l Chapitre 4 : Les triangles

lChapitre 4 : Les triangles
1) Construction d'un triangle lorsqu’on
connaît les trois côtés :
Rappel : Si OA = 5 cm, alors le point A est sur le cercle de centre O et de
rayon 5 cm.
Exemple :
Construire le triangle ABC tel que AB = 5 cm, AC = 4 cm et BC = 6 cm
A
5cm 4cm
B 6cm C
Pour construire le triangle ABC, on commence par tracer le côté le plus long
[BC] de 6cm.
Le point A se trouve à la fois à 5 cm du point B et à 4 cm du point C donc on
trace l'arc de cercle de centre B et de rayon 5 cm puis l'arc de cercle de
centre C et de rayon 4 cm. Ces deux arcs de cercle se coupent en A. On trace
[AB] et [AC].

2) Inégalité triangulaire : A
●Pour un triangle quelconque :
B C
Dans un triangle, la mesure d'un côté est inférieure à la somme des mesures
des deux autres côtés .
C’est l’inégalité triangulaire
( Pour aller de B à C le chemin est plus court tout droit que si on fait un détour
par A ).
BC < BA + AC. De même,
AC < AB + BC et
AB < AC + CB
Cas particulier : le triangle aplati : B A C
Si le point A est un point du segment [BC] alors le triangle est aplati et on a
BA + AC = BC ( on n’a pas fait de détour )
Réciproquement, si BC = BA + AC alors le point A est un point du segment [BC].
Lorsque l’inégalité triangulaire n’est pas vérifiée :
A
1cm 2cm
B 7cm C
Le triangle de côtés 7cm, 1 cm et 2 cm ne peut pas être construit : les arcs de
cercle ne se rencontrent pas.
L’inégalité triangulaire n’est pas vérifiée : 7 n’est pas inférieur à 1 + 2
Un triangle peut être construit si la longueur du plus long côté est inférieure à
la somme des deux autres côtés (il faut que l’inégalité triangulaire soit
vérifiée pour chacun des trois côtés).

3) Somme des angles d’un triangle :
La somme des angles d’un triangle est égale à 180°
A
(d)
I J
B C
A + B + C = 180°
En effet, en traçant la droite (d) parallèle au côté [BC], on montre que les
angles rouges sont symétriques par rapport au point I milieu du segment [AB]
donc ils ont la même mesure. De même, les deux angles verts ont la même
mesure.
On a donc « rouge + noir + vert » égal à l’angle plat donc A + B + C = 180°
Cette propriété permet de calculer un angle dont on n’a pas la mesure dans un
triangle.
Exemple : Dans le triangle ABC tel que B = 30° et C = 60°, calculer la mesure
de l’angle A.
La somme des angles d’un triangle est 180° donc A + B + C = 180°
A + 30 + 60 = 180
A + 90 = 180
A = 180 – 90
A = 90°
Le triangle ABC est rectangle en A.

4) Hauteurs d’un triangle :
Définition : Une hauteur d’un triangle est une droite passant par un sommet et
perpendiculaire au côté en face de ce sommet.
A
B C
Propriété : Les trois hauteurs d’un triangle se coupent en un même point, qui
peut être situé à l’extérieur du triangle.
Annexe : extrait du programme officiel 2016 :
Triangle : somme des angles, inégalité triangulaire, hauteurs
Les problèmes de construction constituent un champ privilégié de l'activité géométrique tout au long du
cycle 4.
La pratique des figures usuelles et de leurs propriétés, entamée au cycle 3, est poursuivie et enrichie dès le
début et tout au long du cycle 4, permettant aux élèves de s'entraîner au raisonnement et de s'initier petit à
petit à la démonstration.