Vecteurs et applications linéaires - Académie de Nancy-Metz

Vecteurs et applications lin´eaires
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1Familles de vecteurs de Rn
2Sous-espace vectoriels dans Rn
3Base d’un sous-espace vectoriel
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Plan
1Familles de vecteurs de Rn
2Sous-espace vectoriels dans Rn
3Base d’un sous-espace vectoriel
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D´ependance et ind´ependance
D´efinition
Soit (X1,X2,...,Xp)une famille finie de vecteurs de Rn.
On dit que la famille (X1,X2,...,Xp)est libre si et seulement si : Si il
existe λ1, . . . , λp∈Rtels que
λ1X1+· · · +λpXp= 0E
alors λ1=· · · =λp= 0.
Aucun vecteur de la famille n’est combinaison lin´eaire des autres (lorsque
p>2). Dans ce cas, on dit que les vecteurs de la famille sont
lin´eairement ind´ependants.
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D´efinition
On dit que la famille (X1,X2,...,Xp)est li´ee si et seulement s’il existe
des scalaires λ1, λ2, . . . , λp∈Rqui ne sont pas tous nuls tels que
λ1X1+· · · +λpXp= 0E
c’est-`a-dire si, et seulement si l’un au moins des vecteurs de la famille est
une combinaison lin´eaire des autres vecteurs de cette famille (lorsque
p>2).
Remarque: Si une famille est libre ou li´ee, il en est de mˆeme pour toutes
les familles obtenues par permutation de ses ´el´ements.
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