BTS et 1 cycle universitaire. Mise à jour du 21/02/07.

BTS et 1er cycle universitaire.
Cours de thermodynamique n°1 : température et chaleur.
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Mise à jour du 21/02/07.
Colonne de gauche = discours fait aux élèves, pas forcément écrit au tableau
Colonne de droite = illustrations du propos tenu au paragraphe correspondant de la colonne de gauche, écrites au tableau ou montrées sur transparents.
Voir l’Introduction aux cours de thermodynamique pour situer ce cours dans son contexte. Les exercices signalés sont disponibles en fin du cours.
cours n° 1 : Température et chaleur.
Plan :
1. Notion de chaleur
2. Chaleur = grandeur physique
3. Chaleur = énergie
4. Signe de la chaleur et énergie interne
5. Chaleur latente et chaleur de
combustion
Pré-requis : température d'un corps
A retenir :
Chaleur latente QL , chaleur de combustion QC et chaleur d'échauffement Q
Bibliographie :
Introduction à la thermodynamique, C.
Lhuillier et J. Rous, Dunod.
Les machines transformatrices d'énergie,
tome 1, par G. Lemasson, cours de
mécanique R. Basquin, Delagrave, 1963.
1.
1. Notion de chaleur.
er
1 cas : Prenons un nageur (température interne T ≈ 37°C) qui nage dans la mer (20°C) :
il a une sensation de froid ⇒ il perd donc de la chaleur que l'on notera par exemple Q.
Pourtant : sa température est restée à 37° C ⇒ il a donc cédé de la chaleur Q sans se
refroidir : chaleur et température sont donc deux "concepts" différents : Q ≠ T
2ème cas : promenons-nous dans les bois pendant que le loup n'y est pas…la température
extérieure est de 20°C, on s'y sent bien…alors que dans l'eau de mer précédente (même
température) on avait froid…étrange non ?
3ème cas : il fait beau, nous nous promenons toujours dans les bois, il fait toujours
20°C…on se sent toujours très bien…puis une brise se met à souffler à 30 km/h…on a un
peu plus froid (sensation de 17°C extérieur) alors que notre thermomètre indique toujours
20°C…bizarre.
Interprétation : notre sensation de froid ne dépend pas uniquement de la température de
notre corps ou de notre environnement, mais également de la chaleur (notion floue pour
le moment) que l'on perd. Dans le 1er cas l'eau évacuait beaucoup de chaleur de notre
corps (l'eau est conductrice de chaleur) : on perdait donc beaucoup de chaleur alors que
notre température interne restait sensiblement constante…mais on avait froid.
Température et chaleur sont donc 2 choses différentes. Dans le 2ème cas on perdait moins
de chaleur que dans l'eau (l'air immobile est un bon isolant thermique) on se sentait donc
bien alors que la température était identique à celle de la mer. Dans le 3ème cas le vent
évacuait de la chaleur de notre corps…(on compte → voir page suivante
T ≈ 273 K (0° C)
20 °C
20 °C
Q
glace fondante
Q≠T
La chaleur Q a simplement fait fondre la glace
sans changer la température T du bain : une
chaleur n'échauffe pas nécessairement un corps
qui la reçoit.
Brrrr !
20 °C
notre sensation de chaud ne dépend
pas que de la température extérieure.
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Cours de thermodynamique n°1 : température et chaleur.
une sensation de froid de –1°C pour 10 km/h de vent) et on avait donc un peu plus froid,
il s'agissait d'un cas intermédiaire entre le 1er et le 2ème cas. Si l'on avait eu un gros
manteau, on aurait perdu beaucoup moins de chaleur et on aurait eu trop
chaud…l'homme doit évacuer de la chaleur pour pouvoir se maintenir à 37°C…Bref on
aura compris que la température n'est pas synonyme de chaleur, même si ces 2 notions
sont liées.
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2.
Prenons un entonnoir rempli de glace pilée (glace fondante 0°C) et réalisons 4 expériences :
On considèrera que la quantité de chaleur Q cédée par le corps solide (cuivre ou soufre)
est proportionnelle à la quantité d'eau récupérée.
Mettons également un morceau de métal chaud dans un bain d'eau - glace (T = 0°C). Le
métal s'est refroidit (il a donc cédé Q ) mais la température du bain (qui a reçu Q) reste à
0°C, Q cédée par le métal a simplement fait fondre un peu plus de glace ⇒ ce n'est pas
parce qu'un corps (ici le bain) reçoit de la chaleur que sa température augmente, de
même ce n'est pas parce que le nageur perdait de la chaleur que sa température
diminuait ⇒ chaleur et température sont vraiment 2 grandeurs différentes.
M = 2 kg de
cuivre à T ≈
100°C
M = 1 kg
de cuivre à
T ≈ 100°C
1
2
2. Chaleur = grandeur physique (elle est donc mesurable).
Nous avons vu, dans l'expérience précédente, que la chaleur faisait fondre la glace, sans
pour autant augmenter la température du bain. Cette notion de chaleur (on dit aussi
"quantité de chaleur") est un peu floue mais on peut imaginer une expérience qui nous
permet de mesurer la quantité de chaleur qu'absorbe la glace (et donc celle que dégage
un corps) . Cela donne alors un sens plus concret à cette notion de chaleur (voir 1/2 page
de droite).
On constate alors que dans le cadre particulier1 d'un échauffement (ou refroidissement) :
1. Q proportionnel à M : Q = k1 × M avec k1 Cte
2. Q proportionnel à ∆T (différence entre la température initiale et la température finale
du cuivre) : Q = k2 × ∆T avec k2 Cte
3. Q liée au corps.
120 g d'eau
240 g d'eau
1 et 2 ⇒ Q ∝ (proportionnel à) la masse M
M = 1 kg de
soufre à T ≈
100°C
M = 1 kg
de cuivre à
T ≈ 50°C
3
Cela se résume par la relation Q M.C.∆T qui définit la "chaleur massique" ou "capacité
calorifique massique" C Q/(M·∆T) du corps, c'est-à-dire la faculté qu'à le corps de
céder de la chaleur Q pour un refroidissement ∆T donné (un thermostat est un dispositif
qui fournit ou emmagasine une chaleur Q en gardant sa température constante ⇒ ∆T = 0
pour Q ≠ 0 : il possède donc une chaleur massique C infinie).
4
220 g d'eau
60 g d'eau
1 et 4 ⇒ Q liée au corps
1 et 3 ⇒ Q ∝ ∆T
Synthèse : chaleur d'échauffement :
Q M.C.∆T
[kCal]
[K]
Exercice 1.
[kg]
[kcal.kg-1.K-1]
1
Ces 4 expériences sont menées sans transformation chimique et sans changement de
phase du corps plongé dans la glace, ce qui implique (on en parlera ultérieurement) que
la chaleur cédée par le corps modifie inexorablement sa température (ce qui n'était pas le
cas du nageur où les aliments qu'il avait ingérés lui permettait de conserver sa
température constante grâce aux transformations chimiques menées dans son estomac).
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Un corps qui possède C petit se refroidit beaucoup pour céder Q. Un corps qui possède C
élevé se refroidit peu en cédant la chaleur d'échauffement Q.
Dans les expériences 1 et 4 de la 1/2 page de droite le souffre et le cuivre de même masse
portés à 100°C puis refroidis à 0°C (∆T = 0°C) cèdent 2 quantités de chaleur différentes
(évaluées par la quantité d'eau que cela à créé). On a Qsoufre > Qcuivre ⇒ M·Csoufre·∆T >
M·Ccuivre·∆T ⇒ Csoufre > Ccuivre
Pour donner une unité à C et comparer les différents corps, on définit : Q 1 kcal pour
échauffer 1 kg d'eau de 14,5 °C à 15,5°C sous pression de 1013 mbars. La chaleur est
donc définie par une unité, la "calorie". On verra au paragraphe suivant qu'il s'agira en
fait d'une énergie, elle sera donc exprimée ultérieurement en joules (symbole [J]).
3.
Expérience de Joule (1850) :
∆T
M,
C
Remarque importante : un corps n'a pas une quantité de chaleur déterminée
(contrairement à la température). Il perd ou gagne de la chaleur (ou "quantité de chaleur")
en fonction des corps avec lesquels il entre en contact et en fonction du type d'expérience
menée (on dira plutôt "transformation"). On dira que la chaleur Q n'est pas une
"fonction d'état".
m
h
3. Chaleur = énergie.
Si on remue de l'eau avec une grosse cuillère, alors la température de l'eau va augmenter de ∆T
(frottement de la cuillère contre les molécules d'eau). Joule a eu l'idée de comparer l'élévation de
température ∆T à l'énergie mécanique dépensée pour obtenir ∆T. Pour cela il a fixé les cuillères en
bois (des pales en fait) à l'axe d'une poulie entraînée par une masse : la masse qui tombe libère son
énergie potentielle (travail mécanique m·g·h) et provoque une élévation de température ∆T de l'eau
du bac. Cette élévation ∆T de température est provoquée cette fois-ci par une énergie mécanique
(travail des forces de frottement) et non plus directement par un apport de chaleur comme dans le
paragraphe précédent.
Chaleur et travail (énergie mécanique) provoquent donc le même effet apparent (augmentation de
température ∆T), c'est pourquoi on considère que la chaleur est également une énergie qu'on
appelle alors "énergie thermique". Dans ce cas on préfère donner à la chaleur Q la même unité que
le travail : le joule [J]. Puisque la chaleur est finalement une forme d'énergie, il faut convertir les
calories du paragraphe 2 en joules : la relation Q[kcal] = M.C.∆T devient Q[J] = M.J.C.∆T avec J la
constante de conversion cal → Joule.
L'expérience de Joule permet de trouver J : le travail des forces de frottement est égal à m.g.h et
provoque l'échauffement de ∆T, or pour échauffer de ∆T l'eau, il faudrait apporter la chaleur Q =
M.C.∆T × J. L'échauffement dû au travail est le même si Q = W, c'est à dire si M.C.∆T×J = m.g.h.
On en déduit la valeur de la constante de conversion J = m.g.h/(M.C.∆T). L'expérience nous
montre que J ≈ 4180 J/kcal.
W = mgh
[J]
Q = M.C.∆T [cal]
même ∆T ⇒ W et Q ont les mêmes effets
Q et W sont de même nature ⇒ on leur donne la même unité : le joule. Il faut alors
convertir Q en Joule grâce à la constante de conversion J :
Q = W ⇔ M.C.∆T × J = mgh ⇔ J = mgh/(M.C.∆T).
L'expérience montre que J ≈ 4180 J/kcal
⇒ Q = 4180×M.C.∆T joules = M.C'.∆T joules avec C' en [J.kg-1.K-1]
On a donc, si on change les unités :
Q = M.JC.∆T
ou
[K]
[J] [kg]
-1
[cal.kg .K-1]
Q = M.C.∆T
[K]
[J] [kg]
-1
[J.kg .K-1]
On a fixé comme définition de J : J 4180 J/kcal entre 14,5°C et 15,5°C
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Q = 4,18 kJ pour échauffer 1kg d'eau de 14,5 °C à 15,5°C
Pour pouvoir comparer facilement les corps entre eux on a tout simplement posé J (égale par définition) 4180 J.kg-1.K-1 pour échauffer de l'eau de 14,5°C à 15,5°C.
Exercice 2.
Remarques :
• C ≈ 4185,5 J.kg-1.K-1 pour l'eau à 25 °C ⇒ il faut ≈ 4185,5J pour échauffer 1 litre (1
kg) d'eau de 25°C à 26 °C
• C capacité calorifique massique ou chaleur massique du corps considéré à 25 °C
• M×C capacité calorifique ou capacité thermique (en [J/K])
• La chaleur représente à l'échelle humaine un gain ou une perte d'énergie thermique
(la notion d'énergie est relativement difficile à concevoir et il faudrait tout un
ouvrage pour décrire exactement sa nature). La température représente à l'échelle
humaine la moyenne statistique de la vitesse d'agitation des molécules ou atomes
d'un corps.
4.
il existe un signe pour Q :
∆T
remarque : la chaleur Q va naturellement (on
dit "spontanément" en thermodynamique) du
corps le plus chaud au corps le plus froid : le
morceau est initialement à une température
> température de l'eau.
Q
4. Signe de la chaleur Q et énergie interne U.
Q perdue par le morceau = - 3 kJ
⇒ Q reçue par l'eau = + 3 kJ
En thermodynamique, la chaleur reçue par un système (corps ou ensemble de corps isolés
par la pensée du milieu environnant) sera comptée positivement, une chaleur cédée sera
comptée négativement (convention égoïste).
Ainsi si le corps reçoit Q = 3kJ, alors sa température pourra s'élever de ∆T = Q/(MC) > 0,
c'est-à-dire Tfinale > Tinitiale. Si le corps considéré est 1 L d'eau, il se sera échauffé de ∆T =
Q
3.103
=
≈ 0,7 K.
1× 4185,5
M.Ceau
Remarquer que, jusqu'à présent, la perte ou le gain de chaleur par un corps n'est possible
que si le corps peut se refroidir ou se réchauffer, c'est-à-dire par exemple si on le met en
contact avec un corps plus froid ou plus chaud (on verra ultérieurement que cette
condition pourra être levée grâce au changement de phase).
Question : quelle chaleur Q peut perdre un corps au maximum ? réponse : U : l'énergie
interne.
U
T=0K
Le morceau perd U
⇒ sa température chute à 0 K
•
On appelle "énergie interne" U l'énergie thermique totale que peut fournir un corps
immobile (absence d'énergie potentielle et d'énergie cinétique macroscopique) sans qu'il
se désagrège (2) ou sans perdre de matière, c'est à dire ne perdant d'énergie que sous
forme de chaleur (sa température tombant néanmoins à 0 K s' il a perdu U). S'il y a
variation d'énergie interne ∆U, c'est que le corps a reçu ou perdu de l'énergie (sous forme
de chaleur par exemple, mais cela ne sera pas obligatoire). Cela sera affiné dans les cours
ultérieurs. Pour un fluide, l'énergie interne correspond à l'énergie cinétique moyenne des
molécules qui le compose (en l'absence de mouvement d'ensemble).
•
"énergie interne" = énergie totale que peut fournir un corps à son extérieur (en
conservant sa masse).
∆U = variation d'énergie interne = Q si le corps n'a cédé ou absorbé de l'énergie que
sous forme de chaleur.
Exercice 3.
2
E = M×C² est l'énergie totale que peut céder un corps, mais au prix de sa désintégration
(perte de masse) : réaction nucléaire.
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5. Chaleur latente QL et chaleur de combustion QC
5.
La relation Q = M.C.∆T n'est cependant pas générale : en effet, on a vu qu'en plaçant un
métal chaud dans un bain d'eau - glace, ce bain recevait une quantité de chaleur Q qui
servait à faire fondre la glace et non à faire augmenter la température : Q ≠ 0 or ∆T = 0 :
la relation précédente est donc mise en défaut.
T ≈ 0 °C (273 K)
En fait dans l'expérience précédente la chaleur reçue par la glace a servi à créer un
changement de phase solide (glace) → liquide (eau) et non à augmenter la température de
la glace : cette chaleur est appelée chaleur latente. Cette chaleur est une chaleur que doit
perdre ou gagner le corps pour changer de phase et non pour augmenter sa température.
Un changement de phase s'effectue toujours à température constante (et pression
constante aussi d'ailleurs).
Mglace
Q = Mglace × Lfusion
Pour faire fondre M = 1 kg de glace (à 0°C) il faudra apporter la chaleur Q = 352.103 ×
M. le chiffre 352.103 s'appelle "chaleur latente de fusion" (sous - entendu "massique") de
la glace et on la note Lf.
Essence
QL = M×Lf
Q reçue par la masse M de glace fondue ≠ M.C.∆T ⇒ Q = M·C·∆T n'est pas général
[ J / kg]
Q = QL Mglace × Lfusion
Il y a également des chaleurs de combustion (on dit plus souvent le "pouvoir calorifique")
: voir ½ page de droite. Pour augmenter la température de l'eau, il faudra d'abord apporter
la chaleur nécessaire pour faire fondre la glace (chaleur latente) puis seulement ensuite la
chaleur reçue en surplus aura pour effet d'augmenter la température de l'eau.
QL
QL
Lfusion
M·C·∆T = Qtotale – QL
chaleur nécessaire pour
élever la température du
bain de ∆t
Essence
chaleur nécessaire pour
faire fondre la glace
est la chaleur à fournir pour faire fondre M kg de glace.
doit être considérée chaque fois qu' il y a un changement de phase du corps
considéré.
Chaleur latente (massique) de fusion de l'eau (≈ 333.103J/kg pour la glace).
Différentes chaleurs latentes de fusion :
corps
Lfusion [J.kg-1]
chaleur totale
apportée au bain
argent
102.103
platine
111.103
fer
270.103
glace
352.103
Quant à l'essence, elle apporte une chaleur de combustion Qc qui sert à faire fondre la
glace, et donc peut être considérée comme une chaleur de fusion de la glace :
Qc = Messence × Lcombustion
Exercice 4.
On peut dire que la chaleur latente traduit l'inertie, la "récalcitrance" du corps à modifier
son état de phase : pour élever sa température il faut d'abord s'assurer qu'il ne va pas
changer de phase, s'il change de phase pendant l'augmentation de température alors une
énergie supplémentaire doit être fournie pour "franchir" le cap : le changement de phase
nécessite un apport d'énergie (ou un retrait selon le sens du changement de phase).
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Il faut également comprendre que la chaleur que nécessite un changement de phase est
très élevée par rapport aux chaleurs nécessaires pour élever les températures. Par
exemple la chaleur latente (massique) de vaporisation de l'eau vaut LV ≈ 2256 kJ/kg,
c'est-à-dire qu'1 kg d'eau (1 litre) nécessite 2256 kJ pour se vaporiser (elle doit être
préalablement à la température de 100°C si elle est contenue dans une casserole de
cuisine, c'est-à-dire quand sa pression est de 1 bar). Cette valeur est à comparer à la
chaleur nécessaire pour élever sa température de 100°C (0°C à 100°C) ≈ 4180 × 100 ≈
418 kJ, soit 5 fois inférieure à la chaleur nécessitée pour la vaporisation.
Différentes chaleurs (massiques) de combustion ("pouvoir calorifique") :
corps
Lc [J.kg-1]
bois
11 à 12,5.106 26.106
Exercices 5 et 6.
Exercices généraux
Exercice 7
Une vaporisation exige donc un apport non négligeable de chaleur. A l'inverse une
liquéfaction (passage de l'état vapeur à l'état liquide) nécessite le retrait de la même
quantité de chaleur, c'est-à-dire celle qui avait été nécessaire précédemment pour sa
vaporisation : il faut donc extraire 2256 kJ à 1 kg de vapeur d'eau pour la liquéfier (elle
doit être préalablement à 100 °C si sa pression fait 1 bar). Cette chaleur cachée va être
mise à profit dans les machines frigorifiques à changement de phase : en forçant la
vaporisation d'un liquide dans un serpentin (au moyen d'une détente forcée), on va forcer
son absorption d'une chaleur (de vaporisation) extraite du milieu où baigne le serpentin,
c'est-à-dire une chaleur provenant des aliments du frigo, ce qui va refroidir les
aliments…c'est le principe du frigo (voir cours n° 7) !!!
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alcool
charbo
n
33,5.106
pétrole
essence
méthane
H2
46.106
48.106
55.106
162.106
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Exercices sur la température et la chaleur.
Notez bien que ces exercices font parti intégrante du cours et doivent être résolus au fur et à mesure de leur apparition dans le
cours. Ils permettent de bien assimiler les concepts abordés dans chaque paragraphe et de se donner quelques ordres de
grandeur. Ils sont parfaitement adaptés au paragraphe étudié. Les données numériques sont issues de différents ouvrages (en
particulier le Cours de Physique statistique de Berkeley qui indique les incertitudes des valeurs numériques). Il n'est pas
certain qu'elles soient exactes à la décimale près…de toute façon la physique est une science qui modélise, et donc qui fait des
approximations ! Cela nous suffira amplement !
Exercice 1.
Calculez la quantité de chaleur Q nécessaire pour commencer à faire bouillir 1 L d'eau initialement à 10°C. On donne la valeur
moyenne de la capacité calorifique massique de l'eau : C ≈ 1 kcal·kg-1 K-1 et la masse volumique moyenne de l'eau µ ≈ 1
kg/dm3
Q=?
Rép : 90 kcal.
Exercice 2.
Une bouilloire électrique a pour puissance P ≈ 1 kW lorsqu'elle est alimentée par la prise secteur (tension efficace de 230V).
On y place 1 L d'eau à 10°C. En combien de temps l'eau va bouillir ? (on suppose que toute la chaleur émise par la résistance
électrique sert à chauffer l'eau). On rappelle que l'énergie Q développée par tout système qui développe pendant ∆t une
puissance P constante vaut Q = P·∆t.
t=?
1 kW
1 kW
Rép : 6 min 16 s.
Exercice 3.
Un ressort spiral est compressé ("remonté") à l'aide d'une clé de jouet. De cette manière il emmagasine une énergie de 8000 J.
Ce ressort sert à entraîner les pales d'une hélice qui remue 1 L d'eau liquide. Quel va être l'échauffement (augmentation de
température) de l'eau après détente totale du ressort ?
8000 J
∆T= ?
Rép : 1,9 °C.
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Exercice 4.
T= 25 °C
Une enceinte de 22,4 dm3 de gaz à 25°C possède une énergie interne U = 3/2·R·T
avec R ≈ 8,32 u.s.i. et T sa température (en kelvin). Est-il possible, à l'aide de ce gaz,
de fournir 5000 J à un corps solide plongé dans l'enceinte. Si oui, de quelle manière ?
3
22,4 dm
5000 J ?
Rép : non.
Exercice 5 :
Nous possédons Mess ≈ 260 g d'essence que l'on brûle pour échauffer M ≈ 4 kg de glace initialement à -20°C sous la pression
atmosphérique : quelle est la température finale de la vapeur obtenue ?
Données : chaleur latente de fusion de la glace : LF ≈ 352 kJ/kg, pouvoir calorifique de l'essence : Less ≈ 48.103 kJ/kg, chaleur
latente de vaporisation de l'eau : LV ≈ 2256 kJ/kg, capacité calorifique massique de la glace : Cglace ≈ 2000 J.kg-1.K-1, capacité
calorifique massique de l'eau : Ceau ≈ 4185,5 J.kg-1.K-1 et capacité calorifique massique de la vapeur d'eau Cvap ≈ 2020 J.kg1 -1
.K
T= ?
T= -20 °C
260 g ≈ ¼ L
Rép : 127°C sous condition.
Exercice 6 : Glaçons, eau et vapeur.
On possède M ≈ 1kg de glace dans une enceinte calorifugée fermée par un couvercle coulissant. Cette glace est à -10°C.
On nous donne les chaleurs latente (massique) de fusion (passage glace → liquide) et de vaporisation (passage liquide →
vapeur) : Lfusion ≈ 333 kJ.kg-1, Lvaporisation ≈ 2257 kJ.kg-1 . On donne la capacité calorifique massique de l'eau (sous pression
constante) C Cpglace ≈ Cpeau ≈ Cpvapeur ≈ 4,18 kJ.kg-1.K-1. Pour simplifier ces valeurs sont supposées constantes tout au long
des transformations (3).
glace
symbolise une
pression constante
1 kW
3
T = 150°C
t=?
vapeur
T = -10°C
1 kW
Ce qui est en réalité faux : voir exercice 5 où les chaleurs massiques dépendent de la phase du corps (liquide, solide ou gaz).
Mais ne compliquons pas inutilement.
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1. Quelle est la chaleur totale Qtot à apporter pour changer cette glace en de l'eau à 20°C ?
2. On veut obtenir de la vapeur à 150°C sous la pression atmosphérique (1 bar), quelle chaleur supplémentaire doit - on
fournir ?
3. Combien de temps cela prendrait -il pour réaliser les 2 transformations précédentes si l'on disposait d'un dispositif de
chauffage de 1 kW de puissance ? Combien de temps aurait pris la simple transformation réalisée en 1 ?
4. Que pouvez - vous conclure sur la puissance des machines industrielles devant réaliser quotidiennement de telles
transformations ?
Rép : 1 : 458 kJ ; 2 : 2800 kJ ; 3 : 54 min 19 s ; 7 min 38 s ; 4 : énorme (1 GW pour les centrales nucléaires).
Exercice 7 : Energie électrique à fournir pour un chauffe - eau.
On souhaite construire un dispositif permettant de chauffer une cuve de chauffe - eau de 10 litres. L'eau chaude doit être
chauffée pendant la nuit pour être disponible au matin (temps de chauffe ≈ 8 heures).
résistance
chauffante
chauffe - eau
uc(t)
résistance électrique
chauffante
eau froide, 5°C
eau chaude, 55°C
contacteur heures creuses
(conduction pendant 8 heures)
détail de l'alimentation électrique
ic(t)
C
L
alimentation
électrique
uD(t)
D2
D3
T1
T4
u(t)
i(t) 110V
réseau
220V, 50Hz
On souhaite que l'eau chaude sorte à une température de 55 °C du chauffe - eau, alors qu'elle y entre et y est stockée à 5°C. On
donne la chaleur massique de l'eau : C ≈ 4,18 kJ.kg-1.K-1.
1. Quelle quantité de chaleur doit-on apporter pour chauffer cette eau ?
Le chauffe - eau est constitué d'une résistance électrique. Le constructeur indique que, alimenté sous la tension secteur de
230V, elle développe une puissance électrique de 1 kW.
2. Calculez la valeur de la résistance électrique du chauffe - eau. Déduisez-en l'intensité efficace appelée par le chauffe eau.
3. En combien de temps un tel chauffe - eau permet t-il de chauffer les 10 litres d'eau (pour élever sa température de 5°C
à 55°C) ?
On veut que les 10 litres d'eau soient chauffés en 8 heures (pour éviter de faire disjoncter).
4. Quelle puissance doit alors développer la résistance du chauffe - eau ?
Pour développer cette puissance, la résistance est alimentée via un pont redresseur commandé par des thyristors : C et L sont
suffisamment élevés pour avoir uc(t) constant, le pont fonctionne également en conduction continue. On a
l  1 + cos θ 
2U
uD =

 avec Û la valeur crête de la tension à l'entrée du pont.
π 
2

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5. Donnez l'allure de uD(t) pour un retard à l'amorçage θ ≈ 45° des thyristors.
6. En utilisant les règles d'opération sur les valeurs moyennes et sachant que la tension moyenne aux bornes d'une bobine
est toujours nulle en régime périodique, calculez la valeur de uc(t) pour θ donné .
7. Quelle est, en fonction de uc(t), la puissance développée par la résistance ?
8. Déduisez -en la valeur de θ à régler pour obtenir le chauffage en 8 heures.
Rép : 1 : 2,09 MJ ; 2 : 52,9 Ω ; 3 : 34 min 50 s ; 4 : 72,6 W ; 6 : U C =
page 10/10
l  1 + cos θ 
U C2
2U
P
=
;
7
:
; 8 : 75,5 °


π 
2
R

[email protected]
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0
0
L
³ F. dx = Fu ³ dx = F u L = 400 u 1 | 400 J.
L
2
1
Dans ce cas le mobile accélérera uniformément.
Pour Work (travail, en anglais).
La thermodynamique est la science qui étudie, à l'origine, les interactions (échanges)
chaleur / travail sur un corps, c'est-à-dire le déplacement des corps (dynamique) soumis à
la chaleur (thermo) : moteurs thermiques par exemple ou, inversement, qui étudie la
chaleur captée ou rejetée par un corps soumis à une déformation ou un déplacement
(réfrigérateurs par exemple).
te
W = F u L lorsque F = C
Comme cette énergie provoque le déplacement du corps, on dit qu'il s'agit d'un travail
qu'on note W (2) : le travail est une énergie mécanique.
W0oL =
Le travail est une autre forme d'énergie que la chaleur, c'est l'énergie qui intervient dès
qu'il y a mouvement ou déformation d'un corps.
Pour bouger un corps sur une distance L | 1 mètre, admettons qu'il faille développer une
force constante F | 400N (1). Dans ce cas il faut dépenser une énergie :
page 1/6
L
³ F.dx
x1
x2
W12
L
W12
x2
x
x
Remarque : W12 = F u L si F est constante le long du trajet (accélération du corps)
exercice 1.
0 x1
F(x)
Dans le plan F(x) cela correspond à la "surface" du trajet :
Wx1o x2 =
x2
Bibliographie :
Introduction à la thermodynamique, C.
Lhuillier et J. Rous, Dunod, 1994.
Les machines transformatrices d'énergie, tome
1, par G. Lemasson, Delagrave, 1963
Energie dépensée pour déplacer le corps de x1 à x2 :
x1
1. Notion de travail.
G
F
1.
A retenir : Le calcul du travail reçu ou donné par un système.
Pré-requis : définition du travail d'une force.
Plan :
1. Notion de travail
2. travail de la force de pression
3. systèmes étudiés et diagrammes P(V)
4. cycle de transformations
cours n° 2 : Travail et diagrammes P(V).
Voir l’Introduction aux cours de thermodynamique pour situer ce cours dans son contexte. Les exercices signalés sont disponibles en fin du cours.
Colonne de gauche = discours fait aux élèves, pas forcément écrit au tableau
Colonne de droite = illustrations du propos tenu au paragraphe correspondant de la colonne de gauche, écrites au tableau ou montrées sur transparents.
1er cycle universitaire. BTS.
Cours de Thermodynamique n° 2 : travail et diagrammes P(V).
- ³ P.dV en joules [J]
V1
V2
Echauffement dû à l'apport de travail et non plus à l'apport de chaleur (cours n°1) mais
le résultat est le même…c'est sur ce résultat intéressant que va se baser la
thermodynamique.
3
Lors de la compression il est probable que le gaz va s'échauffer ( ), on en parlera
ultérieurement. Il faut également souligner le fait que le gaz va recevoir ou rejeter du
travail, de la même manière qu'il recevait ou rejetait de la chaleur : le travail est signé,
comme la chaleur. Un travail reçu par le système (gaz) est positif, un travail rejeté par le
système est négatif.
Ainsi, lors du déplacement de la position 1 à la position 2 :
W12 est > 0 si le volume du fluide diminue : on a une machine (gaz) qui reçoit du travail
de l'extérieur (elle agit comme un frein pour l'extérieur), la transformation est résistante).
W12 est < 0 si le volume du fluide augmente : on a une machine qui fournit du travail à
l'extérieur (elle agit comme un moteur pour l'extérieur, la transformation est motrice).
3
Note 1 il faudra exprimer P en fonction du volume V du gaz (= volume du cylindre) pour
le calcul de l'intégrale.
Note 2 : de même que pour la chaleur, un corps ne possède pas un travail : il rejette une
quantité de travail ou en absorbe, selon le type de contrainte qu'on lui soumet. On dit que
le travail ne représente pas l'état d'un corps, on dit encore que le travail n’est pas une
fonction d'état (contrairement à la température, au volume, à la pression…)
W12
Affinons cette notion de travail : supposons avoir un cylindre muni d'un piston et rempli
de gaz. Appliquons une pression Pext sur le piston. Voir ½ page de droite : dans ce cas, en
admettant que le déplacement est suffisamment lent pour avoir la pression P du gaz égale
à la pression Pext (on est dans le cadre d'une transformation quasi - statique, notion qui
sera définie plus rigoureusement dans le cours n°5), on démontre assez facilement (voir
1/2 page de droite) que le travail (énergie) reçu par le gaz au cours de la transformation 1
o 2 vaut :
page 2/6
S
S
P2
V2
x2
V1
P1
dV
dx
F2
S
F2
Pext =
x1
Pext =
F1
F1
S
³ F.dx =
x1
x2
x1
³ Pext .S.dx =
x2
³
V1
V2
Pext .(dV) = ³ P.dV
V1
V2
V1
V2
- ³ P.dV attention au signe -
Remarque : W1 ou W2 n’a aucun sens (contrairement à W12) : W n'est pas une fonction
d'état (un corps ne possède pas un travail).
La machine (la main qui actionne le piston ici) doit pouvoir fournir l'énergie W12
pour comprimer le gaz.
W12
(déplacement suffisamment lent du piston pour avoir à chaque instant Pext | P) Ÿ
Travail reçu par le gaz W12 =
Il faut appuyer avec la force F2 pour comprimer le gaz sous la pression F2/S.
pression finale du gaz = P2 =
Pext = F2/S
(Pext = pression exercée par
notre main par exemple)
x
pression initiale du gaz = P1
= Pext = F1/S
(Pext = pression
atmosphérique par exemple
énergie mécanique (travail) à fournir pour comprimer un gaz :
2.
2. Travail de la force de pression.
La pression d'un gaz sera à l'origine du travail effectué par le gaz, ce qui aboutira au
déplacement d'un piston (moteurs thermiques). La pression est donc à l'origine des
énergies mécaniques qui seront développées dans les systèmes que l'on étudiera, il est
donc essentiel d'en parler spécifiquement. N'oublions pas que les gaz sont des systèmes
dont le volume varie beaucoup en fonction des échanges de chaleur Ÿ ils travailleront
beaucoup : ça en fait des systèmes privilégiés en thermodynamique.
[email protected]
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1er cycle universitaire. BTS.
Cours de Thermodynamique n° 2 : travail et diagrammes P(V).
V1
V2
- ³ P.dV nous indique que le travail développé par le gaz est tout
Des erreurs viennent fréquemment du fait que notre système est mal délimité : on pense
connaître toutes les variables qui inter-agissent avec lui et on en oublie parfois…
5
On ne parlera pas des réactions nucléaires !
4
Le travail W12 considéré jusqu'à présent et calculé dans le plan de Clapeyron (aire située
sous le trajet 1-2 du paragraphe 2 précédent) est une énergie nécessaire pour effectuer la
transformation 1-2 (compression par exemple) : c'est une énergie de transformation. La
machine (pompe) qui effectue ce travail peut être amenée à admettre puis évacuer le
fluide hors du cylindre : dans ce cas elle effectue, outre W12, un travail Wtrans de
transvasement différent de W12 qui ne modifie pas l'état du fluide : ce n'est pas une
énergie de transformation. L'énergie totale mise en jeu par la machine sera alors Wmachine =
Wtrans + W12. Cela sera précisé avec la notion d' enthalpie (voir cours n° 3).
Il est nécessaire, en physique, de bien définir le corps (ou l'ensemble de corps) étudié de
manière à observer les différentes interactions qui y agissent (qu'est-ce qui en sort, qu'estce qui y entre…) et d'en déduire des lois générales. Ce corps est alors "isolé", par la
pensée, de son environnement immédiat (appelé "extérieur" ou "univers") avec lequel il
est susceptible d'agir (4). Le corps étudié est alors appelé "système". La thermodynamique
étudie les interactions mécaniques (travail) et thermiques (chaleur) d'un système avec son
extérieur.
On parle de système "ouvert" lorsque le système échange de la matière avec le système
extérieur, c'est - à – dire, dans la grande majorité des cas, lorsque sa masse varie (5) : c'est
le cas fréquent de l'air contenu dans un cylindre de moteur à combustion interne qui est
admis dans le cylindre puis évacué grâce à des soupapes d'admission et d'échappement.
Dans ce dernier cas, le diagramme P(V) que l'on trace souvent représente la pression P du
gaz en fonction du volume V du cylindre (et non plus du gaz) : il ne s'agit plus d'un
diagramme de Clapeyron du paragraphe précédent mais d'un diagramme de Watt ! On en
parlera ultérieurement avec les transvasements.
3. Systèmes étudiés et diagrammes P(V).
simplement la surface engendrée par la courbe P(V) (au signe près) voir 1/2 page de
droite.
effet, la relation W12
Le plan P(V), pression du gaz en fonction de son volume, est alors une représentation
privilégiée si l'on veut trouver graphiquement le travail développé par le gaz (une étude
graphique est souvent plus précise qu'une étude théorique qui nécessite le calcul d'une
intégrale, chose que l'on ne maîtrise que dans de rares cas) : voir 1/2 page de droite, en
1er cycle universitaire. BTS.
Cours de Thermodynamique n° 2 : travail et diagrammes P(V).
page 3/6
V1
V2
- ³ P.dV on a alors W12 donné par la "surface" du trajet effectué
V2
2
P(V)
V1
1
P(V)
1
2
V1
V2
W12 > 0
W12 < 0
V
V
Remarques :
x P(Vsystème) diagramme de Clapeyron (adapté à l'étude des systèmes fermés)
x P(Vcylindre) diagramme de Watt (adapté à l'étude des systèmes ouverts).
Système ouvert système qui échange de la matière avec l'extérieur Ÿ sa masse varie.
Exemple : fluide dans un compresseur à piston muni de soupapes, fluide qui s'échappe
d'une bouteille.
3.
Système corps ou ensemble de corps que l’on isole, par la pensée, de son
environnement (appelé alors "extérieur" ou "univers") afin de l'étudier isolément. On est
supposé connaître tous les échanges d'énergie que le système est susceptible d'échanger
avec l'extérieur.
Exemple : fluide enfermé dans un cylindre, morceau de cuivre…
Wmachine z W12 lorsqu'il y aura transvasement (voir cours n° 3)
Exercices 2, 3 et 4.
0
P2
P1
0
P1
P2
dans le plan P(V) Coordonnées de Clapeyron, pour aller de l'état 1 (P1, V1) à l'état 2
(P2, V2) : ce plan est donc privilégié pour l'étude précise des travaux échangés.
De la relation W12
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2
A
W121
cycle
1
V
transformation 1 = chemin 1A2
transformation 2 = chemin 2B1
cycle = transformation 1A2B1
Remarque :
L'évaluation d'un travail est facile grâce au diagramme P(V) puisqu'il suffit de mesurer
une surface : ce diagramme est donc bien adapté à l'étude des moteurs thermiques. La
détermination d'une quantité de chaleur n'est pas aussi immédiate : on pourra utiliser le
diagramme entropique S(T) qui permet d'évaluer approximativement Q de la même façon
que l'on évalue W sur un diagramme P(V) (mesure d'une surface), cela est néanmoins hors
programme des BTS. Le 1er principe de la thermodynamique (cours n° 3) nous permettra
néanmoins de calculer Q dans des cas simples (gaz parfaits en particulier).
Un cycle est dit moteur lorsque Wcycle < 0 (sens horaire de parcours) car il fournit cette
énergie à l'extérieur. Dans le cas contraire le cycle est dit résistant (sens trigonométrique
de parcours). Il faut bien remarquer ici que la transformation W1A2 est résistante, mais
cela n'empêche pas que le cycle est globalement moteur.
Pour effectuer la transformation du fluide, la machine qui le contient effectue le travail
Wcycle = W1A2 + W2B1. Or W1A2 et W2B1 sont de signe contraire puisqu'ils sont parcourus
dans un sens différent (ici W1A2 > 0 et W2B1 > 0) : Wcycle est donc représenté, au signe
près, par la surface hachurée. Remarquer que, si la transformation "retour" est identique à
la transformation "aller" (transformation dite "réversible"), le bilan énergétique est nul
(pas de travail perdu ou gagné sur un cycle).
P
B
page 4/6
2
B
A
W121
cycle
1
V
Exercices 5 et 6
Dans le plan P(V), un cycle est moteur s'il est décrit dans le sens horaire. Il est
résistant (frein) dans le cas contraire.
Ÿ Wcycle = surface engendrée par le cycle (au signe près) :
x Wcycle < 0 pour un parcours horaire : cycle moteur
x Wcycle > 0 pour un parcours trigo : cycle résistant
Wcycle = W1A2 + W2B1 = surface orange - (surface orange + surface hachurée) = - surface
hachurée < 0
P
4.
4. Cycle de transformations.
Afin d'obtenir des dispositifs qui fonctionnent en permanence, on est amené à utiliser des
transformations répétitives, périodiques. Pour que les machines qui les réalisent soient
optimales, il faut que le fluide (ou corps) finisse dans le même état que dans son état
initial (caractérisé par la donnée de P, V ou T). La série de transformations est alors dite
"cyclique" : il faut au moins 2 transformations pour effectuer un cycle, c'est-à-dire une
série de transformations dont l'état final est égal à l'état initial du gaz :
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Cours de Thermodynamique n° 2 : travail et diagrammes P(V).
1er cycle universitaire. BTS.
Cours de Thermodynamique n° 2 : travail et diagrammes P(V).
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Exercices sur le travail.
Notez bien que ces exercices font parti intégrante du cours et doivent être résolus au fur et à mesure de leur apparition dans le
cours. Ils permettent de bien assimiler les concepts abordés dans chaque paragraphe et de se donner quelques ordres de
grandeur. Ils sont originaux de façon à être parfaitement adaptés au paragraphe étudié. Les données numériques sont issues
de différents ouvrages. Il n'est pas certain qu'elles soient exactes à la décimale près…de toute façon la physique est une
science qui modélise, et donc qui fait des approximations ! Cela nous suffira amplement !
Exercice 1. Evaluation d'une quantité de travail en fonction de F(x)
On comprime de l’air dans une chambre à air de vélo à l'aide d'une pompe. L'ensemble pompe + chambre à air est modélisé par
l'ensemble cylindre + piston ci-dessous :
F
cylindre
piston
air
10 N
20 cm
x2
x1
x2
x
x1
La force exercée par notre main sur le piston varie de la façon décrite ci-dessus en fonction de x.
Quel est le travail développé par notre main lors d'un déplacement de x1 à x2 ?
Rép : 1 joule.
Exercice 2. Evaluation d'une quantité de travail en fonction de P(V)
On reprend le dispositif de l'exercice 1 précédent en changeant tout simplement l'origine des x :
F(x)
cylindre
piston
air
section = 20 cm²
0
10 N
x1
20 cm
x1
x2
20 cm 40 cm
x2
x
La force exercée par notre main sur le piston varie de la façon décrite ci-dessus en fonction de x.
1. Donnez l'évolution de la pression P de l'air en fonction du déplacement x du piston.
2. Donnez l'évolution de la pression P de l'air en fonction du volume V d'air dans le cylindre.
3. Déduisez de la question précédente le travail reçu par l'air.
Rép : 1 joule.
Exercice 3 : Etude d’une compression.
Une masse d’air de 1 kg subit la transformation suivante :
état initial :
état final :
P1 | 105 Pa (pression atmosphérique).
V1 | 0,9 m3
P2 | 4,5.105 Pa
V2 = ?
La transformation 1-2 est telle que le produit P.V = Cte.
1. Tracez avec précision, sur une feuille quadrillée, la courbe représentative de la transformation dans le plan P(V).
2. Calculez le travail échangé lors de cette transformation, d'une part graphiquement et d'autre part algébriquement. (on
rappelle qu'une primitive de 1/x est ln x).
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1er cycle universitaire. BTS.
Cours de Thermodynamique n° 2 : travail et diagrammes P(V).
[email protected]
Mise à jour du 15/04/06.
3. Est-il nécessaire d'apporter de l'énergie motrice pour réaliser cette transformation ?
Rép : 2 : | 135 kJ ; 3 : oui.
Exercice 4 : calcul du travail échangé lors de trois transformations différentes.
On effectue, de 3 façons différentes, une compression qui amène du diazote N2 (| air) de l'état 1 (P1 = Po | 1 bar, V1 = 3.Vo) à
l'état 2 (P2 = 3.Po, V2 = Vo | 1 litre).
La première transformation est isochore (volume constant) puis isobare (pression constante), la seconde est isobare puis
isochore, la troisième est telle que P.V = Cte.
1. Représentez dans le plan P(V) les 3 transformations.
2. Quelles sont les travaux reçus dans les 3 cas ?
3. Quelle transformation choisira -t -on si l'on veut dépenser le moins d'énergie motrice ?
Rép : 2 : | 600 J, 200 J, 329 J ; 3 : la seconde.
Exercice 5 :
On reprend les 2 premières transformations de l'exercice précédent de manière à réaliser un cycle : on effectue donc une
compression qui amène du diazote N2 (| air) de l'état 1 (P1 = Po | 1 bar, V1 = 3.Vo) à l'état 2 (P2 = 3.Po, V2 = Vo | 1 litre).
Puis on force le gaz à revenir à son état initial grâce à une détente isochore puis isobare.
1. Quel est le travail échangé par le gaz avec l'extérieur ?
2. Est-ce qu'un tel cycle nécessite l'apport d'un travail de l'extérieur pour pouvoir être exécuté ?
Rép : 1 : 400 J ; 2 : oui.
Exercice 6 : Etude d’un compresseur.
Le système étudié est constitué d'un cylindre muni d'un piston, d'une soupape d'admission des gaz SA et d'une soupape
d'échappement SE liée à un ressort fixe qui maintient une pression P2 constante sur SE.
On effectue alors les opérations suivantes :
a) Transformation 0o1 : le piston est au fond du cylindre et redescend en aspirant du gaz
sous la pression atmosphérique P1 = 1000 hPa et la température ambiante T1 | 300 K. Sous
l'effet de la viscosité du gaz SA s'ouvre automatiquement (SE fermée grâce au piston). Le
volume occupé par le gaz vaut alors V1 | 0,25 L (volume du cylindre).
SA
SE
b) Transformation 1o2 : le piston remonte suffisamment rapidement pour que la
compression soit considérée comme adiabatique. SA se ferme automatiquement, SE est
toujours fermée car P < P2. Le gaz atteint finalement la pression P2 = 10uP1 à la température
T2 et occupe le volume V2.
Pour une transformation adiabatique, on nous apprend que P.VJ = Cte et que TJ.P1-J =
Cte avec J | 1,40.
c) Transformation 2o3 : SA étant toujours fermée, le piston poursuit sa course : la
pression tend à être supérieure à P2 et donc la soupape SE s'ouvre , ce qui refoule le gaz à
pression constante P3 = P2.
d) Transformation 3o0 : le piston entame sa descente : SE se ferme automatiquement et SA s'ouvre, on est alors ramené à la
transformation vue en a).
1. Donnez le diagramme P(V) des 4 transformations réalisées.
2. Sachant que la transformation b) est une transformation adiabatique, calculez T2 et V2.
3. Calculez le travail développé par le système gaz + piston lors d'un aller - retour du piston : est-il nécessaire de fournir de
l'énergie motrice pour réaliser ce cycle ?
Rép : 2 : 579 K , 48,3 mL ; 3 : 81,5 J
page 6/6
BTS et 1er cycle universitaire.
Cours de thermodynamique n° 3 : les quatre transformations thermodynamiques de base. Le 1er principe de la thermodynamique. Mise à jour du 03/10/06.
C. Haouy, professeur de Physique Appliquée.
Colonne de gauche = discours fait aux élèves, pas forcément écrit au tableau
Colonne de droite = résumé et illustrations de la colonne de gauche, écrit au tableau ou montré sur transparents.
Voir l’Introduction aux cours de thermodynamique pour situer ce cours dans son contexte. Les exercices signalés sont disponibles en fin du cours.
cours n° 3 : Les 4 transformations thermodynamiques de base.
Le premier principe de la thermodynamique.
Pré-requis : cours n° 1 et n° 2 qui précèdent.
A retenir :
* Expression du travail et de la chaleur dans le cas des 4 transformations de base.
* Le premier principe de la thermodynamique.
Plan :
1. Les 4 transformations de base
2. Le 1er principe de la thermodynamique
3. Implications du 1er principe : ∆Ucycle et ∆U12.
4. Enthalpie.
1. Les 4 transformations de base.
1.
Voir transparents
Les transformations réelles, généralement complexes, peuvent être décomposées en une
succession de transformations élémentaires, simples voire basiques. Cette décomposition
permet d'effectuer des calculs élémentaires de transfert de chaleur, de travail, de variation
de température etc…afin de prévoir, avec une bonne approximation, le résultat d'une
transformation réelle (explosion d'un mélange air-essence dans un cylindre par exemple).
3 de ces transformations basiques conservent une variable d'état P, V ou T constante : il
s'agit (respectivement) de la transformation isobare, isochore puis isotherme. Une 4ème
transformation de base intervient également souvent : la transformation adiabatique qui
concerne toutes les transformations pour lesquelles Qéchangée ≈ 0 , c'est-à-dire les
transformations calorifugées et/ou les transformations suffisamment rapides devant
l'inertie thermique du système pour que la chaleur développée par la transformation n'aie
pas le temps de s'évacuer (souvent < 1 min est déjà une bonne approximation)
Une manière de réaliser ces 4 transformations de bases est présentée sur le transparent de
ce cours.
•
•
•
•
Bibliographie :
Introduction à la thermodynamique, C.
Lhuillier et J. Rous, Dunod.
Les
machines
transformatrices
d'énergie, tome 1, par G. Lemasson,
Delagrave, 1963
transformation isobare : la pression du système reste constante lors de la transformation.
transformation isochore : le volume du système reste constant lors de la transformation.
transformation isotherme : la température du système reste constante lors de la transformation.
transformation adiabatique : aucune chaleur n'est échangée avec l'extérieur : la transformation
est très rapide et/ou calorifugée
2 transformations impliquent W = 0 et Q= 0 :
• transformations isochores : W = 0
• transformations adiabatiques : Q = 0
Ces 4 transformations simples peuvent modéliser n'importe quelle transformation
compliquée et donnent une expression simple de W, Q ou W+Q, ce qui en fait leur
intérêt.
Exercice 1.
page 1/1
BTS et 1er cycle universitaire.
Cours de thermodynamique n° 3 : les quatre transformations thermodynamiques de base. Le 1er principe de la thermodynamique. Mise à jour du 03/10/06.
2. Le 1er principe de la thermodynamique.
C. Haouy, professeur de Physique Appliquée.
2.
1er principe de la thermodynamique = bilan énergétique
On sait à présent que les transformations thermodynamiques provoquent souvent une
variation de température, de pression ou de volume du système considéré (généralement
du gaz mais ce n'est pas obligatoire). Il est intéressant de prévoir l'amplitude et le signe de
ces variations afin de concevoir les dispositifs capables des les réaliser. Le premier
principe de la thermodynamique permettra de prévoir le signe et la valeur de ces
variations. Il ne s'agit pas ici de philosopher sur les implications du 1er principe de la
thermodynamique (on pourrait écrire un livre à ce sujet), mais il faut savoir qu'il s'agit
d'un principe de base de la physique : la conservation de l'énergie. On va voir ici comment
s'articule ce 1er principe.
1ère expérience : échauffement d'un gaz dans un cylindre rigide (transformation isochore).
On considère pour simplifier que ∆U12 ∝ ∆T
Q12
∆T
On a vu au cours n°1 que l'énergie interne U d'un corps permettait de connaître la quantité
maximale de chaleur que l'on pouvait en tirer sans le désintégrer (1). En général U dépend
de la température du corps : 1 kg d'Hélium initialement à 10°C peut fournir une quantité
de chaleur de 882 kJ (2) alors qu'à 20°C il peut en fournir ≈ 913 kJ.
Faisons alors quelques expériences élémentaires destinées à mesurer la variation d'énergie
interne d'un gaz soumis à des transformations bien calibrées. On va supposer que la
variation d'énergie interne du gaz est mesurable grâce à sa variation de température 3, on
aura donc ∆U12 (variation d'énergie interne lors de la transformation 1→2)
proportionnelle à ∆T12 (variation de température du gaz lors de la transformation 1→2),
ce qui en terme mathématique s'écrit ∆U12 ∝ ∆T12. La mesure de la variation ∆T12 nous
donnera donc ∆U12 (on suppose que la constante de proportionnalité est connue).
échauffement
∆U12 = Q12
Les instruments de mesure montrent que l'énergie interne du gaz s'est élevée de ∆U12 =
Q12
2ème expérience : échauffement d'un gaz dans un cylindre à parois déformables
W12
Une partie de Q12 est convertie en travail et
accroît donc moins l'énergie interne
∆V
1ère expérience (voir 1/2 page de droite) : on mesure que ∆U12 identique à la chaleur
dégagée par la source de chaleur Q12
2ème expérience (voir 1/2 page de droite) : on constate expérimentalement que ∆U12 est
moins élevée qu'avant (température finale du gaz plus faible qu'à la 1ère expérience) et que
la différence est tout simplement due au travail dégagé par le cylindre (mesuré par la
pression du gaz et l'augmentation de son volume).
Q12
∆T
échauffement
∆U12 = |Q12| - |W12|
Dans le cas général on observe que l'on a alors : ∆U12 = W12 + Q12
⇒ ∆U12 = |Q12| - |W12| , or W12 < 0 (car perdu par le gaz) et Q12 > 0 (car gagné) ⇒ ∆U12 =
W12 + Q12 en valeurs algébriques.
1
Corps immobile et pas de perte de masse.
3
2
U ≈ m.r.T avec r ≈ 2077 J.kg-1.K-1.
2
3
Ce qui, en toute rigueur, n'est exact que pour les gaz dits parfaits (voir cours n° 4 sur les
gaz parfaits), c'est-à-dire par exemple les gaz basse pression.
Conclusion générale :
page 2/2
∆U12 = W12 + Q12
BTS et 1er cycle universitaire.
Cours de thermodynamique n° 3 : les quatre transformations thermodynamiques de base. Le 1er principe de la thermodynamique. Mise à jour du 03/10/06.
C. Haouy, professeur de Physique Appliquée.
Le premier principe de la thermodynamique exprime la conservation de l'énergie :
une variation d'énergie interne est due à une apparition de chaleur et/ou de travail.
Ce résultat, qui exprime finalement la simple conservation d'énergie d'un système fermé
(rien ne se perd, rien ne se crée) constitue le premier principe de la thermodynamique.
Il exprime le fait que l'énergie interne permet, outre un dégagement de chaleur, la
production de travail (déformation ou déplacement d'un corps) : c'est le principe qui est à
l'origine des moteurs thermiques (essence etc.) : une combustion dégagera de l'énergie qui
sera convertie pour une partie en chaleur et pour l'autre partie en travail (c'est le travail
récupéré qui nous intéresse pour les moteurs).
Rappel : W12 et Q12 sont ≤ 0 s'ils sont perdus par le système.
Remarques utiles pour les exercices :
• Pour une transfo adiabatique (Q12 = 0), on aura toujours ∆U12 = W12
• Si le système possède 2 corps (ou 2 sous-systèmes) A et B alors ∆UA+B = ∆UA + ∆UB
• Pour 2 transformations successives 1-2 puis 2-3 alors ∆U13 = ∆U12 + ∆U23
Ce premier principe établit également clairement que Q12 est une énergie, au même titre
que W12 (puisqu'on les somme 4) : c'est ce qu'on avait déjà établi avec l'expérience de
Joule (vue au cours n°2)
Exercice 2
Remarque : si on calcule la variation d'énergie interne ∆UA+B d'un ensemble de deux
corps A et B, nous aurons ∆UA+B = ∆UA + ∆UB (variation d'énergie interne du corps A +
variation d'énergie interne du corps B) : pour cette raison on dit que ∆U, ou encore U, est
une grandeur extensive, contrairement à la température par exemple, qui est dite intensive
(quand on mélange le corps A de température T au corps B de température T on n' a pas
la température de l'ensemble TA+B = T + T = 2T mais toujours T : la température n'est pas
une grandeur extensive).
3.
Evaluation de ∆U sur un cycle :
P
un cycle est tjs composé de 2
transformations au minimum
WB, QB
1
transformation B
transformation A
WA, QA
er
3. Implications du 1 principe : ∆Ucycle et ∆U12.
Implication n° 1 :Dans beaucoup de cas, un fluide (ou corps) subit une série de
transformations pour finir dans le même état que dans son état initial (état caractérisé par
la donnée du trio P, V et T), cela permettra d'obtenir des transformations périodiques,
c'est-à-dire non limitées dans le temps (moteur qui tourne par exemple). Dans ce cas,
l'énergie interne du système n'aura finalement pas varié (voir 1/2 page de droite) : si de
l'énergie interne a été perdue au cours d'une transformation, elle aura été regagnée au
cours d'une transformation suivante.
∆Ucycle = 0
2
V
Importance des cycles : effectuer un cycle est le seul moyen d'avoir un fonctionnement
périodique d'une machine (cycle bien prévu et donc machine qui effectue le cycle bien
optimisée) : moteur qui tourne indéfiniment par exemple.
On dit qu'un gaz (ou système) effectue un cycle si son état initial (caractérisé par le trio P,
V, T) est identique à son état final (cycle terminé), c'est-à-dire quand il retrouve l'état P, V
et T d'origine.
cycle ⇒ pas de variation d'énergie interne ⇒ ∆Ucycle = 0 ⇒ WA + WB + QA + QB = 0
Ainsi ∆U = 0 n'est pas restreint aux transformations isolées (pas d'échange d'énergie avec
l'extérieur Q12 = 0 et W12 = 0), mais est également applicable aux transformations
cycliques.
Exercice 3.
4
Rappel : on n'a le droit d'additionner (ou de soustraire) que des grandeurs de même
nature (10 °C + 5 bars n'a aucun sens, contrairement à 10°C + 5 °C = 15°C)
page 3/3
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C. Haouy, professeur de Physique Appliquée.
Cours de thermodynamique n° 3 : les quatre transformations thermodynamiques de base. Le 1er principe de la thermodynamique. Mise à jour du 03/10/06.
évaluation de ∆U12 pour une transformation compliquée :
Cette relation permettra d'évaluer les chaleurs et travaux développés par un cycle, voire
par une transformation particulière du cycle.
P
Implication n° 2 : la variation ∆U12 est indépendante du chemin suivi (voir ½ page de
droite) : on la calcule donc pour la transformation qu'on veut (la plus simple selon les
données du problème : par ). Ainsi il n'est pas nécessaire de connaître dans ses détails une
transformation réelle qui est toujours compliquée, pourvu que l'on connaisse précisément
l'état initial et l'état final du système. Dans le cas vu à la 1/2 page de droite, le calcul de la
variation d'énergie interne ∆U12 se fera en pratique sur le chemin C (isochore + isobare +
isochore = succession de 3 transformations élémentaires que l'on connaît parfaitement) et
non pas sur les chemins A et B qui ne sont pas des transformations élémentaires et donc
qui, à ce titre, sont très difficilement "calculables".
WB, QB
B
1
2
WA, QA
A
C
W C , QC
V
∆UAC = 0 (car AC est un cycle) ⇒ (WA + QA) + (WC + QC) = 0
∆UBC = 0 (car BC est aussi un cycle)⇒ (WB + QB) + (WC + QC) = 0
Puisque ∆U12 est indépendant du chemin suivi, c'est que ∆U12 est la différence d'une
variable U caractéristique de l'état du gaz. U est donc une variable d'état qui caractérise
une propriété du gaz, au même titre que P, V et T.
(1)
(2)
(1) et (2) → WA + QA = WB + QB ⇔ ∆U1A2 = ∆U1B2 ⇒ ∆U12 ne dépend pas du chemin
suivi ⇒ autant la calculer sur la transformation C qui est simple.
L'intérêt de la relation W + Q = ∆U est grand, car elle fait intervenir la somme de deux
grandeurs dépendantes du chemin suivi (QA est différente de QB par exemple, de même
que WA est différent de WB), alors que leur somme ∆U est indépendante du chemin suivi.
Cela signifie que, même si W et Q sont difficiles à évaluer individuellement, leur somme
W + Q peut se calculer aisément : il suffit de connaître l'état initial et l'état final (donc la
variation d'énergie interne) pour connaître le résultat de cette somme. Pour un gaz
suffisamment dilué (gaz parfait, voir cours n°4) on démontre que l'énergie interne est
fonction de sa température seulement, et non de sa pression ou de son volume (= 1ère loi
de Joule) cela permettra de simplifier les calculs. Voir ½ page de droite. On remarque
alors, qu'à 20°C par exemple, un gaz diatomique peut développer plus d'énergie qu'un gaz
monoatomique : son énergie interne est plus élevée à température identique et à quantité
de matière (nombre de moles n) identiques.
∆U12 est donc indépendante du trajet pour aller de 1 à 2 : on peut y aller par A, B ou
C ⇒ U est donc caractéristique d'un état et est alors appelée "fonction d'état". Il est
alors correct d'écrire ∆U12 = U2 - U1
Note : pour un gaz suffisamment dilué on a U ∝ T (température du gaz) :
U/n [kJ/mole]
30
Gaz diatomique
5
(N2, O2...) : U/n = R.T
2
25
remarque : comme U ∝ T on a ∆U ∝ ∆T ⇒ ∆U = 0 non seulement pour un cycle mais
également pour une transformation isotherme.
20
⇒ ∆U = ∆T ⇒ ∆U = 0 pour les
transformations isothermes de
gaz parfaits.
15
10
Gaz monoatomique
3
(H, He...) : U/n = R.T
2
5
page 4/4
0
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
T [°C]
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C. Haouy, professeur de Physique Appliquée.
4.1.
Problème : déterminer Q12 pour tout type de transformation
Idée : Q12 = ∆U12 - W12 ⇒ faisable si connaissance parfaite de ∆U12 (facile car donné
dans les tables) et de W12 (peut être difficile car ne dépend pas uniquement du corps) ⇒
peut être difficile à trouver.
4. Enthalpie.
4.1. Problème de la détermination de la chaleur échangée Q12.
Nous connaissons à présent la relation ∆U12 = Q12 + W12 et on a vu (exercice 1 en fin du cours) que
cette relation permettait de connaître les chaleurs échangées lors de diverses transformations.
Le cours n°1 nous a également montré comment l'on pouvait calculer des chaleurs échangée avec
l'extérieur Q12. Mais il s'agissait de cas simples...voire simplistes : on supposait que la capacité
calorifique du système ne variait pas en fonction de la température, de même que la chaleur
latente…ce qui est en réalité faux. En pratique le calcul de Q12 peut alors poser beaucoup de
difficultés.
On peut alors imaginer d'utiliser le 1er principe de la thermodynamique : pour calculer Q12 on peut
utiliser la relation Q12 = ∆U12 - W12 : comme U est une variable d'état, elle peut être donnée par des
tables ou des courbes (c'est ce qu'on a fait avec l'exercice 1 précédent), et donc ∆U12 peut s'en
déduire facilement. En revanche W12 n'est pas une variable d'état et ne peut donc pas être données
par des tableaux ou des courbes caractéristiques. Une manière de connaître Q12 sans passer par W12
sera alors l'utilisation de la grandeur H U + PV : cette grandeur est également une variable d'état
puisque composée de somme et multiplication de variables d'état (U, P et V). Elle peut donc être
donnée sous forme de courbes caractéristiques d'un gaz. Cette méthode n'est cependant utilisable
que sous condition : la pression du système doit rester constante au cours de la transformation, il
doit donc s'agir d'une transformation isobare. Cela peut sembler très restrictif, cependant il ne
faut pas oublier que les transformations chimiques se font souvent avec des liquides (systèmes
étudiés) soumis à la pression atmosphériques…qui est constante pendant la durée de l'expérience:
la relation Q12p = ∆H12 revêt donc une importance primordiale en chimie5. En outre on verra que le
changement de phase des corps (par exemple le passage glaçon → eau) s'effectue toujours à
pression constante, même si on essaye de faire varier leur pression6…les transformations isobares
sont donc des transformations très courantes, ce qui fait l'intérêt de la relation Q12p = ∆H12
manière de faire lorsque P = Cte : utiliser U + PV = variable d'état (⇒ donné par des
tables) car constituée d'une somme et d'un produit de variables d'états.
On pose alors U + PV H [J] enthalpie du système (dans un état donné)
H/m
Enthalpie massique de l'eau, en kcal/kg
voir illustrations du cours
pour le détail de ces courbes
L'illustration de la ½ page de droite donne H(T) de la vapeur d'eau sous différentes pression. Il
faudra d'ailleurs prendre l'habitude de désigner l'eau sous l'une de ses 3 formes : vapeur (les bulles
qui s'échappent d'une casserole en ébullition ne sont pas de l'oxygène 02 ou de l'hydrogène H2 mais
bien de l'eau H20), liquide ou solide (glaçons), même si le langage courant associe souvent l'idée du
caractère liquide à l'eau.
T
te
Application : lorsque P = C on a ∆U12p = W12p + Q12p = −
V2
∫ P.dV + Q12p ⇒ Q12p = ∆U12
V1
V2
+
∫ P.dV = ∆U12 +P. [V] V1
V2
= ∆U12 + P·∆V12 = ∆(U + PV) ∆H12.
V1
Ainsi :
Q12p = ∆H12
5
Les spécialistes de la variation d'enthalpie sont d'ailleurs les chimistes : si vous cherchez
le mot "enthalpie" sur internet, vous avez 9 chances sur 10 de tomber sur un site de
chimie.
6
Si on y arrive c'est que l'on a bloqué le processus de changement de phase.
l'indice p est là pour rappeler que la relation n'est exacte que sous pression constante.
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C. Haouy, professeur de Physique Appliquée.
exemple d'un travail fourni par un piston de compresseur qui comprime un gaz après
l'avoir admis dans un cylindre :
L'exercice 4 en fin du cours nous permet de déduire Q12 grâce au diagramme enthalpique.
La relation (vue au cours n°1) Q12 = M.Cp.∆T12 nous donnait Q12 ≈ 202 kJ (contre 196 kJ
avec le diagramme enthalpique) cette formule laisse cependant supposer que Cp reste
constante entre 200°C et 300°C. Le résultat ne diffère que de 3 % du résultat correct
(diagramme enthalpique) car la variation de température reste relativement faible.
P
P2
3
P2
4.2. Autre intérêt de l'enthalpie : le calcul de Wtotal
Q calculé à partir de ∆H est utilisable pour toute transformation isobare, cela peut paraître
contraignant (sauf en chimie, où la plupart des réactions se font sous la pression atmosphérique) :
pour tout autre type de transformation on est obligé de passer par le 1er principe de la
thermodynamique : Q = ∆U - W, ce qui nous oblige à déterminer précisément W (7)
En fait l'intérêt de l'enthalpie, en thermodynamique, se situe essentiellement ailleurs. En effet, le
premier principe de la thermodynamique fait intervenir le travail W12 absorbé ou rejeté par le gaz
lors de sa transformation de l'état 1 à l'état 2. Or pour dimensionner une machine (compresseur par
exemple), ce n'est pas vraiment W12 qui nous intéresse mais plutôt le travail total Wtotal que le
piston doit fournir, non seulement pour transformer le gaz mais également pour admettre et refouler
le gaz hors du cylindre (ces travaux là ne modifient pas l'état du gaz). Ce travail d'admission et
d'échappement est appelé "travail de transvasement" et est noté Wtrans . Le travail total (8) fourni par
le compresseur vaudra :
Wtotal
P,
V
1
P1
0
P1
W12
V2
•
V1
lors de l'admission du gaz dans le cylindre, le piston (et non le gaz) effectue le travail
sous la pression extérieure constante P1 (9) Wadm =
V1
∫ − P.dV = -P1.V1
0
•
lors de la compression 1-2, le gaz, via le piston, reçoit le travail de compression W12
V2
P2
Wtotal = W12 + Wtrans avec Wtotal =
2
∫ V.dP (voir ½ page de droite)
=
∫ − P.dV
(surface hachurée).
V1
P1
•
lors de l'échappement du gaz hors du cylindre, le piston effectue le travail sous
0
C'est ce travail qu'il faut calculer pour dimensionner un compresseur. On démontre alors que le
premier principe, relatif au travail total (c'est - à - dire avec transvasement) s'écrit :
pression constante Wéchap =
∫ −P.dV = P2.V2.
V2
∆H12 = Wtotal + Q12
c'est l'analogue de ∆U12 = W12 + Q12 pour les systèmes sans transvasement (en général
fermés) : il suffit de remplacer ∆U12 par ∆H12 pour évaluer un W total et non un travail
de transformation uniquement.
4.2.
Le compresseur (piston) a donc effectué le travail Wtotal = W12 + Wadm + Wéchap = surface
P2
V2
P1
V1
rouge (en prenant en compte les signes) ⇒ Wtotal = ∫ V.dP et non
∫ −P.dV
(gaz)
Wtotal est l'énergie nécessaire pour réaliser ce cycle. Wtotal dimensionne donc la puissance
P = Wtotal/∆t du compresseur qui doit réaliser cela en ∆t secondes.
7
∆U est moins contraignant à trouver, car comme H, U est une fonction d'état et donc des
diagrammes énergétiques peuvent donner U pour un corps donné.
8
Le vrai travail total donné par un compresseur inclus également les frottements (pertes
d'énergie) et l'énergie qu'il doit fournir pour donner une vitesse de déplacement au gaz
(énergie cinétique). Ces énergies restent cependant généralement faibles devant le travail
W12 de transformation et on pourra souvent les négliger (sauf dans les tuyères des turboréacteurs).
9
page 6/6
En réalité P1 du gaz est légèrement inférieure à Pextérieure car le déplacement du piston
crée une légère dépression dans le cylindre (viscosité du gaz) et le piston doit aspirer plus
fortement le gaz pour l'admettre dans le cylindre (PPiston > Pextérieure)
V
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Cours de thermodynamique n° 3 : les quatre transformations thermodynamiques de base. Le 1er principe de la thermodynamique. Mise à jour du 03/10/06.
Et l'enthalpie dans tout ça ? On démontre que Wtotal = ∆H12 - Q12
Démonstration (ardue pour les élèves de BTS) : on définie l'enthalpie H par H U +
P.V ce qui donne en différenciant les expressions : dH = dU + dPV, ⇔ dH = dU + PdV +
VdP ⇔ dH = dU - δW + VdP = (δW + δQ) - δW + VdP ⇔ dH = VdP + δQ et donc, en
intégrant : ∆H12 = Wtotal + Q12, cqfd.
Conclusion : pour connaître le travail Wtotal nécessaire pour faire fonctionner le piston et
transformer le gaz de l'état 1 à l'état 2, il faut réécrire le premier principe de la
thermodynamique en remplaçant ∆U12 par ∆H12 et W12 par Wtotal.
Remarque 1 : sur un cycle on a le système gaz qui développe la variation d'enthalpie
∆Hcycle = 0 (puisque H est une variable d'état du système), on a donc Wtotal + Qcycle = 0, de
même ∆Ucycle = 0 donne Wcycle + Qcycle = 0, ainsi on remarque que Wtotal = Wcycle : on peut
donc étudier le travail d'un système ouvert avec transvasement en le considérant comme
un système fermé cyclique (pas de transvasement) : c'est ce qui est réalisé pour l'étude des
machines thermiques (remarquez que le cycle 0,1,2,3,0 illustré précédemment à la 1/2
page de droite nous donne bien Wtotal = aire du cycle.)
1er principe :
∆U12 = W12 + Q12 (utilisé pour un système fermé)
∆H12 = Wtotal + Q12 (utilisé pour un système ouvert)
P
P2
Remarque 2 : voici un courriel reçu il y a peu :
"Dans votre exemple 4.2, je ne vois pas pourquoi la première étape n'est pas donnée par
P = (Pression atmosphérique extérieure - P1)V1.
Il me semble que si la pression extérieure était nulle, le gaz entrant dans le compresseur
confèrerait de l'énergie au piston et, au contraire, si on voulait faire le vide dans le
compresseur, il faudrait refouler l'atmosphère extérieure (tirer sur le piston) ce qui
coûterait de l'énergie. De même je pense qu'il convient de tenir compte dans le bilan du
rôle de la pression atmosphérique extérieure durant chacune des phases de la
compression, même si en fin de cycle cette contribution est finalement nulle car la
pression atmosphérique reste constante".
3
2
Wtotal
P1
1
0
V2
Wtotal =
v∫ VdP
cycle
Wcycle =
Le propos est juste. En fait, lors de l'admission du gaz dans le cylindre, le piston est
soumis à la pression intérieure sur une de ses faces et à la pression extérieure sur l'autre
face. On suppose implicitement que la pression extérieure est égale à la pression
intérieure (ce qui est le cas généralement avec de l'air, ou un mélange air-essence ou tout
autre mélange gaz-air assimilé essentiellement à de l'air). Le déplacement du piston
s'effectue grâce à une force négligée, considérée comme nulle (en réalité il faut un
minimum de force pour vaincre les frottements et la viscosité du gaz) car on suppose
l'admission quasi-statique, càd infiniment lente. Le même raisonnement s'applique pour le
refoulement du gaz. Lors des transformations du gaz, seule la pression du gaz (et non
celle de l'air) est à prendre en compte pour le bilan énergétique que la gaz développe, et
on devra, par "superposition" appliquer ce raisonnement ensuite à l'air seul (débarrassé du
gaz). En fin de compte, lors du bilan final qui sert à dimensionner une pompe, tout revient
à faire comme si on étudiait le gaz et l'air à part. Et pour le dimensionnement du moteur
qui entraîne le piston il faut alors prendre en compte l'addition des 2 résultats (W de
transvasement pour le gaz + W de transvasement de l'air).
v∫ −PdV
cycle
Wtotal = Wcycle
page 7/7
V1
V
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C. Haouy, professeur de Physique Appliquée.
Cours de thermodynamique n° 3 : les quatre transformations thermodynamiques de base. Le 1er principe de la thermodynamique. Mise à
jour du 10/03/05.
Exercices sur le premier principe de la thermodynamique.
Notez bien que ces exercices font parti intégrante du cours et doivent être résolus au fur et à mesure de leur apparition dans le
cours. Ils permettent de bien assimiler les concepts abordés dans chaque paragraphe et de se donner quelques ordres de
grandeur. Ils sont alors parfaitement adaptés au paragraphe étudié. Les données numériques sont issues de différents
ouvrages. Il n'est pas certain qu'elles soient exactes à la décimale près…de toute façon la physique est une science qui
modélise, et donc qui fait des approximations ! Cela nous suffira amplement !
Exercice n°1 : Chaleurs et travaux échangés avec l'extérieur.
On effectue de 3 manières différentes une compression qui amène un mélange air - essence de l'état 1 à l'état 2 avec :
état 1 : P1 = 1 bar
V1 = 3 litres
état 2 : P2 = 3 bars
V2 = 1 litres
La première évolution est isochore puis isobare, la deuxième est isobare puis isochore, la troisième est isotherme (P.V = Cte)
1. Représentez les 3 transformations en coordonnées de Clapeyron.
2. Sachant que l'on a ∆U = CV.∆T pour ce gaz (10), calculez ∆U (variation d'énergie interne entre les états 1 et 2).
3. Calculez les travaux dans les 3 cas. Déduisez - en les chaleurs échangées : sont - elles reçues ou évacuées ?
Rép : 2 : 0 J ; 3 : 600 J ; 200 J ; 327 J ; -600 J ; -200 J ; -327 J.
Exercice n°2 : élévation de température d'un tube de mercure retourné plusieurs fois.
Un tube cylindrique de verre calorifugé a un diamètre D ≈ 3cm, une hauteur H ≈ 1,1 m et contient une masse M ≈ 1 kg de
mercure (masse volumique ρ ≈ 13600 kg.m-3, chaleur massique C ≈ 138 J.kg-1 ) à la température T1. Le tube étant vertical, on le
retourne 50 fois et on constate que la température du mercure s'est élevée de ∆T.
1. Calculez le travail développé par la masse M de mercure (on donne l'accélération due à la pesanteur g ≈ 9,81 m.s-2).
2. Calculez alors la variation d'énergie interne du mercure.
3. Calculez la variation de température ∆T sachant que toute le travail a servi à échauffer le mercure.
Rép : 1 : 488 J ; 2 : 488 J ; 3,5 °C.
Exercice 3 : puissance d'une turbine à vapeur.
Une turbine à vapeur entraîne un alternateur. La vapeur d'eau sous pression entraîne les pals de la turbine qui se met à tourner
et entraîne dans sa rotation le rotor de l'alternateur. L'installation est la suivante :
alternateur
turbine à vapeur
calorifugée
générateur
de vapeur
vapeur (état 2)
condenseur
vapeur (état 3)
Ω
refroidissement
par évacuation de
chaleur
eau (état 4 = état 1)
chauffage
eau (état 1)
10
pompe
Ce résultat sera toujours vrai pour un gaz dit "parfait", quelle que soit sa transformation.
page 8/8
BTS et 1er cycle universitaire.
C. Haouy, professeur de Physique Appliquée.
Cours de thermodynamique n° 3 : les quatre transformations thermodynamiques de base. Le 1er principe de la thermodynamique. Mise à
jour du 10/03/05.
Le cycle décrit par M = 1 kg d'eau est le suivant : Le générateur de vapeur (parois indéformables) fournit Qm1 ≈ 2800 kJ / kg de
chaleur à l'eau qui se transforme alors en vapeur sous pression. Une valve de sortie du générateur de vapeur s'ouvre, la vapeur
entraîne alors une turbine calorifugée, fournissant ainsi un travail à l'extérieur (la turbine). Cette vapeur, une fois son travail
fourni, est récupérée dans un condenseur (11) (parois indéformables) qui la transforme à nouveau en eau grâce au
refroidissement qui s'y opère. Cette vapeur liquéfiée (eau liquide) a cédé à l'extérieur (air ambiant) une quantité de chaleur de
1200 kJ/kg. L'eau a donc finalement décrit un cycle de transformations.
1. A l'aide du premier principe, calculez la variation d'énergie interne massique (U2 - U1)/M et (U4 - U3)/M.
2. Sachant que l'eau décrit un cycle, déduisez - en la variation d'énergie interne massique (U3 - U2)/M et le travail
massique W23/M qui est fourni à la turbine.
3. La turbine entraînant l'alternateur possède dans ce cas un débit massique qm = 4 kg.s-1. Calculez la puissance P
développée par la turbine (rappel : les watts sont des J.s-1).
Rép : 1 : 2800 kJ/kg ; -1200 kJ/kg ; 2 : - 1600 kJ/kg ; - 1600 kJ / kg ; 3 : 6400 kW.
Exercice 4 : enthalpie massique
On donne le diagramme enthalpique massique de la vapeur d'eau sous différentes pressions :
H [kcal/kg]
calculer la chaleur Q12 à apporter à 1 kg
de vapeur d'eau pour élever sa température
de 200°C à 300°C sous la pression
constante de 1 bar.
Rép : ≈ 196 kJ
enthalpie massique de la
vapeur d'eau en fonction de la
température (en °C), pour
différentes pressions
T [°C]
11
Un "liquéfacteur" en fait !
page 9/9
1er cycle universitaire. BTS.
Cours de Thermodynamique n° 4 : chaleur, travail et énergie interne des gaz parfaits.
C. Haouy, professeur de Physique Appliquée
Mise à jour du 21-02-07.
Colonne de gauche = discours fait aux élèves, pas forcément écrit au tableau
Colonne de droite = résumé et illustrations du propos de la colonne de gauche, écrits au tableau ou montrés sur transparents.
Voir l’Introduction aux cours de thermodynamique pour situer ce cours dans son contexte. Les exercices signalés sont disponibles en fin du cours.
cours n° 4 : Chaleur, travail et énergie interne des gaz parfaits.
Plan :
1. Le gaz parfait
2. Energie interne U d'un gaz parfait
3. Conséquences pour les 4 transformations
de base
Pré-requis : Chaleur, travail et énergie interne d'un système (cours n° 1, n°2 et
n°3).
A retenir :
P.V = n.R.T = m.r.T (R ne dépend pas du gaz alors que r en dépend).
∆U = CV.∆T avec CV la capacité calorifique du G.P. à volume constant.
Le calcul de ∆U, W12 ou Q12 dans le cas des 4 transformations de base.
Bibliographie :
Introduction à la thermodynamique, C.
Lhuillier et J. Rous, Dunod, 1994.
Les
machines
transformatrices
d'énergie, tome 1, par G. Lemasson,
Delagrave, 1963
1.
G.P = modèle simplifié d'un gaz réel.
1. Le gaz parfait (ou gaz "simplifié").
On a dit que l'état d'un gaz est décrit par la donnée de 3 variables P, V et T que l'on
nomme "variables d'état". Ces 3 variables sont liées par la relation caractéristique :
P.V = n.R.T
avec :
n quantité de matière [mol]
R constante des gaz parfaits ≈ 8,31434 ± 0,00035 J.K-1.mol-1.
Rappel : 1 mole de gaz contient ≈ 6,022 52 ± 0,000 09.1023 molécules de gaz.
(incertitudes données par le cours de physique statistique de Berkeley, Armand Colin).
n moles de gaz parfait sont soumis à la contrainte :
P.V = n.R.T c'est l'équation d'évolution des gaz parfaits.
avec :
n quantité de matière [mol]
R constante des gaz parfaits ≈ 8,32 J.K-1.mol-1, indépendante du gaz considéré.
m kg de G.P. sont soumis à la contrainte :
P.V = m.r.T
avec :
m masse du gaz [kg]
r R / M (M =masse molaire du gaz) constante thermodynamique du gaz
considéré [J.K-1.kg-1]
Cette équation est indépendante de la nature du gaz : elle est vraie pour l'O2, le CO2,
l'hélium etc…En particulier cette relation nous indique finalement que la donnée de 2
variables seulement est nécessaire pour connaître l'état du gaz, puisque la 3ème variable
est déduite de la relation précédente.
Dans la pratique on utilise souvent la masse d'un gaz au lieu de sa quantité de matière
(moins parlante). Dans ce cas, l'équation du gaz (puisqu'elle dépend alors de la nature
du gaz étudié) s'écrit :
P.V = m.r.T
avec :
m masse du gaz [kg]
r constante thermodynamique du gaz considéré [J.K-1.kg-1]
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Cours de Thermodynamique n° 4 : chaleur, travail et énergie interne des gaz parfaits.
C. Haouy, professeur de Physique Appliquée
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En réalité l'équation précédente n'est qu'une approximation de la réalité, il s'agit d'une
modélisation du gaz qui permet de simplifier son étude. Comme toute modélisation,
cette équation des gaz parfaits n'est vraie que dans un domaine d'étude, elle est d'autant
plus exacte que son état P(T) est éloigné de la courbe de vaporisation et de la courbe de
condensation, tout en restant à T < Tcritique (voir cours n°6). Ce domaine d'étude est
suffisamment large pour englober beaucoup d'application industrielles et la relation des
gaz parfaits est donc largement utilisée.
Surface caractéristique d'un gaz parfait :
P
P
T
P
T
Ainsi, le gaz parfait (G.P.) est le modèle simplifié du gaz réel étudié. Dans le cas du CO2
on parle alors du "CO2 parfait" qui vérifie l'équation P.V = n.R.T . On peut également
affiner le modèle précédent pour élargir son champ d'application et parler du "CO2 réel"
qui suit approximativement l'équation (P + 0,36/V²) × (V - 4,3.10-5.n) = n.R.T.
V
V
T
On peut alors représenter la surface caractéristique d'un gaz parfait dans l'espace PVT
(voir ½ page de droite) afin de prévoir d'un coup d'œil l'évolution d'un GP.
2. Energie interne U d’un G.P. (1ère loi de Joule)
V
On a vu qu'un corps sous forme gazeuse possédait 2 capacités calorifiques massiques (ou
chaleurs massiques) différentes, selon qu'on travaille à volume constant ou pression
constante : Cv et Cp : la quantité de chaleur Q = M·Cv·∆T ou M·Cp.∆T développée lors
d'une transformation ne dépend donc pas seulement de l'état initial et de l'état final du
gaz, mais également des conditions dans laquelle elle s'est déroulée : on disait que Q
n'était pas une variable d'état. : on ne parle pas de Q1 (chaleur "contenue" dans le gaz à
l'état 1) ou de Q2, mais de Q12 (chaleur développée pour aller de l'état 1 à l'état 2 du gaz).
En revanche l'expérience montre que l'énergie interne U ne dépend que de la
température T pour un G.P (1ère loi de Joule) ⇒ U = Cte × T : ainsi U est une fonction
d'état, puisque T est une fonction d'état : on a le droit de parler de l'énergie interne U1 du
gaz dans l'état 1 ou de l'énergie interne U2 du gaz dans l'état 2. En particulier on écrira
∆U la variation d'énergie interne, au lieu de U12 (écriture réservée à la chaleur ou au
travail, qui ne sont pas des variables d'état).
On aura bien évidemment ∆U = Cte × ∆T : la variation d'énergie interne subie lors d'une
transformation ne dépend que de la variation de température constatée. En particulier
une transformation isotherme (∆T = 0) laissera inchangée l'énergie interne du gaz (∆U =
0).
⇒ 2 variables suffisent pour connaître l'état d'un gaz parfait, la 3ème s'en déduit par une
des 3 courbes ci-dessus.
2.
∆U ne dépend que de ∆T :
∆U = m.cV.∆T
avec :
m masse du gaz étudié [kg]
cV capacité calorifique massique à volume constant du gaz étudié [J.K-1.kg-1]
⇒ tout le travail absorbé dans une transformation isotherme d'un gaz parfait est
intégralement évacué en chaleur, et inversement (cela est faux pour les solides ou les
changements de phase).
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Précisons la valeur de la constante qui lie ∆U et ∆T : prenons 2 transformations qui
amènent le gaz de la température T1 à la température T2. L'une de ces transformations
(1-2) et quelconque, l'autre (1'-2) est isochore (cas particulier qui nous donne W1'2 = 0 ) :
W > 0 apporté au gaz
P
T °C
2
T °C
1
Q = -W < 0 évacué par le gaz (et absorbé par l'eau)
V/n
1’
∆T identique pour les 2 transformations ⇒ ∆U12 = ∆U1'2 ∆U
transformation 1'2 : ∆U = W1'2 + Q1'2 = 0 + Q1'2 = m.cV.∆T
T °C
Exercice 1
d'où pour une transformation quelconque ∆U = m.cV.∆T ⇒ m.cv est la constante de
proportionnalité entre ∆U et ∆T avec :
m masse du gaz étudié [kg]
cV capacité calorifique massique à volume constant du gaz étudié [J.K-1.kg-1]
3.1.
Note : on démontre que U d'un G.P. est donnée par la relation
Q12 = m·CV·∆T
U = 3/2.n.R.T pour un G.P monoatomique.
U = 5/2.n.R.T pour un G.P. diatomique
échauffement
∆T
3. Conséquences pour les 4 transformations de base.
3.1. Transformation isochore (W12 = 0)
Pour une transformation isochore on a alors ∆U = Q12 + 0 et ∆U = m.cV.∆T ⇒ Q =
m.cV.∆T…on le savait déjà (voir cours n°1), ainsi :
P
∆U = m.cV.∆T
Q12 = m.cV.∆T
W12 = 0
∆U = m.cV.∆T
Q12 = m.cV.∆T
W12 = 0
2
1
T2
T1
V
Remarque : il ne faut pas croire que Q12 ne dépend pas du trajet suivi (vu qu'elle ne dépend que
de ∆T ici) car le trajet est ici rigoureusement défini : il s'agit d'une transfo isochore qui n'est pas
un trajet quelconque !
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3.2. Transformation isobare (W12 = -P.∆V)
On a alors ∆U = Q12 + W12 ⇒ m.cV.∆T = m.cP.∆T - P.∆V
Ainsi :
∆U = m.cV.∆T
Q12 = m.cP.∆T
W12 = -P.∆V
3.2.
W12 = -P·∆V
∆T
te
Note : On peut noter Cp m.cp et Cv m.cV, d'où ∆U = Cp.∆T - P∆V et P = C ⇒
Cv.∆T = Cp.∆T - ∆PV ⇒ Cv.∆T = Cp.∆T - ∆nRT or n = Cte ⇒ Cv.∆T = Cp.∆T nR.∆T ⇒ Cp - Cv = nR.
∆U
Q12 = m·CP·∆T
Comme Cp et Cv sont des coefficients caractéristiques du gaz (et non de la
transformation), cette relation établie dans un cas particulier (transfo isobare) garde sont
caractère général pour toute transformation.
P
En outre on constate que l'on a forcément CP > CV ⇒ il faut plus de chaleur pour élever
de ∆T la température d'un corps à pression constante qu'à volume constant (on s'en
doutait puisque dans ce dernier cas on n'a pas de perte d'énergie par le biais du travail).
1
2
T2
T1
∆U = m.cV.∆T
Q12 = m.cP.∆T
W12 = -P.∆V
V
3.3 transformation isotherme
T
On a alors ∆U = Q12 + W12 ou dU = δQ + δW ⇒ CV.dT = δQ - P.dV ⇔
∫ Cv.dT
= Q12 -
3.3.
T
V2
V2
nR.T
1
∫V1 V .dV ⇔ 0 = Q12 - n.R.T.V1∫ V .dV ⇔ Q12 = nRT.ln(V2/V1)
Ainsi :
∆U = 0
Q12 = nRT.ln(V2/V1)
W12 = nRT.ln(V1/V2)
P
W12 = nRT.ln(V1/V2)
T °C
2
1
T
V
∆U = 0
W12 = nRT.ln(V1/V2)
Q12 = -nRT.ln(V1/V2) = -W12
Q 12
T °C
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3.4. Transformation adiabatique (Q 12 = 0)
∆U = Q12 + W12 ⇔ Cv.∆T = 0 + W12
3.4
∆U = m.cV.∆T
Q12 = 0
W12 = - m.cV.∆T
Comme CV < CP on en déduit qu'il faut moins d'énergie pour élever la température lors
d'une transformation adiabatique que lors d'une transformation isobare (on s'en doutait
puisque l'adiabatique n'évacue pas la chaleur à l'extérieur). Inversement on peut alors
dire qu'à quantités d'énergie évacuée égales, l'expansion isobare abaisse moins la
température du gaz que l'expansion adiabatique.
P
∆T
W12 = -m·CV.∆T
2
T2
T1
1
V
parois calorifugées
D'autre part :
dU = δQ + δW ⇒ Cv.dT = -P.dV ⇒ Cv.dT = - nR.T.dV/V ⇒ Cv.dT/T = (Cv Cp).dV/V ⇒ Cv × ln(T2/T1) = (Cv - Cp) × ln(V2/V1) ⇒ ln(T2/T1)Cv = ln(V2/V1)(Cv-Cp) ⇒
T2/T1 = (V2/V1)1-γ = (V1/V2)γ-1 ⇒ T1.V1γ-1 = T2.V2γ-1
∆U = m.cV.∆T
Q12 = 0
W12 = - m.cV.∆T = -∆U
On démontre donc également que (utilisé pour les exercices) :
Avec PV = nRT et notant γ Cp/Cv on démontre en plus que (utile pour les exercices)
:
T.Vγ-1 = Cte
T.P(1-γ)/γ = Cte
P.Vγ = Cte
T.Vγ-1 = Cte
T.P(1-γ)/γ = Cte
P.Vγ = Cte
Remarque :
On démontre que le rapport des tangentes des courbes au point 1 vaut :
pente de l'adiabatique
= Cp/Cv γ, or Cp > Cv donc γ > 1 : une adiabatique est plus
pente de l'isotherme
"raide" qu'une isotherme. (γ = 1,4 pour un gaz parfait)
Exercices 2, 3, 4 et 5.
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Exercices sur le travail, la chaleur et l'énergie interne des gaz parfaits.
Notez bien que ces exercices font parti intégrante du cours et doivent être résolus au fur et à mesure de leur apparition dans
le cours. Ils permettent de bien assimiler les concepts abordés dans chaque paragraphe et de se donner quelques ordres de
grandeur. Ils sont parfaitement adaptés au paragraphe étudié. Les données numériques sont issues de différents ouvrages. Il
n'est pas certain qu'elles soient exactes à la décimale près…de toute façon la physique est une science qui modélise, et donc
qui fait des approximations ! Cela nous suffira amplement !
Exercice 1 : volume utile d'une bonbonne de gaz sous pression
On dispose d'une bouteille de gaz carbonique (CO2) de 0,5 L comprimée à 2 bars (≈ 2000 hPa) destinée à l'aquariophilie
(alimentation des plantes aquatiques). La sortie de la bouteille est reliée à un tuyau qui plonge à environ 1 cm en dessous de
la surface de l'eau d'un aquarium. Quelle quantité de CO2 peut-on en extraire si on ouvre lentement la bouteille ?
bulles
aquarium
Rép : 0,5 litre seulement.
Exercice 2 : compression adiabatique.
On effectue une compression de 1 bar à 10 bars d' 1 litre d'air (G.P.) pris initialement à la température ambiante (20°C).
Cette compression est suffisamment rapide pour que le récipient renfermant l'air n'ait pas le temps d'évacuer la chaleur
pendant la compression. On donne γ ≈ 1,40, r ≈ 287 J.K-1.kg-1 et cV ≈ 720 J.K-1.kg-1 pour l'air.
T=?
1 bar
V=?
10 bar
∆U = ?
1. Calculer la température finale de la masse d'air.
2. Déduisez en son volume final et sa variation d'énergie interne.
Rép : 1 : 293 °C ; 2 : 0,2 L ; 236 J.
Exercice 3 : quelques calculs simples.
Un volume d'air (gaz parfait) de 20 litres à la pression atmosphérique Po ≈ 1013 hPa et à To ≈ 0° C subit les deux
transformations suivantes :
3. P0
T=?
V=?
∆U = ?
∆U = ?
transfo. 1-2
600 °C
transfo. 2-3
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transformation 1-2 : compression isochore. L'air est chauffé jusqu'à ce que sa pression soit égale à 3Po.
transformation 2-3 : expansion isobare. L'air est chauffé jusqu'à ce que sa température atteigne 600 °C.
On donne pour l'air : masse molaire M ≈ 29 g/mole, Cv ≈ 708.J.K-1.kg-1 , γ ≈ 1,40 et R ≈ 8,32 J.K-1.mol-1.
1.
2.
3.
4.
Quelle est la température atteinte par l'air à la fin de la transformation 1-2 ?
Calculez la masse m d'air et déduisez - en la variation d'énergie interne de l'air dans la transformation 1-2.
Quel est le volume occupé par l'air à la fin de la transformation 2-3 ?
Calculez la variation d'énergie interne de l'air dans la transformation 2-3.
Rép : 1 : 819 K ; 2 : 26g ; 10,0 kJ 3 : 21,3 L ; 4 : 985 J.
Exercice 4 : Compression et travail.
On comprime isothermiquement jusqu'à la pression de 20 bars 1m3 d'air se trouvant initialement dans les conditions normales (rappel : To
≈ 273 K, Po ≈ 1013,25 hPa). On admet que l'air se comporte comme un gaz parfait (R ≈ 8,32 J.K-1.mol-1)
1 bar
20 bars
W=?
W=?
T0
V2 = ?
T2 = ?
Q=?
T0
1. Quel est le volume final de l'air ?
2. Calculez le travail de compression et la quantité de chaleur cédée par le gaz au milieu extérieur.
La masse d'air est ramenée à la pression P2 ≈ 1 bar par une détente adiabatique (PVγ = Cte avec γ ≈ 1,42 pour l'air).
3. Déterminez le volume V2 et la température T2 du gaz après la détente.
4. Calculez le travail fourni au milieu extérieur et comparez - le au travail fourni au gaz pendant la compression
isotherme. Interprétez les résultats en utilisant le diagramme de Clapeyron.
Rép : 1 :50 L ; 2 : 304 kJ ; -304 kJ ; 3 : 412 L ; 113 K 4 : -142 kJ.
Exercice 5 : cycle, travail et chaleur.
Une certaine masse d'air est enfermée dans un corps de pompe dans les conditions initiales (point A en coordonnées de
Clapeyron) P1 ≈ 1 bar, V1 ≈ 0,010 m3, T1 ≈ 273 K. On lui fait subir une série de transformations représentées par le rectangle
ABCD ci - dessous. L'ordonnée de B est P2 = 2·P1, l'abscisse de D est V2 = 2·V1.
On donne :
• chaleur massique de l'air à pression constante : Cp ≈ 992 J.K-1.kg-1 ;
• constante des gaz parfaits R ≈ 8,31 J.K-1.mol-1.
• Cp/Cv γ ≈ 1,42 ;
• Masse molaire de l'air M ≈ 29 g/mole.
P
2 bars
1 bar
1 bar
2 bars
10 L
T=?
B
P2
P1
10 L
0 °C
isotherme
20 L
T=?
20 L
T=?
échauffement échauffement refroidissement
page 7/7
A
V1
C
D
V2
V
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C. Haouy, professeur de Physique Appliquée
Cours de Thermodynamique n° 4 : travail, chaleur et énergie interne des gaz parfaits.
Mise à jour du 21/02/07.
1. Calculez le travail échangé au cours du cycle ABCD.
2. Déterminez la température de l'air dans les états B, C et D.
3. Calculez la masse d'air m mise en jeu et déduisez - en les quantités de chaleur mises en jeu pendant les
transformations AB, BC, CD et DA.
Rép : 1 : -1,00 kJ ; 2 : 546 K ; 1092 K ; 546 K ; 3 : 12,8 g ; 2,44 kJ ; 6,92 kJ ; -4,88 kJ ; -3,46 kJ
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Cours de Thermodynamique n° 5 : Transformations réversibles. 2 nd principe de la thermodynamique.
C. Haouy, professeur de Physique Appliquée
Mise à jour du 28/01/08.
Colonne de gauche = propos approximativement tenus aux élèves, pas forcément écrits au tableau
Colonne de droite = résumé et illustrations de la colonne de gauche, écrits au tableau ou montrés sur transparents.
Voir l’Introduction aux cours de thermodynamique pour situer ce cours dans son contexte. Les exercices signalés sont disponibles en fin du cours.
cours n° 5 : Transformations réversibles. 2nd principe de la thermodynamique.
Pré-requis : 1er principe de la thermodynamique (cours n° 3)
Plan :
1. Insuffisance du 1er principe de la
thermodynamique
2. Transformations réversibles
3. Second principe de la thermodynamique
4. Inégalité de Clausius. Rendement maximal
d'un moteur thermique ditherme
A retenir : Savoir prédire par calcul la réversibilité d'une transformation.
Connaître l'inégalité de Carnot.
Savoir calculer une variation d'entropie.
1. Insuffisance du 1er principe de la thermodynamique.
Cherchons à produire du travail en réalisant une détente isotherme d'une masse m de gaz
parfait. Dans ce cas on aura une variation d'énergie interne U = m·CV·T = 0 (cours n°
4) et comme U = W + Q le gaz aura cédé au piston le travail W = -Q . Comment réaliser
cela en pratique? Et bien il suffit d'enfermer le gaz dans un cylindre à piston. Ce cylindre
est par exemple placé dans l'air ambiant (température constante de 20°C = température du
gaz et pression sur le piston de 1 bar). On place sur le cylindre un masse M qui exerce une
pression supplémentaire de 1 bar, ce qui, ajouté à 1 bar de pression atmosphérique, exerce
une pression absolue de 2 bars sur le gaz. On attend que la température du gaz se stabilise
(égale à celle de l'air ambiant). Ensuite on retire "lentement" la masse de manière à
conserver constante la température du gaz : la pression va se rétablir à 1 bar et le gaz va
se détendre, il y aura production de travail (voir 1/2 page de droite).
On peut alors se dire qu'on peut fabriquer un moteur, puisqu'il y a production de travail :
il suffit de relier le piston à un système bielle-manivelle…oui, sauf qu'il faut à nouveau
comprimer le gaz sous 2 bars avant d'obtenir une nouvelle détente à 1 bar, c'est-à-dire
replacer la masse M sur le piston…et apporter dans ce cas le travail W au gaz avant de le
récupérer…bilan des opérations nul : on ne fait que récupérer (à la détente) le travail W
que l'on avait apporté à la compression. En d'autres termes, le bilan du travail récupéré sur
un cycle est nul confirmé par le diagramme P(V) : notre moteur ne fonctionne que comme
un ressort qu'il faut remonter à chaque fois…ce n'est pas génial comme moteur thermique
qui est supposé produire du travail à partir d'absorption de chaleur uniquement.
Bibliographie :
Introduction à la thermodynamique, C.
Lhuillier et J. Rous, Dunod, 1994.
Les
machines
transformatrices
d'énergie, tome 1, par G. Lemasson,
Delagrave, 1963
1.
Idée d'un moteur thermique :
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W=-Q
20°C
2 bar
20°C
1 bar
air ambiant
20°C
1 bar
Q
P
Q
2 bar
W
1 bar
V
20°C
1 bar
1er cycle universitaire. BTS.
Cours de Thermodynamique n° 5 : Transformations réversibles. 2 nd principe de la thermodynamique.
Rappelons qu'un moteur thermique doit fournir, sur un cycle, un travail à partir de
chaleur(s)1. Essayons alors d'autres types de transformations, toujours avec un cylindre en
contact éventuel avec une source de chaleur …finalement on n'arrivera jamais à créer un
tel moteur avec une seule source de chaleur, quelles que soient les transformations que
l'on fait subir au gaz. C'est là que l'on est bloqué : le 1er principe de la thermodynamique
est simplement un principe de conservation de l'énergie (rien ne se perd, rien ne se crée) :
en d'autres termes il permet de prévoir la quantité de chaleur ou de travail que l'on peut
extraire d'un gaz lors d'un cycle de transformations donné…mais il ne permet pas de
savoir comment réaliser le cycle en pratique. En termes de formulation mathématique cela
donne :
1er principe : puisque Ucycle = 0 (U = fonction d'état) et que on a Ucycle = Wcycle + Qcycle
(1er principe) on obtient Wcycle + Qcycle =0  Wcycle = -Qcycle : pas de problème soulevé, on
peut a priori fournir du travail sur un cycle en absorbant de la chaleur d'une seule source
(l'air ambiant).
2nd principe : il nous indiquera que Wcycle = -Qcycle = 0 (information supplémentaire) : on
ne pourra pas fournir du travail sur un cycle en absorbant de la chaleur à l'aide d'une seule
source
2nd principe avec une seule source de chaleur
chaleur gagnée de l'air
ambiant sur un cycle
travail fourni sur un cycle
Qcycle
Wcycle = -Qcycle
(1er principe)
mais 2nd principe avec une seule source de chaleur : Wcycle = 0 : on le démontrera
(exercice)
2nd principe avec 2 sources de chaleurs (démontré au paragraphe 4)
Une des premières formulations du 2 nd principe de la thermodynamique fut "un moteur
thermique ne peut pas être réalisé s'il entre en contact avec une seule source de chaleur"
(mouvement perpétuel impossible). Cela sous-entend qu'il faut au moins 2 sources de
chaleur en contact (même furtif) avec le gaz pour réaliser un moteur thermique 2.
Cependant, une étude plus détaillée du 2 nd principe nous montrera que même avec 2
sources de chaleurs tout n'est pas permis : on ne pourra malheureusement pas avoir 3 Wcycle
= (Q1 + Q2)cycle : le travail ne pourra pas être produit à partir de la somme des chaleurs
absorbées des 2 sources, il en rejettera une certaine quantité, ce qui réduira le travail
fourni. Comprendre pourquoi le 1 er principe de la thermodynamique ne suffit pas 4 et
établir la formulation mathématique du 2 nd principe de la thermodynamique (afin que cela
soit exploitable pour toutes les situations rencontrées) passera par la notion de
transformation réversible.
Comme sur un cycle on a toujours Ucycle = 0 quelles que soient les transformations, on
aura toujours Wcycle = -Qcycle.
2
Pour les moteurs thermiques usuels, la source chaude est réalisée furtivement par
l'explosion d'un mélange air-essence et la source froide est simplement l'air ambiant.
3
Sans prise en compte des conventions de signe, c'est-à-dire en prenant Q1, Q2 et Wcycle
positifs.
4
En d'autres termes, pourquoi a t-on Wcycle = 0 dans le cas du "moteur" monoterme.
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1
C. Haouy, professeur de Physique Appliquée
Mise à jour du 28/01/08.
Q2
Q1
2 sources l'une après l'autre :
ça tournera mais Q1 ne pourra
pas être absorbé 
Wcycle < Q1 + Q2
Q2
Q2 absorbé et Q1 rejeté :
tourne et Wcycle = Q2 - Q1
Q1
1er cycle universitaire. BTS.
Cours de Thermodynamique n° 5 : Transformations réversibles. 2 nd principe de la thermodynamique.
C
2. Transformations réversibles.
1er cas : compression - détente brutale, P et T non homogènes (sauf aux étapes initiale et finale 1 et 4)
20 °C
1
20 °C
4
4
1
20 °C
-400 J
20 °C
Pext
Pext
P4
Pext
4
20 °C
Pext
P4
4
1
P1
P1
1
V1
V4
P4
4
20 °C
400 J
P1
+100 J
20 °C
20 °C
P1
V4
V1
V1
1
-100 J
V4
V1
2ème cas : compression - détente brutale et quasi statique : P et T homogènes , mais P  Pext et T Text (sauf aux étapes 1 et 4)
20 °C
1
20 °C
4
4
1
20 °C
-400 J
20 °C
P
P
P4
P
P4
4
P
P4
4
20 °C
4
20 °C
1
P1
+100 J
20 °C
20 °C
P1
V1
P1
1
V1 V
V4
V4
V
1
V4
V1 V
3ème cas : compression - détente très lente, quasi statique : P et T homogènes, P = P ext , T =T ext à chaque étape intermédiaire.
Limite = transformation isotherme : transformation réversible
20 °C
1
2
3
4
4
3
2
1
100 J
-100 J
20 °C
20 °C
P
20 °C -100 J
20 °C
P
100 J
100 J
-100 J
P
20 °C
P
P4
P
4
P4
20 °C
P
4
20 °C
20 °C
4
4
P
4
20 °C
P1
1
V1
1
1
300 J
1
V4
-300 J
V4
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1
V1
1er cycle universitaire. BTS.
Cours de Thermodynamique n° 5 : Transformations réversibles. 2 nd principe de la thermodynamique.
Expliquons les illustrations précédentes ( on peut les sauter en 1 ère lecture : dans ce cas rendez -vous au paragraphe 3).
1er cas
On effectue la compression d'une masse de gaz (système) dans un cylindre muni d'un piston qui coulisse sans frottement. Ce
cylindre est placé dans un environnement ( extérieur du système) de température constante égale à 20°C : il est donc en contact
(furtif ou non) avec une seule source de chaleur : il s'agit d'une transformation dite monotherme. La compression est réalisée en
posant brusquement une masse sur le piston (on la laisse tomber sur le piston par exemple), ce qui a pour effet d'augmenter la
pression du gaz. La détente est simplement réalisée en enlevant brusquement la masse.
Que se passe t-il ? La pression du gaz est modifiée trop rapidement (devant le temps de relaxation du gaz, c'est -à-dire le temps
de réorganisation des molécules) pour que la pression du gaz soit homogène dans le cylindre (on dit qu'il y a un gradient de
pression) : la pression du gaz n'est donc pas définie (que vaudrait -elle ?). Il en est de même pour la température ( gradient de
température).
Est-ce que cela nous empêche de prévoir l'échauffement du gaz ? Non, car la force extérieure est parfaitement définie à chaque
instant5 . Le travail des forces (ici forces de pression uniquement) extérieures (c'est -à-dire appliquée sur la face extérieur du
4
4
4
1
1
1
piston) est parfaitement défini : W =   Pext .dV =   P4 .dV =  P4  dV = - P4(V4 – V1)  W  P4  V1  V4 
Ce travail peut est représenté dans un plan P ext(V) où P ext représente la pression extérieure appliquée sur la face extérieure du
piston et non la pression du gaz (qui est non définie) : c'est la surface grisée représen tée sur le plan P ext(V). Lorsqu'on pose la
masse la pression extérieure passe instantanément à P 4 puis le volume du gaz va progressivement s'ajuster à V 4 de manière à
avoir P 4V4 = nRT lorsque l'équilibre avec l'extérieur sera atteint (température du gaz d evenue homogène puis égale à T ext =
20°C, pression P du gaz devenue homogène et égale à la pression extérieure P 4).
Noter qu'au départ (étape 1) le gaz est en équilibre avec l'extérieur : T = T ext et P = P ext, ainsi l'état du gaz P(V) se trouve
représenté par un point situé sur l'isotherme T = PV/nR = 20°C. De même à l'étape 4 on a l'état 4 du gaz représenté par un point
situé sur la même isotherme.
Le premier principe de la thermodynamique nous apprend que U = W + Q avec W le travail des forces extérieur es au système
et Q la chaleur échangée avec l'extérieur du système. Certes, l'énergie interne U n'est pas définie au cours de la compression
(puisque T n'est pas homogène), cependant U 1 et U4 sont parfaitement définies (puisque le gaz est alors à l'équilib re avec
l'extérieur : T 1 = T 4 = T = 20°C). Comme T 1 = T 4 on a U = 0 (la variation de U ne dépend que des étapes initiales et finale et
non des étapes intermédiaires), ainsi Q   W : si un travail de 400 J a été absorbé de l'extérieur lors de la transformation, alors
une chaleur de –400 J a été évacuée à l'extérieur.
Lors de la détente du gaz, la pression extérieure passe brusquement de P4 à P1 : le même raisonnement que précédemment nous
démontre que le travail évacué à l'extérieur va ut W  P1  V1  V4  = -100 J par ex, il est donc plus faible (en valeur absolue)
qu'avant, et donc il en est de même pour la chaleur absorbée lors de la compression.
Il faut bien retenir ici que la trajectoire décrite dans le plan Pext(V) ne co rrespond pas à la trajectoire du point représentatif de
l'état du gaz, état qui n'est pas défini au cours de la compression puis de la détente.
2ème cas
Imaginons cette fois-ci que la pression et la température du gaz restent homogènes au cours des trans formations. Cela est
souvent le cas en pratique car le temps de réorganisation des molécules est de l'ordre de quelques µs, ce qui est court devant le
temps de descente du piston (quelques ms par ex.). Il suffit par exemple de poser la masse sur le piston (vitesse initiale nulle).
Et on peut même imaginer qu'un petit agitateur uniformise la température. Dans ce cas la pression et la température du gaz sont
bien définies à chaque instant : on dit que la transformation est quasi statique. Cependant il ne s'agit pas d'un état d'équilibre
avec l'extérieur, qui supposerait qu'à chaque instant P = P ext et T = T ext. On peut néanmoins représenter ici l'état P(V) du gaz au
cours de la transformation, contrairement au cas précédent. Il s'agit tout simplement de la rep résentation habituelle vue dans les
4 cours précédents où les transformations étaient toutes implicitement quasi statiques.
Que se passe t-il ? En posant la masse sur le piston, la pression extérieure P ext passe brutalement à P 4 mais pas la pression
intérieure P. On peut imaginer que les parois du cylindre sont trop épaisses et qu'il n'a donc pas le temps d'évacuer la chaleur
obtenue lors de la compression : il s'agit alors d'une compression quasi -statique adiabatique. Ensuite la chaleur finit par
s'évacuer à travers les parois du cylindre et la température du gaz redescend. On peut penser que la pression P du gaz a le temps
5
Elle est constante dans le temps et vaut F = Mg avec M la masse posée sur le piston et g l'accélération due à la pesanteur, d'où
la pression finale P 4 = P1 + Mg/S) avec P 1 la pression initiale du gaz (pression atmosphérique de 1 bar par ex.) et S la section
du piston.
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C
1er cycle universitaire. BTS.
Cours de Thermodynamique n° 5 : Transformations réversibles. 2 nd principe de la thermodynamique.
de s'équilibrer avec la pression extérieure P = P ext = P4 : il s'agit alors d'une compression quasi statique isobare. La trajectoire
du point représentatif de l'état P(V) est alors représentable dans un plan P(V) où P représente bien cette fois -ci la pression du
gaz et non la pression extérieure.
Le premier principe de la thermodynamique nous donne, de la même manière qu'au 1 er cas exposé précédemment,
W  P4  V1  V4  . On remarquera qu'il ne s'agit pas de la surface générée par la trajectoire du point dans le plan P(V) , tout
simplement parce qu'on n'a pas P ext = P (le cours n°2 où l'on a dit que le travail était représenté par la surface engendrée par la
trajectoire du point supposait que l'équilibre mécanique était assuré, c'est -à-dire Pext = P). La surface représentative du travail
est représenté en grisé : elle est identique à celle vue au 1 er cas et supérieure à la surfa ce générée par la trajectoire. Le gaz
absorbe donc le même travail, que la compression soit quasi statique ou non, et dans ce cas il évacue la même chaleur qu'au 1 er
cas vu précédemment, que la compression soit quasi statique ou non : Q  W
Lors de la détente du gaz on aura le même phénomène : détente adiabatique où le gaz n'a pas le temps d'absorber la chaleur,
puis détente isobare où le gaz se réchauffe pour atteindre l'équilibre thermique avec l'extérieur. Noter que, encore une foi s, la
trajectoire retour du point P(V) ne reprend pas l'inverse de la trajectoire aller. Qu'est-ce qui change finalement entre le 1 er cas
et le 2 ème cas : rien en ce qui concerne les énergies développées puisque de toute façon l'effort (représenté par la f orce
nécessaire à effectuer la compression) est le même dans les 2 cas (en revanche la puissance P = W/t nécessaire pour réaliser la
compression du 2 ème cas est plus petite car la durée t utilisée pour réaliser la transformation quasi statique est forcém ent plus
grande que pour une compression non quasi statique).
3ème cas
Imaginons cette fois-ci que l'on effectue la compression par étapes successives, de manière à avoir, à chaque instant, non
seulement des transformations quasi statiques mais en plus l 'équilibre mécanique avec l'extérieur (P = P ext à chaque instant). En
outre les masses sont suffisamment petites pour que le cylindre ait le temps d'évacuer ou d'absorber la chaleur de l'extérieur, de
manière à avoir l'équilibre thermique avec l'extérieur (T = T ext à chaque instant : on peut prendre un cylindre avec des parois
plus minces qu'avant pour faciliter l'échange thermique).
Que se passe t-il ? Dans ce cas, si nos masses intermédiaires sont encore trop "grosses", on va avoir les trajectoires du po int
P(V) qui seront des successions adiabatiques – isobares, mais ces trajectoires colleront plus à l'isotherme 20°C. A la limite, en
prenant des masses infiniment petites 6 on aura la trajectoire confondue avec l'isotherme. Dans ce cas, la surface générée par la
trajectoire P(V) du point correspond effectivement au travail reçu par le gaz (puisque P = P ext). Comme P = nRT/V on en
4
4
1
1
V 
V 
1
.dV = nRT  ln  4   W  nRT  ln  1  plus faible qu'au 2 cas
V
V
 V4 
 1
1
principe de la thermodynamique nous donne Q  W : la chaleur évacuée est plus
4
déduit que W =   Pext .dV =   P.dV =  nRT 
précédents (300 J par ex.) et donc le 1 er
faible qu'aux 2 cas précédents.
Pour le phénomène de déte nte, on aboutit au même résultat en prenant des masses infiniment petites. On constate alors que les
trajets aller et retour sont identiques dans le plan P(V). C'est là, je pense, l'origine du mot "réversibilité" 7
On voit ici le problème que pose ce genre de transformation qui est finalement infiniment lente (elle dure t avec t + ), et donc qui développe une
puissance P nulle car P = W/ t  0.
7
L'identité des trajets aller et retour ne suffit cependant pas pour assurer la réversibilité d'un cycle de transformation : penser à l'échauffement et au
refroidissement isochore d'une masse m de gaz : le cylindre, à parois fixes, initialement à 20°C est plongé dans un milieu à 80°C, la transformation quasi
statique P(V) va avoir pour trajectoire une verticale ascendante (de l'isotherme 20°C à l'isotherme 80°C). Puis si on refroidit le gaz de 80°C avec une source
de chaleur à 20°C, la trajectoire P(V) va être exactement identique à la tra jectoire précédente, sauf qu'il s'agira de la verticale descendante de l'isotherme 80°C
à l'isotherme 20°C. Les chaleurs échangées seront identiques (=  mCV·T) à l'aller et au retour, cependant le cycle ne sera pas réversible car la température
extérieure (80°C) n'était pas égale, à chaque instant, à la température du gaz (qui évolue). Pour assure la réversibilité, ou plutôt la quasi réversibilité [voir
réflexions personnelles sur le 2 nd principe de la thermodynamique], il aurait fallu que la température extérieure évolue de la même manière que la température
du gaz, c'est-à-dire passer progressivement de 20°C à 80°C : à l'aide d'un four par exemple). Finalement la réversibilité d'une transformation impose des
contraintes d'évolution à l'extérieur du système, contrairement à la notion quasi statique.
6
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3.1.
3. Second principe.
3.1. Enoncé non mathématique.
Prenons le cas d'un gaz qui évolue de manière cyclique dans un cylindre muni d'un piston
et mettons le en contact (éventuellement furtif) avec 2 objets de températures différentes,
pris l'un après l'autre. Pendant ces contacts les objets assurent une température de contact 8
constante et leur volume reste constant 9 : on les appelle en thermodynamique "sources de
chaleur" ou "thermostats". Dans ce cas l'expérience précédente permet de réaliser un
moteur thermique, d'où l'énoncé (non mathématique) du 2nd principe de la
thermodynamique :
T1 = Cte
retrait
T augmente
T
diminue
T augmente
retrait
retrait
te
T2 = C
2nd principe de la thermodynamique :
Il faut au moins deux sources de chaleur pour réaliser un moteur thermique
(Rappelons qu'un moteur thermique est une machine qui fonctionne sur un cycle et qui
produit du travail uniquement à partir de sources de chaleur). Cet énoncé n'est pas
mathématique, ce qui en limite pour le moment la portée, mais cela énonce clairement que
le moteur monotherme vu au paragraphe 1 précédent ne pouvait pas fonctionner.
3.2. Enoncé mathématique
transformations réversibles :
On s'aperçoit que, lors d'une transformation cyclique réversible réalisée avec deux
thermostats (T2 = Cte et T1  Cte) une quantité reste constante, intégralement transférée de
la source chaude vers la source froide.
Cette quantité qui reste constante est le rapport Q 2/T2, ou Q1/T1 (égalité au signe près).
Comme toute constante en physique ( 10), on lui donne un nom : Entropie.
Sreçue 
Q2
T2
2nd principe : il faut au moins 2 sources de chaleur pour extraire un travail sur un cycle
(moteur thermique).
Remarque : ces sources de chaleur ne sont pas forcément en contact permanent avec le
système étudié.
3.2.
cycle de transformations réversibles (isothermes et adiabatiques) :
transfo A
T = T2
V augmente
T2
détente
énergique
transfo B
T diminue
V augmente
Q2
 0 (car Q2  0)
A
réversible
Q2
D
4
Q1
8
Il n'est pas nécessaire que ce soit la température propre des objets.
9
De cette manière ils n'échangent pas de travail avec le gaz mais seulement de la chaleur.
En dehors des contacts avec le gaz, rien ne leur interdit d'avoir leur volume ou leur
température modifié.
10
De même la quantité de mouvement qui est définie par p  mv est une quantité qui
se conserve lors d'un choc. Cette quantité p possède une interprétation physique assez
vague (ce n'est pas l'énergie cinétique qui provoque la sensation de choc).
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entraînement
par inertie
1
P
C
Q1
T1
transfo C
T = T1
V diminue
3
V
transfo D
T augmente
V diminue
entraînement
par inertie
2
B
entraînement
par inertie
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Ce nouveau nom doit son origine à l'idée de conservation (de l'énergie) ainsi qu'à l'idée de
direction ou de sens imposé à la transformation (on en expliquera la raison
ultérieurement), tropês (ς ) en grec11. On arrive "tout naturellement" au mot
entropie dont l'unité s'exprime en J/K (pas d'unité spéciale crée à cette occasion)
symbolisé par la lettre S12
Comme toute transformation cyclique (réversible ou non), le gaz ne gardera pas cette
entropie S sur un cycle : il la transfère intégralement à un moment donné ou à un autre à la
source froide et perd ainsi l'entropie qu'il avait précédemment reçue du thermostat :
Q
Sperdue= 1
T1
Q
=  2
T2
réversible
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Observation 
Q2
=
Q1
T2
T1
 le moteur "transfert" la quantité Q2/T2 de la source chaude (pendant la transfo A) à la
source froide (transfo C). Cette quantité s'appelle "entropie" S reçue puis perdue par le
système gaz au cours du cycle
cycle quelconque
T2
Q1
transfo C
Q2
0
transfo A
réversible
|W| = |Q2| - |Q1|
ou W = -Q2 - Q1
W
Finalement, lorsque le gaz emmagasine la chaleur Q 2 lors de la transformation A, son
entropie S s'accroît de Sreçue  SA . Lorsque le gaz perd Q1 (transfo C) l'entropie S du gaz
diminue de Sperdue  SC = -SA : la variation d'entropie sur un cycle est donc nulle ( Scycle =
Sreçue + Sperdue = 0) : S est donc une fonction d'état au même titre que P, V et T.
Ainsi on a le droit de noter SA = S12  S2  S1 (variation d'entropie du gaz entre les états
1 et 2) et SC = S34 = -S12 (puisque Scycle = 0  S12 + S34 = 0). Ce résultat sera
valable pour toute transformation cyclique, (quasi-statique ou non, réversible ou non)
puisque S est une fonction d'état, elle peut donc être donnée par des tables 13.
T1
cycle réversible
T2
Ainsi, l'entropie SA reçue lors de la transformation A peut être notée indifféremment S 2-S1
ou S12, de même l'entropie SC perdue lors de la transformation C peut être notée
indifféremment S4-S3 ou S34 (les transformations adiabatiques réversibles B et D
s'effectuent sans échange de chaleur et donc ne développent pas d'entropie : la variation
d'entropie du gaz est nulle pendant ces transformations).
Sreçue =
Q2/T2
Schaude =
Q2/T2
transfo AB
transfo AB
Sperdue =
Q2/T2
transfo CD
Sfroide =
Q1/T1
T1
transfo CD
W
cycle irréversible
11
On a également le mot plus connu "isotrope" = mêmes (iso) propriétés dans toutes les
directions (trope) de l'espace.
12
Je n'en connais pas l'origine…peut-être parce que, dans l'alphabet, les lettres T, U, V,
W étaient déjà prises (ainsi que x, y et z pour des dimensions). La lettre qui précède T est
le S.
13
S = 0 des tables doit être spécifié pour un état (P,V,T) particulier. Si ce n'est pas le cas
alors on prend S = 0 J/K pour T = 0 K.
page 7/13
T2
transfo AB
Schaude =
Sreçue
Q2/T2
création d'entropie
Sreçue  Q2/T2  0
W
transfo CD
Sperdue
Sfroide =
Q1/T1
création d'entropie
0  Sperdue Q1/T1
T1
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transformations non réversibles
Qu'en est - il pour les transformations cycliques usuelles, irréversibles (quasi-statiques ou
non) ? Comme S est une variable d'état, S12 ne dépend pas de la manière dont on a
réalisé la transformation pour aller de l'état 1 à l'état 2, S12 est alors donnée par la
relation :
Q rév
T
1
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Sreçue + Sperdue = 0  Scycle = 0  S = fonction d'état 
cycle irréversible
2
S12  
Sreçue = SAB
Sperdue = SCD = -SAB
T2
transfo CD
transfo AB
Schaude =
 SAB
Q2/T2
SCD
Sfroide =
Q1/T1
T1
14
calculée sur un chemin quelconque réversible (le plus facile selon les données du
problème) reliant les points 1 et 2. Il faudra cependant bien se souvenir que Qrév est la
quantité élémentaire de chaleur reçue sur le trajet élémentaire réversible fictif, et qu'elle
ne correspond pas forcément à la quantité de chaleur élémentaire réellement développée
lors de la transformation : c'est S12 que l'on calcule, pas Q ! De même T correspond ici à
la température du système (gaz ici) puisque pour une transformation réversible on a T =
Tsource.
On s'aperçoit expérimentalement que le gaz développe toujours plus d'entropie que n'en
développent les sources, c'est-à-dire que pour un transformation 12 quelconque on aura
toujours :
S12  Ssource
Qu'est-ce que cela implique ? Et bien si, lors de la transformation 1 2, le gaz développe
une chaleur Q pour un contact de température T contact avec une source quelconque, il
2
2
Q rév
1
1
développera une entropie S12  Ssource  

Q rév 
Q rév , ainsi :

T
T
T
contact 1
contact
1 contact
S12 
Q
15
de la chaleur on aura 0  S12 
Q
Tcontact
Q
Tcontact
Exercices 1, 2, 3, 4, 5 et 6
4
Cycle ditherme quelconque :
1
contact avec la
source chaude T 2
Q2
 0 et si le gaz perd
, d'où l'illustration donnée à la 1/2 page de droite.
création d'entropie
0  SCD  Q1/T1
W
2nd principe de la thermodynamique (énoncé mathématique) :
pour toute transformation, réversible ou non, on aura toujours :
Q
Q
avec S   rév
S 
Tcontact
T
le signe = étant obtenu pour une transformation réversible
P
Tcontact
Si le gaz absorbe de la chaleur on aura Q > 0 et donc S12 
création d'entropie
SAB  Q2/T2  0
2
contact avec la
source froide T1
Q1
aucun contact avec
les sources Q = 0
3
V
ou quasi réversible (voir réflexions personnelles).
Q1 Q 2
Remarquer qu'ici Qrév = Q réelle échangée entre la source et le système car Ssource ne

 0  inégalité de Clausius pour un cycle ditherme
fait intervenir que l'état initial et final de la source et ne dépend donc pas du chemin suivi,
T1 T2 cycle
quasi statique ou non. Cela vient du fait que la température T contact de la source reste
le signe = étant obtenu pour un cycle réversible ditherme, c'est-à-dire le cycle de Carnot.
constante lors du contact entre le gaz et la source.
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14
15
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On démontre également en physique statistique que l'entropie est reliée à l'état de
"désordre" des molécules du système : une transformation qui augmente l'entropie du
système est une transformation qui passe le système de la forme solide par exemple
(atomes plus ou moins bien rangés dans un réseau cristallin) à une forme fluide
(molécules libres de se mouvoir dans tous les sens). Ainsi l'augmentation d'entropie au
cours d'une transformation impliquera toujours un surplus de désordre : on parle de
"dégradation de l'énergie".
C. Haouy, professeur de Physique Appliquée
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Conséquences :
Q1
cycle moteur impossible :
T2
Q1
Q2
T1
4. Inégalité de Clausius. Rendement maximal d'un moteur thermique.
|W|cycle= |Q2| + |Q1|
ou Wcycle = -(Q1 + Q2)
Prenons un cycle ditherme quelconque (ici réalisé en 3 étapes : voir 1/2 page de droite) réalisé entre
2 températures extrêmes T1 < T2 fournies par 2 sources (thermostats).
2nd principe  S12 
0
Wcycle
Q2
Q
, S23  0 , S31  1 or Scycle = S12 + S23+S31 = 0 ainsi
T2
T1
Q Q
Q1 Q 2
ou encore : 1  2

T1 T2
T1 T2
 0 inégalité de Clausius.
unique cycle moteur possible
cycle
le signe = étant obtenu pour une transformation réversible ditherme (Carnot)
T2
Conséquence 1: Un moteur thermique absorbe forcément son énergie (chaleur) de la source chaude
et il rejette forcément une partie de cette énergie vers la source froide : la différence est égale au
travail total qu'il restitue sur un cycle (voir démo ci-dessous).
Conséquence 2 : un travail restitué ne pourra malheureusement jamais être égal à la somme de
chaleurs absorbées (le rendement serait alors de 100%) : si de la chaleur est absorbée à un moment
du cycle, une partie sera forcément perdue (évacuée) à un moment ou à un autre du cycle. Il y a
donc un phénomène obligatoire de fuite de chaleur. Cette fuite de chaleur est d'autant plus
importante (en valeur relative) que la transformation cyclique est irréversible.
1er principe : Wcycle + (Q1 + Q2)cycle = 0  Wcycle = - (Q1 + Q2)cycle
2nd principe pour une transfo réversible :
Q1 Q 2
Q
Q
T

 0  1   2  Q1   1  Q 2
T1 T2
T1
T2
T2
T

T
(1) et (2)  Wcycle = 1  Q 2 - Q2 = Q2  1  1
T2
T
 2

Moteur  Wcycle < 0 et puisque T1 < T2 (par hypothèse) on a (3)  Q2 > 0
(2) et (4)  Q1 < 0
Q1
Q2
T1
Wcycle
|W| = |Q2| - |Q1|
ou W = -Q2 - Q1
Un moteur thermique rejettera toujours de la chaleur : son rendement ne sera jamais égal
à 100 % : il s'échauffera donc toujours.
(1)
(2)
T1
est obtenu pour un cycle réversible
T2
ne dépend que des températures des sources
il faut que T1 soit la plus froide et T 2 la plus chaude possible
On démontre que max  1 
(3)


(4)
(5)
Remarque importante : l'inégalité de Clausius est applicable en présence d'un nombre fini de
thermostats, c'est-à-dire après avoir identifié correctement les sources de chaleurs n° i dans le
processus de manière à pouvoir calculer Q i/Ti. En particulier, si la température extérieure évolue de
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façon continue de manière à épouser la température variable du système (transformation réversible
avec évolution de température lors du contact avec l'extérieur : par exemple transfo isochore
réversible) alors on a un nombre infini de thermostats et l'inégalité de Clausius n'est plus applicable
car les variations d'entropie Qi/Ti des thermostats ne sont plus directement calculables.
cycle moteur réversible
Quelle est finalement le rendement énergétique 16 maximum que l'on peut tirer d'un moteur
ditherme ?
Nous avons W = Q2 – Q1 (1er principe) et
Q1  
Q1 Q 2

 0 (2nd principe), d'où
T1 T2
ainsi max =
W max
Q2
W
Q2
Wcycle
Wcycle
A travaux identiques, le cycle réversible est celui qui absorbe le moins de chaleur de la
source chaude et qui en rejette le moins à la source froide : c'est le plus économique.
(énergie restituée sur énergie absorbée) est maximal pour W maximal,
T1
Q2
T
T2
 max  1  1 pour un cycle réversible ditherme
T2
Q2
Q2 

Le rendement maximal est obtenu pour un cycle réversible, il est indépendant de la nature du fluide
(système) et ne dépend que des températures extrêmes T1 et T2.
On peut également dire que pour Q2 absorbée donnée, W est maximal pour une transformation

réversible, que Wmax =  1 

T1 
 Q 2 et que Q1 rejeté minimal.
T2 
Remarquer (1/2 page de droite) que le rendement maximum est très faible (de l'ordre de 10%) pour
des écarts de températures de 30 K (ou 30°C). Un moteur performant devra donc travailler avec une
source de chaleur très chaude (2000 °C par exemple) et une source de "froideur" très froide (air
ambiant…20°C ?) : ra max  1 
293
 87% au maximum (compter 40% avec les moteurs réels
2273
non réversibles). En outre un moteur thermique qui tournera en Sibérie aura un meilleur rendement
que le même moteur qui tournera en France (en Sibérie T 1 est plus faible pour T2 supposée
identique, issue de l'explosion d'un mélange air-essence)
16
Q1
Q2
T1
Q 2 , c'est-à-dire pour une transformation réversible.
T2
Conclusion : à chaleur absorbée Q2 donnée et températures de sources T1 et T2 données W est
maximal pour un cycle réversible
Le rendement  =
Q1
Q1
Q2
T1
T
Q 2  0, c'est-à-dire Q1  1 Q 2
T2
T2
Ainsi W est maximal lorsque Q1 =
cycle moteur irréversible
Et non pas un rendement en puissance (comme on le fait pour les moteurs électriques)
car on a vu qu'un cycle réversible s'effectue en une durée infinie.
page 10/13

Il vaut mieux fonctionner entre –40°C et –10°C qu'entre 0 et 30°C :
max
0.24
0.22
max  1 
0.2
T1
avecT = 30°C
T1  T
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
T1 [K]
1er cycle universitaire. BTS.
C. Haouy, professeur de Physique Appliquée
Cours de Thermodynamique n° 5 : Transformations réversibles. 2 nd principe de la thermodynamique. Mise à jour du 28/01/08.
Exercices sur les transformations réversibles et le 2 nd principe.
Notez bien que ces exercices font parti intégrante du cours et doivent être résolus au fur et à mesure de leur apparition dans le
cours. Ils permettent de bien assimiler les concepts abordés dans chaque paragraphe et de se donner quelques ordres de
grandeur. Ils sont parfaitement adaptés au paragraphe étudié. Les données numériques sont issues de différents ouvrages. Il
n'est pas certain qu'elles soien t exactes à la décimale près…de toute façon la physique est une science qui modélise, et donc
qui fait des approximations ! Cela nous suffira amplement !
Exercice 1 : impossibilité du moteur thermique monotherme.
Montrez qu'il est impossible d'avoir "le m ouvement perpétuel", c'est-à-dire qu'il est impossible d'obtenir un moteur thermique à
partir d'une seule source de chaleur (air ambiant par exemple).
Text
Q1
Qcycle
air ambiant
Wcycle
Exercice 2 : démonstration de la réversibilité d'une transformation.
On effectue quasi-statiquement une compression monotherme de P 1 à P2 (avec P 1 > P2) d'un gaz parfait situé dans un cylindre
dont la température est égale à la température de l'air ambiant T ext constante. Cette compression est suffisamment lente pour
avoir la température T du gaz telle que T = T ext à chaque instant : la compression est donc isotherme.
1. Calculez la variation d'entropie S12 du gaz lors de la compression.
2. Calculez l'entropie S froide gagnée par l'air ambiant.
3. Est ce que la compression est réversible ?
Text
Sfroide
création d'entropie ?
S12
T = Text
P1  P2
Q
Rép : 1 : -n.R.ln(P 2/P1) ; 2 : -n.R.ln(P 2/P1) ; 3 : oui.
Exercice 3 : démonstration de l'irréversibilité d'une transformation.
On effectue brusquement une compression monotherme de P 1 à P2 (avec P 1 < P2) de n moles de gaz parfait situé dans un
cylindre dont la température initiale est égale à la température de l'air ambiant T ext constante. Le système considéré est le gaz.
1.
2.
3.
4.
Calculez la chaleur échangée par le gaz avec l'extérieur en fonction de P 1 , P2, n et R (constante des gaz parfaits)
Calculez la variation d'entropie S12 du gaz lors de la compression en fonction de P 1 , P2, n et R.
Calculez l'entropie S froide gagnée par l'air ambiant.
Est ce que la compression est réversible ?
P

nR  P1 
nR  P2 
Rép : 1 : Q brusq  nR.  2  1  ; 2 : S 
ln   ; 3 : Sfroide  
.   1  ; 4 : non.
Text  P2 
Text  P1
 P1


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1er cycle universitaire. BTS.
C. Haouy, professeur de Physique Appliquée
Cours de Thermodynamique n° 5 : Transformations réversibles. 2 nd principe de la thermodynamique. Mise à jour du 28/01/08.
Exercice 4 : variation d'entropie d’un corps plongé brusquement dans l’eau froide.
On possède un morceau de fer chauffé à T 2  77 °C dont on donne les caractéristiques suivantes : m  100g, C  0,46 J·g-1·K-1
(supposé indépendant de la température dans le domaine envisagé ici).
On plonge ce morceau de fer, pour le refroidir, dans un bac d'eau à la température T 1  7°C. La capacité thermique de l'eau et la
masse de l'eau sont suffisamment grandes pour que le bac d'eau réagisse comme un "source de chaleur", c'est - à - dire comme
un thermostat.
Fe,
T2  77 °C
C = 0,46 J·g-1·K-1
H 20
T1  7 °C
C infinie
1. Calculez la variation d'entropie Sfer du morceau de fer lorsque sa température passe de T 2 à T1. Est - ce que le fer a
reçu de l'entropie ?
2. Est - ce que cette transformation est réversible ? (justifiez).
3. Appliquez le 1er principe de la thermodynamique au système (isolé) fer + eau, déduisez -en que Q fer = - Qeau  0
T 
Rép : 1 : Sfer  mC  ln  1  ; 2 : non ;
 T2 
Exercice 5 : température d’équilibr e de deux corps.
On possède un morceau de fer froid A de masse m 1  100g à la température T 1 = 0°C. On le met en contact thermique avec un
morceau de cuivre chaud B de masse m 2  100g à la température T 2  100°C. On donne pour le fer C 1  460 J·kg-1·K-1 et pour
le cuivre C 2  385 J·kg-1·K-1. Les 2 morceaux A+B forment un système isolé (pas d'échange d'énergie avec l'extérieur).
A
Fe
m1  100 g
T1  0°C
C1  460 J·kg-1K-1
1.
B
 SB
Q
Cu
m2  100 g
T2  100°C
C2  385 J·kg-1K-1
 SB = ?
Tf = ?
En appliquant le premier principe de la thermodynamique relatif au système A+B, prouvez que Q
que la chaleur perdue par un morceau est intégralement gagnée par l'autre.
Le premier principe ne nous permet pas de savoir si la chaleur échangée par le corps chaud Q
second principe va nous prouver que Q B < 0 (la chaleur est perdue par le corps le plus chaud).
B
A
= -QB, c'est - à - dire
est telle que Q B > 0 ou < 0. Le
2. Calculez la température finale T f des 2 corps en équilibre thermique.
3. Si l'on souhaite réaliser un dissipateur thermique (pour évacuer la chaleur perdue par un composant électronique), a -t
- on intérêt à prendre du zinc (CZn  389 J·kg-1K-1) ou de l'aluminium (C Al  896 J·kg-1K-1) ?
4. Calculez la variation d'entropie SB du corps chaud. Le corps a - t - il perdu ou reçu de l'entropie ?
5. Est ce que la transformation est réversible ?
Rép : 2 : 45,5 °C ; 4 : -6,07 J/K ; 5 : non.
Exercice 6 : variation d’entropie "de l'univers".
On appelle simplement "univers" le système composé du système étudié et de son extérieur, de cette manière l'univers forme un
système isolé (aucune interaction avec un autre système). On possède un morceau d'aluminium froid A de masse m  100g
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1er cycle universitaire. BTS.
C. Haouy, professeur de Physique Appliquée
Cours de Thermodynamique n° 5 : Transformations réversibles. 2 nd principe de la thermodynamique. Mise à jour du 28/01/08.
(système étudié) à la température T 1 = 10°C. On le met en contact thermique avec l'air ambiant B de température T 2  20 °C
(extérieur du système étudié). On donne pour l'aluminium C  896 J/kg.
 SB
B
T2  20 °C
C infini
création
d'entropie ?
B
T2  20 °C
C infini
SA
A
m  100 g
T1  10 °C
C  896 J/kg
Tf  ?
1. Calculez la variation d'entropie SA du morceau d'aluminium.
2. Calculez la variation d'entropie SB de l'air ambiant.
3. Déduisez - en la variation d'entropie SA+B de "l'univers" (système isolé). Est - ce que la transformation est réversible ?
Rép : 1 : 3,11 J/K ; 2 : -3,06 J/K ; 3 : 53,4 mJ/K , non.
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1er cycle universitaire. BTS.
Cours de Thermodynamique n° 6 : Changement de phase des corps purs.
C. Haouy, professeur de Physique Appliquée
Mise à jour du 01-11-07.
Colonne de gauche = discours fait aux élèves, pas forcément écrit au tableau
Colonne de droite = résumé et illustrations du propos de la colonne de gauche, écrits au tableau ou montrés sur transparents.
Voir l’Introduction aux cours de thermodynamique pour situer ce cours dans son contexte. Les exercices signalés sont disponibles en fin du cours.
cours n° 6 : Changement de phase des corps purs.
Pré-requis : 1er principe de la thermodynamique (cours n° 3).
Plan :
1. Coefficient de compressibilité
2. Changement de phase
3. Diagrammes d'état
4. Enthalpie et diagramme enthalpique
5. Le cas particulier de l'eau
A retenir : Exploitation des courbes de changement de phase.
1. Les gaz réels : coefficient de compressibilité.
Nous avons vu qu'un gaz parfait suit l'équation P.V = n.R.T. Cependant cette équation n'est pas
toujours vérifiée pour les gaz réels, en particulier on attribue un terme correctif Z de sorte que l'on
ait P.V = Z·n·R·T (Z = 1 pour un gaz parfait). On appelle ce terme correctif Z "le coefficient de
compressibilité du gaz" (susceptible de varier). Quelle est sa signification physique ?
Un gaz qui possède Z > 1 prend plus de volume qu'un gaz parfait (à quantité de matière,
pression et température égales).
Figure 1 : si l'on souhaite avoir une mole de néon à température 273 K et sous pression
≈ 400 bars (⇒ Z ≈ 1,25) il faudra en prendre environ 28,4 L (contre 22,7 L pour le gaz
parfait). En revanche seulement 15,9 L de CO2 seront nécessaires (Z ≈ 0,7 à 273 K sous
400 bars) pour obtenir cette même quantité de matière (rappel : n = 1 mole ⇒ ≈ 6,022
52·± 0,000 09 1023 molécules).
Plus la pente de la courbe Z=fon(P) est élevée et moins le gaz est compressible.
Prenons l'exemple d'un gaz pour lequel Z = 1 lorsque P = P0. Dans ce cas on a un
volume V0 de ce gaz donné par V0 = nRT/P0. Lorsqu'on comprime ce gaz de P0 à 10.P0,
admettons que le Z de ce gaz augmente à 5. Dans ce cas le volume de gaz descend à V =
5×nRT/(10.P0) = nRT/(2.P0) = V0/2 au lieu de V0/10 pour un gaz parfait : ce gaz est
donc moins compressible qu'un gaz parfait. On constatera d'ailleurs qu'un gaz pour
lequel Z= fon(P) reste constant (pente nulle) est aussi compressible qu'un gaz parfait
La ½ page de droite nous donne Z= fon(P) dans différentes conditions.
Bibliographie :
Introduction à la thermodynamique, C.
Lhuillier et J. Rous, Dunod, 1994.
Les machines transformatrices d'énergie,
tome 1, par G. Lemasson, Delagrave, 1963
1.
PV = Z.nRT avec Z facteur de compressibilité du gaz.
Z(P) pour différents gaz
Z(P) à différentes températures
2
1,5
1
0,5
figure 1
pente de Z > 0 ⇒ moins compressible qu'un gaz parfait
pente de Z < 0 ⇒ plus compressible qu'un gaz parfait
pente de Z = 0 ⇒ aussi compressible qu'un gaz parfait
page 1/16
figure 2
1er cycle universitaire. BTS.
Cours de Thermodynamique n° 6 : Changement de phase des corps purs.
C. Haouy, professeur de Physique Appliquée
Mise à jour du 01-11-07.
P élevée ⇒ pente de Z > 0 : le gaz va devenir de moins en moins compressible ⇒ il va
se liquéfier (pente raide) ⇒ "changement de phase"
Pour être plus précis :
• un même gaz peut être plus compressible ou moins compressible qu'un gaz parfait
selon la zone de variation de P.
• Plus la température augmente et plus la pente de Z devient faible : le gaz devient
aussi compressible qu'un gaz parfait.
• On constate qu'aux très faibles pressions ( < 15 bars par exemple, ce qui est un cas
très courant) tous les gaz réels se comportent comme un gaz parfait (Z ≈ 1), avec
moins de 1% d'erreur (à T ≈ 273 K et pression ≤ 15 bar) pour des gaz simples tels
que l'air (assimilé à du diazote N2) ou l'argon (Ar).
• Lorsque T est élevée, le domaine d'application de l'équation des gaz parfaits s'étend à
des pressions plus élevées.
On constate qu'un gaz est généralement de moins en moins compressible au fur et à mesure que P
augmente (car Z augmente avec P)…on verra que l'on aboutira alors à une liquéfaction du gaz si P
augmente au delà d'une certaine limite (un liquide est très peu compressible : Z(P) s'approche de
la verticale). Le gaz ne peut alors plus être considéré comme un gaz parfait…on est alors en
présence du problème du changement de phase (ou changement d'état).
2. Changement de phase des corps purs.
Changement de phase pour Z(P) verticale ⇒
1/ liquéfaction en comprimant un gaz (figure 1 : la pente de Z augmente lorsque P
augmente) : utilisé avec les frigo
2/ liquéfaction en refroidissant un gaz (figure 2 : la pente de Z augmente lorsque T
diminue) : phénomène de brouillard le matin, ou condensation.
2.
compression ou expansion isotherme à 20°C du CO2
P
P
P
CO2. G.P.
P1
Comprimons suffisamment lentement un gaz pur (CO2 par exemple, mais pas l'air qui
est un mélange de gaz) dans un cylindre métallique à température ambiante. De cette
façon on aura une compression isotherme à la température ambiante. Si le gaz est parfait
(G.P.) il suit la relation PV = nRT = Cte et on devrait observer une hyperbole dans les
coordonnées P(V) (voir 1/2 page de droite) : au fur et à mesure que l'on comprime le gaz
(P augmente) son volume diminue. La pente de la pression P devient alors pratiquement
verticale, signe qu'un compression accrue ne diminue plus vraiment le volume.
P1
En fait l'expérience nous montre qu'il n'en est pas vraiment ainsi : en comprimant
isothermiquement le CO2, on observe qu'il ne suit pas exactement la courbe du gaz
parfait : on observe des paliers de pression, ce qui "fiche tout par terre". En fait on
assiste à une transition gaz → liquide (de la "condensation" apparaît si on effectue la
1/
compression du gaz, des bulles apparaissent si on effectue le chemin inverse, c'est-à-dire
2/
la détente d'un liquide) : la compression ne modifie plus la pression du gaz mais modifie
son état : en augmentant la pression, le volume diminue plus vite que prévu et on a un
3/
liquide qui prend place peu à peu (ça commence par l'apparition d'une goutte). Une fois
4/
le gaz devenu entièrement liquide, la compression permet à nouveau d'augmenter la
pression du liquide…mais son volume reste pratiquement constant (le liquide est
5/
presque incompressible)…jusqu'à l'obtention d'un nouveau palier de pression où l'on
assiste à un nouvel état du CO2 : l'état solide (présence de cristaux de CO2 de plus en
plus nombreux).
page 2/16
PS
P0
V
V
V
PS
P0
liquide
gaz
on observe un palier de pression dite "saturante" : on n'a pas d'hyperbole.
Pour obtenir P1 il a fallu comprimer davantage le gaz que prévu…et on a obtenu un
liquide
Le travail supplémentaire cédé par le piston a servi à liquéfier le gaz
la transition gaz→liquide effectuée isothermiquement s'est opérée lors du 1er palier
de pression : elle s'effectue à pression constante.
Une fois liquéfié, le volume ne varie pratiquement plus jusqu'au 2ème palier (palier de
solidification).
1er cycle universitaire. BTS.
Cours de Thermodynamique n° 6 : Changement de phase des corps purs.
C. Haouy, professeur de Physique Appliquée
Mise à jour du 01-11-07.
P [bar]
Effectuons alors la compression précédente, mais pour différentes températures : on trace alors
plusieurs isothermes (voir 1/2 page de droite).
te
On retiendra que la courbe isotherme d'un gaz réel ne suit plus l'hyperbole PV = C , son équation
est inconnue5 : il faut la tracer expérimentalement pour la connaître parfaitement. On notera que
les changements de phase sont réversibles (isothermes quasi-statiques).
On peut déduire des courbes P(V) que si la pression est trop faible, l'état liquide n'existe pas : on
a du gaz ou du solide (météorites, nébuleuses galactiques…). On constate également qu'une fois
liquide, le volume du fluide reste pratiquement constant en fonction de la pression : il est
pratiquement incompressible, cependant son volume reste, quant à lui, sensible à la température :
il y a dilatation des liquides (faible, mais elle existe) : cela explique certaines variations du
niveau de la mer (El Nino), cela explique également la raison pour laquelle l'eau chaude est plus
"légère" que l'eau froide (masse volumique plus faible en fait) et se loge en haut d'un ballon d'eau
chaude, et de même cela explique le phénomène de thermo-siphon des radiateurs à eau (eau qui
circule naturellement dans le circuit d'eau, sans l'aide de pompe).
fluide supercritique
50°C
31,04°C
21,5°C
2
60
13°C
1
0°C
liquide
90
solide + liquide
40°C
solide
Observation : pour le CO2, tant que T ≤ 31,04 °C, on observe qu’à partir d'une certaine pression
(donc un certain volume) se forment des gouttes de rosée dans le cylindre : le gaz se liquéfie. C'est
la liquéfaction2 d'un gaz. Comme tout changement de phase que l'on force à être isotherme, la
liquéfaction s'opère à pression constante (3).
Le tracé de plusieurs isotherme nous permet de dessiner une limite entre l'état gaz et l'état liquide
(en pointillés bleus) : c'est la courbe de saturation. A "l'intérieur" de cette courbe on a présence
simultanée de gaz (sous forme vapeur saturée) et de liquide (en ébullition).
Si on comprime le CO2 au delà de 31,04 °C, on ne voit plus apparaître de ménisque de séparation
gaz/liquide (apparition de gouttes par exemple) car les chaleurs latentes de transition de phase ne
sont plus développées : on est dans le domaine du fluide hypercritique ou encore supercritique.
Les propriétés d'un tel fluide sont encore mal connues.
Cette température de 31,04 °C est dite température critique du CO2. Au delà de cette température
la "liquéfaction" est opérée sans dégagement de chaleur.4
changements de phase
isothermes d'un gaz réel (CO2 ici)
120
pression
La solidification peut s'effectuer instantanément (c'est le cas des corps purs comme l'eau)
ou petit à petit (le liquide devient d'abord pâteux, c'est le cas des corps composés1).
isotherme Tcritique
liquide + gaz
30
gaz
solide + gaz
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8 V/n
volume
lecture : à 13 °C sous 40 bars le CO2 est gazeux (point 1)
à 13 °C sous 60 bars le CO2 est liquide (point 2)
Si on comprime au-delà de la température critique (≈ 31 °C pour le C02), on n'a plus
apparition de gouttes de CO2 : il n'y a plus de chaleur latente développée pour "liquéfier"
le gaz.
Le volume est pratiquement insensible à la pression mais est sensible à la température :
l'eau chaude est plus légère que l'eau froide (masse volumique plus faible), ce qui permet
un captage naturel facile à l'extrémité supérieure du ballon :
chauffe - eau
1
On peut également avoir des solides sous forme amorphe, c'est-à-dire non "cristallisés",
qui peuvent être considérés comme une limite de liquide à viscosité très élevée.
2
Noter que dans le cas particulier de la vapeur d'eau, ce phénomène est appelé
"condensation" de l'eau.
3
C'est ce qu'il se passe dans les réfrigérateurs.
4
On verra que la distinction gaz / liquide est en réalité arbitraire car on peut imaginer
une suite de transformations qui amène de l'état "gaz" à l'état "liquide" sans avoir vu une
seule goutte de liquide apparaître.
5
Localement, en l'absence de changement de phase, on peut encore utiliser des
équations approximatives (voir cours n°4).
page 3/16
résistance chauffante
départ d'eau chaude
arrivée d'eau froide
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Cours de Thermodynamique n° 6 : Changement de phase des corps purs.
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100 °C
liquide
Pvap
Psat à 100°C
= 1013 mbar
PS
Pvap
T0
A
B
V
courbe AC courbe de rosée
courbe CB courbe d’ébullition
courbe AC + CB courbe de saturation
20°C
liquide
évaporation tant
que Pvap < Psat
gaz
20°C
flaque d'eau
Point C point critique, température Tcritique
PS pression de vapeur saturante à T0
T0 température de liquéfaction sous la pression PS
figure 1 : ébullition de l'eau sous pression atmosphérique :
16 mbar
Psat = 23,3 mbar
C
≈ 1013,25 mbar
vapeur surchauffée
16 mbar (à 20°C)
P
eau
vapeur
pression de la vapeur d'eau
Pour l'eau d'une casserole on peut cependant décrire ce qu'il se passe sans passer par un
diagramme P(V) ou P(T) : à partir de 100°C l'augmentation de température de l'eau crée une
bulle, ce qui nécessite un apport de chaleur supplémentaire (chaleur de vaporisation), ce qui a
tendance à refroidir l'eau liquide (elle perd de l'énergie)…qui reste finalement à 100°C au lieu de
s'échauffer, c'est la raison du palier de température. Ensuite la bulle (vapeur d'eau initialement
saturée, à la pression de 1 bar) va se détendre progressivement de 1 bar (à 100 °C) jusqu'à
atteindre (et légèrement augmenter) la pression partielle de vapeur d'eau de la cuisine, c'est-à-dire
initialement 16 mbar7 (à 20°C.)
définitions :
eau + vapeur saturée
Bien entendu on peut alors comprendre ce qu'il se passe lorsqu'on met une casserole d'eau sur le feu. L'eau
initialement liquide à 15°C est soumise à la pression atmosphérique6 constante de 76 cm de mercure ≈ 1013,25
mbar ≈ 1 bar. Prenons comme système 1 kg (soit 1 dm3) d'eau initialement liquide. Sous l'action du feu sa
température augmente au cours du temps (toujours sous pression de 1 bar) le point représentatif de son état P(V) se
déplace sur l'horizontale P ≈ 1 bar et coupe toutes les isothermes jusqu'à la courbe de saturation (trajet fléché de la
figure 1 à la 1/2 page de droite). Le point de rencontre avec la courbe de saturation se trouve sur l'isotherme 100 °C
: une bulle apparaît dans le dm3 considéré…à partir de ce moment là il devient impossible de représenter l'état du
système dans le diagramme P(V) ou P(T) car la pression du système (liquide + vapeur) n'est plus homogène (Pliquide
≈ 1013 mbar et Pvapeur évolue vers 16 mbar), de même que le volume (Vvapeur = ?) et la température (Tvapeur = ?). Si
l'on veut représenter l'ébullition de l'eau dans un diagramme P(V), il faut enfermer le système dans une enceinte où
la pression, le volume et la température du système liquide + vapeur est parfaitement mesurable. (voir 1/2 page de
droite).
P
Noter qu'à la surface de toute liquide de température T0 règne P très légèrement < Psat car le
système est ouvert : l'eau s'évapore tant que la pression de vapeur Pvap de l'atmosphère reste < Psat
6
contrairement à la vapeur d'eau qui ne voit que du vide si l'air est sec.
Pour un taux d'humidité de 70% de l'air ambiant (à 20°C)..voir ultérieurement. Ce taux
d'humidité va augmenter jusqu'à atteindre éventuellement 100 % (23 mbar de pression).
A partir de cette pression, s'il reste encore de l'eau liquide, c'est la température de la
vapeur d'eau qui va augmenter (ainsi que la pression saturante). La cuisine est dans un
brouillard.
page 4/16
Psat à 100°C =
1013,25 mbar
7
2 dm3
≈
1 dm3
2000 dm3
V
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1013 mbar
P [mbar]
23 mbar
106
105
liquide
104
P atmosphérique 1013
102 0 °C
100 °C
101
gaz
100
-1
Point triple
10
(0,01°C - 6,11 mbar)
10-2
figure 3
200
300 400
500
600
T [K]
Point triple : coexistence en équilibre des 3 phases.
Le point triple sert à étalonner les thermomètres et baromètres en usine.
Définition du kelvin :
273,16 K correspond à la température du point triple de l'eau.
0 K correspond à la température limite théorique du vide absolu.
1 K correspond à la 1/273,16ème partie de la température du point triple de l'eau
Exercices 1, 2 et 3 et 6
solide
6,11 mbar
gaz
T
0,01 °C
eau
Remarque : de l'eau à 0°C / 1 bar est solide (c'est-à-dire sous forme de glace)
liquide
-10 °C
Point critique
(374°C - 220 bar)
solide
On a vu ici qu'il est difficile d'utiliser le diagramme P(V) pour déterminer la phase
d'équilibre du corps considéré : c'est le cas par exemple où le volume de gaz est mal
défini car le système est ouvert (c'était le cas de la vapeur d'eau qui s'échappait dans la
cuisine par ex.). Il est alors parfois plus simple d'utiliser un diagramme P(T) (voir 1/2
page de droite). De ce diagramme on déduit, à P et T donnée, la phase d'équilibre du
corps considéré. L'exercice 1 en fin du cours nous montre que les 2 phases liquide et
gazeuse peuvent coexister en équilibre car elles ne sont pas forcément soumises à la
même pression. En effet : un gaz n'est soumis qu'à la pression d'un gaz identique (il ne
"voit" pas les autres gaz) alors que le liquide est soumis à la somme des pressions de
tous les gaz = somme des pressions partielles des gaz purs qui le compose (par exemple
l'air est un corps impur composé de gaz purs : 78% en volume d'azote, 21% d'oxygène,
et 1% d'autres gaz : CO2 etc.). Pour avoir coexistence permanente de gaz et de liquide, il
suffit que la pression du gaz soit égale à sa pression saturante ; la pression de la phase
liquide sera plus élevée si plusieurs gaz coexistent (soumise aux pressions
supplémentaires des autres gaz) ou égale à la pression saturante dans le cas contraire.
On notera que solide et liquide mélangés sont soumis à la même pression : à température
donnée seule une phase (solide ou liquide) est possible, par exemple sous –10°C et 1013
mbar (pression atmosphérique dite "normale") l'eau en équilibre thermodynamique est
forcément sous forme de glace (point bleu). A 20 °C et 1013 mbar l'eau peut être à la
fois sous forme liquide (soumise à la pression atmosphérique) et sous forme gazeuse à
pression saturante (points rouges) :
P
20 °C
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1er cycle universitaire. BTS.
Cours de Thermodynamique n° 6 : Changement de phase des corps purs.
Que signifient alors les courbes de transition de phase ? En fait ces courbes ne
permettent pas de délimiter la nature "liquide" ou "gazeuse" d'un corps mais de signifier
autre chose : leur franchissement implique le développement d'une chaleur latente.9 Par
exemple la chaleur latente de vaporisation n'est absorbée que si la courbe de transition
liquide → gaz est franchie. Ainsi les anciens frigo à CO2 ne fonctionnaient pas dans des
cuisines à température ambiante > 31°C (en Afrique par ex) car à cette température
initiale la grille de vaporisation ne permet pas de franchir la courbe de transition (CO2
"supercritique") malgré la faible pression de CO2 qui y règne : le CO2 n'absorbe donc
pas la chaleur des aliments du frigo et le cycle de refroidissement ne démarre pas.
On notera qu'en réalité seuls les cristaux (arrangement ordonné des molécules) ont un
point de fusion bien précis alors que les solides amorphes (arrangement désordonné des
molécules, majorité des cas) ont une plage de température de fusion (ils ramollissent, on
peut les considérer comme des liquides ayant une viscosité très élevée). Il faut noter
également que des états d'équilibre instables existent (surfusion de l'eau qui reste liquide
à –10°C sous 1 bar).On n'en parlera pas ici.
P [bar], échelle log
CO2
2
liquide
60
solide
J
gaz
liquide
solide
J
gaz
1
T [°C]
T [°C]
figure 1
figure 2
Courbe de fusion de l'eau avec pente négative ⇒ la glace fond sous pression (il y a de
l'eau sous les patins à glace ⇒ glisse plus facilement)
en réalité : état liquide = état gaz = état fluide
3.
3. Diagramme d'état des gaz réels.
De même que pour le gaz parfait, on peut regarder dans l'espace (PVT) la surface
caractéristique d'un gaz réel. Sa projection dans le plan P(V) nous donne les isothermes
d'un gaz réel : on retrouve l'allure des isothermes du CO2 vu précédemment.
8
P [bar], échelle log
fluide supercritique
Pour liquéfier le CO2, par exemple, comment peut-on finalement s'y prendre ? le
diagramme P(T) nous indique que l'on peut prendre le gaz à 1 bar à température
ambiante (20°C) (état 1 du diagramme de la figure 2) puis le comprimer à 100 bars : si
on le fait lentement la compression sera isotherme et on observera des gouttes apparaître
peu à peu, Cependant on peut également effectuer la liquéfaction en passant au delà du
point critique (par une compression rapide par exemple où la chaleur n'a pas le temps de
s'évacuer et donc avec une élévation temporaire de température du CO2) : on aboutira au
même état final (la "liquéfaction") sans être passé par une transition de phase. En fait
cela signifie tout simplement que les phases "liquide" et "gazeuse" sont des
dénominations arbitraires : il est plus rigoureux de parler d'état fluide8.
C. Haouy, professeur de Physique Appliquée
Mise à jour du 01-11-07.
Exemple de la bruine (brouillard très chargé d'eau) : s'agit-il de vapeur d'eau saturée ou
de micro-gouttes d'eau liquide ? La distinction est arbitraire !
9
On a alors la séparation visible entre 2 aspects du corps qu'on attribue par
méconnaissance à 2 phases distinctes (cette distinction n'étant pas valable pour les états
liquide et gaz).
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gaz réel
gaz parfait
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C. Haouy, professeur de Physique Appliquée
Mise à jour du 01-11-07.
On peut obtenir un diagramme plus complet qui fait intervenir les 3 changements de
phase : solide, liquide et gaz : voir ½ page de droite On voit alors apparaître une courbe
très intéressante dans le plan P(T) : le point de Jonction J des 3 courbes s'appelle "le
point triple" (pour le CO2 : P ≈ 5,18 bar et T ≈ -56,15°C, pour l'eau P ≈ 6,09 mbar et T ≈
0,01°C), qui donne la condition de coexistence des 3 phases : être à la pression et à la
température du point triple. Ce point permet d'étalonner les thermomètres et les
baromètres.
Le diagramme P(V) permet de constater que pour une quantité de matière donnée (n = 1
mole par exemple) le volume varie extrêmement en fonction de la température et de la
pression : 1 mole de CO2 sous 1 bar à T ≈ 13°C est gazeuse et occupe un volume de 22
litres environ, si le gaz se trouve liquéfié, le volume se réduit à 0,1 litre maximum
(volume critique) : on dit que la liquéfaction "crée du vide" et aspire le piston de
manière à ce que son volume soit < volume critique (10).
A la ½ page de droite on compare les projections des isobares, isochores et isothermes
des gaz réels et parfaits.
surface caractéristique d'un gaz parfait
surface caractéristique d'un gaz réel.
P
P
T
P
T
V
V
T
V
Le diagramme P(T) d'un gaz réel (½ page de droite) nous indique que pour liquéfier le
gaz (forcément réel, puisqu'il se liquéfie), il suffit de refroidir le gaz (trajet A, ce sera
utilisé par les machines à vapeur) ou augmenter la pression (trajet B, ce sera utilisé pour
les frigo). A l'inverse, la vaporisation aura lieu à température plus élevée ou pression
plus faible (détente de Joule-Thomson des frigo qui, liée à la température froide du frigo,
définitions
P [bar]
P [bar], échelle log
CO2 :
crée une vaporisation et donc crée une absorption de chaleur).
fusion
B
On donne également à la 1/2 page de droite la définition des termes utilisés lors des changements
de phase. Les flèches rouges correspondent aux transformations qui absorbent une chaleur latente
de changement de phase. Les flèches bleues correspondent aux transformations qui expulsent une
chaleur latente de changement de phase. Ainsi la vaporisation d'un corps nécessite un apport de
chaleur de l'extérieur : si on place de l'éther liquide (initialement à 20°C) sur notre peau, on aura
une sensation de froid qui n'est pas due à la (grande ?) conductivité thermique de l'éther mais à sa
vaporisation dans l'air ambiant (il est était sous forme liquide dans la bouteille et se détend
brutalement à une pression proche du vide : trajet B, en sens inverse, de la 1/2 page de droite). De
même 1 kg d'eau liquide (système considéré) dans une jarre en terre cuite s'évapore
progressivement à travers la parois poreuse de la jarre ce qui refroidit les parois de la jarre
("extérieur" du système) et donc l'eau qui la contient : l'eau garde une température plus faible qu'à
l'extérieur (paraît-il : je n'ai pas vérifié si c'était mesurable !).
solidification
vaporisation
liquéfaction
J
A
sublimation
condensation
P atmosphérique
T [°C]
jarre d'eau :
T
10
La liquéfaction du gaz, à température du refroidisseur imposée, sera imposée par une
dépression due à une détente. C'est le principe de la machine à vapeur de Newcomen.
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évaporation aux parois ⇒ retrait de chaleur des parois de
la jarre ⇒ refroidissement des parois et du liquide.
T
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4.1.
4.1. Enthalpie et chaleur de changement de phase (chaleur latente).
Nous avons vu, au cours n°1 de thermodynamique ("Température et chaleur") que le
changement de phase à pression constante d'un corps nécessitait un apport ou un retrait
de chaleur, sa température ne variant alors pas durant le changement de phase. Nous
avions vu que, pour calculer la chaleur QL nécessaire à la transition de phase, il fallait
connaître "la chaleur latente" L du corps considéré de masse M et on avait alors QL =
M×L. Cela n'est pas très précis car la chaleur latente dépend en fait de la température à
laquelle le changement de phase s'opère…et L n'est donné en général que pour quelques
températures particulières.
On a vu alors que le diagramme enthalpique H(T) permettait de connaître plus
précisément la chaleur échangée lorsqu'une transformation est isobare. Le changement
de phase isotherme étant forcément isobare, on en déduit alors que QL = ∆H (11) pour
une isotherme ou une isobare, lors du changement de phase. Par exemple la chaleur
latente développée pour faire fondre la glace de –10° C à +10°C (voir figure 1) vaut ∆H
= 100 kJ. Attention : ∆H ne représente pas la chaleur totale fournie pour passer de –
10°C à +10°C, mais seulement celle qui a été nécessaire pour effectuer la transition de
phase solide → liquide. Noter que toutes les transformations de solides ou de liquides
qui s'effectuent sous pression atmosphérique (en chimie par ex.) sont isobares ⇒ la
variation d'enthalpie permet de connaître les chaleurs dégagées ; dans ce cas, s'il y a
changement de phase, alors la transformation est isotherme.
H
200 kJ
M kg
de glace
T ≈ 273 K (0° C)
QL = 100 kJ
100 kJ
figure 1
chaleur
apportée par le
feu QL = M × L
-10
0
+10 T [°C]
ici L = chaleur latente massique de fusion de l'eau à 0 °C
4.2.
P
P
liq.
liq.
4.2. Diagramme enthalpique P(H).
Le diagramme P(H) représente P en fonction de H. Il ressemble beaucoup au diagramme de
Clapeyron et permet, comme précédemment, la détermination précise d'une chaleur (ou d'un
travail total, voir cours n°3) développée lors d'une transformation.
On y repère la transformation isobare et on en déduit la chaleur échangée lors de cette
transformation isobare en y lisant ∆H de part et d'autre de l'isobare.
Exemple : on représente dans les 2 plans (P-V et P-H) la transformation 1-2 (isobare obtenue par
refroidissement isobare d'un fluide dans un cylindre par exemple) puis la transformation 1'-2'
(isotherme obtenue par compression lente d'un fluide dans une enceinte diathermique). On en
déduit grâce au diagramme P(H) les chaleurs Q12 et QL dégagées lors des phases isobares. (les
travaux de transformations sont lus avec les diagrammes P-V par un calcul de surface).
Remarque : on peut encore utiliser les diagrammes "de Molier" T(S) (température en fonction de
l'entropie) utilisables pour déterminer les chaleurs échangées lors des transformations
réversibles…donc pour les changements de phase en particulier ou en négligeant les chaleurs de
frottements des transformations irréversibles. On n'en parlera pas ici.
11
isobare (1 bar)
4. Enthalpie et diagramme enthalpique P(H)
Rappel : ∆H = Wt + Q avec Wt le travail total effectué par le compresseur.
page 8/16
2’
W12, Q12 = ?
2
liq + vap
WL, QL = ?
2’
1
2
1
Q12 = ∆H < 0
liq + vap
vap.
1’
QL = ∆H < 0
1’
V
vap.
H
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5. Le cas particulier de l'eau
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5.1
Le cas particulier de l'eau aboutit à d'innombrables publications scientifiques (voir le site internet
du CNRS par ex), dont les phénomènes météo. On se bornera à n'en étudier que quelques uns.
Tair < 0° C glace isolante
V
5.1 La glace flotte sur l'eau
Tout d'abord l'eau est, avec la fonte, un corps très particulier : de 0 à 4 °C son volume
diminue lorsque la température augmente (dilatation à l'envers) : la masse volumique de
l'eau est maximale à 4°C (sous pression atmosphérique, soit 1013 mbar), c'est-à-dire que
son volume est minimal. Cela implique que le glaçon (T ≤ 0°C , c'est-à-dire en
particulier < 4°C) flotte sur l'eau : cela protège l'eau en cas d'abaissement de la
température extérieur12 . Tous les autres corps on leurs cristaux qui tombent au fond de
leur état liquide :
Teau > 0° C
0
4°C
T
5.2.
P
9.105 Pa
glace
5.2. La glace se liquéfie sous pression.
La courbe de fusion (courbe de transition solide / liquide) a une pente dP/dT négative, ce qui est
exceptionnel. Cela signifie qu'à température donnée (< 0°C) il suffit de comprimer la glace pour
obtenir de l'eau13. Dans le cas d'un patineur, son poids sur les patins donnent une pression de
9.105Pa (poids de 650 N réparti sur une surface de 2 mm × 20 cm pour chaque pied ⇒ P ≈ 8.105
Pa à ajouter à 1.105 Pa de pression atmosphérique ⇒ la pression sous chaque patin vaut ≈ 9.105
Pa). A cette pression sous T ≈ -5°C la glace devient liquide et le patin glisse sur un film d'eau, ce
qui évite qu'il soit freiné par de la glace accrocheuse. Le barreau de glace à –1°C qui soutient un
fil relié à une masse sera liquéfié au niveau de son attache qui va se mettre à descendre tandis que
la glace va se recomposer au dessus (libéré de sa pression) : la masse va finalement tomber en
ayant laissé intact le barreau de glace…rigolo non ?
liquide
1.105 Pa
glace
1.105 Pa
liquide
9.105 Pa
-5 °C
liquide
12
la conductivité thermique de la glace vaut λ ≈ 2 W.K-1m-1 alors qu'elle vaut pour l'eau
λ ≈ 0,6 W.K-1m-1 (et pour 20 cm de neige λ ≈ 0,4 W.K-1m-1) : la glace évacue donc
mieux la chaleur que l'eau…l'intérêt de la glace ici est finalement d'éviter la perte de
chaleur par convection et non par conduction.
13
Rappelons que dans le cas général, c'est le contraire qui se produit : en comprimant un
liquide on le solidifie (voir le cas du CO2 décrit précédemment).
page 9/16
glace
BOUM !
T
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C. Haouy, professeur de Physique Appliquée
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5.3 l'eau possède une chaleur massique et une chaleur de fusion très élevée.
On a pour la glace LF ≈ 3,52.105 J/kg (chaleur à apporter à la glace pour la faire fondre, c'est-à-dire pour briser les
liaisons intermoléculaires) à comparer avec les autres corps : elle est considérable. Cela implique qu'il faut apporter
beaucoup d'énergie pour faire fondre la glace (température de l'air ambiant > 0°C pendant suffisamment
longtemps)…ou bien retirer beaucoup d'énergie à l'eau pour la glacer (température < 0°C pendant suffisamment
longtemps) : l'eau (ou la glace) agit en hiver comme un pouvoir tampon vis-à-vis des variations de température de
l'air autours de 0°C , c'est-à-dire qu'elle s'oppose vigoureusement à une chute de température lors d'un retrait de
chaleur ou bien à une augmentation de température lors d'un apport de chaleur…cela préserve la faune et la flore.
Ajoutons à cela que la chaleur massique de l'eau liquide est également très élevée, ce qui implique qu'une fois la
transition de phase effectuée, il faut encore apporter (ou retirer) beaucoup de chaleur pour élever (ou abaisser) sa
température. Il est d'ailleurs bien connu que les villes situées en bord de mer ont des variations moindres de
température…Conclusion : l'eau s'oppose à toute variation de température
5.3.
chaleur latente de fusion ( × 105 J·kg-1) :
O2
N2
H2
Ag
éther
Pt
0,12
0,17
0,28
0,64
1,02
1,08
1,11
éthano
benzène fer
l
1,20
1,40
2,70
Pb
Hg
Ag
Cu
verre
Al
129
139
234
385
840
896
porcelain
e
1100
alors P diminue.
15
On ne sait pas encore très bien quelle est l'origine exacte de l'abrasion, mais ce n'est
certainement pas la chaleur car les impacts sont bien localisés. Il semble que dans certains cas les
abrasions sont dus essentiellement au jet (impact unique) alors que dans d'autres cas ils sont dus à
la surpression locale (plusieurs impacts localisés). La recherche est en cours…
alcool
béton
eau
2470
2900
4187
sources : Atlas de la physique, par Hans Breuer, Livre de Poche.
échauffement très
lent de l'eau et de
l'air ambiant
soleil
échauffement
rapide
soleil
corps quelconque
eau
Exercice 4.
5.4.
tuyauteries
liquide
14
3,52
chaleur massique à 20 °C (J·kg-1·K-1) :
P
1
Equation de Bernoulli en un point donné de la canalisation : P + ρv2 = Cte ⇒ si v augmente
2
eau
sources : Atlas de la physique, par Hans Breuer, Livre de Poche.
5.4. Boum dans les tuyauteries ! (cavitation).
Ce phénomène n'est pas propre à l'eau (il existe pour l'huile des pompes) et de nombreuses
recherches scientifiques étudient le phénomène dans ses détails encore mal compris.
L'eau qui passe par un rétrécissement quelconque, par exemple oxydation des vieux tuyaux) voit
sa vitesse augmenter (débit massique constant et eau incompressible) et sa pression diminuer14.
Lorsque le rétrécissement est suffisamment faible alors l'eau s'écoule à une vitesse suffisamment
élevée (v > 14 m/s qui correspond à 1/2ρv² ≈ 1 bar de dépression, soit une pression d'eau proche
de 0 bar), ce qui provoque une chute de la pression de l'eau. Cette chute de pression isotherme
entraîne une vaporisation de l'eau (voir 1/2 page de droite), c'est-à-dire apparitions de bulles
("cavités"). Lorsque le rétrécissement est terminé, la vitesse de l'eau décroît et sa pression
augmente : la bulle d'eau disparaît par liquéfaction en quelques µs ("collapse"). Lors de la
liquéfaction il y a évacuation de la chaleur, émission d'un jet liquide et création d'une onde de
pression. Ces phénomènes15 ont pour effet d'abraser les parois des tuyaux, les pales de turbines,
de pompes hydrauliques etc.
Ce phénomène intervient également à l'extrémité des hélices des navires (abrasion des pales), des
torpilles (améliore la portée par création d'une bulle enveloppante). Cependant je ne crois pas que
la cavitation est à l'origine du bruit dans les robinets domestiques (contrairement à ce qu'affirme
l'Atlas de la physique) car la vitesse d'écoulement reste trop faible. Ce dernier phénomène est,
d'après moi (et quelques ingénieurs hydrodynamicien), lié à la turbulence de l'eau sous le clapet
d'un robinet mal ouvert qui a pour effet de repousser et attirer successivement le clapet sur son
siège, d'où le bruit…
Hg
12 mbar
exercice 7.
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boum !
sens d'écoulement
gaz
10°C
T
rétrécissement
1er cycle universitaire. BTS.
Cours de Thermodynamique n° 6 : Changement de phase des corps purs.
C. Haouy, professeur de Physique Appliquée
Mise à jour du 01-11-07.
5.5. La météo.
Cette partie est essentiellement déduite de l'ouvrage "La météo", d'Eleanor Lawrence,
éditions Gründ. J'ai simplement "traduit" cet ouvrage en termes de thermodynamicien
(vulgarisation à l'envers !).
La météo dépend en gros de 3 variables : la température de l'air, la pression de l'air et la
présence de l'eau dans l'air (plus exactement dans la troposphère qui concerne grosso
modo les altitudes < 10 km). Ces variables évoluent constamment sous l'action de
l'échauffement inégal de notre planète sous l'action du soleil (rotation de la Terre,
ombre…). La différence de pression (pour une même altitude) d'un point à un autre
engendre le vent (direction du gradient de pression).
Les nuages sont essentiellement dus à la présence d'eau dans la troposphère : sous forme
de micro-goutelettes liquides16 (cumulus) ou de glace (cirrus). La phase de l'eau dépend
de sa température et de sa pression partielle, qui sont 2 variables largement déterminées
par la pression, via l'altitude (voir 1/2 page de droite).
La pression moyenne de l'air (et non de la vapeur d'eau) est liée à l'altitude par la
relation P ≈ 1013e-h/8005 [mbar] et dans la troposphère la température baisse de 0,6 °C
pour 100 m (la température moyenne au sol de la Terre vaut 15°C).
h [km]
abrasion
des dents
restriction
(rouille par ex.)
5.5.
altitude
10 km
-45
8
-33
6
-21
4
-9
2
3
400
0
600
800
0,1
nuage
16
condensation des
bulles de vapeur
formation
de vapeur
T [°C]
10
0
200
pompe hydraulique
1000
15
960
D
cumulo nimbus
refroidissement
adiabatique
2 km
goutte d'eau :
1000
dépression
France
P [mbar]
1
bruine
balayage par les vents d'altitude
4
courbes isobares (en mbar) qui
entourent la zone de dépression
diamètre d'une
goutte d'eau [mm]
pluie
trajet des
masses d'air
sol
altitude
5 km
cirrus
Exercice 5.
évaporation
Si les gouttes d'eau sont de diamètre > 1 mm alors elles évoluent en pluie.
page 11/16
étendue d'eau ou air humide
1er cycle universitaire. BTS.
Cours de Thermodynamique n° 6 : Changement de phase des corps purs.
glace
On ne peut pas, en toute rigueur, représenter l'état du système (masse d'eau ou mole d'eau) dans
une diagramme P(V) ou P(T) car la pression et la température de la vapeur ne sont pas
homogènes et le volume pas défini. Cependant on peut essayer de faire une entorse en utilisant un
diagramme P(T) et en considérant qu'une mole (par ex.) de vapeur à pression usuelle (10 à 20
mbar par ex, lié au taux d'humidité de l'atmosphère) occupe un volume suffisamment restreint (de
l'ordre du m3 à 10°C) pour considérer sa température homogène…voir 1/2 page de droite.
P
liquide
960 mbar
cycle
Il s'agit d'une zone dont la pression est < pression de toute la zone environnante (lettre D sur les cartes météo). Dans
ce cas il y a un appel d'air vers la zone de dépression, l'air environnant s'engouffre dans ce "vide" ce qui crée du
vent. Où va cette masse d'air déplacée ? Tout simplement verticalement17 : il y a ascension rapide de l'air qui y subit
alors une détente adiabatique, donc un refroidissement (voir exercice 5),: si la masse d'air est humide il y a création
de nuages dans la zone moyenne de la troposphère (environ 5 km d'altitude), ce qui peut donner de la pluie (voir ce
qui suit). Elle est donc souvent synonyme de mauvais temps.
vapeur
refroidissement +
détente
12 mbar
grosses gouttes après
plusieurs cycles
petites
gouttes
La dépression.
Les nuages.
Ils se forment dès que la pression de la vapeur (de température T) atteint la pression de vapeur
saturante à T : la vapeur se solidifie si T < 0°C (glace) ou se liquéfie dans le cas contraire.
Exemple : de l'air à 15°C au niveau du sol (1000 mbar) et de 80% de taux d'humidité (13,5 mbar)
forme un nuage à 600 m d'altitude si la vapeur subit une détente adiabatique (voir exercice 5).
Si la vapeur ne subit pas de détente adiabatique alors elle va s'élever à la température de l'air
ambiant (qui décroît avec l'altitude) et sa pression va diminuer. Si l'on suppose sa pression
proportionnelle à la pression de l'air ambiant (je n'ai pas d'information à ce sujet), la courbe P(T)
de la vapeur intercepte la courbe de vaporisation pour T = 10°C (voir 1/2 page de droite), ce qui
signifie que la vapeur se liquéfie (on dit "se condense" dans le cas particulier de l'eau) pour T =
10°C, ce qui correspond à h ≈ 800 m : on a donc des cumulus dont la base se situe à environ 800
m d'altitude (mon livre de météo m'indique que les cumulus se développent généralement à partir
de 700 m, mes hypothèses de départ semblent donc être bonnes). Si l'air avait été sec la pression
saturante n'aurait été atteinte que pour une température < 0°C , c'est-à-dire pour une altitude
élevée c'est un nuage de glace (les cirrus se développent vers h = 5 km). Ce n'est pas le cas si la
vapeur est entraînée par le vent (dépression ou franchissement d'un relief) car dans ce cas on a
une détente ou compression adiabatique18 (voir exercice 5) où la température est liée à la détente
subie. De tels nuages sont alors formés assez bas car la température faible est rapidement atteinte
: la pression saturante est donc très rapidement atteinte (d'autant plus bas que l'air est initialement
humide : on a des cumulo nimbus ou des nimbo-stratus : nuages noirs dont la base peut descendre
à 500 m d'altitude seulement). Ces derniers génèrent souvent des pluies issues de la fonte de glace
(elles refroidient l'atmosphère).
C. Haouy, professeur de Physique Appliquée
Mise à jour du 01-11-07.
T
air chaud qui s'élève (ou
zone de dépression qui attire
pluie qui atteint le sol ou qui se vaporise si les
gouttes sont trop petites et/ou le sol trop éloigné
vapeur
sol
P [mbar]
25
pression de la vapeur d'eau en fonction
de la température de l'atmosphère
20
courbe de vaporisation
liquide
15
10
17
A la verticale d'une dépression se trouve un anticyclone (zone de haute pression).
Lorsque la variation de température de la vapeur n'est pas due à la variation de
température de l'atmosphère mais à la variation de pression verticale (altitude) de
l'atmosphère, la détente est adiabatique car le phénomène est rapide (déplacement d'air
due à des variations horizontales de pression).
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18
vapeur
5
T [°C]
0
-10
-5
0
5
10
15
20
1er cycle universitaire. BTS.
Cours de Thermodynamique n° 6 : Changement de phase des corps purs.
La pluie.
lorsque la vapeur d'eau d'une masse d'air se liquéfie pour donner un nuage formé de
gouttelettes d'eau, elle libère une chaleur latente de vaporisation. Cette chaleur a pour
effet d'augmenter la température de l'air ambiant et provoque à nouveau un courant
ascendant. L'air chaud (par rapport à "l'extérieur", sa température peut être cependant <
0 °C) prend de l'altitude en entraînant dans son ascension les gouttelettes d'eau
précédemment formée. Ces gouttes d'eau (soumises à la pression atmosphérique de
l'ordre de 500 à 1000 mbar) atteignent alors une température < 0°C : elle se transforme
en glace à la limite supérieur du nuage.
Le cristal de glace d'altitude est bombardé à son tour par de nouveaux cristaux qui se
forment au fur et à mesure : il prend du poids et se met à tomber. Il atteint alors une plus
faible altitude où sa température devient > 0°C (influence également des frottements de
l'air) : il redevient liquide et, si sa masse est faible, se vaporise à nouveau19 …et est à
nouveau entraîné dans une ascension (due à l'air chaud)…on a un mouvement cyclique
de va et vient (convection) qui augmentent la masse de l'eau liquide. Finalement l'eau ne
se vaporise plus entièrement lors de sa descente et ne remonte pas car elle est trop lourde
: elle tombe en pluie (relativement froide car issue de la fonte de cristaux de glace). Ces
cas sont typiques des cumulo-nimbus ou nimbo-stratus.
Il existe également des pluies pour lesquelles le même mouvement de va et vient
s'effectue à des températures > 0°C (dans les tropiques) : ces pluies sont dites "chaudes".
Evidemment, on pourrait décrire la neige, la grêle, le givre, le brouillard etc…il ne s'agit
pas ici d'un cours de météo, je vous conseille alors de lire l'ouvrage cité au début du
paragraphe 5.5.
19
C. Haouy, professeur de Physique Appliquée
Mise à jour du 01-11-07.
Remarque : la sueur de notre corps
Quand on sue, ça refroidit notre corps…pourquoi ?
Première idée : l'eau conduit mieux la chaleur que l'air. La chaleur est donc mieux
évacuée de notre corps en présence de sueur.
Réponse : vrai, mais faisons l'expérience suivante : on prend une douche, et, tout
mouillé, on se sèche devant un radiateur avec ventilateur d'air chaud. Brrrr, on a froid !
On aurait dû, d'abord, se sécher à la serviette !
Etrange…en fait, le radiateur avec ventilateur souffle de l'air chaud dont la température
est > 37°C : on aurait donc dû avoir chaud si la première idée évoquée ci-dessus avait été
bonne.
Interprétation : lorsqu'on sue, l'eau de notre corps s'évapore (tant que l'air n'est pas
saturée d'eau…c'est-à-dire en dehors de brouillard des forêts tropicales). En s'évaporant
elle acquiert de la chaleur de vaporisation, tirée en partie de notre corps (à la surface de
contact peau-sueur), cette chaleur étant tirée de notre corps, on se refroidit !
La sueur a donc pour rôle, non pas d'améliorer l'évacuation de la chaleur par conduction
(lorsqu'on a plus chaud que l'air ambiant) mais d'évacuer la chaleur par transition de
phase eau → gaz (absorption de chaleur latente de vaporisation)
D'ailleurs : on ne sue pas seulement lorsque notre température est plus élevée que celle
de l'air ambiant, mais également lorsque l'air ambiant a une température plus élevée que
notre corps (le phénomène de conduction de chaleur par la sueur empirerait la situation
dans ce dernier cas…heureusement alors que l'évaporation prend le dessus !). Dans les
saunas on peut ajouter des louches d'eau sur des pierres chauffées et provoquer alors une
atmosphère saturée d'eau : on sue mais la sueur ne se vaporise plus : on a beaucoup plus
chaud que si on n'avait pas saturé l'air de vapeur d'eau.
la pression de vapeur de l'atmosphère est < Psat ⇒ évaporation d'autant plus rapide que
les gouttes sont est balayées par des vents ascendants.
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Cours de Thermodynamique n° 6 : Changement de phase des corps purs.
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Exercices sur les changements de phase des corps purs
Notez bien que ces exercices font parti intégrante du cours et doivent être résolus au fur et à mesure de leur apparition dans
le cours. Ils permettent de bien assimiler les concepts abordés dans chaque paragraphe et de se donner quelques ordres de
grandeur. Ils sont parfaitement adaptés au paragraphe étudié. Les données numériques sont issues de différents ouvrages. Il
n'est pas certain qu'elles soient exactes à la décimale près…de toute façon la physique est une science qui modélise, et donc
qui fait des approximations ! Cela nous suffira amplement !
Les valeurs numériques des constantes physiques sont souvent issues du "Cours de Berkeley, physique statistique, volume 5"
qui donne l'incertitude des valeurs (écart type) et datent de…1965 : il est probable que les incertitudes actuelles soient plus
faibles.
Exercice 1. Détermination d'une quantité d'eau évaporée.
Nous sommes dans notre buanderie (T ≈ 20°C) de dimensions 3 × 4 × 2,5 ≈ 30 m3, une flaque d'eau d' 1 L règne par terre.
1. Est-il possible de répondre à cette question : est-ce que toute l'eau va s'évaporer ? (c'est-à-dire : est-ce que l'eau liquide est
la seule phase d'équilibre possible de l'eau à 20° C)
Le taux d'humidité initial de la buanderie est de 60%, cela signifie que la pression de la vapeur d'eau est égale à 60% de la
pression de la vapeur d'eau saturée.
2. Indiquez sur le diagramme ci-dessous la pression de la vapeur saturée d'eau. (On prendra 23 mbar par la suite)
buanderie
106
105
104
103
102
101
100
10-1
10-2
flaque d'eau
solide
P [mbar]
200
liquide
gaz
300
400
500
600
T [K]
3. Démontrez que l'on a une flaque d'eau de volume 0,8 L qui subsistera dans la buanderie (on assimilera la vapeur d'eau à
un gaz parfait qui suit donc la relation PV = nRT avec R ≈ 8,314 34 ± 0,000 35 J.K-1.mol-1 et on utilisera le fait que la
masse molaire de l'eau est de 18g/mol).
Rép : 1 : non ;
Exercice 2 : Principe de la cocotte – minute (ou "auto-cuiseur").
Nous disposons d'une cocotte - minute de 8 litres dans laquelle nous plaçons 1 litre d'eau pure (m ≈ 1kg). On donne la masse
molaire atomique de l'hydrogène MH ≈ 1 g/mole, la masse molaire atomique de l'oxygène : MO ≈ 16 g/mole et la constante
des gaz parfaits R ≈ 8,31 J.K-1.mol-1. L’air de la pièce est à 20 °C.
1. Calculez la masse molaire de l'eau (H2O), déduisez - en le nombre de moles d'eau neau contenues dans 1 litre.
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Cours de Thermodynamique n° 6 : Changement de phase des corps purs.
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On ferme la cocotte - minute. Etant donné que l'air enfermé est d'une composition chimique différente de l'eau, la pression de
la vapeur d'eau est initialement de 0 bar (20). On place la cocotte minute sur le feu. La pression de vapeur saturante de l'eau
est donnée par la relation de Duperray (21) : Psat = Po(t/100)4 où Po = 1 atm (= 760 mm Hg ou ≈ 1013,25 mbar) et t =
température en °C.
On rappelle que neau = ngaz + nliq.
Le diagramme P(T) de l'eau est donné à l'exercice précédent.
2. Quelle est la température d'ébullition de l'eau sous 1 bar ?
3. La cocotte possède une soupape différentielle de 1 bar (22) : pour quelle pression des gaz (air + vapeur d'eau) se déclenche
t - elle ?
4. On rappelle que l'eau liquide est soumise à la pression des gaz. Donnez la température atteinte par l'eau bouillante lorsque
la soupape se déclenche. Pourquoi ne met - on pas de soupape réglée pour une pression plus élevée ?
5. Quelle est la pression de l'air dans la cocotte lorsque la soupape se déclenche ?
6. Pour une masse m d'eau de 1kg, calculez le nombre de moles de vapeur contenu dans la cocotte lorsque la soupape se
déclenche, déduisez-en la masse de vapeur d'eau.
7. Déduisez - en le volume d'eau liquide qui reste dans la cocotte minute au moment où la soupape se déclenche.
Rép : 1 : 55,5 moles : 2 : 100 °C ; 3 : 2 bars ; 4 : 120°C ; 5 : 1,34.105 Pa ; 6 : 0,141 mole ; 2,5 g ; 7 : ≈ 1 L.
Exercice 3 : congélateur : fermez la porte !
Pourquoi est-ce nécessaire d'ouvrir le moins souvent possible la porte d'un congélateur ( -20°C) alors que cela ne fait pas
baisser immédiatement la température des aliments (inertie thermique des aliments) ?
Exercice 4 : durée d'échauffement
Sous pression atmosphérique (≈ 1 bar) la glace se liquéfie à 0°C et le mercure (Hg) à -39°C. Nous possédons 2 récipients qui
renferment la phase liquide (1 kg) et solide (200g) de l'eau et de l'argent. On donne les valeur suivantes :
chaleur latente de fusion de l'Hg : 0,12.105 J·kg-1 et de la glace : 3,52. 105 J·kg-11
chaleur massique (supposées constantes) de l'Hg : 139 J·kg-1·K-1 et de l'eau : 4180 J·kg-1·K-1
0°C à 1°C
t=?
200 g de glace +
1 kg d'eau
1 kW
20
-39 °C à -38°C
t=?
200 g d'Hg solide
1 kg d'Hg liquide
1 kW
La pression de l'air, qui n'est pas de l'eau, est bien de 1 bar. L'eau liquide est également sous une pression de 1 bar. On
suppose alors que l'air est sec et ne contient pas de trace d'eau (0% d'humidité), et donc que la pression partielle de la vapeur
est de 0 bar.
21
valable pour t ∈ [100°C , 200°C].
22
La soupape se déclenche lorsque la différence de pression totale entre l'extérieur et l'intérieur de la cocotte est de 1 bar.
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Cours de Thermodynamique n° 6 : Changement de phase des corps purs.
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Quelle est la durée nécessaire pour échauffer d'1 °C la température de chaque bain ?
Rép : 1 min 15 s pour l'eau et 2,6 s pour le mercure (30 fois plus rapide).
Exercice 5. Formation d'un nuage.
Une mole d'air (assimilé à un gaz parfait) initialement à 15°C (température du sol) est contrainte (entraînée par le vent) à
s'élever à une altitude de 600 m (P et T indiquées sur les échelles verticales ci-dessous correspondent à la pression et à la
température moyenne de l'atmosphère et non de l'air entraîné). La détente subit par l'air est adiabatique23, de pression égale à
la pression atmosphérique, de cette matière on a TγP1-γ = Cte avec γ ≈ 1,4. On donne la valeur de la constante des gaz parfaits
R ≈ 8,32 u.s.i.
T
P
11,4°C
12,6°C
T=?
940 mbar
600 m
air
ascendant
960 mbar
980 mbar
13,8°C
15°C
niveau de la mer
1000 mbar
1. Quelle est la température atteinte par la mole d'air au sommet de la montagne ?
L'air est humide à 80% au sol, la vapeur d'eau qu'il renferme subit le refroidissement précédent (alors que sa pression est
totalement différente). On donne la pression de la vapeur saturante à différen,tes températures :
T [°C]
P
[mbar]
-10 -8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
15
16
18
20
22
24
2,79 3,28 3,86 4,52 5,27 6,13 7,07 8,13 9,33 10,7 12,2 13,9 15,9 16,9 18,0 20,5 23,2 26,2 29,6
2. Y-a-t' il formation d'un nuage au sommet de la montagne ?
Rép : 1 : 10 °C ; 2 : oui.
Exercice 6
Pourquoi les lèvres gercent en hiver ?
23
Sa variation de température est suffisamment rapide pour que l'équilibre thermique avec l'atmosphère ne soit pas réalisé.
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1er cycle universitaire. BTS.
Cours de Thermodynamique n° 7 : Les machines thermiques dithermes.
C. Haouy, professeur de Physique Appliquée
Mise à jour du 28/01/08.
Colonne de gauche = discours fait aux élèves, pas forcément écrit au tableau
Colonne de droite = résumé et illustrations du propos de la colonne de gauche, écrits au tableau ou montrés sur transparents.
Voir l’Introduction aux cours de thermodynamique pour situer ce cours dans son contexte. Les exercices signalés sont disponibles en fin du cours.
cours n° 7 : Les machines thermiques dithermes
Plan :
1. Cycles et machines thermiques
2. Les moteurs thermiques dithermes
3. Les machines frigorifiques
Pré-requis : cours n° 5 et 6.
A retenir : Le calcul d’un rendement ou d’une efficacité.
1. Cycles et machines thermiques.
Ces machines thermiques permettent de produire du froid (réfrigérateur), du chaud
(pompe à chaleur) ou du travail (moteur thermique) à partir de sources de chaleur
uniquement (c'est l'application du 1 er principe de la thermodynamique).
Comme les transformations doivent être continues (pour marcher tout le temps, et non
pendant quelques secondes uniquement) , il ne peut s'agir que :
1.
Machines thermiques : cycliques pour qu'elles fonctionnent en continu : la rotation
continue d'un moteur thermique en est un exemple concret
1. de transformations infiniment lentes : sans intérêt car dans ce cas la puissance
développée serait infiniment petite : on n'a pas toute notre vie pour refroidir un frigo !.
2. de transformations cycliques où l'état final et initial du système (gaz par exemple) sont
identiques : c'est ce qui est réalisé en pratique.
On a vu (voir cours n° 5) qu’il fallait absolument 2 sources de chaleur au minimum pour
avoir un moteur thermique. Le moteur ditherme est donc le moteur "minimal" qui échange
de la chaleur entre deux sources. Cet échange de chaleur (qui correspond globalement à
une absorption de chaleur sur un cycle) permettra une perte de travail, c'est - à - dire de
l'énergie motrice fournie à l'extérieur.
On a vu au cours n°5 que, d'après le 2 nd principe de la thermodynamique, les moteurs
dithermes prennent obligatoirement de la chaleur Q 2 d’un corps chaud pour la convertir
en énergie motrice W. Ils en perdent cependant une partie de cette chaleur Q 1 qu'ils
rejettent à la source froide. Ils possèderont donc un rendement défini par  
Bibliographie :
Introduction à la thermodynamique, C.
Lhuillier et J. Rous, Dunod, 1994.
Les machines transformatrices d'énergie, tome
1, par G. Lemasson, Delagrave, 1963
W
Q2
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Q1
Q2
Q2
Un cycle : Q2 absorbé et Q1
rejeté, on a Wcycle = Q2 - Q1
départ d'un nouveau cycle
1er cycle universitaire. BTS.
Cours de Thermodynamique n° 7 : Les machines thermiques dithermes.
2. Les moteurs thermiques dithermes.
C. Haouy, professeur de Physique Appliquée
Mise à jour du 28/01/08.
2.
2.1. Moteur réversible en contact avec 2 sources : cycle de Carnot.
Rappelons qu'un cycle réversible est un cycle pour lequel le système d'étude est constamment en
équilibre thermodynamique avec son environnement immédiat (appelé "extérieur") : pour les
systèmes simples que l'on étudie1 cela se traduit par un équilibre thermique (égalité des
températures intérieure et extérieure lors des contacts thermiques) et mécanique (égalité des
pressions intérieure et extérieure). Le cycle est dit ditherme s'il se déroule entre 2 thermostats
uniquement (ou sources de chaleur2).
Ces définitions rappelées, le seul cycle ditherme réversible possible est donc le cycle composé de 2
isothermes et de 2 adiabatiques (qui permettent, sans contact avec les sources, de passer de
l'isotherme chaude T2 à l'isotherme froide T1) : ce cycle est appelé cycle de Carnot. Les chaleurs
échangées lors du cycle Q1 et Q2 sont alors forcément échangées sur les isothermes puisque les
adiabatiques n'échangent pas de chaleur avec les sources (par définition d'une adiabatique). Le
cycle de Carnot est le cycle ditherme réversible : il assure le rendement maximal du moteur en
contact avec 2 sources.
Si l'extérieur évolue à la même température que le système, alors il peut y avoir également
réversibilité (ou plutôt quasi réversibilité) et donc même rendement, mais dans ce cas, si on veut
s'assurer de la réversibilité du cycle (c'est-à-dire obtenir un rendement maximal) on ne peut plus
appeler un tel cycle "ditherme" car lors de l'évolution de sa température le système est alors
forcément en contact furtif avec une infinité de thermostats (ou four) et non plus 2 seulement. On
peut cependant assimiler un cycle quelconque à un cycle "ditherme" en considérant comme source
chaude un thermostat (fictif) de température égale à la température maximale T 2 de contact du
système avec l'extérieur (ce qui exclut la température maximale obtenue par compression
adiabatique où il n'y a pas contact avec l'extérieur), et comme source froide un thermostat de
température égale à la température minimale T1 de contact. On aura alors  = max =1-T1/T2 mais
dans un tel cas on ne peut plus dire que le cycle est à la fois ditherme et réversible : il est soit
réversible (rendement maximum) , soit ditherme (2 thermostats uniquement).
Dans le cas général comme les isothermes sont infiniment lentes à se réaliser 3, le cycle de Carnot
développe une puissance mécanique nulle. On est alors amener à accélérer le processus en
n'attendant pas que la source et le système soient à la même température, aux prix de la perte de
réversibilité, donc de rendement.
1
cycle moteur
T2
Q1
Q2
T1
 
Wcycle = -Q2 – Q1
Wcycle
Q2
2.1.
cycle moteur de Carnot = meilleur cycle moteur réversible ditherme possible.
P
T2
Q2


2 adiabatiques
2 isothermes T1 et T2
T1
Q1
V
1er principe et cycle quelconque  W = -Q2 – Q1
Q
Q
2nd principe et cycle ditherme réversible  2 =  1
T2
T1
on a bien évidemment 0   < 1
 = max = 1  T1
T2
gaz parfaits purs (c'est-à-dire absence de mélange qui font intervenir la diffusion ou les
réactions chimiques).
2
Le foyer d'une chaudière, l'eau et l'atmosphère peuvent être considérés comme des
Un rendement de 100% est donc impossible avec un moteur thermique, même avec le
sources de chaleur, contrairement à la combustion d'un mélange carburant-comburant. Si
moteur idéal de Carnot.
l'extérieur est un four où l'on contrôle la montée en température, la transformation peut
être réversible, cependant le four n'est alors pas considéré comme une source de chaleur.
3
Le cycle de Stirling est modélisé par 2 isothermes…en réalité ce n'est qu'une
approximation.
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1er cycle universitaire. BTS.
Cours de Thermodynamique n° 7 : Les machines thermiques dithermes.
C. Haouy, professeur de Physique Appliquée
Mise à jour du 28/01/08.
Dans ce dernier cas on aura obligatoirement  < 1-T1/T2. Il existe d'autres types de cycle
qui sont parfois qualifiés de réversibles…mais qui ne sont alors plus dithermes : (liste non
exhaustive)
cycle moteur de Carnot



Q1
Q2
500 J
1000 J
2.2. Exemple d’un moteur "ditherme" réel : le cycle de Beau De Rochas
(essence).
Un moteur de Carnot est très compliqué (donc très cher) à réaliser, pour des raisons
techniques et non théoriques (isothermes difficiles à assurer, pressions élevées). On
fabrique donc des moteurs plus simples (moins cher) mais non réversibles (donc avec un
rendement plus faible ou bien un travail perdu plus faible).
Le cycle de l'air du moteur vu ici est constitué de 4 temps : un "temps" correspondant à
une course totale du piston et non à un type de transformation sur le diagramme P(V). Le
fluide utilisé est un mélange air - essence (4).
Q1
Q1
Q2
2 adiabatiques et 2 isochores : cycle de Beau de Rochas (essence)
2 isothermes et 2 isochores : cycle de Stirling (souvent avec de l'hydrogène).
2 adiabatiques, 1 isochore, 1 isobare : cycle Diesel.
cycle moteur quelconque
1500 J
500 J
2000 J
500 J
 = 0,5
 = 0,25
2.2
Moteur essence à 4 trajets verticaux (4 "temps") par cycle.
0
L'admission et la compression sont possibles car le moteur a été préalablement lancé
(au moyen d’un moteur électrique) et un volant d'inertie permet d'emmagasiner
l'énergie cinétique du lancement pour permettre l'aspiration de l'air. Par la suite, la
présence de 3 autres cylindres, chacun fonctionnant sur un temps différent, permet
une rotation plus régulière du moteur ainsi qu'un travail fourni 4 fois plus élevé. La
compression est nécessaire pour permettre l'explosion du mélange à l'aide des
bougies.
La détente est possible car elle correspond à la surpression due à l'explosion du
mélange air-essence qui provoque une chaleur intense et très rapide.
L'échappement est possible car le moteur a été lancé par la phase de détente, et est
donc entraîné par l'inertie et la présence des 3 autres cylindres.
Seule la phase de détente correspond en fait à l'apport de travail à l'extérieur. Les
soupapes sont commandées par un arbre à cames 5 solidaires de la rotation de l'arbre
moteur.
1
départ du cycle :
explosion lorsque le
piston est au point
mort haut : mélange
explosif comprimé à
la main (manivelle)
ou à l'aide d'un
moteur
électrique
série (lanceur).
détente des gaz brûlés
provoquée par la chaleur de
l'explosion (réaction chimique)
3
2
échappement des gaz brûlés
imposé par l'inertie mécanique
4
4
assimilable à de l'air pur car le volume d'essence est négligeable.
Il s'agit tout simplement d'un axe métallique sur lequel on a fixé des galets ovales qui
viennent frotter périodiquement sur un dispositif d'ouverture-fermeture.
page 3/18
5
admission du mélange imposée
par l'inertie mécanique
compression imposée par l'inertie
mécanique terminée par l'explosion
1er cycle universitaire. BTS.
Cours de Thermodynamique n° 7 : Les machines thermiques dithermes.
On peut alors observer le cycle dans le plan P(V) : voir ½ page de droite :
 Le fait que l'explosion soit isochore s'explique
 par le fait que l'explosion du mélange air - essence est très rapide (contrairement à
l'explosion d’un mélange air - gasoil des diesel où l'explosion est provoquée par
l'injection progressive et contrôlée du gasoil dans l'air).
 La compression et la détente sont adiabatiques du fait de la rapidité de la course du
piston (6).
 Lors de l'ouverture de la soupape d'échappement, la pression est égale à la pression
extérieure (pas de viscosité d’un gaz parfait).
 Pour finir le cycle est considéré comme quasi - statique (7).
Comme deux transformations sur les 4 sont adiabatiques, l'échange de chaleur s'effectuera
uniquement sur les trajets 2-3 (Q2) et 4-1 (Q1). Les températures extrêmes sont T 3 ( 800
°C) et T1 ( 20°C) : on peut donc assimiler ce cycle à un cycle ditherme s'effectuant entre
les températures T 1 et T3. Comme on n'a pas un cycle de Carnot on aura bien évidemment
1
Q2/T3 + Q1/T1  0 et donc  < 1-T1/T3  72% , on trouve (voir exercice 1)   1   1 

51 % avec  le taux de compression volumétrique (600 mL / 100mL = 6 ici)
Remarquer que la source chaude extérieure est créée par la réaction chimique de
combustion (explosion) et qu'elle se trouve…à l'intérieur du système (la dénomination
intérieur / extérieur n'est pas vraiment adéquate !).
L'isochore 2-3 peut être considérée comme (quasi) réversible car la source chaude est à la
même température que le mélange air-essence (par construction de la combustion
interne), en revanche l'isochore 4-1 ne peut pas être considérée comme réversible car la
température du mélange évolue alors que celle de l'atmosphère reste constante : il n'y a
plus équilibre thermique. Le cycle ne peut donc pas être considéré comme réversible en
toute rigueur. Cependant, parfois, on fait comme si l'atmosphère évoluait à la même
température que l'isochore (hic…) et on qualifie alors le cycle de réversible…cela permet
en fait seulement d'évaluer rapidement le rendement max théorique que l'on peut en tirer.
6
C. Haouy, professeur de Physique Appliquée
Mise à jour du 28/01/08.
Rotation régulière et multiplication du travail avec 3 autres cylindres qui travaillent
chacun sur un trajet (temps) différent. C'est la détente d'un piston qui entraîne les 3 autres
pistons :
comp° adm°
dét
écha
P
3
20 à 60 bars
Q2
12 bars
1 bar
2
pour un moteur 4 cylindres
à 2 litres de cylindrée:
W
4
Q1
0
1
V [ml]
100
500 ml
600
0  1 : admission du mélange air-essence sous 20°C
1  2 : compression adiabatique (course des pistons très rapide : 6m/s à 3000 tr/min) à
330 °C – 12 bars
2  3 : explosion très rapide ( compression isochore) de 800 °C à 4000 °C
3  4 : détente adiabatique avec production de travail.
4  1 : baisse de pression lors de l'ouverture de la soupape d'échappement.
1  0 : échappement.
On a 4 temps (4 déplacements) pour 2 tours, donc à 3000 tr/min le piston effectue 6000
 moteur 4 temps essence réalisé avec :
déplacements / min, soit 1 déplacement / 10 ms. Or la chaleur met beaucoup plus de 10
 2 adiabatiques.
ms à s'évacuer  compression et détente adiabatiques.
7
Cela se justifie par le fait que la vitesse des molécules d'air est de l'ordre de 700 m/s à
 2 isochores
600K (T2), or la course du piston (6 cm par exemple) s'effectue en 10 ms, soit une
vitesse de déplacement de 6cm/10ms = 6m/s << 700 m/s du gaz : la pression a donc le
Exercice 1
temps de s'équilibrer.
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Cours de Thermodynamique n° 7 : Les machines thermiques dithermes.
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En pratique, le cycle réel du moteur à explosion à essence est donné 1/2 page de droite
Ce qui signifie que :
Cycle réel :
P
1/ l'admission crée une dépression (mélange visqueux)
2/ on provoque l'explosion légèrement avant que le piston n'ait atteint le point mort haut
de manière à prendre en compte la durée de l'étincelle et la durée de combustion : c'est
l'avance à l'allumage.
3/ La boucle inférieure est décrite dans le sens trigo : cela signifie que le travail fourni est
encore plus faible que prévu : le rendement réel sera encore affaibli (25% à 40% en
réalité)
L'exercice 1 donne le calcul théorique du rendement du cycle. En pratique, le rendement
effectif est plus faible car le cycle décrit est le cycle réel vu ci-dessus et il y a les
frottements des divers organes. On remarque que le rendement est d'autant plus élevé que
le taux de compression est élevé. Ce qui limite  est le phénomène de détonation
(combustion spontanée du mélange qui se traduit par des cognements secs et métalliques à
l'intérieur du cylindre : pour   12 on aurait la pression qui monterait jusqu'à 100 bars : le
moteur ne résisterait pas à un tel à-coup). Il est de l'ordre de 6 à 9 pour les moteurs à
essence. L'indice d'octane permet de limiter le phénomène de détonation, donc permet
d'augmenter , c'est-à-dire le rendement . Les moteurs diesel ne possèdent plus de
détonation car il ne s'agit pas d’un gaz explosif que l'on comprime, mais uniquement de
l'air. On peut donc encore augmenter , c'est-à-dire le rendement. Ce qui limite  dans ce
cas est la pression du gaz qui crée des contraintes mécaniques :  est de l'ordre de 15 et la
pression maximale de l'ordre de 50 bars pour le diesel
On notera que lors de l'utilisation du frein moteur (vitesse enclenchée en descente) la
puissance de freinage est directement liée à l'aire de la partie inférieure de la boucle
balayée pendant 1 cycle moteur (8). Comme cette aire nuit au rendement énergétique du
moteur, les constructeurs font en sorte de la réduire au minimum : le frein moteur des
voitures modernes est donc moins puissant que le frein moteur des anciennes voitures.
8
V
 rendement de 35% au maximum.
Outre ce qui est dissipé en frottements et résistance au roulement.
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3. Les machines frigorifiques.
3.1. Réfrigérateurs (ou climatiseurs).
Ils pompent de la chaleur d’un corps (qui se refroidit) et la transmettent à un autre corps
(qui s'échauffe) grâce à un compresseur et à un détendeur qui permettent cette opération.
1er principe sur un cycle quelconque  W = -Q1 – Q2
2nd principe sur un cycle réversible ditherme : Q1/T1 + Q2/T2 = 0  Q1 et Q2 sont de signe
opposé et Q2 = T2/T1·Q1 > Q1 car T2 > T1 par définition.
Or on veut Q1 absorbé, c'est-à-dire Q1 > 0  on aura forcément Q2 < 0 (2nd principe),
c'est-à-dire Q2 rejeté plus important que Q1 absorbé et donc W = -Q1 – Q2 > 0 : ce cycle
nécessite de l'énergie motrice et ne peut donc être parcouru que dans le sens
trigonométrique (absorption de travail).
Quel est le rendement de l'installation ? Il s'agit de  =
ce qu 'on veut
ce qu'on dépense pour l'obtenir
Q1
. Comme ce n'est pas vraiment un calcul de rendement dont il s'agit (car on ne
Wcycle
prend en compte que l'énergie W que l'on doit fournir mécaniquement à la pompe et non
celle qui est évacuée) on appelle plutôt "efficacité e" le rapport Q1/Wcycle.

L'absorption du froid est plus importante si on y a joute une absorption de chaleur latente
de changement de phase. En pratique on va provoquer dans un serpentin la vaporisation
(= ébullition) d'un liquide (transition liquide  vapeur) à température ambiante9
(température initiale de l'intérieur du frigo) en créant une dépression du fluide (détente
forcée à l'aide du compresseur par l'aspiration du fluide à travers un tube poreux). Cette
chaleur latente de vaporisation doit être aussi élevée que possible (pour une masse donnée
de fluide frigorigène) afin d'accélérer le processus (différents fluides sont utilisés : CFC,
fréon…). Afin d'assurer, pour chaque cycle, un phénomène de vaporisation, il faut bien
passer par une liquéfaction à un moment donné du cycle : cela est réalisé en comprimant
suffisamment le fluide sous température ambiante (extérieur du frigo). Lorsque la
température froide est suffisante, un bilame arrête le moteur du compresseur.
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3.1.
cycle (résistant) de réfrigération :
U = 0
T
Q1
Q2
Q1 = -W – Q2
air ambiant
T2
aliments, T1
W
serpentin
L'efficacité est définie par : e 
grille
Q1
W
T1
peut varier de 0 à l'infini.
T2  T1
 6,5 pour T2  27 °C et T1  -13 °C
Cycle ditherme réversible (Carnot) : e  e max 
emax
5
4.5
courbe donnant emax pour T2 = 300 K
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
Dans tous les exercices abordés en BTS, le cycle de refroidissement sera lancé depuis
longtemps de sorte que c'est le régime permanent qui sera étudié : T froide et Tchaude seront
déjà établies depuis longtemps.
9
0.5
0
0
T1 [K]
50
100
150
200
250
Le fluide utilisé doit donc pouvoir se liquéfier ou se vaporiser de la température
Le réfrigérateur est d'autant plus efficace que T 1 est proche de T 2…ce qui n'est pas
ambiante à la température froide minimale sous pression réduite…ce qui limite l'emploi
l'objectif d'un frigo !
des frigo à C02 pour laquelle la transition de phase ne s'opère plus au delà de 31 °C.
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3.2. Pompes à chaleur.
Le principe est simple : absorber de l'énergie thermique (chaleur) de l'extérieur de la
maison pour la rejeter à l'intérieur de la maison (d'où son nom). Il s'agit donc simplement
d’un réfrigérateur ouvert sur l'extérieur et dont la grille arrière est placée dans notre
appartement. La pompe à chaleur absorbe donc la chaleur Q 1 de l'extérieur et c'est la grille
chaude du réfrigérateur qui chauffe la pièce ( 10). Dans ce cas c'est la chaleur Q 2 restituée à
l'air ambiant qui nous intéresse, et l’efficacité est donc définie par :
Q
e 2
W
On démontre alors que pour le cycle de Carnot (le seul cycle ditherme réellement
réversible) on obtient
T2
e max 
T2  T1
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3.2.
atmosphère
T1
10
Q2
air ambiant
T2
Q2 = -W – Q1
W
serpentin
grille
C'est Q2 qui nous intéresse  on définit l'efficacité par e 
Q2
W
T2
T2  T1
 23 pour pour T2  20 °C (293 K) et T 1 7 °C (280K)
Pour un cycle réversible ditherme on a e  e max 
e  6,5 signifie qu'il est 6,5 fois plus avantageux d'utiliser l'électricité pour alimenter le
compresseur de la pompe à chaleur que d'utiliser l'électricité directement pour faire
chauffer un radiateur électrique (rendement de 1) !!!
Cependant, comme T 2 = T1 + T, on en déduit qu'une pompe à chaleur est d'autant plus
efficace que T1 (température extérieure) est élevée et T 2 proche de T1, c'est-à-dire quand
elle ne sert à rien…
BON A SAVOIR : (bibliographie : article "Pompes à chaleur" de la revue "Que choisir" n° 436 - avril 2006)
Dans le bâtiment on appelle COP l'efficacité définie plus haut : c'est le COefficient de Performance. Lors d'une
installation de pompe à chaleur pour le chauffage domestique le COP doit être  3 pour avoir droit à une aide
des pouvoirs publics ("crédit d'impôts" de 50 % en 2006). Les fabricants de pompe à chaleur annoncent donc
des COP souvent  3. Mais le COP dépend de la température extérieure et de la température intérieure…donc
pour quelles températures est-il calculé ? Je n'ai pas d'info° sur la température intérieure de la maison mais en
revanche la température extérieure utilisée pour le calcul est de…7° C : pas franchement hivernal comme
température !!! En effet, plus la température extérieure est élevée (donc proche de la température intérieure) et
plus le COP est élevé…les fabricants ont donc tout intérêt à prendre comme température extérieure de
référence une température élevée ! Finalement la pompe doit prendre la chaleur à un endroit qui refroidit peu
en hiver (prise dans le sol : pompe géothermique mais non les pompes à air), en outre il faut se souvenir que le
COP annoncé par les fabricants est un COP théorique de laboratoire : le COP réel d'une pompe à chaleur à air
sera donc largement plus petit que celui annoncé (conditions différentes, équipements électriques auxiliaires
indispensables non pris en compte…ce qui peut rendre absurde un tel investissement. l'UFC Que choisir
recommande de prendre un COP  4 pour obtenir un COP réel de 3 en pratique, ainsi que faire appel à un
installateur qualifié (ils ne sont pas nombreux) pour que le COP réel soit aussi élevé que possible (qui dépend
également de la mise en place de l'installation).
U = 0
T
Q1
emax
24
22
courbe donnant emax pour T2 = 20 °C
20
18
16
14
12
10
8
6
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
T1 [°C]
efficacité théorique max très élevée (  23 pour T1 = 7°C), à comparer avec une efficacité
réelle de 3 environ pour une température extérieure T 1 de 7°C (280 K) !!!
Bien évidemment, les pompes à chaleur diffèrent des réfrigérateur non pas au niveau du
principe mais au niveau des puissances mises en jeu, diamètre des tuyaux etc.
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Exercices récapitulatifs du cours de thermodynamique .
Exercice 1.
Calculez le rendement   W/Q2 du cycle de Beau de Rochas composé de 2 isochores et de 2 isothermes, avec V 2/V1  
(taux de compression volumétrique) et   Cp/Cv  1,4. On considère le mélange air - essence comme un gaz parfait et on

rappelle que lors d’une transformation adiabatique on a T.V -1 = Cte.
Rép :   1 
1

 1
à partir d'ici il s'agit d'annales, voir les corrigés dans le fichier "correction des exercices du cours n°7"
Exercice 2 : cycle de Stirling. BTS Maintenance 1992, Nouméa.
On étudie une machine ditherme fonctionnant suivant le cycle de Stirling représenté sur la figure 1.
On distingue dans ce cycle :
P
- deux transformations réversibles isochores
A
- deux transformations réversibles isothermes
aux températures T 1 et T 2 (T 1 < T 2)
D
B
C
Vmin
Vmax
V
Le fluide décrivant ce cycle dans le sens ABCDA est assimilé à un gaz parfait. On rappelle que pour une évolution élémentaire
d’une mole de gaz parfait, la variation d'énergie interne dU est liée à la variation de température dT par la relation dU = C v dT
où Cv est la capacité calorifique molaire à volume constant du fluide.
On donne :
- température de la source froide T 1 = 276K
- température de la source chaude T 2 =293K
V
- rapport volumétrique max  3,0
Vmin
- constante du gaz parfait R = 8,32 J.mol -1 . K-1
- Cv = 21 J.mol -1. K-1
l°) - Quelle est la nature de chacune des trans formations A-B, B-C, C-D et D-A ?
2°) - Pour une mole de fluide :
2-1 Exprimer pour chacune des transformations le travail et la quantité de chaleur échangés par le fluide avec le milieu
extérieur.
2-2 Calculer les valeurs numériques des grandeurs exprimé es ci-dessus pour les transformations A -B et B-C.
2-3 Exprimer le travail total W échangé par cycle entre le fluide et le milieu extérieur. Le fonctionnement du cycle est -il
moteur ou récepteur ? Justifier la réponse.
3°)- On appelle Q 1 la quantité de chaleur prise à la source froide par une mole de fluide au cours d’un cycle. En utilisant les
résultats de la question 2°), donner la valeur numérique de Q 1 . Citer une application possible de cette machine.
Exercice 3 : cycle Diesel, BTS Maintenance 1994, M étropole.
On considère un moteur à combustion interne fonctionnant suivant le cycle Diesel représenté en annexe.
A1A2 : compression adiabatique réversible de l'air caractérisée par le rapport volumétrique :
V
x 1
V2
A2A3 : injection du carburant finement pulvérisé dans l'air comprimé et chaud provoquant son inflammation. La combustion
se produit à pression constante.
A3A4 : détente adiabatique réversible des gaz.
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A4A1 : ouverture de la soupape d'échappement, ramenant instantanément la pression à P1 , les gaz subissant un
refroidissement isochore.
La quantité de carburant injecté étant faible devant la quantité d'air aspiré, on considérera que le nombre total de
moles n'est pas modifié par la combustion.
On assimile les gaz à un gaz parfait de constante R = 8,32 J.K -1.mol-1, de capacité thermique molaire à pression constante
Cp = 29 J.K -1.mol –1.On donne :  = 1,40.
On étudie les transformations subies par une mole de gaz parfait.
1 - Ce gaz est admis dans les cylindres à la pression P1 = 1 bar = 1,0 x 105 Pa et à la température T1 = 330 K.
a - Calculer le volume V1
b - Calculer la pression P2 et la température T2 en fin de compression sachant que x = 14.
2 - En fin de combustion, la température du gaz est T3 = 2 260 K. Calculer le volume V3 et la chaleur Q23 reçue par ce gaz au
cours de la transformation A2A3.
3 - Calculer la pression P4 et la température T4 en fin de détente.
4 - a - Calculer la quantité de chaleur Q41 reçue par le gaz au cours de la transformation isochore.
b - En appliquant le premier principe, calculer le travail fourni par le moteur au cours d’un cycle.
c - Calculer le rendement  de ce moteur thermique.
ANNEXE
P
A2
A3
P2
P4
A4
P1
A1
0
V2
V3
V1
V
RAPPELS :
Le rendement d’un moteur thermique est l e rapport entre le travail fourni par les gaz au cours d’un cycle et la quantité de
chaleur reçue par les gaz au cours de la phase de combustion.
Pour un gaz parfait subissant une transformation adiabatique réversible d’un état A (PA , VA , TA) à un état B (PB ,
VB , TB), on peut écrire :
P A V A = P B V B 
TA V A   1 = T B V B   1
avec  =
Cp
Cv
Exercice 4. BTS Maintenance 1994, Nouméa.
Un gaz parfait subit les transformations réversibles représentées sur le diagramme ci -dessous :
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P
A
PA
PC
C
PB
B
0
VA
VB
V
AB : détente adiabatique telle que VB = 2 VA
CA : compression isotherme
On donne :
PA = 1 bar = 10 5 Pa
VA = 10-2 m3
Température du gaz au point A
TA = 300 K
R = 8,31 J.mol -1.K-1
Constante des gaz parfaits :
Capacité thermique molaire à pression co nstante : Cp = 29 J.mol -1.K-1
 = C p = 1,40
Rapport des capacités calorifiques de ce gaz :
Cv
1 - Comment appelle-t-on la transformation BC ?
2 - Calculer le nombre de moles n de ce gaz.
3 - Calculer :
a) la pression PB et la température TB du gaz au point B.
b) la pression PC du gaz au point C .
4 - Calculer la quantité de chaleur QBC et le travail WBC reçus par le système pour la transformation qui fait passer le
système de l'état B à l'état C.
5 - a - Pourquoi la variation d'énergie in terne UCA du gaz est-elle nulle lors de la transformation CA ?
b - Appliquer le premier principe au cycle ABCA et en déduire le travail WAB reçu par le gaz lors de la détente
adiabatique AB.
c - Interpréter le signe de WAB.
RAPPELS :
Pour un gaz parfait subissant une transformation adiabatique réversible d’un état A (PA , VA , TA) à un état B (PB , VB , TB),
on peut écrire :
P A V A = P B V B 
TA V A   1 = T B V B   1
avec  =
Cp
Cv
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Exercice 5 : BTS Maintenance 1995, M étropole.
Une pompe prélève de l'air dans l'atmosphère à une température de 27°C à la pression de 1,0 x 105 Pa . Elle remplit
en une minute une bouteille de 20 L de telle façon que la pression finale soit de 10 x 105 Pa , l'air étant alors à une
température de 57°C.
On admet :
. que la transformation subie par l'air équivaut à deux transformations quasi -statiques théoriques successives :
- une transformation 1-2 à température constante
- une transformation 2-3 à volume constant.
. que l'air peut être assimilé à un gaz parfait
. que la bouteille était préalablement vide d'air.
Travail demandé :
1 - Calculer le nombre de moles d'air subissant ces transformations.
2 - Calculer le volume initial V 1 occupé par cet air.
3 - Déterminer l'état théorique du gaz ( P2 , V2 , T2 ) à la fin de la transformation 1 -2.
4 - Calculer la puissance minimale de la pompe.
On donne :
* Constante des gaz parfaits : R = 8,32 J.mol -1 . K -1
* Expression du travail reçu par un gaz lors d’une transformation isotherme à la tempéra ture T :
W AB = n R T Ln ( P B / PA )
Exercice 6 : BTS Maintenance 1995, Nouméa.
Une pompe à chaleur fonctionne entre deux sources : une nappe souterraine qui constitue la source froide et l'eau du
circuit de chauffage qui constitue la source chaude.
Le fluide utilisé dans cette pompe à chaleur est de l'air assimilable à un gaz parfait de constante R = 8,32 J.K -1.mol -1,
de capacité thermique molaire à pression constante C p = 29,1 J.K -1.mol -1. Le rapport des capacités thermiques
molaires à pression constante C p et à volume constant C v vaut  = 1,4.
L'air de la pompe à chaleur décrit le cycle de transformations réversibles suivant :
- Passage de l'état initial A, à l'état B par une compression adiabatique dans un compresseur.
état A : pression : P A = 1,0 x 105 Pa , volume V A , température T A = 298 K ;
état B : pression : P B = 2,2 x 105 Pa , volume V B , température T B .
- Passage de l'état B à l'état C par une transformation isobare pendant laquelle l'air reçoit de la sour ce chaude une
quantité de chaleur Q 1.
état C : pression P C = PB , température T C = 340 K
- Passage de l'état C à l'état D par une détente adiabatique.
état D : pression P D = PA , température T D
- Passage de l'état D à l'état A par une transformation is obare pendant laquelle l'air reçoit de la source froide une
quantité de chaleur Q 2.
On effectuera les calculs relatifs à une mole d'air.
1 - Placer les points B, C, D sur la figure a du document-réponse.
2 - Calculer les volumes V A et VB .
3 - Calculer les températures T B et TD .
4 - Pour chaque cycle décrit par une mole d'air, calculer :
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4.1 - les quantités de chaleur Q 1 et Q2 ,
4.2 - le travail W reçu au cours de la totalité du cycle.
5 - L'efficacité  de la pompe à chaleur es t le rapport de la quantité de chaleur reçue par la source chaude au cours
d’un cycle décrit par l'air, et du travail reçu par l'air au cours de ce même cycle.
5.1 - Exprimer  en fonction de Q 1 et W. Calculer sa valeur.
5.2 - Justifier le choix de cette définition.
RAPPELS :
Pour un gaz parfait subissant une transformation adiabatique réversible d’un état A ( PA , VA , TA ) à un état B ( PB ,
VB , TB ), on peut écrire :
P A V A = P B V B 
TA V A   1 = T B V B   1
avec  =
Cp
Cv
DOCUMENT - REPONSE
P
A
Pa
Va
0
V
figure a
Exercice 7 : BTS Maintenance 1996, Métropole.
On s'intéresse à une pompe à chaleur qui participe au chauffage de locaux, en prélevant de la chaleur aux effluents
liquides à température élevée d’une install ation industrielle, avant leur rejet dans une rivière qui recevra des effluents à
température plus faible.
L'installation représentée ci-dessous comporte : un compresseur, un détendeur et deux serpentins qui sont le siège des échanges
thermiques, avec les effluents d’une part, et avec l'eau d’un circuit de chauffage d'autre part.
air
compresseur
K
D
effluents
industriels
détendeur
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circuit de chauffage
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Le fluide frigorigène est de l'air, assimilé à un gaz parfait.
On étudie les transformations réversibles de 1 kg d'air qui décrit le cycle suivant :
1-2 : dans le compresseur : compression adiabatique, la pression passant de p 1 = 105 Pa à p2 = 2 x 10 5 Pa et la
température passant de T 1 = 310 K
à T 2.
2-3 : dans le serpentin au contact du circuit de chauffage (V 3  V2) : refroidissement isobare, la température passant
de T 2 à T 3 = 330 K.
3-4 : dans le détendeur : détente adiabatique, la pression passant de p 3 = p2 à p4 = p1 , la température passant de T 3
à T 4 = 271 K.
4-1 : dans un serpentin plongé dans les effluents industriels : échauffement isobare jusqu'à la température T 1 .
On donne :
constante du gaz parfait : R = 8,32 J .mol -1 . K -1
capacité thermique massique de l'air à pression constante : c p = 1 000 J.kg -1 . K -1
rapport des capacités thermiques massiques de l'air, à pression constante et à volume constant :  =
On rappelle que lors de la transformation adiabatique réversible d’un gaz parfait : pV

c
c
p
.
v
= constante.
1) Représenter l'allure du cycle décrit par l'air sur un diagramme de C lapeyron (p,V). Indiquer par des flèches le sens
des transformations.
2) Montrer que T 2  378 K.
3) Calculer les quantités de chaleur échangées par une masse de 1 kg d'air au cours de chacune des 4 transformations.
4) Quelle est la variation de l'énergie interne de l'air qui décrit le cycle ? Enoncer le premier principe de la
thermodynamique pour un cycle.
5) En déduire le travail W reçu par la masse de 1 kilogramme d'air, au cours du cycle.
6) On désigne par e l'efficacité de la pom pe à chaleur, c'est-à-dire le rapport de la quantité de chaleur reçue par la source
chaude et du travail reçu par l'air, au cours d’un cycle. Calculer e.
Exercice 8 : BTS maintenance 1996, Nouméa.
Le fonctionnement du moteur à explosion peut -être modélisé par le cycle théorique de Beau de Rochas. Ce cycle représenté
dans un diagramme de Clapeyron, peut se décomposer en quatre temps :
 premier temps , est une compression adiabatique réversible AB du mélange combustible avec un rapport volumique a =
VA/VB.
 le deuxième temps est une compression isochore BC, résultant de la combustion du mélange.
 le troisième temps est une détente adiabatique réversible selon CD. En D, le piston est au point mort bas : VD = VA.
 le quatrième temps est un refroidissement isochore DA.
La quantité de carburant injecté étant peu importante par rapport à celle de l’air aspiré, on la négligera devant cette dernière.
Le cycle est étudié pour une mole d’air assimilé à un gaz parfait.
DONNEES : Voir document-réponse.
QUESTIONS :
1- Compléter l’allure du cycle sur le document -réponse.
2- Déterminer la valeur des volumes V A et VB aux points A et B.
3- Calculer la pression P B et la température T B au point B
4- Exprimer, en fonction des températures aux extrémités du cycle, les quantités de chaleur algébriques Q AB, QBC, QCD, QDA,
échangées avec le milieu extérieur au cours de chacune des quatre phases. Calculer leurs valeurs numériques. En déduire
par application du Premier Principe, la valeur algébrique W du travail fourni à l’air au cours du cycle .
5- Le rendement du cycle s’exprime par :
 =  W . Calculer sa valeur numérique.
Q BC
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DOCUMENT-REPONSE, à rendre avec la copie.
P
PC
PB
PD
PA
VB
VA
V
Données :
Constante des gaz parfaits :
R = 8,32 J.mol -1.K-1
Capacité Thermique molaire de l’air à pression constante : Cp = 29 J.mol -1.K-1
Capacité thermique molaire de l’air à volume constant :
Cv
 = 1,40
Valeur du rapport  = Cp/Cv
Valeur du rapport volumique a = V A/VB
a=7
Valeurs de la pression , et de la température aux extrémités du cycle :
PA = 105 Pa
PC = 62. 10 5 Pa
PD = 4,08. 10 5 Pa
3
TA = 300 K
TC = 2,65. 10 K
TD = 1,21. 10 3 K

On rappelle que lors de la transformation adiabatique réversible d’un gaz parfait P.V = Constante
Exercice 9 : BTS Maintenance 1997, Nouméa.
Une entreprise doit installer un dispositif de chauffage de l'eau de distribution de la ville. Captée à la température 1 =
15°C, l'eau doit être livrée à la température finale  = 85°C. Le dispositif est pré vu pour réchauffer une masse M = 1000
kg d'eau par heure.
On donne la capacité thermique massique de l'eau liquide : c = 4 190 J.kg -1.K-1.
Le dispositif de chauffage (voir figure 1 de l'annexe) comporte une chaudière qui produit par heure une masse m de
vapeur d'eau à 100°C. Cette vapeur pénètre avec l'eau à réchauffer dans un échangeur supposé parfaitement calorifugé.
1) Calculer la quantité de chaleur Q eau absorbée par 1000 kg d'eau dont la température passe de 15°C à 85°C. Calculer la
puissance calorifique reçue par l'eau à réchauffer.
2) La chaleur est fournie par la combustion de fuel dans la chaudière. Chaque kilogramme de fuel brûlé donne une quantité
de chaleur de 4,2  107 J . En supposant le rendement de la chaudière égal à 0,80 ; calculer la consommation horaire de
fuel.
3) Donner l'expression de la quantité de chaleur Q 1 absorbée par une masse m de vapeur d'eau qui passe de l'état gazeux à
l'état liquide. (La chaleur de condensation de la vapeur d'eau est L c = -2257,2 kJ/kg).
4) Donner l'expression de la quantité de chaleur Q 2 absorbée par la masse m d'eau provenant de la condensation de la
vapeur en passant de la température ’1 = 100C à la température ’2 = 85C .
5) On considère le système formé par la mass e M d'eau à réchauffer et la masse m de vapeur d'eau. On admet que ce
système n'échange pas de chaleur avec l'extérieur (transformation adiabatique).
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Cours de Thermodynamique n° 7 : machines thermiques dithermes.
C. Haouy, professeur de Physique Appliquée
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a) Ecrire l'équation calorimétrique reliant Q eau , Q1 et Q2 .
b) En déduire la masse m de vapeur d'eau nécessaire pour faire passer de 15°C à 85°C la température de 1000 kg
d'eau.
6) On connaît les concentrations en ions Ca 2+ et en ions Mg 2+ de l'eau de distribution de la ville :
[Ca2+] = 1,5  10-3 moles d'ions.L -1.
[Mg2+] = 0,5  10-3 moles d'ions.L-1.
a) Quel est le titre hydrotimétrique total (T.M.T) de cette eau, en moles d'ions par litre, puis en équivalents par litre, puis
en degrés Français (°F) sachant que :
1 mole d'ions M 2+ par litre = 2 équivalents par litre
10-3 équivalents par litre = 5°F
b) Quel est l'inconvénient que crée une eau trop dure qui circule dans une conduite ?
ANNEXE
Figure 1
Eau
utilisable (85 °C)
M (kg)
M (kg)
eau à 15 °C
m (kg)
Vapeur à 100°C
m (kg)
Eau à 85 °C
provenant de la
condensation de
la vapeur.
Exercice 10 : BTS Maintenance 1997, Métropole.
L’étude porte sur un moteur thermique (type Diesel). La conversion d’énergie est assuré e par de l’air qui décrit le cycle
représenté en figure 2 sur l’annexe, en coordonnées de Clapeyron P(V). Chaque transformation est considérée comme
réversible. Les trajets 1-2 et 3-4, sont adiabatiques.
5
État 1 : P 1 = 1 Bar = 10 Pa
T1 = 300 K
V
État 2 : 1 = 14
V2
État 3 : T3 = 1340 K
État 4 : T 4 = 556 K
Les calculs porteront sur une mole d’air.
-1 -1
-1 -1
Il est rappelé que R = 8,31 J.mol .K , et que, pour l’air,  = Cp/Cv = 1,4 . On donne en outre : C v = 20,8 J.mol .K .
1) Montrer que T = 862 K. On rappelle que pour une transformation adiabatique :
2

P.V = Cte

T.V -1 = Cte.
2) Pourquoi T est-elle la température la plus élevée sur le cycle ?
3
3) Déterminer la quantité de chaleur échangée par une mole d’air au cours de chaque transformatio n :
a) sur le trajet 1-2.
b) sur le trajet 2-3.
c) sur le trajet 3-4.
d) sur le trajet 4-1.
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4) Quelle est la variation de l’énergie interne de l’air qui décrit un cycle ?
Enoncer le premier principe de la thermodynamique pour un cycle et en déduire la val eur algébrique W du travail
reçu par une mole d’air au cours d’un cycle.
5) Déterminer le rendement théorique du moteur.
6) Le rendement réel n’est que de 0,45. Le fuel utilisé dégage 45  103 kJ par litre lors de la combustion. Sachant que
ce moteur consomme 1 litre de fuel par heure, calculer le travail mécanique qu’il fournit en une heure et sa puissance
mécanique.
P
2
3
figure 2
4
1
V
Exercice 11 : BTS Maintenance 1998, Métropole.
On effectue l'étude d’un système destiné à réfrigérer de l'eau. Le schéma de pr incipe est donné à la figure ci -dessous. Le
fluide subissant le cycle thermodynamique est du fréon. Le circuit est représenté en trait épais.
1, 2, 3, 4 sont les points du circuit correspondants aux entrées et sorties de chaque élément.
Un ventilateur soufflant de l'air sur le condenseur assure le refroidissement du dispositif.
L'évaporateur et le circuit d'eau sont mis en contact thermique par un échangeur de chaleur, représenté en pointillé. Le
circuit d'eau est représenté en trait fin :
compresseur
2
1
échangeur
de chaleur
circuit
d'eau
ventilateur
air
évaporateur
condenseur
4
3
détendeur
La vapeur de fréon sera considérée comme un gaz parfait. On désigne respectivement par P et T sa pression et sa
température.
Les caractéristiques thermodynamiques du fréon sont les suivantes :
 Masse molaire du fréon : M = 1 21 g.
 Chaleur latente massique de vaporisation du fréon : L = 30 kJ.kg -1 à 310 K.
-1
-1
 Capacité thermique molaire à pression constante du fréon gazeux : Cp = 49,9 J.K .mol .
 Rapport des capacités thermiques molaires à pression constante et à volume constant du fréon gazeux :
 = Cp = 1,2.
Cv
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-1
-1
 Constante d'état des gaz parfaits :
R = 8,32 J.K .mol .
 Au point 1 le fréon est totalement gazeux :
P1 = 1,9  105 Pa
 Au point 2 le fréon est totalement gazeux :
P2 = 8,5  105 Pa
 Au point 3 le fréon est totalement liquide :
P3 = P2
 Au point 4 le fréon est partiellement gazeux : P4 = P1
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; T1 = 272 K.
; T 2.
;T3 = 310 K.
; T 4.
1) La masse de fréon circulant en un point du circuit en une minute est m = 2,25 kg.
a) En déduire que le nombre de moles de fréon passant en un poi nt du circuit en une minute est n = 18,6.
b) Quel volume V 1 ces n moles de fréon occupent -elles à l'état gazeux sous la pression P 1 = 1,9  105 Pa et à la température
de T 1 = 272 K ? On exprimera le résultat en litres.
2) On suppose que la transformati on réalisée dans le compresseur est adiabatique et réversible. Calculer, en litres, le
volume V 2 occupé par ces n moles de fréon à la pression P 2. En déduire que T 2 est égale à 349 K. On rappelle que
pour une transformation adiabatique réversible d’un gaz parfait :


P1.V1 = P2.V2
3) Dans le condenseur, le fréon subit un refroidissement à l'état gazeux de T 2 à T 3, puis une liquéfaction à la
température T 3.
a) Calculer la quantité de chaleur Q a échangée par le fréon gazeux, en une minute, lors de son refroi dissement de T 2 à
T3 . (Préciser le signe de Q a)
b) Calculer la quantité de chaleur Q b échangée par le fréon, en une minute, lors de sa liquéfaction totale. (Préciser le
signe de Q b).
On rappelle que la chaleur latente massique de vaporisation du fréon est L = 130 kJ.kg-1 à 310 K.
c) En déduire la quantité de chaleur Q 23 échangée par le fréon, en une minute, dans le condenseur pour son
refroidissement et sa liquéfaction.
d) Quel est le signe de Q 23 ? Que représente ce signe ?
4) Dans l'évaporateur, la valeur algébrique de quantité de chaleur Q 41 reçue par le fréon, en une minute, est Q 41 = 240
kJ. En déduire le débit maximal de l'eau, si l'on veut abaisser la température de celle -ci de 5,0 ° C. On exprimera ce
débit en litres par minute.
On donne : capacité thermique massique de l'eau : c eau = 4180 J.K -1.kg-1
Exercice 12 : BTS Maintenance 1998, Nouméa.
On considère une enceinte calorifugée dans laquelle l’une des parois est un piston. L’ensemble permet d’isoler n moles d’un
gaz assimilé à un gaz parfait. Un thermomètre et un capteur de pression (de capacités thermiques négligeables) sont montés sur
l’enceinte. Le piston est mobile. Un asservissement de pression (non représenté) assure une pression P constante dans
l’enceinte.
Une résistance chauffante R 0 = 100 de capacité thermique également négligeable est disposée à l’intérieur de l’enceinte. Elle
est alimentée par un générateur maintenant une tension fixe U = 20V entre ses bornes. Dans tout le problème, R 0 est supposée
constante.
Le schéma du dispositif est représenté figure 1 (voir annexe).
On donne :
T1 = 298 K (température initiale du gaz de l’enceinte)
P = 6,2  105 Pa (pression initiale du gaz de l’enceinte)
R = 8,31 J.mol -1.K-1 (constante du gaz parfait)
n = 1,0 mole
1) Calculer le volume V1 occu pé initialement par le gaz.
2) On ferme l’interrupteur K pendant une durée t = 9,0 min.
2.1. Calculer l’intensité du courant dans le circuit électrique
2.2. Calculer l’énergie calorifique Q obtenue par effet Joule.
2.3. On admet que cette énergie Q est intég ralement reçue par le gaz dont la température devient alors T 2 = 373K.
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2.3.1. Déterminer C p, capacité thermique molaire du gaz, à pression constante.
2.3.2. Calculer le volume V 2 du gaz.
3) Etude du travail reçu par le gaz.
3.1. Donner l’expression du travai l W reçu par le gaz quand il passe de l’état 1 caractérisé par (P, V 1, T1) à l’état 2
caractérisé par (P, V 2, T2).
3.2. Calculer la valeur numérique de W.
3.3. Préciser si le travail est moteur ou résistant.
4) Calculer la variation d’énergie interne U12 du gaz quand il passe de l’état 1 à l’état 2. En déduire la capacité thermique molaire
du gaz à volume constant C v
ANNEXE
T
P
Parois
calorifugée
Figure 1
Piston réglant la pression
Ro
U
K
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