Théorie des nombres - cas particuliers du dernier théorème de Fermat

Louis Piolino, 3ms3
Sylvia Corral
Gymnase Auguste Piccard
le 8 novembre 2010
Théorie des nombres - cas particuliers du dernier
théorème de Fermat
[2]
[3]
“J’ai trouvé une démonstration merveilleuse. L’étroitesse de la marge ne la contient pas.”
Pierre de Fermat
Sommaire
1. Introduction
2. Partie commune
3. Les cas n = 2 et 4 du théorème de Fermat
4. Conclusion.
1.Introduction
Un théorème sur la théorie des nombres... quelle idée étrange! C’est ce que je me suis
souvent répété durant ces neuf mois de travail. Sous ses airs de facilité, c’est un sujet difficile
à apprivoiser. En effet, sa particularité est d’utiliser les propriétés des nombres entiers ou
naturels, donc de retourner dans un monde sans décimales, comme au tout début de notre
apprentissage des mathématiques, dans notre enfance... De plus, les énoncés paraissent
souvent plutôt simples et peuvent être compris par des non mathématiciens. Or, retourner
utiliser des nombres entiers est très déstabilisant. C’est une habitude à prendre, qui au début
fait défaut.
Les principaux sujets sont les critères de divisibilité, l’étude des nombres premiers, des
diviseurs, des équations à coefficients entiers... On y trouve même des applications dans la
cryptographie ou pour la création d’un calendrier perpétuel par exemple.
Quand à mon travail, il fut de s’intéresser à des cas particuliers du dernier théorème de
Fermat, ce théorème fameux, qui a tenu les mathématiciens en haleine pendant plus de 300
ans. Ce travail se divise en deux parties : une première partie, commune avec les autres
étudiants ayant choisi la théorie des nombres, qui pose les bases de ce thèmes. On y verra
par exemple la relation de Bezout, l’indicateur d’Euler ou encore le petit théorème de Fermat.
Puis il y aura une partie personnelle sur l’étude du dernier théorème de Fermat.
Mais pour ne pas se trouver devant une impasse, cette partie est basée et totalement
inspirée d’un article sur ce théorème, paru dans le 22ème numéro de la revue “Quadratur”
paru en été 1995. L’article en question [ 1 ] est écrit par Robert Ferréol. Donc le défi majeur
de ce travail fut la traduction en langage simple de cet article adressé à un public compétent.
J’espère que cet effet est réussi!
2
2. Partie commune
Avant de nous attaquer au théorème de Fermat et à la démonstration de quelques uns de
ses cas particuliers, nous devons en premier introduire quelques concepts et outils de base
de la théorie des nombres.
Voici les principaux ensembles de nombres. Ils servent à les classer, mais ils sont aussi très
utiles pour démontrer certains théorèmes, qui ne sont valables que dans certains de ces
ensembles :
N = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... } les nombres naturels
Z = { ... ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; ... } les nombres entiers (relatifs)
Q = { 3/4 ; -1/2 ; 0 ; 4 ; 13/12 ; ... } les nombres rationnels. Ce sont les nombres qui
peuvent s’écrire sous la forme d’une fraction.
R = les nombres réels. Ils contiennent en plus les nombres ayant un nombre de décimales
2 . Ces nombres ne peuvent pas être écrits
infini et non périodique tels que π , ϕ ou √
sous forme de racines.
C = les nombres complexes Cet ensemble contient des nombres imaginaires, qui sont en
fait des combinaison linéaires de 1 et √ -1 . Ces nombres permettent de résoudre
certaines équations
On peut représenter ces ensembles sous la forme d’un diagramme :
N
Z
Q
R
C
Nous pouvons ainsi remarquer que certains ensembles, par exemple Z , englobent
d’autres ensembles, ici N . Nous pouvons donc dire que les nombres naturels sont
des nombres entiers particuliers.
3
Voici quelques principes algébriques de base sur N :
E₁ : N est un ensemble non vide.
E₂ : tout nombre naturel a un successeur.
E₃ : toute partie non vide de N contient un premier élément ( le plus petit élément ). C’est le
principe de bon ordre.
Etudions maintenant une méthode de démonstration appelée Principe de récurrence. Elle
s’utilise par exemple lorsqu’on veut démontrer une formule valable pour tout n naturel.
Ce type de démonstration comprend deux parties :
➀ Le point d’ancrage : on vérifie la formule pour le plus petit n.
➁ L’argument : on suppose la formule vraie pour n et on montre qu’elle l’est toujours pour
n + 1.
Exemples :
Voici une formule qui dit que :
n(n+1)
1 + 2 + 3 + ...... + n = ⎯⎯⎯⎯
2
Nous allons la démontrer grâce à la méthode de récurrence.
➀ Point d’ancrage :
Prouvons que la formule est possible pour le plus petit n possible.
n=1
1 ( 1 + 1)
1 = ⎯⎯⎯⎯
2
ok !
➁ Argument :
n(n+1)
Voici l’hypothèse de départ : 1 + 2 + ...... + n = ⎯⎯⎯⎯
2
Et voici la conclusion à laquelle nous voulons arriver :
(n+1) (n+2)
1 + 2 + ...... n + ( n + 1 ) = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2
4
n(n+1)
n(n+1)+2(n+1)
(n+1)(n+2)
1 + 2 + ..... + n + n + 1 = ⎯⎯⎯⎯ + n + 1 = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2
2
2
n(n+1)
par l’hypothèse : = ⎯⎯⎯⎯
2
Démontrons une autre formule avec la même méthode :
n ( n + 1 ) ( 2n + 1)
1² + 2² + ..... + n² = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
6
➀ Point d’ancrage :
n=1
1·2·3
1² = ⎯⎯⎯
6
ok!
n ( n + 1 ) ( 2n + 1 )
➁ Hypothèse : 1² + 2² + ..... + n² = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
6
( n + 1 ) ( n + 2 ) ( 2n + 3 )
Conclusion : 1² + 2² + ..... + n + ( n + 1 )² = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
6
Preuve : en utilisant l’hypothèse et en l’additionnant de ( n + 1 )², on obtient :
n ( n + 1 ) ( 2n + 1 )
1² + 2² + ..... + n² + ( n + 1 )² = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ( n + 1 )²
6
n ( n + 1 ) ( 2n + 1 ) + 6 ( n + 1 )²
( n + 1 ) [n ( 2n + 1 ) + 6 ( n + 1 )]
= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
6
6
( n + 1 ) ( 2n² + 7n + 6 )
( n + 1 ) ( n + 2 ) ( 2n + 3 )
= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
6
6
Nous allons regarder de plus près le plus grand diviseur commun ou PGDC. Pour une
meilleure compréhension, nous commencerons par introduire sa notation, quelques
exemples et propriétés. Puis une définition suivra un peu plus loin dans le texte.
5
Notation : soit a, b ∈ Z
on écrit a b
Exemples : 6
si a divise b. Autrement dit, si b = a ⋄ x
pour un certain x ∈ Z .
24
3
9
mais 2
3 est faux, car 2 ne divise pas 3.
Voici quelques propriétés de base :
P₁ : 1
r
∀r∈Z
P₂ : s
0
∀ s ∈ Z*
P₃ : Si a
b et a
car r = 1 ⋄ r
car 0 = s ⋄ 0
c , alors a
(b±c)
Démonstration : on a b = a ⋄ x
et
c=a⋄y
Il est dès lors évident que b ± c = ax ± ay = a ( x ± y )
D’où
P₄ : Soit
a
(b±c)
x+y=z
Si a divise deux nombres parmi x, y, z, alors il divise nécessairement le troisième.
En effet, si a
x et a
y , alors, par P₃ a
(x+y)
ce qui est égal à z
Et si a
x et a
Enfin si a
z , alors a
y et a
(z-x)
z , alors a
(z-y)
ce qui est égal à y
ce qui est égal à x
Passons maintenant à la définition du plus grand diviseur commun.
Soit a, b ∈ N ( a < b )
On considère l’ensemble des diviseurs communs à a et b , que l’on nomme E . 1 ∈ E
Tous les éléments de E sont inférieurs ou égaux à a . E possède donc un élément maximal,
que l’on nomme pgdc de a et b . On le note pgdc ( a ; b ) ou ( a ; b )
Exemple : Prenons a = 6 et b = 27
E = {1 ; 3}
( a ; b ) est alors égal à 3
6
Nous allons introduire la notion de nombres qui sont premiers entre eux ou relativement
premiers. En effet, ces deux nombres sont premiers entre eux s’il n’ont qu’un seul diviseur
commun, 1 . Ou pour définir cette notion différemment, a et b sont premiers entre eux si
(a;b)=1.
Exemples : 2 et 3 sont premiers entre eux, car ( 2 ; 3 ) = 1
4 et 9 sont premiers entre eux, car ( 4 ; 9 ) = 1
8 et 15 sont également premiers entre eux, car ( 8 ; 15 ) = 1
Voici quelques propriétés :
P₅ : Si a et b sont consécutifs, ils sont premiers entre eux.
Démonstration :
b=a+1
Posons c = ( b ; a ) = ( a + 1 ; a )
Alors c a et c ( a + 1 )
Donc
c
( a +1- a )
Enfin
c
1 d’où c = 1
P₆ : Si d = ( a ; b ) , alors ( a / d ; b / d ) = 1
Exemple : a = 24 b = 132
On a d = 12
Nous avons alors 24 / 12 = 2 et 132 / 12 = 11
2 et 11 sont premiers entre eux.
Démonstration : on pose c = ( a / d ; b / d )
c a / d nous pouvons donc dire que a / d = cx
c
b / d nous pouvons donc dire que b / d = cy
Donc a = cdx et b = cdy , alors cd est un diviseur commun à a et b .
Vu que d est le pgdc de a et b , alors cd ≤ d , ce qui équivaut à c ≤ 1 .
Donc c = 1
Nous allons aborder la division euclidienne dans les prochaines lignes.
En premier lieu, nous allons présenter brièvement les éléments de la division Euclidienne.
Soit a, b ∈ N avec b ≠ 0
Il existe deux nombres q et r tels que a = b ⋄ q + r et 0 ≤ r < b
7
En voici un exemple : a = 78 b = 15
78 = 15 ⋄ 5 + 3
a
b
q
on a bien 3 < 15
r
a s’appelle le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste.
Maintenant nous allons donner une définition abstraite de la division euclidienne :
Soit a , b ∈ N b ≠ 0
Considérons l’ensemble R = { a ; a - b ; a - 2b ; ..... ; a - q b }
R est non-vide ( il contient a ).
Par E₃ , R contient un plus petit élément. On le nomme r. ➀
avec R ⊂ N
On doit montrer deux choses :
1. 0 ≤ r < b
2. q et r sont uniques .
Démonstration :
1. Nous allons le prouver par l’absurde :
On suppose le contraire : r ≥ b
On a alors r = b + r₀ avec r₀ qui est un entier inférieur à r . ➁
On peut donc écrire les égalités suivantes a = b·q + r
a = b·q + b + r₀
a = b·( q + 1 ) + r₀
a - b ( q + 1 ) = r₀
Il est alors évident que r₀ appartient à R .
De plus, comme r est le plus petit élément de R r₀ ≥ r ( voir ➀ )
Mais par ➁
r₀ < r ( par ➀ )
C’est absurde!
r est donc inférieur à b .
2. On suppose par l’absurde qu’il existe deux paires différentes ( q₁ , r₁ ) et (q₂ , r₂ ) .
On a a = b·q₁ + r₁ et a = b·q₂ + r₂
0 ≤ r₁ < b
0 ≤ r₂ < b
On a donc bq₁ + r₁ = bq₂ + r₂
Si on suppose que r₂ ≥ r₁ , on a b ( q₁ - q₂ ) = r₂ - r₁
Comme nous travaillons dans N , r₂ - r₁ est compris entre 0 et b-1 .
r₂ - r₁ est inférieur à b et un multiple de b.
C’est à dire que
D’où
r₂ - r₁ est nécessairement nul, donc r₂ = r₁
On a ainsi bq₁ = bq₂ qui équivaut à q₁ = q₂
Les deux paires sont en fait égales. C’est absurde!
8
Observons un autre exemple de division euclidienne.
a = 3 et b = 7
q=0
r=3
3 = 0 ·7 + 3
Pour cet exemple, a est inférieur à b . Nous voyons ainsi que le diviseur peut très bien
être supérieur au dividende. De plus, nous voyons bien que le reste est inférieur au diviseur et
que ces deux termes sont uniques.
Regardons maintenant une propriété qui relie la division euclidienne et le PGDC.
P₆ : Soit a , b ∈ N avec b ≠ 0
On applique la division euclidienne : a = b⋄q + r
Alors pgdc ( a ; b ) = pgdc ( b ; r )
avec r < b
Démonstration :
On montre que a ; b et b ; r ont les mêmes diviseurs communs.
Soit x un diviseur commun à a et b .
r = a - bq
r est divisible par x
divisibles par x
x est aussi un diviseur commun à b et à r .
Soit y un diviseur commun à r et b .
a = bq + r
a est divisible par y .
divisibles par y
y est un diviseur commun à a et b .
a ; b et b ; r ont donc exactement les mêmes diviseurs ; leurs pgdc sont alors identiques.
Cette propriété est très intéressante. Nous allons étudier une de ses application possible.
En effet, elle nous permettra de trouver le pgdc de deux nombres très grands.
1 : Calculons le pgdc de 72 et 20 .
72 = 20 ⋄ 3 + 12
( 72 ; 20 )
20 = 12 ⋄ 1 + 8
( 20 ; 12 )
12 = 8 ⋄ 1 + 4
( 12 ; 8 )
8 =4⋄2+0
(8;4)
Tous ces pgdc sont donc égaux ; celui que nous recherchons est le dernier des restes
non nul, ce qui équivaut à dire que 4 est le pgdc de 72 et 20 .
9
2 : Calculons maintenant le pgdc de 728 et 2049 .
2049 = 728 ⋄ 2 + 593
( 2049 ; 728 )
728 = 593 ⋄ 1 + 135
( 728 ; 593 )
593 = 135 ⋄ 4 + 53
( 593 ; 135 )
135 = 53 ⋄ 2 + 29
( 135 ; 53 )
53 = 29 ⋄ 1 + 24
( 53 ; 29 )
29 = 24 ⋄ 1 + 5
( 29 ; 24 )
24 = 5 ⋄ 4 + 4
( 24 ; 5 )
5 = 4⋄1+1
(5;4)
4 =1⋄4+0
Tous ces pgdc sont donc égaux ; celui que nous recherchons est le dernier des restes
non nul, ce qui équivaut à dire que 1 est le pgdc de 2049 et 728 .
En reprenant P₆, on peut en tirer la relation de Bezout. Cette relation dit qu’en prenant
l’algorithme de P₆ à l’envers, on peut exprimer le pgdc ( a ; b ) comme une combinaison
linéaire de a et b .
E₄ : Soit a , b ∈ N
et d = ( a ; b )
Alors il existe x , y ∈ Z tels que a x + b y = d
Exemple : calculons le pgdc de ( 16 ; 26 )
26 = 16·1 + 10
16 = 10·1 + 6
10 = 6·1 + 4
6 = 4·1 + 2
4 = 2·2 + 0
2 est donc le pgdc de ( 16 : 26 ) . Si on remonte cet algorithme à l’envers, on va avoir la
relation de Bezout.
Tout d’abord : 2 = 6 - 4·1 = 6 - ( 10 - 6·1 ) = 2·6 - 10
Si on continue : 2 = 2·( 16 - 10 ) - 10 = 2·16 - 3·10
Puis :
2 = 2·16 - 3·(26 - 16 )
D’où :
2 = 5·16 - 3·26
a
x = 5 et
10
b
y = ( -3 )
Attention! La réciproque est bien évidemment fausse! Si on a a x + b y = d , alors d n’est
pas nécessairement le pgdc de a et b !
Exemple : a = 16 et b = 26
1·16 + 2·26 = 68
68 n’est évidemment pas le pgdc de ( 16 ; 26 )
Par contre, on a le résultat suivant :
E₅ : Soit a , b ∈ N et d , un diviseur commun de a et b .
Alors si a x + b y = d avec x , y ∈ Z
On a d = pgdc ( a ; b )
Démonstration : on pose c = ( a ; b )
on a
a = c a’ et b = c b’
La relation a x + b y = d devient c a’ x + c b’ y = d
ce qui équivaut à c ( a’x + b’y ) = d
ainsi c d donc c ≤ d
d’où c = d
Nous pouvons maintenant poser le corollaire suivant.
C₁ : Soit a , b ∈ N et x , y ∈ Z tels que a x + b y = 1
Alors ( a ; b ) = 1
Démonstration : on pose q = ( a ; b )
on a alors a = q a’
et
b = q b’
La relation a x + b y = 1 devient alors q a’x + q b’ y = 1
Ce qui équivaut à q ( a’ x + q b’ ) = 1
Donc q 1 ainsi q ≤ 1
Nous pouvons donc dire que q = 1 .
En fait, la relation de Bezout a une propriété particulière.
P₇ : si d = ( a ; b ) , il existe x , y ∈ Z PREMIERS ENTRE EUX , tels que a x + b y = d .
Démonstration : Soit u , un diviseur commun de x et y positif.
A voir : u = 1
Nous avons donc x = u x’ et
y = u y’
La relation a x + b y = d devient a u x’ + b u y’ = d
Nous avons aussi a = d a’ et b = d b’
Nous avons donc la relation suivante d a’u x’+ d b’u y’= d
Puis, si nous divisons tout par d :
a’u x’ + b’u y’ = 1
Ce qui équivaut à :
u ( a’x’+ b’y’) = 1
Ainsi, u 1. Ceci est uniquement possible si u = 1 .
11
Grâce à la relation de Bezout, nous pouvons en déduire une autre propriété.
P₈ : Soit a , b ∈ N et d = ( a ; b ) . Alors d est divisible par tous les diviseurs communs de
a et b .
Démonstration : Soit c un diviseur commun de a et b .
A montrer : c d
c
c
a d’où a = c a’
b d’où b = c b’
La relation de Bezout nous dit qu’il existe x , y , ∈ Z avec a x + b y = d
D’où c a’x + c b’y = d qui équivaut à c ( a’x + b’y ) = d
On a bien c
d
Nous allons donner maintenant la définition d’un nombre premier. Un nombre positif est
donc dit premier s’il a exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.
Voici quelques exemples : 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , ...
Attention! 1 n’est pas premier!
Nous allons étudier le Lemme de Gauss.
L₁ : Si m
Exemple : 6
a b et m est premier à a , alors m
35·12
b
comme ( 6 ; 35 ) = 1 , alors 6 divise nécessairement 12 .
420
Démonstration : ( a ; m ) = 1
Par Bezout, on a la relation : a x + m y = 1 pour certain x , y , ∈ Z
Si on multiplie le tout par b , on obtient : a b x + m b y = b
Or, par hypothèse, m a b , donc a b = m z
On a maintenant : m z x + m b y = b
ce qui équivaut à : m ( z x + b y ) = b
m divise donc bien b .
Grâce au Lemme de Gauss, nous pouvons prouver le corollaire suivant.
C₂ : Soit p un nombre premier. S’il divise le produit de deux nombres, il divise
nécessairement au moins l’un d’entre eux.
Démonstration : Soit p un nombre premier, qui divise a b , mais pas b . Donc le pgdc de p
et b est 1 .
Par Bezout, on peut poser la relation suivante : p x + b y = 1 pour certain
x,y ∈Z
Si on multiplie la relation par a , elle deviendra : a p x + a b y = a .
Comme par hypothèse, p a b , alors a b = p z .
12
En le plaçant dans la relation, elle deviendra : a p x + p z y = a
Ou p ( a x + z y ) = a
Donc p divise bien a .
Cette démonstration est aussi valable si l’on remplace a par b et b par a .
Nous allons maintenant présenter et démontrer le 1er théorème d’Euclide.
T₁ : Soit p un nombre premier. Si p divise un produit de nombres entiers, alors il divise au
moins l’un d’entre eux.
Démonstration : Pour démontrer ce théorème, nous aurons besoin de la méthode de
récurrence sur le nombre n de facteurs.
➀ Point d’ancrage : nous avons déjà prouvé plus haut par C₂ pour le cas n = 2 .
➁ Hypothèse : si p divise le produit de n nombres, alors p divise au moins l’un de ces
nombres.
Conclusion : si p divise le produit de ( n + 1 ) nombres, alors p divise au moins l’un de
ces nombres.
Preuve : p
a₁ a₂ ....... a n a n + 1
A
p divise donc A·a n + 1 . Par hypothèse, p divise A ou a n + 1
Comme p divise a₁ a₂ ....... a n , par hypothèse, il divise aussi a₁ ou a₂ ou ....
ou a n + 1 .
Il existe en arithmétique quelques théorèmes fondamentaux. Nous allons en démontrer
un dans les lignes qui suivent.
T₂ : Tout nombre naturel (sauf 1) se décompose de manière unique en produit de nombres
premiers.
Démonstration : Supposons par l’absurde qu’il existe des nombres qui ont deux
factorisations différentes. L’ensemble de ces nombres est donc non vide, il
possède alors un plus petit élément qu’on nomme a .
p₁·p₂·.......·pr = a = q₁·q₂·....·q s
p₁ ≤ p₂ ≤ ....... ≤ p r
et
q₁ ≤ q₂ ≤ .... ≤ q s
De plus, tous les nombres p i et q i sont premiers.
Par exemple : 2·2·2·7·11·11
13
Si p₁ était égal à l’un des q j , on pourrait simplifier par p₁ et obtenir :
p₂·....·p r = q₁·.....·q j - 1 ·q j + 1 ·.....·qs
p₂·....·p r est maintenant plus petit que a .
p₂·....·p r et q₁·.....·q j - 1·q j + 1·.......·q s sont deux factorisations
distinctes du même nombre. Ceci est impossible puisque a et le plus petit
entier admettant deux factorisations distinctes. p₁ n’est donc pas égal à
l’un des q j , comme proposé plus haut.
Or, p₁
q₁·q₂·.....·q s forcément, car p₁ divise aussi a .
Par le 1er théorème d’Euclide, p₁ divise au moins l’un des nombres q₁ ,
s
q₂ , ..... , q donc p₁ = q₁ ou p₁ = q₂ ou ..... ou p₁ = q
s
C’est contradictoire! Le théorème est donc démontré.
Nous allons maintenant parler d’une propriété touchant la décomposition d’un nombre en
nombres premiers.
α₁
αr
P₉ : Soit x ∈ N et x = P₁ ·.....·Pr
sa décomposition en nombres premiers. Alors les
β₁
diviseurs de x sont de la forme : P₁ .... Pr β r
avec 0 ≤ β₁ ≤ α₁
.
.
.
.
0 ≤ βr ≤ α r
Exemple : 360 = 2³·3²·5
Les diviseurs de 360 sont : { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 9 ; 10 ; 12 ; 15 ; 18 ; 20 ; 24 ;
30 ; 36 ; 40 ; 45 ; 60 ; 72 ; 90 ; 120 ; 180 ; 360 }
Tous ces diviseurs sont de la forme : 2 ≤3· 3 ≤2·5 ≤1
En particulier, on voit qu’il y a 4·3·2 diviseurs.
Voici un autre théorème fondamental de l’arithmétique.
T₃ : L’ensemble des nombres premiers est infini.
Démonstration : par l’absurde, on suppose qu’il y a un nombre fini de nombres premiers.
P₁ , P₂ , .... , P n
avec P₁ < P₂ < .... < Pn
Considérons le nombre x = P₁·P₂·......·P n+ 1
ce qui est équivalent à x - P₁·P₂·....·Pn = 1
➀
x > P₁·P₂·......·P n et P₁ divise P₁·P₂·......·Pn
Si P₁ divisait x , alors P₁ diviserait aussi 1 (voir ➀).
Ce qui est impossible. La même chose est valable pour P₂ , ... , P n . x
14
n’est divisible par aucun nombre premier. Il est donc lui même premier.
Mais alors x est à la fois premier et supérieur à tous les nombres
premiers. C’est absurde!
Nous allons à présent aborder une partie consacrée aux coefficients binomiaux.
Définissons avant cela une notion qui nous sera importante : la factorielle.
Soit n ∈ N* . On définit n ! = n·( n - 1 )·....·2·1
n ! se lit “n factorielle”.
Voici quelques exemples : 8 ! = 8·7·6·5·4·3·2·1 = 40 320
150 ! = 150·149·148·...·3·2·1
Pour des raisons pratiques, on définit 0 ! = 1
Définissons maintenant le coefficient binomial. Soit n , k ∈ N
⎛ n⎞
n!
On définit ⎜ ⎟ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎜ ⎟
k !·( n - k ) !
⎝ k ⎠
Voici quelques exemples : ⎛ 10
⎜
⎜
⎝ 4
avec k ≤ n .
c’est le coefficient binomial de n et k .
⎞
10 !
10 !
⎟ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯
⎟
⎠ 4 !·( 10 - 4 ) ! 4 !·6 !
⎛ 6⎞
6!
6!
⎜ ⎟ = ⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯ = 6
⎜ ⎟
5 !·( 6 - 5 ) ! 5 !·1 !
⎝ 5⎠
On peut en outre montrer que le coefficient binomial de n et k est toujours un nombre entier
et que :
P₁₀ :
⎛ n⎞
⎛ n⎞
⎛ n ⎞
n-1
n-2
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟ a¹ b n - 1 + b n
(a+b) =a +
a
b¹ +
a
b² + ..... + ⎜
⎜ 1⎟
⎜ 2⎟
⎜ n -1 ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝
⎠
avec a , b ∈ R
n
n
Cette propriété sert à calculer des identités algébriques. Voici quelques exemples :
⎛ 3⎞
⎛
⎜
⎟
( a + b ) ³ = a³ +
a² b + ⎜
⎜ 1⎟
⎜
⎝ ⎠
⎝
⎛4 ⎞
( a + b )⁴ = a⁴ + ⎜ ⎟ a³ b¹ +
⎜ ⎟
⎝ 1⎠
Voici une autre propriété :
3⎞
⎟
2⎟
⎠
⎛4
⎜
⎜
⎝2
a¹ b² + b³ = a³ + 3 a² b + 3 a b² + b³
⎞
⎟ a² b² +
⎟
⎠
⎛4
⎜
⎜
⎝ 3
⎞
⎟ a¹ b³ + b⁴ = a⁴+ 4a³b + 6a²b²+ 4ab³+ b⁴
⎟
⎠
P₁₁ : Si p est premier, alors nous aurons la relation ( a + b ) p = a p+ p·λ + b
avec λ un nombre entier et a , b ∈ Z .
Démonstration : Par P₁₀ , on a ( a + b )
15
p
qui est égal à
p
⎛p
⎜
(a+b) =a + ⎜
⎝1
⎞
⎛p⎞
⎛ p ⎞
⎟ p-1
⎜
⎟
⎟ a¹ b p - 1 + b p
p
2
b¹ + ⎜ ⎟ a
b² + ..... + ⎜⎜
⎟ a
⎟
⎠
⎝2 ⎠
⎝p -1 ⎠
comme a et b sont des entiers, les éléments du type a p - x b x sont forcément des entiers.
Ils feront partie de λ . Il faut maintenant prouver que les coefficients binomiaux de la formule
sont bien des multiples de p .
⎛p
⎜
⎜
⎝1
⎞
p!
p·( p - 1 )·( p - 2 )·...·2·1
⎟ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎟
1·( p - 1 )·( p - 2 )·...·2·1
⎠ 1 !·( p - 1 ) !
p!
⎛ p ⎞
⎜
⎟ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎜
⎟
⎝p - 1 ⎠ ( p - 1 ) ! ( p - ( p - 1 ) ) !
On peut maintenant simplifier,
on obtient alors p , ce qui est
bien un multiple de p .
C’est égal à la même chose qu’en-dessus, donc à p .
Il est ainsi facile de démontrer le théorème pour des cas particuliers, mais il faut maintenant le
faire avec un cas général.
p!
p·( p - 1 )·.....·( p - n )·( p - n - 1 )·....·2·1
⎛p⎞
⎜ ⎟ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎜n ⎟
n!(p-n)!
n ! ( p - n )·( p - n - 1 )·.....·2·1
⎝ ⎠
p·( p - 1 )·( p - 2 )·.....·( p - n + 1 )
On peut ainsi simplifier, ce qui nous donne ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
n!
Les nombres n , n - 1 , n - 2 , .... n’ont aucun facteur commun avec p et sont aussi plus
petits. En effet, p est un nombre premier qui est plus grand que n . On peut donc sortir p .
( p - 1 )·( p - 2 )·.....·( p - n + 1 )
On a donc un multiple de p de la forme p ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
n!
Le facteur de droite étant toujours entier, la propriété est donc vérifiée.
Nous abordons là une partie plus conséquente sur les congruences. Les congruences sont
aussi appelées modulo. Nous devons travailler dans Z . Voici la définition :
D₁ : Soit x ∈ Z et y ∈ N*
[ x ] est l’ensemble des nombres de la forme x ± un multiple de y .
y
Exemple : [ 0 ] = { .... ; -10 ; -5 ; 0 ; 5 ; 10 ; 15 ; 20 ; ... }
5
16
[ 1 ] = { .... ; -9 ; -4 ; 1 ; 6 ; 11 ; 16 ; .... }
5
[ 2 ] = { .... ; -8 ; -3 ; 2 ; 7 ; 12 ; 17 ; ... }
5
[ 3 ] = { .... ; -7 ; -2 ; 3 ; 8 ; ... }
5
[ 4 ] = { ... ; -6 ; -1 ; 4 ; 9 ; 14 ; ... }
5
Puis [ 0 ]
[1]
5
5
=[5]
=[6]
5
5
et [ 1 ] = [ 16 ]
5
5
On peut en fait décomposer Z en cinq groupes (on dit cinq classes) :
Z=[0] ∪ [1] ∪ [2] ∪ [3] ∪ [4]
5
5
5
5
5
4
Ou, écrit plus strictement : U
[x]
y
[i]
5
est la classe de x modulo y . Définissons la congruence.
D₂ : Soit a , b ∈ Z et m ∈ N*
On dit que a est congru à b modulo m si
On le note a ≡ b ( mod m )
[a]
m
=[b]
m
.
Voici quelques exemples :
1 . 3 ≡ 7 ( mod 4 )
en effet
[3]4=[7] 4
{ ... ; 3 ; 7 ; 11 ; 15 ; ... }
{ ... ; -1 ; 3 ; 7 ; 11 ; ... }
2 . 2 ≡ 11 ( mod 9 )
2 ≡ -7 ( mod 9 )
2 ≡ 20 ( mod 9 )
2 ≡ 92 ( mod 9 )
3 . -5 ≡ 10 ( mod 5 )
-5 ≡ 10 ( mod 15 )
-5 ≡ 10 ( mod 3 )
D₂ (suite ) : On peut dire que a et b sont congrus modulo m si pour passer de a à
b , on ajoute ou on soustrait un multiple de m.
Ou encore a ≡ b ( mod m ) si et seulement si a - b est un multiple de
m.
Etudions quelques propriétés des congruences.
17
P₁₂ : a ≡ a ( mod m )
Exemples : 3 ≡ 3 ( mod 26 )
et
24 ≡ 24 ( mod 128 )
P₁₃ : Si a ≡ b ( mod m ) , alors b ≡ a ( mod m )
Exemple : 12 ≡ 2 ( mod 10 ) , alors 2 ≡ 12 ( mod 10 )
P₁₄ : Si a ≡ b ( mod m ) et b ≡ c ( mod m ) , alors a ≡ c ( mod m )
Exemple : Si 4 ≡ 13 ( mod 3 ) , 13 ≡ 22 ( mod 3 ) , alors 4 ≡ 22 ( mod 3 )
Voici une autre série de propriétés, toujours à propos des congruences :
Si a ≡ b ( mod m ) et c ≡ d ( mod m )
P₁₅ : a ± c ≡ b ± d ( mod m )
P₁₆ : a·c ≡ b·d ( mod m )
n
n
P₁₇ : a ≡ b ( mod m )
Exemples : 3 ≡ 8 ( mod 5 )
14 ≡ -1 ( mod 5 )
Par P₁₅ : 3 + 14 ≡ 8 + ( -1 ) ( mod 5 )
D’où 17 ≡ 7 ( mod 5 )
Par P₁₆ : 3·14 ≡ 8·( -1 ) ( mod 5 )
D’où 42 ≡ -8 ( mod 5 )
Par P₁₇ : 3⁴ ≡ 8⁴ ( mod 5 )
D’où 81 ≡ 4096 ( mod 5 )
Mais encore, voici une application possible : écrire plus simplement 163 076¹³ en modulo 5.
163 076 ≡ 1 ( mod 5 )
Donc 163 076¹³ ≡ 1¹³ ( mod 5 ) ≡ 1 ( mod 5 )
Démontrons à présent les propriétés vues précédemment. Posons d’abord les premiers
éléments :
➀ a ≡ b ( mod m )
➁ c ≡ d ( mod m )
Démonstration de P₁₅ : On veut montrer que a ± c ≡ b ± d ( mod m )
➀ peut se traduire par b = a ± x m et ➁ par d = c ± y m
On met maintenant en relation ces deux traductions; cela donne
b±d=a±c±m(x±y)
m ( x ± y ) est un multiple de m
Donc la relation est équivalente à b ± d ≡ a ± c ( mod m )
18
Démonstration de P₁₆ : On veut prouver que a c ≡ b d ( mod m )
Posons les éléments précédents traduis ➀ b = (a + x m )
➁d=(c+ym)
Puis, multiplions ces deux éléments.
Cela donne b d = a c + a y m + c x m + x y m²
Ce qui est équivalent à b d = a c + m ( a y + c x + x y m )
Et donc aussi à a c ≡ b d ( mod m )
Démonstration de P₁₇ : On veut démontrer que a n ≡ b n ( mod m )
Posons a = a·a·.....·a
et
b = b·b·.....·b
Posons encore la relation a ≡ b ( mod m )
Par P₁₆ , nous avons montré que nous pouvions multiplier deux
congruences et que la relation fonctionnait toujours. Faisons la
même chose avec la relation ci-dessus.
Elle devient a² ≡ b² ( mod m )
Si on répète l’opération n
fois, on obtiendra le résultat recherché.
C’est à dire a n ≡ bn ( mod m )
Il existe un livre intitulé “Traité de mathématiques chinois en 9 sections”, écrit par Liu Hui
[ 6 ]. C’est le plus grand livre de mathématiques de Chine. Dans ce livre, nous trouvons un
lemme dit chinois. Il est posé à la manière d’une énigme de ce type - bien que le terme
oeuf doit venir de la traduction - qui peut être résolue grâce aux congruences. Il dit : Mon
panier est rempli de 100 oeufs au maximum. Si je le vide par 3 oeufs à la fois, il en reste 1
( ➀ ), si je le vide par 8 à la fois, il en reste 2 ( ➁ ) et si je le vide par 7 à la fois, il en reste 5
( ➂ ). Combien ai-je d’oeufs?
Résolvons cette énigme. Posons x , le nombre d’oeufs dans le panier.
Pour ➀ , x = 3 K₀ + 1
ou x ≡ 1 ( mod 3 )
Pour ➁ , il faut passer au modulo 8 .
x ≡ 2 ( mod 8 )
Donc, si on substitue x , cela donne
3 K₀ + 1 ≡ 2 ( mod 8 )
9 K₀ ≡ 3 ( mod 8 )
Multiplions notre relation par 3 et
égalons K₀ .
Or 9 ≡ 1 ( mod 8 )
Ainsi K₀ ≡ 3 ( mod 8 )
Ce qui est équivalent à K₀ = 8 K₁ + 3
On a donc x = 3 ( 8 K₁ + 3 ) + 1 qui est égal à x = 24 K₁ + 10
Pour ➂ , on calcule modulo 7 .
On a donc, si on substitue le x 24 K₁ + 10 ≡ 5 ( mod 7 )
Ce qui est équivalent à 24 K₁ ≡ -5 ( mod 7 )
19
et à 24 K₁ ≡ 2 ( mod 7 )
Comme 24 ≡ 3 ( mod 7 ) , on a 3 K₁ ≡ 2 ( mod 7 )
Qui, multiplié par 5 donne
15 K₁ ≡ 10 ( mod 7 )
Donc K₁ ≡ 3 ( mod 7 )
Ainsi K₁ = 7 K₂ + 3
x devient donc x = 24 ( 7 K₂ + 3 ) + 10 = 168 K₂ + 82
x peut donc être égal à { .. ; -86 ; 82 ; 250 ; ... } bref, un nombre
congru à 82 ( mod 168 ) . Comme notre panier ne peut pas avoir
plus de 100 oeufs, il en contient alors 82 .
Nous remarquons en outre que 168 est le résultat de la
multiplication des nombres 3 , 7 et 8 . Et en fait, ce qui est
important, c’est d’avoir les nombres 3 , 8 et 7 deux à deux premiers
entre eux.
Ce lemme chinois, si on le traduit en langage moderne, est en fait le théorème suivant.
T₄ : Soient m₁ , m₂ , .... , m k des nombres naturels deux à deux premiers entre eux. Et a₁ ,
a₂ , ... , a k des nombres naturels avec a₁ < m₁ , a₂ < m₂ , ... , a k < m k
Alors il existe un nombre naturel x tel que x ≡ a₁ ( mod m₁ ) , x ≡ a₂ ( mod
m₂ ) , ... , x ≡ a k ( mod m k ) . De plus, x est unique modulo m₁·m₂·....·m k .
Nous allons à l’instant parler de l’indicatrice d’Euler. Donnons d’abord une définition. Elle
est indiquée par la lettre φ . Soit n appartenant à N* . On définit φ ( n ) comme le
nombre d’entiers compris entre 1 et n - 1 qui sont premiers à n .
Voici quelques exemples :
1. n=5
1 , 2 , 3 , 4 sont premiers à 5 . Donc φ ( 5 ) = 4
2 . n = 10 1 , 3 , 7 , 9 sont premiers à 10 . Donc φ ( 10 ) = 4
3 . n = 20 1 , 3 , 7 , 9 , 11 , 13 , 17 , 19 sont premiers à 20 . Donc φ ( 20 ) = 8
Pour des raisons pratiques, on définit φ ( 1 ) = 1
Voici maintenant un théorème tiré du livre de Pierre Damphousse [ 7 ]. La démonstration,
qui prendrait trop de place et de temps ici s’y trouve p. 119 .
20
T₅ : Soit m et n ∈ N* . Si m , n , sont premiers entre eux, alors φ ( m·n ) = φ ( m )· φ ( n)
Voici un exemple : φ ( 4·5 ) = φ ( 4 )· φ ( 5 ) = 2·4 = 8
1 , 3 , 7 , 9 , 11 , 13 , 17 19 sont premiers à 20 , donc φ ( 20 ) est bien
égal à 8 .
On peut maintenant pousser plus loin ce théorème et en sortir une application qui nous sera
utile pour calculer φ de nombres très grands.
T₅ (suite) : Soit n ∈ N* et n = P₁ α₁·P₂ α₂·...·Pr α r sa décomposition en nombres
premiers. Alors φ ( n ) = φ ( P₁α₁)· φ ( P₂α₂ )·...· φ ( P α r )
Il suffit donc de calculer φ pour les puissances de nombres premiers.
Voici maintenant un lemme qui nous sera très util pour calculer φ de nombres premiers.
L₂ : Soit p un premier. Alors φ ( p ) = p - 1
Démonstration : Posons 1 , 2 , 3 , ... , p - 1
Ces nombres sont tous premiers à p , car p est un nombre premier.
Voici un exemple : φ ( 19 ) = 18 , car il y a 18 nombres qui sont premiers à 19 .
φ ( 29 ) = 28
Et voici maintenant un théorème qui va nous permettre de calculer φ de puissances de
nombres premiers très facilement.
T₆ : Soit p un premier. Alors φ ( pm ) = pm - p m - 1 = pm - 1 ( p - 1 )
Voici un exemple : 2⁴ = 16
donc φ ( 16 ) = 2⁴ - 2³ = 8
Regardons maintenant une autre méthode pour le calcul de φ qui nous
sera utile pour la démonstration du théorème.
Les nombres non premiers à 2⁴ sont 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14
1·2 , 2·2 , 3·2 , ....
Il y a donc 15 - 7 = 8 nombres compris entre 1 et 15 qui sont premiers
à 16 .
Démonstration : Nous reprenons ici la méthode citée ci-dessus mais pour le cas général.
On cherche les nombres compris entre 1 et P m - 1 qui ont un facteur
commun, différent de 1 , avec P m . Ce sont donc :
P , 2 P , 3 P , ... , ( p m - 1 - 1 ) P
Il y a donc P m - 1 - 1 nombres
dans cette liste.
Ainsi, les nombres premiers à P m compris entre 1 et P m-1 sont au
nombre de : P m - 1 - ( P m - 1 - 1 )
Ce qui est égal à P m- P
21
Si on place maintenant ce théorème dans T₅ , on obtient un théorème plus précis, un
complément de T₅ .
α₁
T₅ ( suite ) : Soit x = P₁ ·...·Pr α r
avec P₁ , .... , Pr des nombres premiers différents.
α₁
α₁
α₁ - 1
Alors φ ( x ) = φ ( P₁ )·...· φ ( rPα r ) = ( P₁ - P₁
)·...·( Pr α r - Pr α r - 1 )
Voici quelques exemples : φ ( 20 ) = φ ( 2² )· φ ( 5 ) = ( 2² - 2¹ )·4 = 8
φ ( 250 ) = φ ( 2 )· φ ( 5³ ) = 1·( 5³ - 5² ) = 100
Voici à présent un autre théorème intéressant, qui relie l’indicatrice d’Euler et les diviseurs
d’un nombre.
T₇ : Soit n ∈ N* . Alors n est égal à la somme des φ ( d ) pour tous d étant un diviseur de
n.
On l’écrit n = ∑ φ ( d )
d
n
Voici un exemple : n = 40
Les diviseurs de n sont D₄₀ = { 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 8 ; 10 ; 20 ; 40 }
Et la somme des φ
φ ( 1 ) + φ ( 2 ) + φ ( 4 ) + φ ( 5 ) + φ ( 8 ) + φ ( 10 ) + φ ( 20 ) + φ ( 40 )
ce qui est égal à 1 + 1 + 2 + 4 + 4 + 8 + 16 = 40
Démonstration :
m
première partie : n = p
avec p , un nombre premier
Les diviseurs de p m sont 1 , p , p² , ... , p m
Et la somme des indicatrices d’Euler des diviseurs est
m
φ ( 1 ) + φ ( p ) + φ ( p² ) + .... + φ ( p )
m
m-1
Ce qui est égal à 1 + p - 1 + p² - p + ... + p - p
m
Ce qui, si on simplifie le tout, est égal à p et donc à n .
deuxième partie : Pour le cas général, on a n et sa décomposition en facteurs premiers.
P₁α₁ ·P₂α₂ ·....·Pr α r = n
Comme vu lors de la première partie, on a
( φ ( 1 ) + φ ( P₁ ) + φ ( P₁² ) + .... + φ ( P₁α₁ ) )·
( φ ( 1 ) + φ ( P₂ ) + ... + φ ( P₂α₂ ) ) ·...·( φ ( 1 ) + φ ( Pr ) + ... + φ ( Pr α r ) )
=n
Si on développe tout le membre de gauche, on obtient la somme des
éléments de la forme : φ ( P₁β₁ )·φ ( P₂β₂ )·....·φ ( P β r )
r
avec 0 < β₁ ≤ α₁ , 0 < β₂ ≤ α₂ , .... , 0 < β r ≤ α r .
Ceci donne la somme de tous les φ ( d ) avec d un des diviseurs de n .
22
Nous allons aborder ici une partie qui nous permettra de démontrer le petit théorème de
Fermat. Pour l’instant, nous ne pourrons que l’énoncer et donner quelques exemples. Sa
démonstration suivra par la suite, après avoir étudié la notion d’inverse modulo m .
T₈ : Soit p un premier et a un nombre non divisible par p . Alors a
p - 1≡
1 ( mod p )
Voici quelques exemples : Posons p = 3 et a = 8
3-1
alors 8
= 64 ≡ 1 ( mod 3 )
p = 7 et a = 10
10⁶ ≡ 1 ( mod 7 )
Nous allons donner ici la définition d’un inverse modulo m . Soit x et m des nombres
naturels. On dit que x est inversible modulo m s’il existe un nombre y tel que
x·y ≡ 1 ( mod m )
Donnons un exemple : 3 est inversible modulo 10 . En effet, 3·7 ≡ 1 ( mod 10 )
mais 4 n’est pas inversible modulo 10. Car 4·1 ≢ 1 ( mod 10 )
4·2 ≢ 1 ( mod 10 ) , 4·3 = 12 ≡ 2 ( mod 10 ) ≢ 1 ( mod 10 ) ,
4·4 ≡ 6 ( mod 10 ) , 4·5 ≡ 0 ( mod 10 ) . Si nous continuons à
chercher, nous allons continuer à trouver cette série de congruence,
donc nous n’allons jamais trouver un inverse de 4 modulo 10 .
Voici maintenant un théorème qui nous permettra de savoir si un nombre est inversible ou
non modulo m .
T₉ : x est inversible modulo m si et seulement si ( x ; m ) = 1
Démonstration :
Première partie : nous supposons que x est inversible modulo m et nous montrons que
(x;m)=1
Il existe y tel que x y ≡ 1 ( mod m ) ce qui équivaut à x y = 1 + m K
Et à x y + ( - K ) m = 1
comme y , K ∈ N et 1 est forcément un
diviseur commun de x et m , alors selon la relation de Bezout : ( x ; m ) = 1
Deuxième partie : Nous supposons que x et m sont premiers entre eux et nous allons
montrer que x est inversible modulo m .
Par la relation de Bezout, il existe a , b , avec a x + b m = 1
Or b m ≡ 0 ( mod m )
Donc a x ≡ 1 ( mod m )
x est bien inversible modulo m .
Pour calculer l’inverse d’un nombre modulo m , on utilise l’algorithme d’Euclide, vu il y a
quelques pages, mais de façon un peu différente que pour calculer le pgdc de deux
23
nombres. En effet, nous allons travailler dans un ensemble de modulo et faire des
substitutions. Essayons comme exemple de calculer l’inverse de 20 modulo 333 .
_
_ _
_
333 = 16·20 + 13 13 = -16·20 ➀ la notation “13” signifie que l’on travaille en modulo
( ici 333 )
ici on travaille en modulo de 333
et 333 ≡ 0 ( mod 333 )
_
_ _
_ _
_ _
_ _
20 = 1·13 + 7 7 = 20 - 1·13 = 20 - 1·( -16·20 ) = 17·20 ➁
13 = 1·7 + 6
ici on substitue le 13 par celui trouvé en ➀
_
_ _ _
_ _
_
_ _
_ _
6 = 13 - 1·7 = ( -16·20 ) - 1·( 17·20 ) = -33·20
là on substitue le 13 par celui trouvé en ➀ et le 7 trouvé en ➁
7 = 1·6 + 1
_ _ _ _
_ _
_
_ _
_ _
1 = 7 - 1·6 = ( 17·20 ) - 1·( -33·20 ) = 50·20
enfin là, on substitue le 7 et le 6 par ceux trouvés avant
En résumé, on a 50·20 ≡ 1 ( mod 333 ) , donc 50 est l’inverse de 20 modulo 333.
Si on vérifie, cela donne : 50·20 = 1000 ≡ 1 ( mod 333 ) ok!
Nous allons étudier là un théorème qui nous permettra de déduire le petit théorème de
Fermat.
p
T₁₀ : Soit p un premier et a un nombre non divisible par p . Alors a ≡ a ( mod p )
Autrement dit, a p - a est un multiple de p .
p
p
Démonstration : Selon P₁₁ pour tous a , b , on a ( a + b ) = a + p·Z + b
nombre entier. Et a = 1 + 1 + .... + 1
p
avec Z un
soit a termes
Nous allons démontrer le théorème par récurrence sur le nombre a .
➀ Point d’ancrage : on vérifie pour a = 1
p
1 ≡ 1 ( mod p )
Cela vérifie bien le théorème.
24
➁ Voici l’hypothèse de départ :
p
( 1 + ..... + 1 ) - ( 1 + ... + 1 ) ≡ 0 ( mod p )
soit n termes
Et voici la conclusion
à laquelle nous voulons arriver :
p
( 1 + .... + 1 + 1 ) - ( 1 + ... + 1 + 1 ) ≡ 0 ( mod p )
soit n + 1 termes
Preuve : ( 1 + ... + 1 + 1 ) p- ( 1 + .... + 1 + 1 )
équivalent à n
ce qui est égal à [ ( 1 + ... + 1 ) p + p·Z + 1 p] - ( 1 + ... + 1 ) - 1
équivalent à n
p
ce qui, par hypothèse, est congru à 0 + p·Z + 1 - 1 ( mod p )
Ainsi qu’à 0 ( mod p )
Le théorème est donc vérifié.
On peut déduire de ce théorème le petit théorème de Fermat et ainsi le prouver.
p
Selon T₁₀ a ≡ a ( mod p ) ➀
Et selon T₉ comme ( p ; a ) = 1 , il existe y avec a y ≡ 1 ( mod p )
p-1
Or, si nous multiplions ➀ par y , nous obtenons a
≡ 1 ( mod p ) soit le petit
théorème de Fermat...
Nous pourrions même maintenant penser à généraliser ce théorème. Car, selon L₂ , φ ( p )
= p - 1 pour p un nombre premier . Donc nous pourrions en déduire que le théorème
fonctionne aussi pour un modulo qui n’est pas forcément premier. Malheureusement, c’est
très difficile à prouver, donc ce théorème est donné ici à titre indicatif.
T₈ ( généralisation ) : Soit a et m deux entiers avec ( m ; a ) = 1
Alors a φ ( m ) ≡ 1 ( mod m )
25
3.Les cas n = 2 et 4 du théorème de Fermat
Voici le début de la deuxième partie du travail de maturité. Après une introduction à la théorie
des nombres, nous allons aborder la partie personnelle. Le sujet choisi est l’étude, et
malheureusement non pas la résolution complète du célèbre théorème de Fermat. Pour
l’évoquer brièvement, ce théorème affirme que l’équation x n + y n = z n avec x , y et z
étant des nombres entiers plus grands que zéro - en fait, appartenant à Z* - n’a pas de
solution pour n’importe quel n plus grand que 2 . Nous allons donc essayer de prouver ce
théorème pour quelques cas particuliers et élémentaires, dont n est égal à 2 et 4 .
Dernière précision avant de commencer et pour rassurer les lecteurs qui me trouvent
beaucoup d’audace et d’ingéniosité, cette partie est tirée et grandement inspirée d’un article
rédigé par Robert Ferréol, intitulé “Les cas n = 3 , 4 et 5 du théorème de Fermat”. Cette
article est paru dans la revue de mathématiques Quadrature, n°22 , publiée en été 95,
intitulée pour ce numéro “Grand théorème de Fermat, 1641 - 1994 ✝” . Je n’ai donc pas
inventé moi-même ces démonstrations... Nous allons alors suivre le fil de cet article, mais en
le reformulant, pour que tout devienne plus clair et évident. Nous sommes ainsi prêts à
commencer!
Plaçons d’abords le tableau. Fermat était un célèbre et talentueux mathématicien français du
17ème siècle. Il était à la base diplomate, et pratiquait les mathématiques comme sa
passion. Il est à la base de plusieurs théorèmes importants, dont le fameux qui nous occupe
encore aujourd’hui. La preuve qu’il y donna est tout aussi célèbre. Dans la marge de son
ouvrage de mathématiques, il inscrivit : “Il n’est pas possible de partager un cube en deux
cube, une puissance quatrième en deux puissances quatrièmes et en général une puissance
d’exposant supérieur au deuxième en deux puissances de même exposant. J’en ai
découvert une démonstration merveilleuse. L’étroitesse de la marge ne la contient pas.“
Maladresse ou ironie de sa part? Etait-il sûr de posséder une démonstration, fausse et
incomplète sans qu’il le sache? Ce sont des questions que nous pouvons nous poser. Mais
une chose est sûre, il n’a en aucun cas démontré un cas plus haut que le cinquième. Tout
une série de mathématiciens - Euler par exemple - s’y sont frottés ces 300 dernières années.
Cette “invulnérabilité” du théorème rendait le challenge encore plus alléchant. Ce n’est que
très récemment qu’Andrew Wiles, un mathématicien extrêmement doué le démontra. Sa
démonstration fut révolutionnaire et vraiment imaginative. Après 8 ans de travail acharné, il en
arriva au bout, de belle manière.
Essayons de se confronter à la difficulté du problème.
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Les cas n = 3 , 4 et 5 du théorème de Fermat
Robert Ferréol
Nous voici donc au début de l’article écrit par Robert Ferréol. Il dit ici donner quelques
démonstrations dites “élémentaires”. Mais comme le sens “élémentaire” en mathématiques
est vraiment relatif à l’auteur et au public auquel s’adresse la démonstration, il précise ici que
son article est compréhensible par un élève étant en option mathématiques et physique
genevoise de l’époque. Notre ambition, dans ce travail de maturité, est de le rendre
accessible à un bon élève de niveau mathématiques renforcé, un peu intéressé par le sujet,
mais qui n’aurait pas besoin de refaire chaque démonstrations.
Il précise aussi que bien que ces démonstrations soient élémentaires, les premiers auteurs Fermat, Euler, Dirichlet - ont fait preuve d’une ingéniosité tout à fait extraordinaire pour les
créer, mais en utilisant des outils qui, eux, sont élémentaires.
Entrons à présent dans le vif du sujet avec le fameux théorème.
T₁₁ : Soit x , y , z ∈ Z*
n
n
alors x + y = z
n
n’a pas de solution pour n ＞ 2
Le problème de la résolution de ce théorème parait fort simple : en effet, c’est une équation,
courte qui plus est. Mais deux points, cachés par cette apparente simplicité, montrent toute
la difficulté du problème. Premièrement, aussi célèbre que soit cette conjecture, il n’y a
aucune raison pour qu’à priori elle soit exacte. En effet, il existe des équations très proches,
appelées équations diophantiennes, qui ont elles des solutions. A commencer par celle dite
de Ramanujan - un mathématicien indien de la fin du XIX siècle. x³ + y³ = z³ + 1
dont 9 , 10 , 12 est une solution. Ou x³ + y³ = z² avec 100 , 200 , 3000 comme solution.
Ou encore x³ + y³ + z³ = t³ dont le remarquable quadruplet 3 , 4 , 5 , 6 est une solution.
Deuxièmement, les démonstrations sont souvent déstabilisantes. En effet, la majorité des
démonstrations utilisées ici prouvent des impossibilités - pour le cas à venir n=4 - et seront
donc des démonstrations par l’absurde. Or il faut - selon le principe de ces démonstrations considérer des possibilités éventuelles pour les x, y et z en sachant qu’elles n’existent pas.
Ceci va nous permettre de trouver des contradictions qui vont prouver l’impossibilité de ces
solutions et donc de prouver l’inexistence de nos cas particuliers du théorème de Fermat.
Mais le problème est que ces contradictions n’apparaissent qu’à la fin des démonstrations et
il est ainsi impossible de se rassurer en calculant des cas particuliers, car il n’y aura pas de
cas particuliers! Il est possible de savoir si la démonstration est correcte seulement à la fin, en
la prenant d’un seul bloc. Il faut donc beaucoup de courage et de confiance pour se lancer
dans une de ces démonstrations.
Il serait judicieux ici de donner une première réduction, très élémentaire certes, mais non
moins forte, pour prouver que la démonstration des théorèmes à venir ne doit pas être si
décourageante. En effet, il existe une propriété sur les puissances qui dit que x k n= ( x k ) n
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Ainsi x 20 = x 4·5 Or si l’on prouve l’inexistence de certains cas particuliers de n ,
on aura la preuve que pour tous les multiples de ce n particulier, nous n’aurons pas de
solution. Donc à la fin de ce travail, nous aurons la certitude que pour tous n multiples de
3 , 4 et 5 , les équations n’aurons pas de solutions. Par exemple, nous saurons que le cas
x ²⁴ + y ²⁴ = z ²⁴ est impossible, car il équivaut à ( x⁶ ) ⁴ + ( y⁶ ) ⁴ = ( z⁶ ) ⁴ qui n’est qu’une
extension du cas n = 4 . Mais attention! Nous ne pourrons toujours pas prouver que le cas
n = 22 n’a pas de solution. Malheureusement, comme le cas n = 2 possède des solutions,
le cas n = 11 nous serait indispensable pour le prouver. Ainsi, la démonstration générale ne
nous est quand même pas du tout à portée de main...
Passons maintenant aux démonstrations.
Le cas n = 2
C’est le seul cas du théorème de Fermat qui est possible - au même titre que le cas n=1,
mais qui n’est qu’une somme à deux nombres et donc prouvé par la définition même de
l’addition. Le cas n = 2 est en fait l’équation x² + y² = z² bien connue de tous, car ce n’est
rien d’autre que le fameux théorème de Pythagore, maîtrisé par n’importe quel étudiant en
mathématiques. Mais pour que notre démonstration du théorème de Fermat soit la plus
complète possible, nous devons prouver cette partie du théorème. En outre, cette
démonstration est plus forte que le théorème de Pythagore, mais nous permettra de créer
une infinité de triplets pythagoriciens. En effet, le théorème nous dit que l’on peut créer des
triplets pythagoriciens en utilisant deux nombres n , m naturels, premiers entre eux et de
parité distincte - c’est à dire que l’un et pair et l’autre impair. Enfin, elle nous sera utile pour
démontrer le cas n = 4 .
Mais il faut faire une remarque avant d’attaquer le théorème suivant. En effet, celui-ci va se
limiter à des triplets pythagoriciens dits “primitifs”, c’est à dire pour des x , y , z entiers
naturels, non nuls et premiers entre eux. Or si l’on multiplie ces triplets par un nombre entier,
on va créer un nouveau triplet, mais dit “quelconque” cette fois.
Par exemple, à partir du triplet 3 , 4 , 5 qui vérifie 3 ² + 4 ² = 5 ² , on peut créer le triplet
12 , 16 , 20 en le multipliant par 4 . Il vérifie bien 12 ² + 16 ² = 20 ² .
Donc en fait, si l’on prouve le théorème pour tous les triplets pythagoriciens primitifs, on aura
prouvé l’existence de tous les triplets pythagoriciens, vu que les triplets quelconques sont
créés à partir de triplets primitifs. Et pour retrouver un triplet pythagoricien primitif à partir
d’un triplet quelconque, il suffit de diviser x , y , z par leur plus grand diviseur commun.
Passons au théorème!
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T₁₂ ( résolution de n = 2 ) : ( x , y , z ) est un triplet pythagoricien primitif ( c’est à dire
vérifiant x² + y² = z² avec ( x , y , z ) entiers naturels non nuls et premiers entre eux ) si
et seulement s’il existe deux entiers naturels premiers entre eux et de parités distinctes
avec n > m > 0 tels que :
x = n² - m² , y = 2 n m , z = n² + m² , ou x = 2 n m , y = n² - m² , z = n² + m²
Exemple : pour le triplet primitif 3 , 4 , 5
qui vérifie l’équation 3² + 4² = 5²
on a n = 2 et m = 1 . Nous avons donc 3 = 2² - 1² , 4 = 2·1·2
et 5 = 2² + 1²
Nous pouvons aussi créer de nouveaux triplets en choisissant selon les critères du
théorèmes d’autres n et m.
Par exemple, choisissons n = 5 et m = 4
On aura donc x = 5² - 4² = 9 , y = 2·4·5 = 40 et z = 5² + 4² = 41
vérifiant l’équation 9² + 40² = 41²
Nous venons ainsi de créer un autre triplet pythagoricien primitif. Il y en a donc une
infinité, puisque il y a une infinité de n et m .
Démonstration : Avant de commencer la démonstration du théorème, il faut faire deux
remarques sur celui-ci.
Première remarque, le théorème dit que x , y , z sont premiers entre eux; mais nous
pouvons trouver une propriété encore plus forte et dire que x , y , z sont premiers
entre eux deux à deux. Nous pouvons le prouver par l’absurde:
Si y et z n’étaient pas premiers entre eux, alors il existerait p y et p z . On
pourrait donc écrire : y = p·y’ et z = p·z’ . Ainsi notre triplet pythagoricien
deviendrait : x² = ( pz’ )² - ( py’ )² = p² ( z’² - y’² ) .
Ainsi p² diviserait x² et donc p diviserait x ; or x , y , z ne seraient plus premiers
entre eux et ils ne seraient plus un triplet pythagoricien primitif. Donc y et z sont
premiers entre eux. On peut faire le même raisonnement pour x et z , et x et y .
Deuxième remarque, il est possible de déterminer la parité de x , y , z .
Si x et y étaient pairs, ils ne seraient plus premiers entre eux. Or c’est impossible car
nous venons de déterminer que x , y , z sont premiers entre eux deux à deux.
Alors x et y peuvent-ils être impairs? Le carré d’un nombre impair est égal à :
( 2a + 1 )² = 4a² + 4a + 1 . Ce carré est ainsi impair. Mais on peut même aller plus loin
dans l’observation et faire des rapprochements avec les congruences : 4a² est
divisible par 4 , ce monôme est donc congru à 0 modulo 4 , au même titre que 4a . Or
il reste “+1” . Donc notre carré impair est congru à 1 modulo 4 . Ainsi z² , de notre
triplet pythagoricien, comme il serait la somme de deux carrés impair, x² et y², serait
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congru à 2 modulo 4 et serait ainsi pair. Or nous avons vu plus haut qu’un carré
impair est toujours impair. Donc z doit être pair. Ainsi : z² = ( 2c )² = 4c² . Or on voit
bien ici que z² serait divisible par 4 , donc congru à 0 modulo 4 ; ce qui contredit ce
que nous avons trouvé plus haut.
Ainsi, x et y sont de parités distinctes. Leur somme vaut :
( 2a + 1 ) + 2b = 2·( a + b ) + 1 . Cette somme étant impaire, z est impair.
Nous venons de prouver que x , y , z sont premiers entre eux et que - déterminons-le
ainsi pour la démonstration proprement dite du théorème - x est pair et y et z impairs.
Ces deux propriétés vont nous permettre démontrer le théorème.
Dans la première partie de la démonstration, il faut montrer que si x² + y² = z² est un
triplet pythagoricien primitif, alors il existe n , m ∈ N*, premiers entre eux, de parités
distinctes et n étant plus grand que m , vérifiant x = 2nm , y = n² - m² ,
z = n² + m² . ( Nous choisissons cette possibilité du théorème vu que nous avons
déterminé que x était pair et y impair. La démonstration pour prouver l’autre possibilité
- x = n² - m² et y = 2nm - épouse le même raisonnement, il faudrait juste choisir x
impair et y pair. )
Grâce à la propriété sur la parité de x , y , z , nous pouvons écrire x = 2u , et
comme une somme ou une soustraction de deux nombres impairs est paire ( 2a + 1 ) + ( 2b + 1 ) = 2·( a + b ) + 2 - alors on peut créer un système avec deux
équations: z + y = 2v et z - y = 2w avec u , v , w ∈ N* et v > w . Si on résout le
sytème par substitution, cela va donner pour la première équation : z - 2w + z = 2v
d’où z = w + v . Pour la deuxième équation : y + 2w + y = 2v d’où y = v - w .
Comme y et z sont premiers entre eux, on voit bien que v et w le sont aussi.
Prenons maintenant notre triplet pythagoricien en égalant x au carré :
x² = z² - y² = ( z - y ) ( z + y )
Si nous substituons x , y , z par les u , v , w trouvés avant, cela donne :
4u² = 4vw , d’où u² = vw .
Si on arrivait à prouver ici que si le produit de deux nombres premiers est un carré - u²
-, il doit être composé de deux facteurs étant des carrés - n² et m² - et leur racines
carrées - n et m - étant aussi premières entre elles, cela voudrait dire que vw serait de
la forme n²m² .
On sait que la multiplication de deux carrés donne un carré, par mise en évidence :
a²b² = ( ab )² . Or nous avons v et w premiers entre eux : cela veut dire que si on les
décompose en produit de facteurs premiers, v n’aura aucun facteur premier commun à
w. Donc pour donner un carré en étant multiplié, cela veut dire que leur décomposition
doit être une suite de carré - par exemple : 2·2·5·5 et 3·3·7·7. Ils sont donc bien
des carrés. Et leurs racines seront toujours premières entre elles, car leur
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décomposition sera composée d’une suite de nombres premiers, mais ayant toujours
aucuns facteurs communs, comme avant - ici 2·5 et 3·7 .
wv est donc bien de la forme n²m² , avec n > m et n , m premiers entre eux. D’où
u² = n²m² , donc u = nm . Nous pouvons maintenant substituer : x = 2u = 2nm ,
y = v - w = n² - m² , z = v + w = n² + m² . Comme y et z sont impairs et que la somme
ou la soustraction de deux nombres de parités distinctes donne un nombre impair ( 2a + 1 ) + 2b = 2·( a + b ) + 1 , ce qui est impair - nous voyons bien que n et m sont
de parité distinctes.
La première partie du théorème est ainsi prouvée!
Dans la deuxième partie, il faut prouver l’autre sens de l’implication : soit n , m ∈ N* ,
premiers entre eux, de parités distinctes, satisfaisant n > m et les propriétés : 2nm =
x,
n² - m² = y , n² + m² = z . Ces x , y , z doivent satisfaire x² + y² = z² , un triplet
pythagoricien primitif.
En premiers lieu, comme n et m sont premiers entre eux, y et z seront aussi premiers
entre eux. Puis comme n et m sont de parités distinctes, y et z sont impairs - comme la
somme ou la différence d’un nombre impair et d’un nombre pair donne un nombre
impair. Et comme
x = 2nm , x sera pair et sera donc premier à x et à y . x , y , z seront ainsi premiers
entre eux deux à deux.
Substituons maintenant les propriétés de n et m dans le triplet pythagoricien : x² + y² =
( 2nm )² + ( n² - m² )² = 4n²m² + n⁴ - 2n²m² + m⁴ = n⁴ + 2n²m² + m⁴ = ( n² + m² ) ² = z² .
n et m vérifient bien le triplet pythagoricien primitif. Nous avons ainsi prouvé la deuxième
partie du théorème.
Grâce à ce théorème, nous avons prouvé l’existence d’une infinité triplets pythagoriciens et
donc le cas n = 2 du théorème de Fermat.
Nous pouvons aussi faire une remarque de géométrie : un triangle rectangle avec ses côtés
formant un triplet pythagoricien, c’est à dire étant des entiers x , y , z , est appelé triangle de
pythagore. Ces triangles possèdent toujours une aire entière: en effet, la formule de l’aire d’un
triangle est la base multipliée par la hauteur et divisée par deux. Or pour un triangle rectangle,
la base est une des cathètes et la hauteur l’autre, donc x et y . Mais nous avons vu que x est
pair et y impair et que la multiplication d’un nombre pair par un nombre impair - 2m·( 2n +
1 ) = 4mn + 2m - donne un nombre pair, qui sera toujours divisible par 2 . L’air sera donc
entière.
De plus, le théorème nous permet de dire que z² , comme il est obtenu par la somme de
deux carrés premiers entre eux - x² et y² - est impair. En outre, sa racine carrée, z , est
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composée de la somme de deux autre entiers premiers entre eux, m² et n² . Ce sera la clé de
la résolution du cas n = 4 , nous permettant d’abaisser le degré.
Le cas n = 4
Le cas n = 4 consiste à prouver l’impossibilité de l’égalité : x⁴ + y⁴ = z⁴ . Historiquement,
c’est le premier cas démontré, par Euler. Cela s’explique, car c’est le seul parmi les cas que
nous allons étudier qui ne soit pas un nombre premier. De plus, il est composé de puissances
quatrièmes, des bicarrés, qui font partie du domaine des carrés, domaine bien maîtrisé et
rassurant et dont la démonstration précédente va nous aider.
La résolution qui va suivre n’est pas exactement celle d’Euler. En effet, nous allons prouver
un résultat plus fort que le cas n = 4 de Fermat. Nous allons prouver que x⁴ + y⁴ = z² est
impossible. Comme z⁴ = ( z² )² , il est impossible que si x⁴ + y⁴ ne donne jamais un carré,
cette somme puisse donner une puissance quatrième, qui est le carré d’un carré. Comme
cela ne demande pas plus d’effort, l’auteur de l’article a trouvé plus intéressant de démontrer
cette impossibilité. La démonstration que nous allons donner est tirée à la base du livre écrit
par Edwards [ 4 ] .
Quand à Fermat, nous n’avons pas de traces d’une telle démonstration. Nous pensons donc
qu’il n’a pas démontré ce cas, bien que la démonstration utilise un outil mathématique qu’il
avait inventé : la descente infinie. Cet outil dit “qu’il ne peut y avoir de descente infinie dans
l’ensemble des entiers naturels”, ou moins poétiquement, il est impossible que chaque
nombre naturel ait un nombre qui lui soit strictement inférieur. Ou encore, selon E₃ ou le
principe de bon ordre, toute partie non vide de N contient un plus petit élément. Passons
donc à la résolution du cas n = 4 !
T₁₃ : L’équation x⁴ + y⁴ = z² n’a pas de solution en entiers non nuls. Ou, formulé
autrement, la somme de deux bicarrés non nuls ne peut être un carré.
Démonstration : Pour démontrer cette impossibilité, il faut faire une démonstration par
l’absurde. Il va falloir supposer le théorème comme étant vrai pour voir apparaître
une contradiction à la fin. Cela nous prouvera son impossibilité.
Supposons alors qu’il existe x , y , z ∈ N * tels que x⁴ + y⁴ = z² .
Nous pouvons supposer que x , y , z sont premiers entre eux. En effet, si x et y ne
sont pas premiers entre eux, alors il existe d x et d y , d étant le pgdc de x et
y . Donc d⁴
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x⁴ et d⁴
y⁴ .
Alors d⁴
( x⁴ + y⁴ ) . Ainsi, selon x⁴ + y⁴ = z² , alors d⁴
z² . D’où d²
z . On peut
maintenant écrire : x = d·x’ , y = d·y’ et z = d²·z’ . Nous avons ainsi une
nouvelle égalité, soit ( d·x’ )⁴ + ( d·y’ )⁴ = ( d²·z’ ) ⁴ . Si on divise maintenant les
deux membres de cette égalité par d⁴ , on obtient pour finir : x’⁴ + y’⁴ = z’⁴ avec
x’ , y’ premiers entre eux. Or comme x’ et y’ sont premiers entre eux, ( x’ )² et ( y’ )²
le sont aussi. Et comme ces deux nombres n’ont pas de facteurs communs, on peut
dire que ( x’ )² , ( y’ ) ² , z’ sont premiers entre eux, deux à deux. Nous avons ainsi
créé un triplet pythagoricien primitif.
Donc par T₁₂ il existe n et m premiers entre eux et de parités distinctes tels que :
x² = 2nm
y² = n² - m²
z = n² + m²
Nous pourrions inverser ici x² et y² , ça ne
changerait rien à l’idée de la démonstration.
Or la deuxième égalité est en fait un nouveau triplet pythagoricien : y² + m² = n²
m et n étant premier entre eux, y l’est aussi - il a été prouvé dans T₁₂ que quand
deux nombre d’un triplet pythagoricien sont premier entre eux, alors ils le sont aussi
avec le troisième - et le triplet est donc primitif.
Etudions maintenant la parité de y , m , n . Comme dans T₁₂ , z - ici n - est impair.
Ainsi, comme n et m sont de parités distinctes, alors m est pair. Enfin, comme x - ici
m - est pair, y est impair.
Par T₁₂, on peut alors de nouveau écrire : m = 2pq , y = p² - q² , n = p² + q²
En regardant la troisième égalité, celle égalant n - p et q étant premiers entre eux alors on peut dire que n , p , q sont premiers entre eux, deux à deux.
Maintenant, si l’on utilise la première des relations ci-dessus pour substituer avec m ,
cela donnera : x² = 2nm = 4npq . Or on a vu dans T₁₂ que si un produit de facteurs
premiers entre eux - ici n , p , q - donne un carré - ici x² - alors les facteurs sont
eux-même des carrés. On peut alors écrire : n = z’² , p = x’² , q = y’² .
Cela donne la relation : x’⁴ + y’⁴ = p² + q² = n = z’² . Ou plus simplement : x’⁴ + y’⁴
= z’².
On pourrait faire cela infiniment et trouver des z’’ , z’’’ etc... Or c’est absurde car on
est dans N * et 0 < z’ = √ ≤ n² = z - m² < z . Ou plus simplement : 0 < z’ < z . On
ne peut pas faire de descente infinie, comme dirait Fermat. Ainsi le cas n = 4 est
impossible.
Nous venons de prouver l’impossibilité du cas n = 4 du théorème de Fermat. Nous sommes
maintenant sûr que tout les cas du type n multiple de 4 sont impossibles - par exemple les
cas n = 8 , n = 12 ou n = 16 . Mais il reste malheureusement toujours une infinité de cas à
prouver...
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Grâce au résultat de ce théorème, nous pouvons l’appliquer géométriquement et prouver
“l’impossibilité de quadraturie du rectangle”. Il montre ainsi par exemple qu’un rectangle à
côtés et diagonale entiers non nuls ne peuvent pas avoir la même air qu’un carré à côtés
entiers. Pour le lecteur intéressé, il peut trouver des démonstrations à ce sujet dans le livre de
Nogues [ 5 ] , traduit du latin par Tannery et Henri.
4. Conclusion.
Nous voilà à la fin de ce travail de maturité sur la théorie des nombres. L’article continue
encore sur quelques pages, pour prouver l’impossibilité des cas n = 3 et n = 5 , ainsi que le
théorème de Sophie Germain. L’article fait un tableau qui dresse les connaissances au sujet
du théorème de Fermat que les mathématiciens avaient, avant qu’Andrew Wiles n’arrive à
démontrer le cas général. Il y eu bien sûr des avancées indirectes, comme par exemple dans
les années soixante, avec l’émission de la conjecture de Shimura-Tanyama-Weil, que Wiles
reprit pour y fonder sa démonstration.
La minceur de cet article montre toute l’étendue des progrès effectués dans ce domaines. En
effet, il tient sur une vingtaine de pages, alors qu’en 1931, l’exposé de ces connaissances
tient sur 150 pages dans le livre de Richard Noguès [ 5 ].
Après ces neuf mois de travail sur ce travail de maturité, il est temps de dresser le bilan. Ce
fut neuf mois de travail irrégulier: parfois vraiment intense et parfois sans avoir la possibilité de
toucher le sujet pendant des semaines. Par contre, ce fut une expérience très enrichissante,
tant sur le point mathématique que sur le point du travail général. Sur le plan mathématique, il
m’a permis de me confronter à un théorème quand même mythique et - sans comprendre
une seule partie de sa démonstration - d’effleurer et de ressentir le génie que Wiles à dû faire
preuve pour vaincre ce théorème. Cela m’a aussi permis de gagner en assurance pour les
preuves de théorèmes, dont certaines nous demandaient presque d’être résolues que par
nous-même; ce qui était bien des fois grisant! Sur le plan général, cela m’a permis de gagner
en autonomie, quand certaines démonstrations venaient à résister et qu’il fallait se débrouiller
seuls et certaines fois aller chercher l’information dans les livres ou qu’il fallait trouver une
solution à un théorème impossible.
En ce qui concerne les critiques, il en a une de taille : la fin est étrange et peu aboutie. Par
manque de temps - ce qui découle d’une organisation de mon travail assez mauvaise - je ne
prouve dans ce travail que l’impossibilité du cas n = 4 . C’est frustrant! Il aurait été intéressant
de pouvoir finir au moins avec la démonstration du cas n = 3 .
Dans les points négatifs, il faut aussi souligner le manque de plaisir à certains moments. Je
ressentais comme un découragement, en comprenant que les mathématiques sont vraiment
un milieu très fermé. En effet, il est décourageant de comprendre un bout de la pointe de
l’iceberg de la théorie des nombres, mais sans rien comprendre à tous les autres sujets. Et
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ceci doit être terrible pour un chercheur! Pour conclure, je retiendrai surtout le côté
enrichissant du travail fournit.
5. Bibliographie
[1]
R. Ferréol : “Les cas n = 3 , 4 et 5 du théorème de Fermat“ , Quadrature, N° 22.
[2]
Catherine Goldestein : “Un théorème de Fermat et ses lecteurs”
[3]
S. Singh : “Le dernier théorème de Fermat”.
[4]
H. M. Edwards : “Fermat’s last theorem“ , Springer Verlag, 1977.
[5]
R. Noguès : “Le théorème de Fermat, son histoire” . Vuibert, 1932 , J. Gabay , 1992.
[ 6 ] Liu Hui : “Traité de mathématiques chinois en 9 sections”.
[ 7 ] Pierre Damphouse : “L’arithmétique ou l’art de compter” . Le Pommier ( 2002 ) .
Résumé : ce travail de maturité traite de la théorie des nombres et plus précisément de cas
particuliers du dernier théorème de Fermat. Il se compose de la manière suivante : une
première partie, qui pose les bases des connaissances nécessaires à la compréhension de la
suite. On y étudiera par exemple des particularités des nombres premiers ou les
congruences. Puis une deuxième partie, plus personnelle, qui s’attaque au mythique dernier
théorème de Fermat. Elle comporte les démonstrations de deux cas particuliers du
théorème. Cette partie est inspirée d’un article d’une revue mathématique et le but est de
traduire en langage plus simple les démonstrations.