Fiche d`exercices No. 2

Université Lille 1
Licence Sciences de la Vie et de la Terre - Semestre 1
UE Sciences de l'Univers - ASTRONOMIE
Année universitaire 2016-2017
Fiche d'exercices No. 2
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Lois de Kepler
Exercice 3.1 : excentricité de la Terre
Lorsque la Terre se trouve à son périhélie (début janvier), le diamètre apparent du Soleil est
αp = 320 3200 . Lorsqu'elle se trouve à son aphélie (début juillet), il devient αa = 310 2800 . Soit
dp et da les distances entre le Soleil et la Terre lorsque la Terre se trouve respectivement
au périhélie et à l'aphélie, et D le diamètre réel du Soleil.
a. Exprimer αp et αa en fonction de dp , da et D.
b. Soit a le demi-grand axe de l'orbite terrestre et e son excentricité. Exprimer dp et da en
fonction de a et e.
c. En déduire la valeur numérique de l'excentricité e de la Terre.
Exercice 3.2 : mesure de l'unité astronomique
On suppose dans cet exercice que l'orbite de la Terre est circulaire de rayon a⊕ . D'après
l'exercice 1.5, la distance de Mars à l'opposition est connue : dM = 55 × 106 km. Sans
connaître les distances on peut d'autre part mesurer la période orbitale PM de Mars et
l'excentricité eM de son orbite : PM = 1.88 ans, eM = 0.093.
a. Ecrire a⊕ en fonction de aM , dM et eM .
b. Utiliser la troisième loi de Kepler pour calculer la valeur de l'unité astronomique.
c. En déduire aM .
Exercice 3.3 : constante universelle de la gravitation
En négligeant la masse de la Terre devant celle du Soleil, calculer la valeur de la constante
universelle de la gravitation dans les unités masse solaire, unité astronomique et année
(l'année correspond à la période orbitale de la Terre P = 365.25 jours).
Exercice 3.4 : masse de la galaxie
Des observations dans le domaine radio permettent de détecter le mouvement d'un nuage
de gaz tournant autour de la galaxie à une distance de 100000 AL, avec une vitesse de
270 km.s−1 . En supposant la trajectoire du nuage comme circulaire uniforme et en négligeant la masse du nuage devant celle de la galaxie, calculer la masse de la galaxie se
trouvant à l'intérieur de la sphère de rayon 100000 AL.
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Exercice 3.5 : masses d'étoiles doubles
L'étoile Sirius (étoile la plus brillante du ciel, de magnitude apparente −1.46) est en fait
une étoile double : Sirius A et Sirius B. Cela signie que les deux composantes A et B sont
liées gravitationnellement et tournent autour de leur centre de masse. La distance de ce
couple d'étoiles est d = 2.653 pc et leur séparation angulaire est r = 7.500 .
a. Calculer, en UA, la distance séparant Sirius A et Sirius B au moment de l'observation.
b. On suppose que la séparation entre Sirius A et Sirius B est constante et que leur orbite
se trouve dans le plan perpendiculaire à la ligne de visée. On suppose aussi pour simplier
que Sirius B est en mouvement circulaire uniforme autour de Sirius A (supposée xe).
Sachant que la période du mouvement de Sirius B est de 49.9 ans, calculer la somme des
masses de Sirius A et Sirius B en masse solaire.
c. En fait Sirius A et Sirius B tournent autour de leur centre de masse. On suppose leur
mouvement circulaire et uniforme de rayons respectifs rA et rB . Une observation précise
de leur mouvement permet de voir que rB /rA = 2.44. En utilisant la dénition du centre
de masse, en déduire que MA /MB = 2.44.
d. Calculer les masses de Sirius A et Sirius B en masse solaire.
Exercice 3.6 : satellite géostationnaire
a. Un satellite géostationnaire est un satellite dont la période de révolution est égale à la
période de rotation sidérale de la Terre (23h 56min). Calculer son altitude h. La masse de
la Terre est M⊕ = 6 × 1024 kg et son rayon R⊕ = 6378 km.
b. Pour une altitude donnée h, quelle est la portion l de la circonférence de la Terre depuis
laquelle un satellite est visible ? Calculer cette portion pour un satellite d'altitude h = 400
km, ainsi que sa période orbitale P .
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Vitesse de libération
Exercice 4.1 : vitesse de libération terrestre et lunaire
s
2GM
, où G
La vitesse de libération d'un astre de masse M et de rayon R est : Vlib =
R
est la constante universelle de la gravitation.
a. Sachant que la masse de la Terre est m⊕ = 5.9736 × 1024 kg et son rayon R⊕ = 6 378 km,
calculer la vitesse de libération à sa surface.
b. Même question pour la Lune dont la masse est mL = 7.349 × 1022 kg et dont le rayon
est RL = 1 737, 3 km.
Exercice 4.2 : rayon de Schwarzschild
Le rayon de Schwarzschild d'une masse m est le rayon de la sphère dans laquelle cette
masse doit être contenue pour que la vitesse de libération à la surface de la sphère soit
supérieure à la vitesse de la lumière c = 3 × 108 m · s−1 .
Calculer le rayon de Schwarzschild d'une masse égale à celle de la Terre (m⊕ = 5.9736 ×
1024 kg), puis à celle du Soleil (m = 1.9891 × 1030 kg).
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