CONSERVATION DE L’ENERGIE Suite....

CONSERVATION DE L’ENERGIE
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6-6 L’´energie cin´etique – l’´energie potentielle
Reprenons l’´equation de Newton du mouvementm! a=! fd’un pointde masse constante msoumis `a
une force totale ! f.Si nous e↵ectuons le produit scalaire par la vitesse ! vsur chaque membre de l’´egalit´e,
nous obtenons successivement :
6-38
m! a·! v=! f·! v
d
dt 1
/
2mv2=!
f·! v
Le terme 1 /
2mv2est appel´e ´energie cin´etique Ec,le produit scalaire !
f·! vla puissance Pde la force. Cette
´equation est une ´equation scalaireobtenue en partantd’´equations vectorielles :nous avons donc perdu
des informations spaciales.L’´energie cin´etique ne renseigne que sur le module de la vitesse et non sur sa
direction. La derni`ere ´equation peut ˆetre int´egr´ee pour obtenir le th´eor`eme de l’´energie cin´etique :
6-39 1 /
2mv2(t2)1
/
2mv2(t1) = Zt2
t1
!
f·! v(t)dt =Zt2
t1
P(t)dt
qui dit que la variation d’´energie cin´etique Ecentre les instants t2et t1est ´egale `a l’int´egrale de la puissance
Pentre les deux instants.
La d´efinition du vecteur vitesse ! vcomme la d´eriv´ee du vecteur position, ou comme rapport du
d´eplacementinfinit´esimal d! xsur le temps infinit´esimal dt,nous autorise de r´e-´ecrire l’int´egrale de la puis-
sance sous une forme plus g´eom´etrique o`u n’apparaˆıt plus le temps :
6-40 Zt2
t1
P(t)dt =Zt2
t1
!
f·! v(t)dt =Zt2
t1
!
f·d! x=T
la nouvelle forme est appel´ee le travail Te↵ectu´e par la force totale ! fsur la trajectoire ! x(t). Puisque le
d´eplacementinfinit´esimal d! xest par d´efinition tangent `a la trajectoire, le produit scalaire ne retientdonc
de la force totale ! fque la partie parall`ele au d´eplacement. La quantit´e de travail infinit´esimale dTainsi
obtenue est alors somm´ee en suivantla trajectoire depuis l’instantt1jusqu’`al’instantt2.On appelle aussi
cette int´egrale une int´egrale de chemin.
Illustrons ce processus sur un cas simple o`u seule la force gravitationnelle locale agit (! f=m! g)et
calculons le travail sur la trajectoire parabolique du tir balistique.
Th´eor`emes/ ´energie cin´etique - potentielle 97
6-6 L’´energie cin´etique – l’´energie potentielle
Reprenons l’´equation de Newton du mouvementm! a=! fd’un pointde masse constante msoumis `a
une force totale ! f.Si nous e↵ectuons le produit scalaire par la vitesse ! vsur chaque membre de l’´egalit´e,
nous obtenons successivement :
6-38
m! a·! v=! f·! v
d
dt 1
/
2mv2=!
f·! v
Le terme 1 /
2mv2est appel´e ´energie cin´etique Ec,le produit scalaire !
f·! vla puissance Pde la force. Cette
´equation est une ´equation scalaireobtenue en partantd’´equations vectorielles :nous avons donc perdu
des informations spaciales.L’´energie cin´etique ne renseigne que sur le module de la vitesse et non sur sa
direction. La derni`ere ´equation peut ˆetre int´egr´ee pour obtenir le th´eor`eme de l’´energie cin´etique :
6-39 1 /
2mv2(t2)1
/
2mv2(t1) = Zt2
t1
!
f·! v(t)dt =Zt2
t1
P(t)dt
qui dit que la variation d’´energie cin´etique Ecentre les instants t2et t1est ´egale `a l’int´egrale de la puissance
Pentre les deux instants.
La d´efinition du vecteur vitesse ! vcomme la d´eriv´ee du vecteur position, ou comme rapport du
d´eplacementinfinit´esimal d! xsur le temps infinit´esimal dt,nous autorise de r´e-´ecrire l’int´egrale de la puis-
sance sous une forme plus g´eom´etrique o`u n’apparaˆıt plus le temps :
6-40 Zt2
t1
P(t)dt =Zt2
t1
!
f·! v(t)dt =Zt2
t1
!
f·d! x=T
la nouvelle forme est appel´ee le travail Te↵ectu´e par la force totale ! fsur la trajectoire ! x(t). Puisque le
d´eplacementinfinit´esimal d! xest par d´efinition tangent `a la trajectoire, le produit scalaire ne retientdonc
de la force totale ! fque la partie parall`ele au d´eplacement. La quantit´e de travail infinit´esimale dTainsi
obtenue est alors somm´ee en suivantla trajectoire depuis l’instantt1jusqu’`al’instantt2.On appelle aussi
cette int´egrale une int´egrale de chemin.
Illustrons ce processus sur un cas simple o`u seule la force gravitationnelle locale agit (! f=m! g)et
calculons le travail sur la trajectoire parabolique du tir balistique.
Th´eor`emes/ ´energie cin´etique - potentielle 97
6-6 L’´energie cin´etique – l’´energie potentielle
Reprenons l’´equation de Newton du mouvementm! a=! fd’un pointde masse constante msoumis `a
une force totale ! f.Si nous e↵ectuons le produit scalaire par la vitesse ! vsur chaque membre de l’´egalit´e,
nous obtenons successivement :
6-38
m! a·! v=! f·! v
d
dt 1
/
2mv2=!
f·! v
Le terme 1 /
2mv2est appel´e ´energie cin´etique Ec,le produit scalaire !
f·! vla puissance Pde la force. Cette
´equation est une ´equation scalaireobtenue en partantd’´equations vectorielles :nous avons donc perdu
des informations spaciales.L’´energie cin´etique ne renseigne que sur le module de la vitesse et non sur sa
direction. La derni`ere ´equation peut ˆetre int´egr´ee pour obtenir le th´eor`eme de l’´energie cin´etique :
6-39 1 /
2mv2(t2)1
/
2mv2(t1) = Zt2
t1
!
f·! v(t)dt =Zt2
t1
P(t)dt
qui dit que la variation d’´energie cin´etique Ecentre les instants t2et t1est ´egale `a l’int´egrale de la puissance
Pentre les deux instants.
La d´efinition du vecteur vitesse ! vcomme la d´eriv´ee du vecteur position, ou comme rapport du
d´eplacementinfinit´esimal d! xsur le temps infinit´esimal dt,nous autorise de r´e-´ecrire l’int´egrale de la puis-
sance sous une forme plus g´eom´etrique o`u n’apparaˆıt plus le temps :
6-40 Zt2
t1
P(t)dt =Zt2
t1
!
f·! v(t)dt =Zt2
t1
!
f·d! x=T
la nouvelle forme est appel´ee le travail Te↵ectu´e par la force totale ! fsur la trajectoire ! x(t). Puisque le
d´eplacementinfinit´esimal d! xest par d´efinition tangent `a la trajectoire, le produit scalaire ne retientdonc
de la force totale ! fque la partie parall`ele au d´eplacement. La quantit´e de travail infinit´esimale dTainsi
obtenue est alors somm´ee en suivantla trajectoire depuis l’instantt1jusqu’`al’instantt2.On appelle aussi
cette int´egrale une int´egrale de chemin.
Illustrons ce processus sur un cas simple o`u seule la force gravitationnelle locale agit (! f=m! g)et
calculons le travail sur la trajectoire parabolique du tir balistique.
Th´eor`emes/ ´energie cin´etique - potentielle 97
6-6 L’´energie cin´etique – l’´energie potentielle
Reprenons l’´equation de Newton du mouvementm! a=! fd’un pointde masse constante msoumis `a
une force totale ! f.Si nous e↵ectuons le produit scalaire par la vitesse ! vsur chaque membre de l’´egalit´e,
nous obtenons successivement :
6-38
m! a·! v=! f·! v
d
dt 1
/
2mv2=!
f·! v
Le terme 1 /
2mv2est appel´e ´energie cin´etique Ec,le produit scalaire !
f·! vla puissance Pde la force. Cette
´equation est une ´equation scalaireobtenue en partantd’´equations vectorielles :nous avons donc perdu
des informations spaciales.L’´energie cin´etique ne renseigne que sur le module de la vitesse et non sur sa
direction. La derni`ere ´equation peut ˆetre int´egr´ee pour obtenir le th´eor`eme de l’´energie cin´etique :
6-39 1 /
2mv2(t2)1
/
2mv2(t1) = Zt2
t1
!
f·! v(t)dt =Zt2
t1
P(t)dt
qui dit que la variation d’´energie cin´etique Ecentre les instants t2et t1est ´egale `a l’int´egrale de la puissance
Pentre les deux instants.
La d´efinition du vecteur vitesse ! vcomme la d´eriv´ee du vecteur position, ou comme rapport du
d´eplacementinfinit´esimal d! xsur le temps infinit´esimal dt,nous autorise de r´e-´ecrire l’int´egrale de la puis-
sance sous une forme plus g´eom´etrique o`u n’apparaˆıt plus le temps :
6-40 Zt2
t1
P(t)dt =Zt2
t1
!
f·! v(t)dt =Zt2
t1
!
f·d! x=T
la nouvelle forme est appel´ee le travail Te↵ectu´e par la force totale ! fsur la trajectoire ! x(t). Puisque le
d´eplacementinfinit´esimal d! xest par d´efinition tangent `a la trajectoire, le produit scalaire ne retientdonc
de la force totale ! fque la partie parall`ele au d´eplacement. La quantit´e de travail infinit´esimale dTainsi
obtenue est alors somm´ee en suivantla trajectoire depuis l’instantt1jusqu’`al’instantt2.On appelle aussi
cette int´egrale une int´egrale de chemin.
Illustrons ce processus sur un cas simple o`u seule la force gravitationnelle locale agit (! f=m! g)et
calculons le travail sur la trajectoire parabolique du tir balistique.
Th´eor`emes/ ´energie cin´etique - potentielle 97
Energie cinétique Puissance
6-6 L’´energie cin´etique – l’´energie potentielle
Reprenons l’´equation de Newton du mouvementm! a=! fd’un pointde masse constante msoumis `a
une force totale ! f.Si nous e↵ectuons le produit scalaire par la vitesse ! vsur chaque membre de l’´egalit´e,
nous obtenons successivement :
6-38
m! a·! v=! f·! v
d
dt 1
/
2mv2=!
f·! v
Le terme 1 /
2mv2est appel´e ´energie cin´etique Ec,le produit scalaire !
f·! vla puissance Pde la force. Cette
´equation est une ´equation scalaireobtenue en partantd’´equations vectorielles :nous avons donc perdu
des informations spaciales.L’´energie cin´etique ne renseigne que sur le module de la vitesse et non sur sa
direction. La derni`ere ´equation peut ˆetre int´egr´ee pour obtenir le th´eor`eme de l’´energie cin´etique :
6-39 1 /
2mv2(t2)1
/
2mv2(t1) = Zt2
t1
!
f·! v(t)dt =Zt2
t1
P(t)dt
qui dit que la variation d’´energie cin´etique Ecentre les instants t2et t1est ´egale `a l’int´egrale de la puissance
Pentre les deux instants.
La d´efinition du vecteur vitesse ! vcomme la d´eriv´ee du vecteur position, ou comme rapport du
d´eplacementinfinit´esimal d! xsur le temps infinit´esimal dt,nous autorise de r´e-´ecrire l’int´egrale de la puis-
sance sous une forme plus g´eom´etrique o`u n’apparaˆıt plus le temps :
6-40 Zt2
t1
P(t)dt =Zt2
t1
!
f·! v(t)dt =Zt2
t1
!
f·d! x=T
la nouvelle forme est appel´ee le travail Te↵ectu´e par la force totale ! fsur la trajectoire ! x(t). Puisque le
d´eplacementinfinit´esimal d! xest par d´efinition tangent `a la trajectoire, le produit scalaire ne retientdonc
de la force totale ! fque la partie parall`ele au d´eplacement. La quantit´e de travail infinit´esimale dTainsi
obtenue est alors somm´ee en suivantla trajectoire depuis l’instantt1jusqu’`al’instantt2.On appelle aussi
cette int´egrale une int´egrale de chemin.
Illustrons ce processus sur un cas simple o`u seule la force gravitationnelle locale agit (! f=m! g)et
calculons le travail sur la trajectoire parabolique du tir balistique.
Th´eor`emes/ ´energie cin´etique - potentielle 97
Energie cinétique
6-6 L’´energie cin´etique – l’´energie potentielle
Reprenons l’´equation de Newton du mouvementm! a=! fd’un pointde masse constante msoumis `a
une force totale ! f.Si nous e↵ectuons le produit scalaire par la vitesse ! vsur chaque membre de l’´egalit´e,
nous obtenons successivement :
6-38
m! a·! v=! f·! v
d
dt 1
/
2mv2=!
f·! v
Le terme 1 /
2mv2est appel´e ´energie cin´etique Ec,le produit scalaire !
f·! vla puissance Pde la force. Cette
´equation est une ´equation scalaireobtenue en partantd’´equations vectorielles :nous avons donc perdu
des informations spaciales.L’´energie cin´etique ne renseigne que sur le module de la vitesse et non sur sa
direction. La derni`ere ´equation peut ˆetre int´egr´ee pour obtenir le th´eor`eme de l’´energie cin´etique :
6-39 1 /
2mv2(t2)1
/
2mv2(t1) = Zt2
t1
!
f·! v(t)dt =Zt2
t1
P(t)dt
qui dit que la variation d’´energie cin´etique Ecentre les instants t2et t1est ´egale `a l’int´egrale de la puissance
Pentre les deux instants.
La d´efinition du vecteur vitesse ! vcomme la d´eriv´ee du vecteur position, ou comme rapport du
d´eplacementinfinit´esimal d! xsur le temps infinit´esimal dt,nous autorise de r´e-´ecrire l’int´egrale de la puis-
sance sous une forme plus g´eom´etrique o`u n’apparaˆıt plus le temps :
6-40 Zt2
t1
P(t)dt =Zt2
t1
!
f·! v(t)dt =Zt2
t1
!
f·d! x=T
la nouvelle forme est appel´ee le travail Te↵ectu´e par la force totale ! fsur la trajectoire ! x(t). Puisque le
d´eplacementinfinit´esimal d! xest par d´efinition tangent `a la trajectoire, le produit scalaire ne retientdonc
de la force totale ! fque la partie parall`ele au d´eplacement. La quantit´e de travail infinit´esimale dTainsi
obtenue est alors somm´ee en suivantla trajectoire depuis l’instantt1jusqu’`al’instantt2.On appelle aussi
cette int´egrale une int´egrale de chemin.
Illustrons ce processus sur un cas simple o`u seule la force gravitationnelle locale agit (! f=m! g)et
calculons le travail sur la trajectoire parabolique du tir balistique.
Th´eor`emes/ ´energie cin´etique - potentielle 97
Théorème de l’énergie cinétique
Grâce au
produit scalaire

Energie cinétique
6-6 L’´energie cin´etique – l’´energie potentielle
Reprenons l’´equation de Newton du mouvementm! a=! fd’un pointde masse constante msoumis `a
une force totale ! f.Si nous e↵ectuons le produit scalaire par la vitesse ! vsur chaque membre de l’´egalit´e,
nous obtenons successivement :
6-38
m! a·! v=! f·! v
d
dt 1
/
2mv2=!
f·! v
Le terme 1 /
2mv2est appel´e ´energie cin´etique Ec,le produit scalaire !
f·! vla puissance Pde la force. Cette
´equation est une ´equation scalaireobtenue en partantd’´equations vectorielles :nous avons donc perdu
des informations spaciales.L’´energie cin´etique ne renseigne que sur le module de la vitesse et non sur sa
direction. La derni`ere ´equation peut ˆetre int´egr´ee pour obtenir le th´eor`eme de l’´energie cin´etique :
6-39 1 /
2mv2(t2)1
/
2mv2(t1) = Zt2
t1
!
f·! v(t)dt =Zt2
t1
P(t)dt
qui dit que la variation d’´energie cin´etique Ecentre les instants t2et t1est ´egale `a l’int´egrale de la puissance
Pentre les deux instants.
La d´efinition du vecteur vitesse ! vcomme la d´eriv´ee du vecteur position, ou comme rapport du
d´eplacementinfinit´esimal d! xsur le temps infinit´esimal dt,nous autorise de r´e-´ecrire l’int´egrale de la puis-
sance sous une forme plus g´eom´etrique o`u n’apparaˆıt plus le temps :
6-40 Zt2
t1
P(t)dt =Zt2
t1
!
f·! v(t)dt =Zt2
t1
!
f·d! x=T
la nouvelle forme est appel´ee le travail Te↵ectu´e par la force totale ! fsur la trajectoire ! x(t). Puisque le
d´eplacementinfinit´esimal d! xest par d´efinition tangent `a la trajectoire, le produit scalaire ne retientdonc
de la force totale ! fque la partie parall`ele au d´eplacement. La quantit´e de travail infinit´esimale dTainsi
obtenue est alors somm´ee en suivantla trajectoire depuis l’instantt1jusqu’`al’instantt2.On appelle aussi
cette int´egrale une int´egrale de chemin.
Illustrons ce processus sur un cas simple o`u seule la force gravitationnelle locale agit (! f=m! g)et
calculons le travail sur la trajectoire parabolique du tir balistique.
Th´eor`emes/ ´energie cin´etique - potentielle 97
6-6 L’´energie cin´etique – l’´energie potentielle
Reprenons l’´equation de Newton du mouvementm! a=! fd’un pointde masse constante msoumis `a
une force totale ! f.Si nous e↵ectuons le produit scalaire par la vitesse ! vsur chaque membre de l’´egalit´e,
nous obtenons successivement :
6-38
m! a·! v=! f·! v
d
dt 1
/
2mv2=!
f·! v
Le terme 1 /
2mv2est appel´e ´energie cin´etique Ec,le produit scalaire !
f·! vla puissance Pde la force. Cette
´equation est une ´equation scalaireobtenue en partantd’´equations vectorielles :nous avons donc perdu
des informations spaciales.L’´energie cin´etique ne renseigne que sur le module de la vitesse et non sur sa
direction. La derni`ere ´equation peut ˆetre int´egr´ee pour obtenir le th´eor`eme de l’´energie cin´etique :
6-39 1 /
2mv2(t2)1
/
2mv2(t1) = Zt2
t1
!
f·! v(t)dt =Zt2
t1
P(t)dt
qui dit que la variation d’´energie cin´etique Ecentre les instants t2et t1est ´egale `a l’int´egrale de la puissance
Pentre les deux instants.
La d´efinition du vecteur vitesse ! vcomme la d´eriv´ee du vecteur position, ou comme rapport du
d´eplacementinfinit´esimal d! xsur le temps infinit´esimal dt,nous autorise de r´e-´ecrire l’int´egrale de la puis-
sance sous une forme plus g´eom´etrique o`u n’apparaˆıt plus le temps :
6-40 Zt2
t1
P(t)dt =Zt2
t1
!
f·! v(t)dt =Zt2
t1
!
f·d! x=T
la nouvelle forme est appel´ee le travail Te↵ectu´e par la force totale ! fsur la trajectoire ! x(t). Puisque le
d´eplacementinfinit´esimal d! xest par d´efinition tangent `a la trajectoire, le produit scalaire ne retientdonc
de la force totale ! fque la partie parall`ele au d´eplacement. La quantit´e de travail infinit´esimale dTainsi
obtenue est alors somm´ee en suivantla trajectoire depuis l’instantt1jusqu’`al’instantt2.On appelle aussi
cette int´egrale une int´egrale de chemin.
Illustrons ce processus sur un cas simple o`u seule la force gravitationnelle locale agit (! f=m! g)et
calculons le travail sur la trajectoire parabolique du tir balistique.
Th´eor`emes/ ´energie cin´etique - potentielle 97
6-6 L’´energie cin´etique – l’´energie potentielle
Reprenons l’´equation de Newton du mouvementm! a=! fd’un pointde masse constante msoumis `a
une force totale ! f.Si nous e↵ectuons le produit scalaire par la vitesse ! vsur chaque membre de l’´egalit´e,
nous obtenons successivement :
6-38
m! a·! v=! f·! v
d
dt 1
/
2mv2=!
f·! v
Le terme 1 /
2mv2est appel´e ´energie cin´etique Ec,le produit scalaire !
f·! vla puissance Pde la force. Cette
´equation est une ´equation scalaireobtenue en partantd’´equations vectorielles :nous avons donc perdu
des informations spaciales.L’´energie cin´etique ne renseigne que sur le module de la vitesse et non sur sa
direction. La derni`ere ´equation peut ˆetre int´egr´ee pour obtenir le th´eor`eme de l’´energie cin´etique :
6-39 1 /
2mv2(t2)1
/
2mv2(t1) = Zt2
t1
!
f·! v(t)dt =Zt2
t1
P(t)dt
qui dit que la variation d’´energie cin´etique Ecentre les instants t2et t1est ´egale `a l’int´egrale de la puissance
Pentre les deux instants.
La d´efinition du vecteur vitesse ! vcomme la d´eriv´ee du vecteur position, ou comme rapport du
d´eplacementinfinit´esimal d! xsur le temps infinit´esimal dt,nous autorise de r´e-´ecrire l’int´egrale de la puis-
sance sous une forme plus g´eom´etrique o`u n’apparaˆıt plus le temps :
6-40 Zt2
t1
P(t)dt =Zt2
t1
!
f·! v(t)dt =Zt2
t1
!
f·d! x=T
la nouvelle forme est appel´ee le travail Te↵ectu´e par la force totale ! fsur la trajectoire ! x(t). Puisque le
d´eplacementinfinit´esimal d! xest par d´efinition tangent `a la trajectoire, le produit scalaire ne retientdonc
de la force totale ! fque la partie parall`ele au d´eplacement. La quantit´e de travail infinit´esimale dTainsi
obtenue est alors somm´ee en suivantla trajectoire depuis l’instantt1jusqu’`al’instantt2.On appelle aussi
cette int´egrale une int´egrale de chemin.
Illustrons ce processus sur un cas simple o`u seule la force gravitationnelle locale agit (! f=m! g)et
calculons le travail sur la trajectoire parabolique du tir balistique.
Th´eor`emes/ ´energie cin´etique - potentielle 97
Travail effectué par la
force totale sur la
trajectoire x(t)
6-6 L’´energie cin´etique – l’´energie potentielle
Reprenons l’´equation de Newton du mouvementm! a=! fd’un pointde masse constante msoumis `a
une force totale ! f.Si nous e↵ectuons le produit scalaire par la vitesse ! vsur chaque membre de l’´egalit´e,
nous obtenons successivement :
6-38
m! a·! v=! f·! v
d
dt 1
/
2mv2=!
f·! v
Le terme 1 /
2mv2est appel´e ´energie cin´etique Ec,le produit scalaire !
f·! vla puissance Pde la force. Cette
´equation est une ´equation scalaireobtenue en partantd’´equations vectorielles :nous avons donc perdu
des informations spaciales.L’´energie cin´etique ne renseigne que sur le module de la vitesse et non sur sa
direction. La derni`ere ´equation peut ˆetre int´egr´ee pour obtenir le th´eor`eme de l’´energie cin´etique :
6-39 1 /
2mv2(t2)1
/
2mv2(t1) = Zt2
t1
!
f·! v(t)dt =Zt2
t1
P(t)dt
qui dit que la variation d’´energie cin´etique Ecentre les instants t2et t1est ´egale `a l’int´egrale de la puissance
Pentre les deux instants.
La d´efinition du vecteur vitesse ! vcomme la d´eriv´ee du vecteur position, ou comme rapport du
d´eplacementinfinit´esimal d! xsur le temps infinit´esimal dt,nous autorise de r´e-´ecrire l’int´egrale de la puis-
sance sous une forme plus g´eom´etrique o`u n’apparaˆıt plus le temps :
6-40 Zt2
t1
P(t)dt =Zt2
t1
!
f·! v(t)dt =Zt2
t1
!
f·d! x=T
la nouvelle forme est appel´ee le travail Te↵ectu´e par la force totale ! fsur la trajectoire ! x(t). Puisque le
d´eplacementinfinit´esimal d! xest par d´efinition tangent `a la trajectoire, le produit scalaire ne retientdonc
de la force totale ! fque la partie parall`ele au d´eplacement. La quantit´e de travail infinit´esimale dTainsi
obtenue est alors somm´ee en suivantla trajectoire depuis l’instantt1jusqu’`al’instantt2.On appelle aussi
cette int´egrale une int´egrale de chemin.
Illustrons ce processus sur un cas simple o`u seule la force gravitationnelle locale agit (! f=m! g)et
calculons le travail sur la trajectoire parabolique du tir balistique.
Th´eor`emes/ ´energie cin´etique - potentielle 97
Puisque le déplacement infinitésimal dx est par définition tangent à la trajectoire, le produit
scalaire ne retient donc de la force totale f que la partie parallèle au déplacement. La quantité
infinitésimale de travail dT ainsi obtenue est alors sommée en suivant la trajectoire depuis
l’instant t1 jusqu’à l’instant t2. On appelle aussi cette intégrale une intégrale de chemin.

Energie cinétique
Exprimons chaque terme ´etapepar ´etape :
6-41
la force ! f=m! g={0 ; m g}
la vitesse ! v={˙x; ˙y}
le d´eplacementinfinit´esimale d! x={dx ;dy}
la puissance P! f·! v=m g ˙y
le travail infinit´esimal dT! f·! vdt =! f·d! x=m g dy
et ´ecrivons le th´eor`eme de l’´energie cin´etique :
6-42
1
/
2mv2(t2)1
/
2mv2(t1) = Zt2
t1
!
f·d! x=Zt2
t1
(m g)dy =m g y(t2) + m g y(t1)
donc
1
/
2mv2(t2)1
/
2mv2(t1) = m g y(t2) + m g y(t1)
Il est remarquable de constater que jamais nous avons eu besoin de connaˆıtre la trajectoire qui `a permis de
passer de y(t1) `a y(t2). Le r´esultat d´eduit plus haut est donc ind´ependantde la trajectoire qui fait passer
de y(t1) `a y(t2). Il peut s’agir de la chute ou du tir parabolique.
Cet exemple pose la question ´evidente de l’int´erˆet du th´eor`eme de l’´energie cin´etique. En e↵et, pour
pouvoir faire le calcul du travail Til faut connaˆıtre la trajectoire. Mais pour connaˆıtre la trajectoire, il faut
r´esoudre les ´equations du mouvementce qui enl`eveson utilit´e au th´eor`eme.
Donc ce th´eor`eme pr´esente un int´erˆet maximal si l’on peut montrer que le travail Tpeut se calculer sans
connaissance de la trajectoire et l’exemple de la gravitation montre que cela est possible. On peut d´emontrer
que s’il existe une fonction U(x, y, z)telle que la force ! fen d´erivepar l’expression :
6-43 ! f={@U
@x,@U @y,@U @z}=@U @x!
1x@U
@y!
1y@U
@z!
1z
def
=! rU(x, y, z)
Th´eor`emes/ ´energie cin´etique - potentielle 98
Exprimons chaque terme ´etapepar ´etape :
6-41
la force ! f=m! g={0 ; m g}
la vitesse ! v={˙x; ˙y}
le d´eplacementinfinit´esimale d! x={dx ;dy}
la puissance P! f·! v=m g ˙y
le travail infinit´esimal dT! f·! vdt =! f·d! x=m g dy
et ´ecrivons le th´eor`eme de l’´energie cin´etique :
6-42
1
/
2mv2(t2)1
/
2mv2(t1) = Zt2
t1
!
f·d! x=Zt2
t1
(m g)dy =m g y(t2) + m g y(t1)
donc
1
/
2mv2(t2)1
/
2mv2(t1) = m g y(t2) + m g y(t1)
Il est remarquable de constater que jamais nous avons eu besoin de connaˆıtre la trajectoire qui `a permis de
passer de y(t1) `a y(t2). Le r´esultat d´eduit plus haut est donc ind´ependantde la trajectoire qui fait passer
de y(t1) `a y(t2). Il peut s’agir de la chute ou du tir parabolique.
Cet exemple pose la question ´evidente de l’int´erˆet du th´eor`eme de l’´energie cin´etique. En e↵et, pour
pouvoir faire le calcul du travail Til faut connaˆıtre la trajectoire. Mais pour connaˆıtre la trajectoire, il faut
r´esoudre les ´equations du mouvementce qui enl`eveson utilit´e au th´eor`eme.
Donc ce th´eor`eme pr´esente un int´erˆet maximal si l’on peut montrer que le travail Tpeut se calculer sans
connaissance de la trajectoire et l’exemple de la gravitation montre que cela est possible. On peut d´emontrer
que s’il existe une fonction U(x, y, z)telle que la force ! fen d´erivepar l’expression :
6-43 ! f={@U
@x,@U @y,@U @z}=@U @x!
1x@U
@y!
1y@U
@z!
1z
def
=! rU(x, y, z)
Th´eor`emes/ ´energie cin´etique - potentielle 98
Exemple chute des corps dans un champ
gravitationnel

Energie cinétique
Exprimons chaque terme ´etapepar ´etape :
6-41
la force ! f=m! g={0 ; m g}
la vitesse ! v={˙x; ˙y}
le d´eplacementinfinit´esimale d! x={dx ;dy}
la puissance P! f·! v=m g ˙y
le travail infinit´esimal dT! f·! vdt =! f·d! x=m g dy
et ´ecrivons le th´eor`eme de l’´energie cin´etique :
6-42
1
/
2mv2(t2)1
/
2mv2(t1) = Zt2
t1
!
f·d! x=Zt2
t1
(m g)dy =m g y(t2) + m g y(t1)
donc
1
/
2mv2(t2)1
/
2mv2(t1) = m g y(t2) + m g y(t1)
Il est remarquable de constater que jamais nous avons eu besoin de connaˆıtre la trajectoire qui `a permis de
passer de y(t1) `a y(t2). Le r´esultat d´eduit plus haut est donc ind´ependantde la trajectoire qui fait passer
de y(t1) `a y(t2). Il peut s’agir de la chute ou du tir parabolique.
Cet exemple pose la question ´evidente de l’int´erˆet du th´eor`eme de l’´energie cin´etique. En e↵et, pour
pouvoir faire le calcul du travail Til faut connaˆıtre la trajectoire. Mais pour connaˆıtre la trajectoire, il faut
r´esoudre les ´equations du mouvementce qui enl`eveson utilit´e au th´eor`eme.
Donc ce th´eor`eme pr´esente un int´erˆet maximal si l’on peut montrer que le travail Tpeut se calculer sans
connaissance de la trajectoire et l’exemple de la gravitation montre que cela est possible. On peut d´emontrer
que s’il existe une fonction U(x, y, z)telle que la force ! fen d´erivepar l’expression :
6-43 ! f={@U
@x,@U @y,@U @z}=@U @x!
1x@U
@y!
1y@U
@z!
1z
def
=! rU(x, y, z)
Th´eor`emes/ ´energie cin´etique - potentielle 98
Exprimons chaque terme ´etapepar ´etape :
6-41
la force ! f=m! g={0 ; m g}
la vitesse ! v={˙x; ˙y}
le d´eplacementinfinit´esimale d! x={dx ;dy}
la puissance P! f·! v=m g ˙y
le travail infinit´esimal dT! f·! vdt =! f·d! x=m g dy
et ´ecrivons le th´eor`eme de l’´energie cin´etique :
6-42
1
/
2mv2(t2)1
/
2mv2(t1) = Zt2
t1
!
f·d! x=Zt2
t1
(m g)dy =m g y(t2) + m g y(t1)
donc
1
/
2mv2(t2)1
/
2mv2(t1) = m g y(t2) + m g y(t1)
Il est remarquable de constater que jamais nous avons eu besoin de connaˆıtre la trajectoire qui `a permis de
passer de y(t1) `a y(t2). Le r´esultat d´eduit plus haut est donc ind´ependantde la trajectoire qui fait passer
de y(t1) `a y(t2). Il peut s’agir de la chute ou du tir parabolique.
Cet exemple pose la question ´evidente de l’int´erˆet du th´eor`eme de l’´energie cin´etique. En e↵et, pour
pouvoir faire le calcul du travail Til faut connaˆıtre la trajectoire. Mais pour connaˆıtre la trajectoire, il faut
r´esoudre les ´equations du mouvementce qui enl`eveson utilit´e au th´eor`eme.
Donc ce th´eor`eme pr´esente un int´erˆet maximal si l’on peut montrer que le travail Tpeut se calculer sans
connaissance de la trajectoire et l’exemple de la gravitation montre que cela est possible. On peut d´emontrer
que s’il existe une fonction U(x, y, z)telle que la force ! fen d´erivepar l’expression :
6-43 ! f={@U
@x,@U @y,@U @z}=@U @x!
1x@U
@y!
1y@U
@z!
1z
def
=! rU(x, y, z)
Th´eor`emes/ ´energie cin´etique - potentielle 98
Exprimons chaque terme ´etapepar ´etape :
6-41
la force ! f=m! g={0 ; m g}
la vitesse ! v={˙x; ˙y}
le d´eplacementinfinit´esimale d! x={dx ;dy}
la puissance P! f·! v=m g ˙y
le travail infinit´esimal dT! f·! vdt =! f·d! x=m g dy
et ´ecrivons le th´eor`eme de l’´energie cin´etique :
6-42
1
/
2mv2(t2)1
/
2mv2(t1) = Zt2
t1
!
f·d! x=Zt2
t1
(m g)dy =m g y(t2) + m g y(t1)
donc
1
/
2mv2(t2)1
/
2mv2(t1) = m g y(t2) + m g y(t1)
Il est remarquable de constater que jamais nous avons eu besoin de connaˆıtre la trajectoire qui `a permis de
passer de y(t1) `a y(t2). Le r´esultat d´eduit plus haut est donc ind´ependantde la trajectoire qui fait passer
de y(t1) `a y(t2). Il peut s’agir de la chute ou du tir parabolique.
Cet exemple pose la question ´evidente de l’int´erˆet du th´eor`eme de l’´energie cin´etique. En e↵et, pour
pouvoir faire le calcul du travail Til faut connaˆıtre la trajectoire. Mais pour connaˆıtre la trajectoire, il faut
r´esoudre les ´equations du mouvementce qui enl`eveson utilit´e au th´eor`eme.
Donc ce th´eor`eme pr´esente un int´erˆet maximal si l’on peut montrer que le travail Tpeut se calculer sans
connaissance de la trajectoire et l’exemple de la gravitation montre que cela est possible. On peut d´emontrer
que s’il existe une fonction U(x, y, z)telle que la force ! fen d´erivepar l’expression :
6-43 ! f={@U
@x,@U @y,@U @z}=@U @x!
1x@U
@y!
1y@U
@z!
1z
def
=! rU(x, y, z)
Th´eor`emes/ ´energie cin´etique - potentielle 98
Exprimons chaque terme ´etapepar ´etape :
6-41
la force ! f=m! g={0 ; m g}
la vitesse ! v={˙x; ˙y}
le d´eplacementinfinit´esimale d! x={dx ;dy}
la puissance P! f·! v=m g ˙y
le travail infinit´esimal dT! f·! vdt =! f·d! x=m g dy
et ´ecrivons le th´eor`eme de l’´energie cin´etique :
6-42
1
/
2mv2(t2)1
/
2mv2(t1) = Zt2
t1
!
f·d! x=Zt2
t1
(m g)dy =m g y(t2) + m g y(t1)
donc
1
/
2mv2(t2)1
/
2mv2(t1) = m g y(t2) + m g y(t1)
Il est remarquable de constater que jamais nous avons eu besoin de connaˆıtre la trajectoire qui `a permis de
passer de y(t1) `a y(t2). Le r´esultat d´eduit plus haut est donc ind´ependantde la trajectoire qui fait passer
de y(t1) `a y(t2). Il peut s’agir de la chute ou du tir parabolique.
Cet exemple pose la question ´evidente de l’int´erˆet du th´eor`eme de l’´energie cin´etique. En e↵et, pour
pouvoir faire le calcul du travail Til faut connaˆıtre la trajectoire. Mais pour connaˆıtre la trajectoire, il faut
r´esoudre les ´equations du mouvementce qui enl`eveson utilit´e au th´eor`eme.
Donc ce th´eor`eme pr´esente un int´erˆet maximal si l’on peut montrer que le travail Tpeut se calculer sans
connaissance de la trajectoire et l’exemple de la gravitation montre que cela est possible. On peut d´emontrer
que s’il existe une fonction U(x, y, z)telle que la force ! fen d´erivepar l’expression :
6-43 ! f={@U
@x,@U @y,@U @z}=@U @x!
1x@U
@y!
1y@U
@z!
1z
def
=! rU(x, y, z)
Th´eor`emes/ ´energie cin´etique - potentielle 98
Il est remarquable de constater que jamais nous avons eu besoin de connaître la trajectoire
qui à permis de passer de y(t1) à y(t2). Le résultat déduit est donc indépendant de la
trajectoire. Il peut s’agir d’une chute ou d’un tir parabolique.
Exemple chute des corps dans un champ
gravitationnel