TRIANGLES - euclides.fr

TRIANGLES
LES CÔT ÉS D'UN TRIANGLE
1. L'inégalité triangulaire. Étant donnés trois points A, B et C, puisque le chemin le plus
court entre deux points est la ligne droite, le segment [AB] est plus court que tout autre ligne
joignant A et B et en particulier celle formée des deux segments [AC] et [CB] :
Si A, B, C non alignés alors AB < AC + CB Si A, B, C alignés et C [AB] alors AB < AC + CB Si C [AB] alors AB = AC + CB
Nous pouvons résumer ces trois situations en une seule AB ≤ AC + CB. Cette inégalité est appelé
inégalité triangulaire. Si dans l'inégalité triangulaire on retranche CB dans chaque membre alors on
obtient une nouvelle inégalité AB  CB ≤ AC. Ces inégalités signifient que :
2. Propriété des côtés d'un triangle. Un côté quelconque d'un triangle est plus petit
que la somme des deux autres. Un côté quelconque d'un triangle est plus grand que la
différence des deux autres.
3. Construire un triangle de longueurs données. Nous allons maintenant établir
un critère permettant répondre au problème suivant : « Trois longueurs étant données, est-il possible de
construire un triangle dont les côtés mesurent ces longueurs données ? ». Soient trois longueurs a, b et c
rangées dans l'ordre croissant a ≤ b ≤ c. Remarquons que l'on a nécessairement a ≤ b + c et b ≤ a + c.
Par suite, si nous comparons la plus grande longueur c à la somme a + b des deux autres, nous
saurons si le triangle peut être construit :
Si c ≤ a + b alors a, b et c sont les longueurs des côtés d'un triangle.
Si c > a + b alors a, b et c ne sont les longueurs des côtés d'aucun triangle.
4. Exemples. 1°) Peut-on construire le triangle ABC avec : AB = 3 cm, AC = 7 cm, BC = 8 cm ?
Comparons le plus grand côté avec la somme des deux autres : BC < AB + AC car 8 < 3 + 7 ; on peut
donc construire ce triangle ABC.
2°) Peut-on construire le triangle ABC avec : AB = 4 cm, AC = 6 cm, BC = 12 cm ?
Comparons le plus grand côté avec la somme des deux autres : BC > AB + AC car 12 > 4 + 6 ; on ne
peut pas donc construire ce triangle ABC.
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LES ANGLES D'UN TRIANGLE
5. Propriété des angles d'un triangle. Les trois angles d'un triangle sont
supplémentaires.
6. Démonstration. Soit ABC un triangle, et soit (xy) la droite parallèle à (BC) passant par le
point A. Les angles
̂
ABC
et
̂
xAB
sont alternes-
internes, or si deux droites coupées par un sécantes sont
parallèles entre elles alors les angles alternes-internes qu'elles
déterminent sont égaux, donc on a
̂
ABC
=
̂
xAB
. De
même
̂
ACB
=
̂
yAC
.
D'autre part les angles
̂
xAB
,
̂
BAC
et
̂
yAC
sont
supplémentaires, on en déduit donc que les angles du
triangle
̂
ABC
,
̂
BAC
et
̂
ACB
sont supplémentaires.
CONSTRUCTION D'UN TRIANGLE
Un triangle comporte six grandeurs, trois longueurs et trois angles. Il n'est pas nécessaire de
connaître ces six grandeurs pour le construire, trois grandeurs suffisent :
7. Les trois côtés sont donnés. Construire le triangle ABC avec : AB = 10 cm ;
AC = 7 cm ; BC = 6 cm.
- Tracer l'un des côtés, par exemple [AB].
- Tracer un arc de cercle de centre A et de rayon 7 cm.
- Tracer un arc de cercle de centre B et de rayon 6 cm.
- Placer C à l'intersection des deux arcs de cercle.
- Tracer les côtés [AC] et [BC].
On conservera les deux arcs de cercle comme preuve.
On codera les trois données.
8. Deux côtés et l'angle compris entre ces côtés sont donnés. Construire le
triangle ABC avec : AB = 10 cm ; AC = 7 cm ;
̂
BAC
= 57°.
- Tracer l'un des côtés, par exemple [AB].
- Tracer un angle
̂
BAx
= 57°.
- Placer le point C sur [Ax) à 7 cm du point A.
- Tracer le côté [BC].
On conservera la demi-droite comme preuve.
On codera les trois données.
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9. Un côté et les angles aux extrémités de ce côté sont donnés. Construire le
triangle ABC avec : AB = 10 cm ;
̂
ABC
= 40° ;
̂
BAC
= 70°.
- Tracer le côté [AB].
- Tracer un angle
̂
ABx
= 40°.
- Tracer l'angle
̂
BAy
= 70°.
- Placer le point C à l'intersection des demi-droites.
On conservera les demi-droites comme preuve.
On codera les trois données.
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NOTES COMPLEMENTAIRES
Démontrer l'inégalité triangulaire
Nous avons simplement justifié l'inégalité triangulaire par le principe de la plus courte distance entre
deux points. Cette justification se retrouve dans un grand nombre de manuels de géométrie
élémentaire, citons :
● La Caille, Leçons élémentaires de mathématiques, Paris, 1744.
● Mauduit, Leçons de géométrie, Paris, 1790.
● Legendre, É léments de géométrie, Paris, 1808.
● Rouché, Comberousse, Traité de géométrie élémentaire, Paris, 1864.
● Bos, Géométrie élémentaire, Paris, 1875.
Euclide en propose dans ses Éléments, Livre I une démonstration utilisant les angles. Cette
démarche est reprise dans d'autres manuels, par exemples :
● Chailan, Géométrie à l'usage des élèves de l'enseignement secondaire, Paris, 1908.
● Hadamard, Leçons de géométrie élémentaire, Paris, 1906.
Voyons maintenant comment procède Euclide pour démontrer l'inégalité triangulaire :
Proposition XX. La somme de deux côtés quelconques d'un triangle est plus grande que le
côté restant.
Démonstration. Etant donné un triangle ABC, prolongeons le segment [BA] jusqu'au point D tel
que AD = AC. Le triangle ADC étant isocèle, ses angles à la
base
̂
ADC
et
̂
ACD
sont égaux (Proposition V). Or
̂
BCD
est plus grand que
̂
ACD
donc
̂
BCD
est plus grand que
̂
ADC
. Ainsi dans le triangle BCD, l'angle
̂
BCD
est plus
grand que
̂
BDC
. Et donc le côté [BD], qui sous-tend l'angle
le plus grand, est lui même plus grand que le côté [BC], qui
sous-tend l'angle le plus petit (Proposition XIX). On en déduit
que BA + AD ≥ BC. Enfin, AD étant égal à AC, il vient
l'inégalité triangulaire BA + AC ≥ BC. On démontrerais de
façon analogue que AB + BC ≥ AC et que AC + CB ≥ AB.
Proposition XIX. Si l'angle sous-tendu par un premier côté d'un triangle est plus grand (1)
que l'angle sous-tendu par un second côté alors le premier côté est plus grand que le second.
Démonstration. (Raisonnement par l'absurde) Supposons que dans le triangle ABC, l'angle
̂
ABC
soit plus grand que
̂
BCA
et que [AC] ne soit pas plus grand que [AB]. Ainsi :
Ou bien AC = AB, et dans ce cas les angles à la base
̂
ABC
et
̂
BCA
doivent être égaux
(Proposition V). Or
̂
ABC
est plus grand que
̂
BCA
, donc AC ≠ AB.
Ou bien AC < AB, et dans ce cas
̂
ABC
doit être plus petit que
̂
BCA
(Proposition XVIII). Or
̂
ABC
est plus grand que
̂
BCA
, donc AC < AB.
Finalement l'hypothèse [AC] ne soit pas plus grand que [AB] est absurde et donc [AC] est plus grand
que [AB].
1 Dans le sens de strictement plus grand.
― 4 ―
Figure 1

Proposition XVIII. Si un premier côté d'un triangle est plus grand qu'un second côté alors
l'angle sous-tendu par le premier côté est plus grand que l'angle sous-tendu par le second côté.
Démonstration. Supposons que dans le triangle ABC,
le côté [AB] soit plus grand que [AC]. Soit Dle point de
[AB] tel que AD = AC. L'angle extérieur
̂
ADC
du
triangle BCD est plus grand que l'angle intérieur et
opposé
̂
DBC
(Proposition XVI). Dans le triangle isocèle
ADC, les angles à la base
̂
ADC
et
̂
ACD
étant égaux
(Proposition V), on en déduit que
̂
ACD
est plus grand
que
̂
DBC
et donc que
̂
ACB
est beaucoup plus grand
que
̂
ABC
.
― 5 ―
Figure 3
Angles à la base
d'un triangle isocèle
(Proposition V)Angle extérieur
d'un triangle
(Proposition XVI)
Inégalité triangulaire
(Proposition XX = Propriété 1)
Côté plus grand
angle sous-tendu plus grand
(Proposition XVIII)
Angle sous-tendu plus grand
côté plus grand
(Proposition XIX = récip. XVIII)
Figure 2