
On
peut
donc,sans
sans
grand
calcul,
> la Lune:
la!Terre
et
⇣
⌘
2
intuitivement
dire
que
le
mouvement
de
la
Terre
sera
fois plus petit que cel
>
M100
d
G
M
!
!
!
T ML !
L
>
! G ML T L
!
>
MLOL
a LTerre
=
F T /Lest
= 100
G fois
1 T /Lpetite que la
OT = !
OT
de
la
plus
: 2 L’accélération
OT
=
!
2
!
!
2 sera 1002 foisde
3
rT L
dt que
petit
celui
Lune.Mais
Mais
tentons
kOL
OT
préciser
cela
en essayant
dekla
déterminer
la vraie
trajectoire.
kT Lk5-2
kT Lkplus
100 fois
plus
petit
que
celui
de de
la
Lune.
tentons
Mla
intuitivement
dire
que
le
mouvement
de
Terre
!
TM
L ! sera 100 fois p
!
Dans
un
système
inertiel
de
coordonnées
cartésiennes
considéré
M
a
=
F
=
G
1 L/T à l’instant t,
T
T
L/T
2
ie
trajectoire.
rT L
jectoire.
!
ner la vraie trajectoire.
nnées cartésiennes considéré à l’instant t, désignons par O
et de la Lune.
On
peut
donc
dire
que
laOn
préciser
cela en
dede
déterminer
ladistance
vraie
trajectoire.
OL(t) les de
vecteurs
position
de essayant
la Terre
et
la Lune.
peut donc
direTerr
que
!
!
tésiennes
considéré
t, système
désignons
par
OT
(t)Lune
et!par
par
!
où
rà l’instant
est Dans
la distance
qui sépare
la!
Terre
decoordonnées
la
et
où cartésiennes
nous!
avons faitconsid
l’hypo
!
!
un
inertiel
de
nes
considéré
à
l’instant
t,
désignons
par
OT
(t)
et
est la longueur du vecteur rT L = kT Lk = kOL OT k. De
même, le vecteur
kLune.
= kOL
OT
De
même,
le
vecteur
unité
,
qu
d’inertie
Mk.
de la
Terre
qui apparaı̂t
dans la deuxième
loi de 1
Newton
est
égal
!dire
!
T
/L
On peut
donc
que
la
distance
Terre-Lune
r
TL
OL(t)vers
les Lune,
vecteurs
position en
dedivisant
la Terrele et
de laTerre-Lune
Lune. On: peu
direction
Terre
est
construit
vecteur
T
L,
. On!peut donc
dire
que
la
distance
Terre-Lune
r
itationnelle M
qui apparait !
dans la loi d’attraction
universelle
reviendrons
T L ! (nous
!
!
!
!
!
du vecteur
mouvement
des
vecteurs
depar
lalaLune
et longueur
OT k.
de la
est
la longueur
du
vecteur
=T
kOL
T Lk
=
kOL
OT
DeTer
m
k. De équations
même,
le
unité
1 T /Lpositions
, rqui
indique
TL
le
vecteur
Terre-Lune
:
L,
sa
! enOTdivisant
!
loin).
T k. De même, le vecteur
unité
1
,
qui
indique
la
!
!
T
/L
direction
Terre
Lune,
est M
construit
en
divisant
leTerre
vecteur
T
Les données
actuelles
M vers
⇡sa
5.98
10 kg,
⇡
7.35
10
kg,
distance
- Lune
!
ant le vecteur !
Terre-Lune
:
T
L,
par
longueur
k
T
Lk.
Les
!
!
8 2 sont!
!
⇣
2
positions
OL
de
la
Lune
et
OT
de
la
Terre
:
G
M
LT
d
G
M
(soit approximativement
60
rayons
terrestres
R
⇡
6.37
10
m)
nous
permettent
de
calcule
vecteur
Terre-Lune
: T L,d par
sa
longueur
k
T
Lk.
Les
!
!équations
!
!
T
T Lune
>
du mouvement
des vecteurs
> positions OL de la
TH
(inertie)
T
(grav)
T
T
OL =sont
OL de la Lune
et
OT
de
la
Terre
! :
2
dt
force et des accélérations
respectives.2
24
22
L
T
6
OL = !
O
>
!
!
<
2
3
dt
!
kLT k kLT k
kOT OLk
nous
dit et
que du
la dérivée
rapport
au:latemps
la position
> de la 2Lune
5-4
euation
laLes
Lune
OT
deseconde
la Terre
sont
équations
mouvement
de par
la 2Terre
et de
Lune de
deviennent:
!
⇣
>
d
G
M
!
dpositions
G laM2Lune
8 2L
>
! de
L 20 TetLde la Terre. Il
!
>
5
2
3O
on) dépend, de
manière
compliquée,
des
en
va
de
OT
=
:
OT
=
5-3
F
=
F
1.98
10
N
;
a
=
3.3
10
m
s
;
a
=
2.7
10
!
!
G
M
LT
d
d
T
L
T
/L
L/T
!
!
!
!
T
>
8 2
2
3
2OL
dt2
>
dt
k
OL
OT
k
⇣
⌘
k
T
Lk
k
T
Lk
=
OL
=
>
2 donc notre premier système d’équations
ation de la Terre. Nous rencontrons
! di↵érentielles
!
8
⇣
⌘
2
<
2
d
G
M
!
!
!
2
T
>
dt
dt
d
G
M
k
LT
k
k
LT
k
k
!
!
!
T
!>
! OL =>
OT
OL
>
!
>
OT
(t) et OL(t).
> OL 2
5-4 !
⇣
⌘
2
2<
OL
=
OT
3
!
>
dt
2
kOT
OLk !
>
dplifier en
M
!
!
d
!soustrayantG<
!
T
!
d
G
M
T
L
2
>
!
L
3
les
deux
équations
pour
faire
disparaı̂tre
toute
référence
au
point
>
dt
OT
=
=
OT
OL
:
OT
=
k2>OL
k
OT
OLk
!
!
2
⇣
⌘
!
!
2
2
!
2le kvecteur
dt
3
dt
k
d
G
M
tdes>
k
T
Lk
T
Lk
!
!
!
coordonnées.
Nous
obtenons
alors
une
équation
qui
ne
concerne
que
T
L,
L
k
OT
OLk
>
>
OL OT
⇣
⌘
: 2 OT = ! 2 !
Forces/ La for
kOL OT k
kT Lk kT Lk
8 2
!
!
!
!
⇣
⌘
G MT LT
d
G
M
!
!
!
T
>
est
la
longueur duOTvecteur
rT L = kT Lk = kOL OT k. De mê
>
= !
OL
=
OL
>
!
!
!
< dt2
2 kLT k
3
k
LT
k
kOTfois OLk
L’accélération de >la Terredirection
est 100
plus
petite
que est
la Lune.
On en
peut
donc, sans
grand cal
Terre
vers
Lune,
construit
divisant
le
vecteur
Te
!
⇣
⌘
2
>
d
G ML
!
! et de la Lune sont:
! du mouvement
G ML T L
>
Les
équations
de
la
Terre
>
OL100OT
tivement
la Terre
sera
fois plus petit que celui de la!
Lune. Mais tent
: 2 OT = de!
=
!
! 2 dire
! que le mouvement
3
équations
du
mouvement
des
vecteurs
positions
OL
de la Lune e
dt
kOL OT k
kT Lk kT Lk
dt
La force gravitationnelle
réciser cela en essayant de déterminer la vraie trajectoire.
!
Dans un système inertiel de coordonnées cartésiennes considéré à l’instant t, désignons
par OT (t) et
8
!
2
2
G
M
LT
d
d
!
!
T dire que la distance
>
) les vecteurs position de la Terre et de la Lune. OL
On =
peut donc
Terre-Lune
>
OL =
>
!
!
2
<
2
2 kLT k
!
! dt!
! dt
k
LT
k
k
a longueur du vecteur rT L = kT Lk = kOL OT k. De même, le vecteur unité 1 T /L , qui indiqu
>
!grand
2
Terre est 100 fois5-4plus petite que la Lune. 2On peut donc, sans
calcul,
!
!
>
d
!
ML T L
>
tion Terre vers Lune, est construit en divisant dle vecteur
Terre-Lune
: T L, par sa longueur
k
T
Lk.
! G
>
OT
=
: 2
OTcelui
= de
!la!
!
!dt2que
mouvement de la Terre sera 100 fois plus petit
Lune.
Mais
tentons
2 de
dt
k
tions duLamouvement
des
vecteurs
positions
OL
de
la
Lune
et
OT
la
Terre
sont
:
k
T
Lk
k
T
Lk
première équation nous dit que la dérivée seconde par rapport au temps de la position de la Lu
nt de déterminer la vraie trajectoire.
(donc son accélération) dépend, de manière compliquée, des positions de la Lune
et de la Terre. Il en va
!
rtiel de coordonnées
cartésiennes!considéré à 8
l’instant
t, désignons par OT
(t) et par⌘
⇣
2
2
LT Nous rencontrons
d
G premier
MT
d ! GM
même pour l’accélération
deT la Terre.
donc notre
système
di↵érentie
!
! d’équations
!
>
>
OL
=!
OL =
OT OL
>
!
!
!
!
!
on pour
de lalesTerre
et
de
la
Lune.
On
peut
donc
dire
que
la
distance
Terre-Lune
rT L
2
<
2
2
3
dt
dt
k
LT
k
k
LT
k
k
OT
OLk
inconnues
OT
(t)
et
OL(t).
nous dit que !
la dérivée !
seconde!par rapport >
au temps de la position !
de la Lune
⇣ indique
⌘ référence au po
2
ur rT L On
= kpeut
T Lk
kOL
OTsoustrayant
k.T!
De même,
le
vecteur
unité
1
,
qui
la
2 le=simplifier
T
/L
>
d
G
M
en
les
deux
équations
pour
faire
disparaı̂tre
toute
!
!
!
d
G
M
L
L
>
pend, de manière compliquée,
des
et de la Terre. Il en va de
!
L positions de la Lune
>
OT
= !
OL
OT
!
!
:
OT
=
!
!
!
2
2en divisant
3 ne
e, la
est
construit
le
Terre-Lune
: Talors
L, par
sa
longueur
kT concerne
Lk. Les que le vecteur T
2 vecteur
dtd’équations
dtrencontrons
O,
origine
arbitraire
des
coordonnées.
Nous
obtenons
une
équation
kOL
OT kqui
de
Terre.
Nous
donc
système
di↵érentielles
kT Lk
knotre
T Lkpremier
!
!
!
des
vecteurs
positions
OL
de
la
Lune
et
OT
de la Terre sont :
position
de
la
Lune
par
rapport
à
la
Terre
:
et OL(t).
On peut simplifier ces équations en les soustrayants pour faire disparaitre la référence à l’origine:
en soustrayant les deux équations pour faire disparaı̂tre toute référence au point
2
2 vecteur T!
8
! obtenons
oordonnées. Nous
alors
une
équation
qui
ne
concerne
que
le
L, T + ML ) !
d
G
M
G
M
d
G(M
⇣
2 T !
!
!⌘
L !
G MT LT
d
G
M
!
!
!
TL >
= ! LT
TL
>
TL =
TL
!
!
>
2
2
3
3
3
=
OL
=
OT
OL
>
dt
pport!à la
Terre
T 2Lk
k!
T Lk ! 3
kT Lk
!: dt
< kdt
2
kLT k
kLT k
kOT OLk
>
!
!
⇣
⌘
2
L’accélération
de
la
position
relative
de
la
Lune
par
rapport
à
la
Terre
T
L, est dirigée de L vers T
>
d
G
M
!
!
!
G ML T L
L
>
2
>
GM
G
M
d OT
G(MT !
+
Mqui
OL
!
!
!=équations
! pasOT
T
L
L ) n’est
:
=
!
.....il
ne
reste
plus
qu’à
résoudre
ces
ce
!
!
2
inversément
proportionnelle
carré
vecteur.évidant.... à suivre....
= est
LT
TL
> dt à2 la
T Llongueur
=kOL auOT
TL
3 du
2
!
!
!
k
k
T
Lk
k
T
Lk
nous dit que la dérivée seconde par r
dtLa premièrekTéquation
kT Lk3
kT Lk3
Lk3
aluer
le potentiel pour chaque force rencontrée. Par exemple, pour la gravitatio
universelle
Gravitation
universelle
et
potentiel
ns
évaluer
potentiel
pour
chaquepar
force rencontrée. Par exemple, pour la gravitation universelle,
rce
de Alesur
B est
donnée
s’exerce de A sur B est donnée par
G MA MB !
!
BA
=MA MB !
!F A/B G
3
|AB|
BA
F A/B =
3
|AB|
Dans un système inertiel de référence centré en O, nous pouvons calculer la
inertiel
de
référence
centré
en
O,
nous
pouvons
calculer
la
puissance
au
tème
inertiel
de
référence
centré
en
O,
nous
pouvons
calculer
la
puissance
au
point
B
:
puissance au point B et A:
✓
✓ ◆
◆
G MG
MBA M!
d !
!
A M
d
!
!
!
!
B
!
P
=
F
·
v
=
BA·
OB
B
B
A/B
PB = F A/B · v B =|AB|3 3 dt BA· OB
puissance au point A est donnée par :
PA
|AB|
poin
dt
Théorèmes/ énergie cinétique - potentielle
99
✓
◆ Théorèmes/ énergie cinétique
G MA MB
!
! d !
!
= F B/A · v A =
AB· OA
3
|AB|
dt
ssance fait intervenir le point O origine des coordonnées alors que la force ne dépend que de la
re les masses. On obtient une forme qui ne contient plus le point O si on calcule la puissance
Chaque puissance de la force fait intervenir le point d’origine des coordonnées mais la force ne
dépend que des distances entre les masses.
✓
◆
G MA MB
! d !
! d !
PA + PB =
BA· OB + AB· OA
3
|AB|
dt
dt
✓
◆
G MA MB ! d !
d !
=
BA·
OB
OA
3
ur B est donnée par
G MA MB !
!
BA
F A/B
=
de même
la puissance
|AB|3 au point A est donnée par :
Gravitation universelle et potentiel
✓
◆
de
même
la
puissance
au
point
A
est
donnée
par
:
e référence centré en O, nous pouvons calculer la puissance
au point
BA
: MB
GM
!
! d !
!
6-51
PA = F B/A · v A =
AB· OA
✓
◆
3
✓
◆
|AB|
dt
G
M
M
d
!
!
!
A
B
!
!
! d !
6-51G MA MB
P
=
F
·
v
=
AB·
OA
A
A
!
B/A
PB = F A/B · v B =
BA· OB
|AB|3
dt
3
|AB|
dt
Chaque puissance fait intervenir le point O origine des coordonnées alors que la force ne dépend q
Chaque puissance fait intervenir le point O origine des coordonnées alors que la force ne dép
énergie
cinétique
99 plus le point O si on calcule la p
distance entre les masses. OnThéorèmes/
obtient une
forme
qui- potentielle
ne contient
distance
lespossible
masses. On
obtient une
nene
contient
plus plus
le point
O si on calcul
Si l’on calcule la puissance
totaleentre
il est
d’obtenir
une forme
formequiqui
contient
le point
totale :
d’origine:
totale :
6-52
6-52
✓
◆
✓
◆
G MA MB G!
d
d
!
!
!
MA MOB
d ! OA! d !
B
PA + PB = PA + P3 B = BA·
+!AB·
BA·
OB + AB· OA
|AB|
dt3
|AB|
dt dt
dt
✓
◆
✓
◆
M
M
d
d
G MA MB G
d
d
!
!
!
! A B!
!
=BA·
BA·
OB
OA
=
OB
OA
3
|AB|dt
dt
|AB|3
dtdt
M MB ! d !
G MA MB = G
! dA 3!
BA· AB
=
BA·
AB
|AB|
dt
|AB|3
dt
G MA MB ! d !
G MA M=
d 3 ! AB· dt AB
!|AB|
B
=
AB· AB
|AB|3
G Mdt
A MB d
=
|AB|
G MA MB d |AB|2 dt
=
|AB|
|AB|2 = ddtG MA MB
d G MA MBdt |AB|
=
|AB|pour le théorème de conservation de l’énergie si on tien
On obtient donc la formedtattendue
deux masses ensemble, c’est-à-dire si on prend en compte le système physique fermé constitué
On obtient donc la forme attendue pour le théorème de conservation de l’énergie si on tient com
masses enpour
interaction.
On obtient
donc
le théorème fondamental
de
la
conservation
de l’énerg
On deux
obtient
la
forme
attendue
le
théorème
de
la
conservation
de
l’énergie
si
on
tient
compte
masses ensemble,
c’est-à-dire
si nous
on prend
en
compte le système physique fermé constitué par
du
système
fermé
qui
impose
:
des deux masses ensembles, un système physique fermé et formé de deux corps.
e, c’est-à-dire si on prend en compte le système physique fermé constitu
G
M
M
d
!
!
emble,
c’est-à-dire
si
on
prend
en
compte
le
système
physique
fermé
constitu
A
B
onc la forme attendue pour le théorème de conservation
de
l’énergie
si
on
tient co
=
BA·
AB
. On obtient donc
le théorème
fondamental
de
la
conservation
de l’éner
3
Gravitation
universelle
et
potentiel
|AB|
dt
ction.
obtient donc
théorème
fondamental
la conservation
de l’éner
ensemble,
si onleprend
en compte
le systèmedephysique
fermé constitué
par
6-52 Onc’est-à-dire
nous impose :
G MA MB ! d !
éeraction.
quiobtient
nous
On
obtient: donc
le théorème
fondamental
de l’énergie
On
leimpose
théorème
fondamental
de la conservation
de l’énergie
partant
=de laenconservation
AB·
AB en
3
|AB|
dt
du système fermé considéré:
rmé qui nous impose
d d1
d 1d :
2
2
M
MB d
A
( /2(M
v
)
+
(
/
M
v
)
+
P
2
2 = PA G
2
B
B
1/A
1
A
B
+ ( /2MB vB ) =
= PA + PB2
|AB|
dt dtd 2MA vA ) dt
d
dt
|AB|
dt
2
( 1/2MA vA ) + ( 1/2MB v2B ) = PA + PB
dt
dt
MA MB
d Gobtient
de
la
puissance
totale
calculée
précédemment,
on
orme de la puissance totale calculée précédemment,
la conservation
conservation
= on obtientla
dt obtient
|AB|la conservation dans
a forme de la puissance totale calculée précédemment, on
: :du résultat obtenu précédemment:
esystème
système
Endu
tenant
compte
otale du système :
On obtient donc la forme attendue pour le théorème de conservati
G
M
M
G
M
M
A
BB
A
2
2
2
2
1/2M
1
1/A
1
MBprend
vensemble,
+A2 +
/2M
vBBv2B G MsiAon
==EE
v
/
M
2B
A
deux masses
c’est-à-dire
en
compte
le
système
A
12/M
1
=
E
2MA vA + /2MB vB
|AB|
|AB|
|AB|
masses en interaction. On obtient donc le théorème fondamental de
ielle
gravitationnelle
UU du
système
formé
des
deux
masses
est
donc
donnée
pa
gravitationnelle
U
du
système
formé
des
deux
masses
est
donc
donnée
p
entielle
gravitationnelle
du
système
formé
des
deux
masses
est
donc
donnée
par
L’énergie
potentielle
gravitationnelle
U
du
système
formé
par
deux
masses
est:
du système fermé qui nous impose :
6-53
G
M
G
M
MM
AA
BB
G
M
M
A
B
d 1
d 1
U=
=
2
2
U=
(
/
M
v
)
+
(
/
M
v
|AB|
2 B B ) = PA
|AB| 2 A A
|AB|
dt
dt
ération
la forme
de la qu’il
puissance
totale
précédemment,
o
Choix En
d’un injectant
potentiel négatif
en considérant
s’annule pour
une calculée
distance infinie,
où la force
tion
de gravitation
entre deux
est nulle
lication
immédiate
de laobjet
conservation
de l’énergie dans un champ de gravitation c