Théorie des nombres - cas particuliers du dernier théorème de Fermat

Louis Piolino, 3ms3
Sylvia Corral
Gymnase Auguste Piccard
le 8 novembre 2010
Théorie des nombres - cas particuliers du dernier
théorème de Fermat
[ 2 ] [ 3 ]
“J’ai trouvé une démonstration merveilleuse. L’étroitesse de la marge ne la contient pas.”
Pierre de Fermat

Sommaire
1. Introduction
2. Partie commune
3. Les cas n = 2 et 4 du théorème de Fermat
4. Conclusion.
1.Introduction
Un théorème sur la théorie des nombres... quelle idée étrange! C’est ce que je me suis
souvent répété durant ces neuf mois de travail. Sous ses airs de facilité, c’est un sujet difficile
à apprivoiser. En effet, sa particularité est d’utiliser les propriétés des nombres entiers ou
naturels, donc de retourner dans un monde sans décimales, comme au tout début de notre
apprentissage des mathématiques, dans notre enfance... De plus, les énoncés paraissent
souvent plutôt simples et peuvent être compris par des non mathématiciens. Or, retourner
utiliser des nombres entiers est très déstabilisant. C’est une habitude à prendre, qui au début
fait défaut.
Les principaux sujets sont les critères de divisibilité, l’étude des nombres premiers, des
diviseurs, des équations à coefficients entiers... On y trouve même des applications dans la
cryptographie ou pour la création d’un calendrier perpétuel par exemple.
Quand à mon travail, il fut de s’intéresser à des cas particuliers du dernier théorème de
Fermat, ce théorème fameux, qui a tenu les mathématiciens en haleine pendant plus de 300
ans. Ce travail se divise en deux parties : une première partie, commune avec les autres
étudiants ayant choisi la théorie des nombres, qui pose les bases de ce thèmes. On y verra
par exemple la relation de Bezout, l’indicateur d’Euler ou encore le petit théorème de Fermat.
Puis il y aura une partie personnelle sur l’étude du dernier théorème de Fermat.
Mais pour ne pas se trouver devant une impasse, cette partie est basée et totalement
inspirée d’un article sur ce théorème, paru dans le 22ème numéro de la revue “Quadratur”
paru en été 1995. L’article en question [ 1 ] est écrit par Robert Ferréol. Donc le défi majeur
de ce travail fut la traduction en langage simple de cet article adressé à un public compétent.
J’espère que cet effet est réussi!
2

2. Partie commune
Avant de nous attaquer au théorème de Fermat et à la démonstration de quelques uns de
ses cas particuliers, nous devons en premier introduire quelques concepts et outils de base
de la théorie des nombres.
Voici les principaux ensembles de nombres. Ils servent à les classer, mais ils sont aussi très
utiles pour démontrer certains théorèmes, qui ne sont valables que dans certains de ces
ensembles :
N = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... } les nombres naturels
Z = { ... ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; ... } les nombres entiers (relatifs)
Q = { 3/4 ; -1/2 ; 0 ; 4 ; 13/12 ; ... } les nombres rationnels. Ce sont les nombres qui
peuvent s’écrire sous la forme d’une fraction.
R = les nombres réels. Ils contiennent en plus les nombres ayant un nombre de décimales
infini et non périodique tels que π , ϕ ou √ . Ces nombres ne peuvent pas être écrits
sous forme de racines.
C = les nombres complexes Cet ensemble contient des nombres imaginaires, qui sont en
fait des combinaison linéaires de 1 et √". Ces nombres permettent de résoudre
certaines équations
On peut représenter ces ensembles sous la forme d’un diagramme :
Nous pouvons ainsi remarquer que certains ensembles, par exemple Z , englobent
d’autres ensembles, ici N . Nous pouvons donc dire que les nombres naturels sont
des nombres entiers particuliers.
3
2
-1
N
Z Q
R
C

Voici quelques principes algébriques de base sur N :
E₁ : N est un ensemble non vide.
E₂ : tout nombre naturel a un successeur.
E₃ : toute partie non vide de N contient un premier élément ( le plus petit élément ). C’est le
principe de bon ordre.
Etudions maintenant une méthode de démonstration appelée Principe de récurrence. Elle
s’utilise par exemple lorsqu’on veut démontrer une formule valable pour tout n naturel.
Ce type de démonstration comprend deux parties :
➀ Le point d’ancrage : on vérifie la formule pour le plus petit n.
➁ L’argument : on suppose la formule vraie pour n et on montre qu’elle l’est toujours pour
n + 1.
Exemples :
Voici une formule qui dit que :
n ( n + 1 )
1 + 2 + 3 + ...... + n = !!!!
2
Nous allons la démontrer grâce à la méthode de récurrence.
➀ Point d’ancrage :
Prouvons que la formule est possible pour le plus petit n possible.
1 ( 1 + 1)
n = 1 1 = !!!! ok !
2
➁ Argument :
n ( n + 1 )
Voici l’hypothèse de départ : 1 + 2 + ...... + n = !!!!
2
Et voici la conclusion à laquelle nous voulons arriver :
( n + 1 ) ( n + 2 )
1 + 2 + ...... n + ( n + 1 ) = !!!!!!!!
2
4

n ( n + 1 ) n ( n + 1 ) + 2 ( n + 1 ) ( n + 1 ) ( n + 2 )
1 + 2 + ..... + n + n + 1 = !!!! + n + 1 = !!!!!!!!!! = !!!!!!!
2 2 2
Démontrons une autre formule avec la même méthode :
n ( n + 1 ) ( 2n + 1)
1² + 2² + ..... + n² = !!!!!!!!
6
➀ Point d’ancrage :
1·2·3
n = 1 1² = !!! ok!
6
n ( n + 1 ) ( 2n + 1 )
➁ Hypothèse : 1² + 2² + ..... + n² = !!!!!!!!!
6
( n + 1 ) ( n + 2 ) ( 2n + 3 )
Conclusion : 1² + 2² + ..... + n + ( n + 1 )² = !!!!!!!!!!!
6
Preuve : en utilisant l’hypothèse et en l’additionnant de ( n + 1 )², on obtient :
n ( n + 1 ) ( 2n + 1 )
1² + 2² + ..... + n² + ( n + 1 )² = !!!!!!!!! + ( n + 1 )²
6
n ( n + 1 ) ( 2n + 1 ) + 6 ( n + 1 )² ( n + 1 ) [n ( 2n + 1 ) + 6 ( n + 1 )]
= !!!!!!!!!!!!!! = !!!!!!!!!!!!!!!
6 6
( n + 1 ) ( 2n² + 7n + 6 ) ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( 2n + 3 )
= !!!!!!!!!! = !!!!!!!!!!!!
6 6
Nous allons regarder de plus près le plus grand diviseur commun ou PGDC. Pour une
meilleure compréhension, nous commencerons par introduire sa notation, quelques
exemples et propriétés. Puis une définition suivra un peu plus loin dans le texte.
5
n ( n + 1 )
par l’hypothèse : = !!!!
2