Logique Vallon 5 septembre 2014 Vallon Logique 5 septembre 2014 1 / 12 Table : 1 Le danger de l’implicite Vallon Logique 5 septembre 2014 2 / 12 Le danger de l’implicite Langage vernaculaire vs Langage mathématique Le langage vernaculaire est la langue parlée et écrite d’un pays donné. Ici ce sera la langue française Mais il y a d’autres langages : le langage mathématique, les langages informatiques (C,Java, etc...) Dans quel sens peut-on dire que la phrase entre guillemets "Si un triangle ABC est rectangle en C alors AB 2 = AC 2 + CB 2 " est vraie ? Dans quel sens peut-on dire que la phrase entre guillemets "Pour tous les termes de la suite de Sylvester, à partir du rang n = 2, la somme des chiffres vaut 7" est vraie ? Vallon Logique 5 septembre 2014 3 / 12 Le danger de l’implicite Règles A une phrase mathématique a est associé une unique valeur de vérité 0(faux) ou 1(vrai) Une phrase mathématique peut contenir des connecteurs comme, non noté¯, et, ou, si.....alors Une phrase mathématique peut contenir des quantificateurs comme Pour tous ,Il existe .... Vallon Logique 5 septembre 2014 4 / 12 Le danger de l’implicite Table de vérité du connecteur non Voici la table de vérité du connecteur non : a 0 1 Vallon ā 1 0 Logique 5 septembre 2014 5 / 12 Le danger de l’implicite Table de vérité du connecteur et Voici la table de vérité du connecteur et : a 0 0 1 1 Vallon b 0 1 0 1 a et b 0 0 0 1 Logique 5 septembre 2014 6 / 12 Le danger de l’implicite Table de vérité du connecteur ou Voici la table de vérité du connecteur ou : a 0 0 1 1 Vallon b 0 1 0 1 a ou b 0 1 1 1 Logique 5 septembre 2014 7 / 12 Le danger de l’implicite Table de vérité du connecteur si....alors (symbolisé par ⇒) Voici la table de vérité du connecteur si...alors : Définition si a alors b est défini par b ou ā a 0 0 1 1 Vallon b 0 1 0 1 si a alors b 1 1 0 1 Logique 5 septembre 2014 8 / 12 Le danger de l’implicite Qu’est ce qu’une déduction ? En mathématiques il y a des axiomes qui sont des phrases mathématiques dont on admet la vérité Puis les théorèmes dont on démontre la vérité par déduction La règle admise de déduction est (règle du modus ponens) : a vrai si a alors b vrai b vrai Vallon Logique 5 septembre 2014 9 / 12 Le danger de l’implicite Comment prouver qu’une phrase du type si...alors est vraie ? a 0 0 1 1 b 0 1 0 1 si a alors b 1 1 0 1 On ne sait pas les valeurs de vérité de a et de b donc il faut tester tous les cas a est faux. Dans ce cas si a alors b est vrai a est vrai . La vérité de si a alors b est la vérité de b donc montrer si a alors b vrai revient à montrer que b est vrai Théorème Montrer que si a alors b est vrai revient à : On suppose que a est vrai et on montre par déduction que b est vrai Vallon Logique 5 septembre 2014 10 / 12 Le danger de l’implicite Regardons cela sur un exemple : Soit (un ) défini par un = √ un−1 + 2 avec u0 = 1 Il est prouvé que cette suite tend vers 2 et que pour tout entier n un 6 2 Et pourtant nous allons montrer : Pour tout n entier si un−1 > 2 alors | {z } a un > 2 est vrai | {z } b Démonstration. supposons que un−1 > 2 est vrai Première déduction : un−1 + 2 > 2 + 2 = 4 est vrai car la fonction x → x + 2 est croissante √ p sur R √ Deuxième déduction : un−1 + 2 > |{z} 4 car la fonction x → x est | {z } un =2 croissante sur R+ Vallon Logique 5 septembre 2014 11 / 12 Le danger de l’implicite Exercice : Démontrer de la même manière que : Pour tout n entier, si un−1 6 2 alors un 6 2 est vrai Vallon Logique 5 septembre 2014 12 / 12