triangles et quadrilateres particuliers

Cours de Mr Jules v1.1 Classe de Sixième Contrat 2 page 1
TRIANGLES ET QUADRILATERES PARTICULIERS
I. Triangles : ______________________________________________________________________ 2
A. Construction d’un triangle connaissant ses 3 longueurs : _____________________________ 2
B. Trois sortes de triangles particuliers : _____________________________________________ 2
1. Triangle isocèle : _____________________________________________________________ 2
2. Triangle équilatéral : __________________________________________________________ 4
3. Triangle rectangle : ___________________________________________________________ 5
II. Quadrilatères :_________________________________________________________________ 6
A. Trapèze : _____________________________________________________________________ 6
B. Parallélogramme : _____________________________________________________________ 7
1. Définition :__________________________________________________________________ 7
2. Construction d’un parallélogramme à partir des côtés : _______________________________ 7
3. Propriétés : __________________________________________________________________ 8
C. Rectangle : ___________________________________________________________________ 9
1. Définition :__________________________________________________________________ 9
2. Construction d’un rectangle à partir des côtés :______________________________________ 9
3. construction d’un rectangle à partir d’un côté et d’une diagonale :_______________________ 9
4. Propriétés : _________________________________________________________________ 10
D. Losange :____________________________________________________________________ 11
1. Définition :_________________________________________________________________ 11
2. Construction d’un losange: ____________________________________________________ 11
3. Propriétés : _________________________________________________________________ 12
E. Carré :______________________________________________________________________ 13
1. Définition :_________________________________________________________________ 13
2. Conséquences de la définition : _________________________________________________ 13
3. Construction d’un carré à partir des côtés : ________________________________________ 13
F. Récapitulatif : comment prouver qu’un quadrilatère ABCD est : _____________________ 14

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I. TRIANGLES :
A. Construction d’un triangle connaissant ses 3 longueurs :
Pour tracer un triangle quelconque au compas et à la règle graduée, il suffit de connaître ses trois
longueurs, (2 voire 1 longueur seulement si le triangle est spécial).
Méthode générale pour tracer une figure à partir d’un énoncé :
 On fait d’abord un petit croquis à main levée de la figure pour avoir une idée de la forme et on
reporte sur ce petit croquis les informations données par l’énoncé (longueurs, angles, codages etc)
 Puis, on suit le plan de construction, étape par étape, à la règle et au compas, pour construire
proprement la figure.
Attention aux notations !
Tracez le triangle ABC sachant que AB = 8 cm, AC = 3 cm, BC = 6 cm.
Plan de construction
 tracer le segment (le plus grand en général)
…….... de longueur ……. cm.
 construire au compas le point …. tel que :
……… = ……… cm et ………. = …… cm.
Figure (croquis d’abord !)
B. Trois sortes de triangles particuliers :
Comment rendre particulier un triangle quelconque comme celui que vous venez de construire ?1
En agissant sur les longueurs des côtés ou/et sur la position relative de deux côtés.
1. Triangle isocèle :
L’adjectif isocèle est formé à partir de 2 mots grecs : isos → égal et skelos → jambes.
Définitions :  Un triangle isocèle est un triangle qui a …….. côtés de même ……………
 Le sommet où le triangle est isocèle s’appelle le sommet principal.
 Le côté opposé au sommet principal s’appelle la base.
Figure :  D’après le codage …………. = …………..
Donc le triangle ABC est isocèle en ……… (il faut toujours
préciser en quel sommet un triangle est isocèle !)
 Son sommet principal est ……
 Sa base est le segment ………..
1 Je suis sûr que vous vous posez cette question depuis le jour de votre naissance ? Oui ou non ? ……….
Définition : Un triangle est un polygone à …. côtés.
B
C A

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Construction :
Pour tracer un triangle isocèle, il suffit de connaître 2 longueurs : celle de la base et celle d’un côté.
Tracer le triangle isocèle MOU de sommet principal M, tel que MO = 3 cm et OU = 5 cm.
Plan de construction
 tracer la base ……… de longueur ……. cm.
 construire le sommet principal …… tel que :
.……… = …………
et ………. = …………
Figure (croquis d’abord !)
codage !
Exercice
Tracer le cercle 
( O ; 3 ) . Sur ce cercle , placer A et B deux points figure
distincts2 non diamétralement opposés.
Quelle est la nature du triangle BOA ? Justifier évidemment !
 O
2 Des points distincts sont des points qu’on peut distinguer : ils sont séparés, ils ne sont pas confondus.
« Je veux vivre avec toi, je ne veux plus être distincte de toi ! » disait Juliette à Roméo.
Traduction mathématique de la définition des triangles isocèles : (faites un petit croquis)
 utiliser l’égalité de 2 longueurs d’un triangle isocèle :
(1 condition ou hypothèse) (1 résultat ou conclusion)
Quand
ABC est un triangle
isocèle en A alors
…….. = ….…
 prouver qu’un triangle est isocèle en un point (réciproque) :
(2 conditions ou hypothèses) (1 résultat ou conclusion)
Quand
ABC est un triangle
 AB = AC alors
ABC est ………….. en …..

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2. Triangle équilatéral :
L’adjectif équilatéral est formé de deux mots latins : aequus → égal et lateris → côté.
Définition : Un triangle équilatéral est un triangle qui a …….. côtés de même ……………
Remarque : Un triangle équilatéral est isocèle en chacun de ses sommets !
Construction : Pour tracer précisément un triangle équilatéral, il suffit de connaître 1 longueur : celle de
n’importe quel côté !
Tracer un triangle équilatéral NUL tel que NU = 3 cm.
Plan de construction
 tracer le côté …….... de longueur ………. cm.
 construire le sommet ……… tel que :
.……… = ………… cm
et ………. = ………… cm
 tracer ………… et …………
Figure (croquis d’abord !)
codage ! La construction donne une unique figure.
Traduction mathématique de la définition des triangles équilatéraux : (faites un petit croquis)
 utiliser l’ égalité des 3 longueurs d’un triangle équilatéral :
(1 condition ou hypothèse) (1 résultat ou conclusion)
Quand
ABC est un triangle
équilatéral alors
….. = ….… = ……
 prouver qu’un triangle est équilatéral (réciproque) :
(2 conditions ou hypothèses) (1 résultat ou conclusion)
Quand
ABC est un triangle
 AB = AC = BC alors
ABC est ………………….
Exercice : Sur la figure ci contre, MELO est un carré. Ajouter le codage manquant.
D’après le codage AME est un triangle …………………………..
Prouver que LO = AE.
A
M
E
O
L

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3. Triangle rectangle :
L’adjectif rectangle est formé à partir de deux mots latins : rectus → droit et angulus → angle.
Définitions :  Un triangle rectangle est un triangle qui a …….. côtés ……………………
 Le plus grand côté, opposé à l’angle droit, s’appelle l’hypoténuse.
Pour tracer un triangle rectangle, il suffit de connaître 2 longueurs : celles de deux des 3 côtés.
Construction  : on vous donne les deux côtés de l’angle droit.
Tracer un triangle FOL rectangle en F tel que FO = 3 cm et FL = 5 cm.
Plan de construction
 tracer le côté …….... de l’angle droit de longueur
……. cm.
 tracer l’autre côté …….. de l’angle droit
perpendiculairement à …….. tel que :
.……… = …….. cm
 tracer le dernier côté ………
Figure (croquis d’abord !)
codage !
Construction  : on vous donne un côté de l’angle droit et l’hypoténuse.
Tracer un triangle CIL rectangle en C tel que CI = 3 cm et IL = 5 cm.
Plan de construction
 tracer le côté …….... de l’angle droit de
longueur ……. cm.
 tracer ∆, la perpendiculaire à (CI) passant par C.
 tracer un troisième point .… à 5 cm de I et sur ∆.
Tracer [LC].
Figure (croquis d’abord !)
codage !
remarque : la figure construite n’est pas unique.
Traduction mathématique de la définition des triangles rectangles : (faites un petit croquis)
 utiliser la perpendicularité d’un triangle rectangle :
(1 condition ou hypothèse) (1 résultat ou conclusion)
Quand
ABC est un triangle
rectangle en A alors
……… ⊥ ……..
 prouver qu’un triangle est rectangle en un point (réciproque) :
(2 conditions ou hypothèses) (1 résultat ou conclusion)
Quand
ABC est un triangle
 ……. ⊥ …….. alors ABC est …………….. en
…….