TOPOLOGIE

TOPOLOGIE
d'après le cours de M. Nicolas Tosel
professeur en MP* au Lycée du Parc, Lyon
Année 2004-2005
1) DISTANCE, ESPACES MÉTRIQUES
a : distances :
une distance est une application d de E dans R+ telle que :
d(x,y)=0 x=y⇔
d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)
b : espaces métriques:
un ensemble muni d'une distance est appelé espace métrique.
c : boules ouvertes, boules fermées :
boule ouverte de E de centre x et de rayon r : Bo(x,r)={ y E \ d(x,y)<r }∈
boule fermée : Bf(x,r)={ y E \ d(x,y)∈ ≤r }
d : parties bornées, diamètre :
une partie X d'un métrique est dite bornée ssi il existe une boule contenant X ;
définition : diamètre : diam(X)=min{ r R∈+* \ ( x E \ X B∈ ⊂ f(x,r) ) }
e : espace métrique induit:
si X est une partie de E, X muni de la restriction de l'application distance de E à X est un
espace métrique, dit espace métrique induit ;
f : suites dans un EM , convergence :
(xn)n N∈E∈ℕ est dite convergente ssi il existe x dans E tel que

d(xn,x) 0 quand n +∞ ;→ →
g : suites extraites, valeurs d'adhérence :
_si une suite converge, elle admet une unique valeur d'adhérence ; réciproque fausse ;
_caractérisation des VA : { n∈ℕ \ n < } non majoréε
2) ESPACES NORMES :
a : définition :
un ev E est dit normé ssi il existe une application ℕ de E dans ℝ+ telle que :
N(x)=0 x=0⇔
N( x)=| | N(x)λ λ
N(x+y)≤N(x)+N(y)
remarque : (x,y) → N(x,y) induit une distance sur E ;
b : exemples :
dans ( C([0,1],R) , Np ) : Np(f)=(∫01|f|p)1/p, avec p dans ℝ, p≥1 ;
norme canonique de ℝ² :
x ,y x²y²
c : CV dans un evn :
(xn)n N∈E∈N est dite convergente ssi il existe x dans E tel que :
N(xn-x)  0 quand n  ∞ ;
d : normes équivalentes :
_existe C > 0 tel que ∀ x, N(x) ≤ N'(x) : N'est plus fine que N ;
_existe C > 0 et C' >0 tel que ∀ x, C*N'(x) ≤ N(x) ≤ C'*N'(x) : N et N' sont
équivalentes ;
_traduction en terme de convergence :
une suite convergente pour une norme est convergente pour toute norme
moins fine ;
d'où : les suites convergentes pour une norme N sont exactement les suites

convergentes pour toute norme équivalente à N ;
_exemples classiques dans ℝp : norme n :
∥x∥n=n x1
n..xp n
théorème : si E et un evn de dimension finie, toutes les normes sur E sont équivalentes ;
attention : ceci est faux en dimension infinie ;
3) TOPOLOGIE D'UN ESPACE MÉTRIQUE :
ici, (E,d) sera un EM ;
a : ouverts et fermés :
définition : une partie X de E est dite ouverte dans E ssi :
∀ x ∈ E, ∃ r > 0 \ Bo(x,r) ⊂ X
une partie X de E est dite fermée dans E ssi son complémentaire dans E est
ouvert ;
attention : si X est une partie de E et Y une partie de X, les propriétés d'ouverture et de
fermeture de Y ne sont a priori pas les mêmes dans E et dans X !
attention : ouvert n'est pas le contraire de fermé ! E et ∅ sont à la fois ouverts et fermés
dans E ;
_une union quelconque d'ouverts est ouverte ;
_une intersection finie d'ouverts est ouverte ;
_exemple de l'ensemble de Cantor (fermé, car intersection de fermés) ;
théorème : caractérisation séquentielle des fermés : une partie X de E est dite fermée
dans E ssi la limite de toute suite convergente dans E de X est dans X ;
b : adhérence et intérieur :
définition : adhérence : on appelle adhérence de X, notée
X
, l'ensemble :
X
=∩⊂ , X F F ferméF

X
est donc le plus petit fermé contenant X ;
de plus
X
est l'ensemble des limites des suites de X
convergentes dans E ;
A fermé ssi
A=A
;
définition : l'intérieur de X, noté
˚
X
est le plus grand ouvert de E contenu dans X, ou
encore l'union de tous les ouverts contenus dans X ;
c : rappels sur les ensembles convexes :
définition : une partie C d'un ev est dite convexe ssi dès que C contient deux points, elle
contient le segment qui les joints ;
d : parties denses de E :
une partie X de E est dite dense dans E ssi
X=E
;
par exemple :
ℚ=ℝ
e : autres notions topologiques :
_frontière :
frX=  X∖˚ X
_voisinage de x : toute partie de E contenant une boule ouverte de centre x ;
4) APPLICATIONS D'UN EVN DANS UN AUTRE
a : limite d'une application en un point :
soit f : (E,d) → (E',d')
soient A une partie non vide de E, a ∈
A
et b ∈ E' ;
odq f tend vers b en quand x tend vers a en restant dans A ssi :
∀ > , ∃ > ∀ ∈ , ( , )≤ ⇒ ( ( ), )≤0 0 \ x A d x a d' f x b
b : continuité, caractérisation séquentielle :

définition : une application f d'une métrique dans un autre est dite continue ssi :
f(x)  f(a) quand x  a ;
séquentiellement cela signifie :
xn  a  f(xn)  f(a) , pour toute suite x de Eℕ ;
définition : une application f est dite uniformément continue sur X ssi :
∀ >0 ,  >0 \ ∀ (x,y)∈X , d(x,y)    d(f(x),f(y))  
c : ℱ (E,E') : dissymétrie des rôles de E et E' :
théorème : si f est continue de (E,d) dans (E',d'), l'image réciproque d'un ouvert de E' est
ouverte dans E ; idem pour les fermés ;
attention : on ne peut rien dire d'une image directe ;
d : exemples matriciels :
_
GLnK=MnK
(nombre fini de racines du polynôme caractéristique : prendre M
(k) = M-(1/k)*Id ; pour k assez grand c'est inversible ) ;
_ adhérence des matrices de rang r : matrices de rang inférieur ou égal ;
intérieur : vide ;
_l'ensemble des projecteurs est fermé (image réciproque de {0} par la trace ) , d'intérieur
vide ;
e : prolongement des égalités :
si deux applications continues sont identiques sur une partie dense de E, elle sont
identiques sur E ;
f : applications uniformément continues, applications
lipschitziennes :
_une fonction C-lipschitzienne est uniformément continue ;
_exemple important : distance à une partie : application 1-lipschitzienne ;
attention, même sur un fermé, on n'est pas assuré que la distance soit atteinte;