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DM no 12 (facultatif) : Thermodynamique de MPSI
Physique
DM n˚12 (facultatif) - Thermodynamique de
MPSI
À rendre pour le mardi 7 mars
1 Transformations d’un gaz parfait
On considère un cylindre vertical de section S fermé par un pison horizontal de masse négligeable, se déplaçant sans frottement.
Le cylindre est muni d’un robinet (R) dans sa partie inférieure. Sauf
indication contraire, le robinet est fermé.
Le cylindre contient, dans l’état d’équilibre initial E1 , n mol d’air,
à la température T1 = T0 (T0 est la température extérieure supposée
constante) et à la pression P1 = P0 (P0 est la pression atmosphérique
supposée constante).
L’air est considéré comme un gaz parfait et on note γ le rapport des capacités thermiques isobare et
CP
, avec CP , CV et γ constantes.
isochore : γ = C
V
On note P , V et T les pression, volume et température du gaz dans un état d’équilibre quelconque. On note
R la constante des gaz parfaits.
Données : S = 1,0.10−2 m2 ; n = 0,20 mol ; R = 8,314 J.K−1 .mol−1 ; T0 = 300 K ; P0 = 1,0.105 Pa ; γ =
1,40.
On notera que ce problème est composé de deux parties indépendantes.
PARTIE A : Le piston, les parois du cylindre et le robinet sont supposés être
diathermanes (parfaitement perméables à la chaleur).
1.1 Questions préliminaires de la partie A
1. Enoncer la relation de Mayer pour un gaz parfait. En déduire l’expression de CP et CV en fonction de
γ, R et n.
2. Rappeler les expressions différentielles dU et dH des énergies interne et enthalpie du gaz parfait
contenu dans le cylindre en fonction de CV , CP et dT puis en fonction de n, R, γ et dT .
3. En déduire la variation d’énergie interne ∆U et d’enthalpie ∆H au cours d’une transformation faisant
passer le système d’une température T1 à une température T2 .
4. Enoncer le premier principe.
1.2 Compressions du gaz
1. L’opérateur appuie très lentement sur le piston de manière à ce que la pression du gaz devienne
égale à P2 = 1,5 P1 . Une fois l’équilibre thermodynamique atteint, le gaz est dans l’état d’équilibre
E2 avec une pression P2 , une température T2 et un volume V2 .
a) Quels sont les adjectifs qualifiant cette tranformation parmi : réversible, irréversible, quasistatique, adiabatique, isochore, isobare, isotherme, monobare, monotherme ?
b) Exprimer puis calculer la température T2 et le volume V2 du gaz.
c) Représenter la transformation dans le diagramme de Clapeyron.
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d) Exprimer le travail Wr reçu par le gaz au cours de la transformation en fonction de n, R, V1 et
V2 . Calculer numériquement Wr .
e) Exprimer la variation d’énergie interne ∆U .
f) En déduire le transfert thermique Q. Calculer numériquement Q.
2. Le système étant de nouveau dans son état initial E1 (P1 , T1 , V1 ), l’opérateur applique brutalement
une force de norme F constante sur le piston jusqu’à atteindre un état d’équilibre E3 pour lequel la
pression du gaz est égale à P3 = 1,5 P1 . La température du gaz est alors T3 et son volume V3 .
a) Quels sont les adjectifs qualifiant cette tranformation : réversible, irréversible, quasi-statique,
adiabatique, isochore, isobare, isotherme, monobare, monotherme ?
b) En écrivant l’équilibre mécanique du piston, exprimer puis calculer F .
c) Exprimer puis calculer la température T3 et le volume V3 du gaz.
d) Représenter la transformation dans le diagramme de Clapeyron.
e) Exprimer le travail Wr′ reçu par le gaz au cours de la transformation en fonction de P3 , V1 et V3 .
f) Exprimer la variation d’énergie interne ∆U ′ .
g) En déduire le transfert thermique Q′ . Calculer numériquement Q′ .
h) Comparer Wr et Wr′ , Q et Q′ puis Wr + Q et Wr′ + Q′ . Commenter.
1.3 Fuite de gaz
Partant de l’état E3 (pression P3 = 1,5 P1 , volume V3 , température T3 ), on ouvre le robinet pendant un
court instant, jusqu’à ce que la pression dans le cylindre soit égale à P0 , puis on referme le robinet.
Le volume V3 est maintenu constant pendant cette transformation. On note n′ la quantité de gaz sorti du
cylindre.
La température du gaz dans le cylindre juste après avoir refermé le robinet est T3′ = 280 K.
1. Justifier rapidement et sans calcul la diminution de température observée.
2. Calculer la quantité de gaz n′ qui est sorti du cylindre.
3. Donner l’expression du travail W reçu par les n mol de gaz initialement présentes dans le cylindre. On
notera V3′ le volume total occupé par le gaz restant dans le cylindre et le gaz sorti du cylindre.
4. On attend que l’équilibre thermique soit atteint, puis on réouvre le robinet. Que se passe-t-il ? Quelle
est la quantité de matière restant dans le cylindre lorsque l’équilibre thermodynamique est à nouveau
atteint ?
PARTIE B : Le piston, les parois du cylindre et le robinet sont maintenant
supposés être calorifugés.
1.4 Questions préliminaires de la partie B
1. Donner l’expression de la première identité thermodynamique.
2. Établir les expressions différentielles dS de l’entropie du gaz parfait contenu dans le cylindre, en
fonction de n, R, γ, T et V , et dT et dV , puis en fonction de n, R, γ, P et V , et dP et dV .
3. Déduire de la question précédente la loi de Laplace vérifiée par les variables P et V pour une transformation adiabatique réversible d’un gaz parfait.
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1.5 Compressions du gaz
1. Dans cette partie le robinet (R) est fermé. Un opérateur appuie très lentement sur le piston de
manière à ce que la pression du gaz devienne égale à P2 = 1, 5P1 .
a) Préciser le type de transformation subie par le gaz.
b) Exprimer puis calculer le volume V2 et la température T2 du gaz.
c) Exprimer le travail Wr reçu par le gaz au cours de cette transformation en fonction de n, R, T1
et T2 . Calculer Wr .
d) Que vaut la variation d’entropie du gaz au cours de cette transformation ? Que vaut l’entropie
créée ?
2. Le robinet (R) est toujours fermé dans cette partie. Le système étant de nouveau dans son état initial
(P1 , V1 , T1 ), l’opérateur applique brutalement une force de norme F constante sur le piston jusqu’à
atteindre un état d’équilibre pour lequel P3 = 1, 5P1 . Le volume du gaz est alors V3 et sa température
T3 .
a) En écrivant l’équilibre mécanique final du piston, exprimer puis calculer F .
b) Exprimer le travail Wi reçu par le gaz au cours de la transformation, en fonction de P3 , V1 et V3 .
c) En utilisant le premier principe de la thermodynamique, exprimer le volume V3 du gaz en fonction
P1
. Calculer V3 . En déduire la température T3 du gaz dans le cylindre.
de V1 , γ et du rapport
P3
d) Calculer le travail Wi et le comparer à Wr .
e) Calculer la variation d’entropie du gaz ainsi que l’entropie créée. Commenter.
1.6 Ouverture du robinet
L’opérateur bloque le piston dans une position telle que V4 = 2, 80L, T4 = T0 = 300K et P = P4 . Les
parois du cylindre et le robinet étant toujours calorifugés, l’opérateur ouvre le robinet pendant un court
instant jusqu’à ce que la pression dans le cylindre soit égale à la pression atmosphérique P0 , puis il referme
le robinet. On note n′ la quantité de gaz sorti du cylindre au cours de l’ouverture, qu’on suppose aussitôt
en équilibre thermique et mécanique avec l’extérieur (pression P0 et température T0 ). La température du
gaz resté dans le cylindre est alors T5 = 276K.
1. Calculer la pression P4 du gaz.
2. Calculer la quantité n′ sortie du cylindre.
3. Exprimer le travail W reçu par les n moles du gaz initialement présentes dans le cylindre en fonction
de n′ , R et T0 . Calculer W .
A partir de l’état précédent (P0 , V4 , T5 ) où le cylindre contient n′′ moles, le dispositif n’étant pas
parfaitement calorifugé, la température dans le cylindre va, au bout d’une certaine durée, être égale à
la température extérieure T0 .
4. Quelle sera alors la pression P6 dans le cylindre ?
5. Exprimer puis calculer le transfert thermique Q reçu par le gaz contenu dans le cylindre.
6. Calculer la variation d’entropie du gaz contenu dans le cylindre pour cette nouvelle transformation.
Calculer l’entropie créée.
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2 Etude de différentes transformations subies par un gaz parfait
On considère un dispositif expérimental constitué d’un cylindre vertical ouvert dans l’atmosphère, aux
parois indéformables, de section S, dans lequel deux pistons de masse et d’épaisseur négligeables peuvent
se déplacer librement. Ces deux pistons, notés Π0 et Π1 définissent deux compartiments étanches dans le
cylindre (voir figure ci-dessous).
On utilisera le symbole 0 pour repérer les grandeurs relatives au compartiment inférieur et le symbole 1
pour repérer les grandeurs relatives au compartiment supérieur. On appellera notamment d0 la longueur du
compartiment 0 la distance qui sépare le fond du cylindre du piston Π0 et d1 la longueur du compartiment
1 la distance qui sépare les deux pistons.
Quelle que soit la nature des fluides contenus dans les compartiments, on supposera qu’à l’équilibre la
pression est uniforme dans les compartiments. On supposera dans toute la suite que les frottements lors du
déplacement des pistons sont totalement négligeables du point de vue énergétique.
Piston Π 1
d1
Compartiment 1
Piston Π 0
d0
Compartiment 0
Un mécanisme, non décrit ici, permet de modifier au gré de l’utilisateur, la nature des parois du cylindre
et des pistons de la façon suivante :
– Les parois peuvent être calorifugées (interdisant alors les échanges d’énergie sous forme de chaleur).
– Les parois peuvent être rendues perméables à la chaleur.
Par ailleurs un système mécanique permet de bloquer ou de débloquer le mouvement de chacun des pistons
sans modifier la géométrie du système.
Données générales :
– Section du cylindre : S = 1O−2 m2
– Accélération de la pesanteur : g = 10 m.s−2
– La pression atmosphérique est constante et égale à Patm = 105 P a
2.1 Étude de différentes transformations subies par un gaz parfait
Pour cette partie de l’étude, le compartiment inférieur contient du dioxygène assimilé à un gaz parfait.
Le compartiment supérieur contient du diazote également assimilé à un gaz parfait. Les parois du cylindre
et le piston Π1 sont perméables à la chaleur. Le piston Π0 est calorifugé.
Données :
– Rapport de capacités thermiques du dioxygène : γ0 = 1, 4
– Constante massique du dioxygène : r0 = 260 J.K −1 .kg −1
– Rapport de capacités thermiques du diazote : γ1 = 1, 4
– Constante massique du diazotee : r1 = 297 J.K −1 .kg −1
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Remarque : On appelle constante massique d’un gaz parfait le rapport de la constante R des gaz parfait
sur la masse molaire du gaz.
1. On bloque le piston Π0 Le piston Π1 peut se déplacer librement. Le dispositif expérimental est alors
dans l’état d’équilibre noté A.
Le dioxygène contenu dans le compartiment 0 est caractérisé par une pression PA0 = 105 P a et une
température TA0 = 300 K. La longueur du compartiment 0 est alors d0A = 0.2 m.
Le diazote contenu dans le compartiment 1 est caractérisé par une pression PA1 = 105 P a et une
température TA1 = 300 K. La longueur du compartiment 1 est alors d1A = 0.15 m. On place le cylindre
au contact d’une source (thermostat) à la température TS = 600 K. Chacun des sous-systèmes,
constitué par chacun des gaz (repéré comme les compartiments par 0 et 1), atteint un nouvel état
d’équilibre (B).
On note TB0 , PB0 , et d0B respectivement la température du dioxygène (gaz 0), la pression du dioxygène
et la hauteur du compartiment 0 dans cet état d’équilibre.
De la même façon TB1 , PB1 , et d1B représentent la température du diazote (gaz 1), la pression du diazote
et la hauteur du compartiment 1 dans son nouvel état d’équilibre.
a) Calculer la masse m0 de dioxygène contenue dans le compartiment 0 et la masse m1 de diazote
contenue dans le compartiment 1.
b) Caractériser la transformation subie par le dioxygène. En déduire TB0 , PB0 , et d0B .
c) Caractériser la transformation subie par le diazote. En déduire TB1 , PB1 , et d1B .
0
d) Calculer la quantité d’énergie reçue par transfert mécanique (travail) par le dioxygène (WA→B
),
1
et par le diazote (WA→B ) au cours de la transformation.
e) Calculer la quantité d’énergie reçue par transfert thermique (chaleur) par le dioxygène (Q0A→B ),
et par le diazote (Q1A→B ) au cours de la transformation.
0
f) Calculer la variation d’entropie ∆SAB
pour le dioxygène entre les deux états d’équilibre.
1
g) Calculer la variation d’entropie ∆SAB
pour le diazote entre les deux états d’équilibre.
c
h) Calculer l’entropie produite SA→B
au cours de la transformation.
2. Les deux sous-systèmes étant chacun dans leur propre état d’équilibre (repéré par l’indice B), on bloque
le piston Π1 , puis on débloque le piston Π0 (qui est toujours calorifugé).
Le cylindre est toujours au contact de la source à la température TS = 600 K.
Chacun des sous-systèmes atteint un nouvel état d’équilibre (C).
On note TC0 , PC0 , et d0C respectivement la température du dioxygène, la pression du dioxygène et
la hauteur du compartiment 0 dans son nouvel état d’équilibre. De la même façon TC1 , PC1 , et d1C
représente la température du diazote, la pression du diazote et la hauteur du compartiment 1 dans
son nouvel état d’équilibre.
a) Que peut-on dire sur les températures TC0 et TC1 et sur les pressions PC0 et PC1 du dioxygène et du
diazote dans l’état d’équilibre C ?
b) Déterminer les longueurs d0C et d1C . En déduire les pressions PC0 et PC1 .
c) Calculer les variations d’énergie interne ∆UBC et d’entropie ∆SBC pour le système (les deux gaz)
entre les deux états d’équilibre.
c
au cours de la transformation.
d) En déduire l’entropie produite SB→C
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3 Moteur diesel
On admettra que les mélanges gazeux considérés sont assimilables à des gaz parfaits, que les capacités
thermiques massiques à pression et volume constants sont indépendantes de la température et que leur
rapport vaut γ = 1,40.
L’excès d’air nécessaire à la combustion des carburants sera considéré comme suffisant pour que dans
toutes les phases des cycles, le mélange gazeux comprimé, détendu, chauffé et refroidi puisse être assimilé à
cet air. On ne tiendra donc compte de la masse des carburants que pour évaluer les quantités de chaleurs
reçues de la source chaude.
3.1 Question préliminaire
Les mélanges ayant un masse molaire M égale à celle de l’air, déterminer les valeurs numériques des
capacités thermiques massiques à pression constante cP et à volume constant cV . On prendra R = 8,314
J.mol−1 .K−1 pour la constante des gaz parfaits et M = 29,0 g.mol−1 pour la masse molaire de l’air.
3.2 Etude générale du cycle moteur
Le cycle d’un moteur diesel peut être décrit par la suite de transformations suivantes :
– compression adiabatique réversible de l’air de A à B ;
– combustion isobare, par injection de carburant, de B à C ;
– détente adiabatique réversible de C à D ;
– refroidissement isochore de D à A.
1. Tracer ce cycle dans le diagramme de Watt (p en ordonnée et V en abscisse).
On suppose que la quantité de chaleur reçue de la source chaude provient exclusivement de la combustion interne.
2. Exprimer les transfert thermiques reçus par le mélange au cours des transformation A − B, B − C,
C − D et D − A (notés QAB ; QBC ; QCD et QDA ) en fonction de la masse du mélange, des capacités
thermiques massiques cP et cV et des températures des différents états.
VA
VA
3. Exprimer toutes les températures en fonction de TA et des rapports volumétriques α =
et β =
.
VB
VC
4. Montrer que l’expression du rendement r du cycle (rapport entre le travail fourni et la quantité de
chaleur reçue de la source chaude) en fonction de γ et des rapports volumétriques α et β est :
( )γ
r =1+
1 β
γ αγ
1−
α
β
( )
1−
β
α
3.3 Caractéristiques techniques
Sur la fiche technique d’un véhicule de grande série à moteur diesel, on lit les indications suivantes :
– cylindrée : 1471 cm3 (VB − VA ) ;
– taux de compression (α) : 23,5 ;
– consommation à 136 km/h : 11,4 litres de gasoil pour 100 km ;
– vitesse à 5000 tours/minute : 136 km/h.
On admettra pour simplifier (cela ne change rien à la thermodynamique du problème) que le moteur de
cette voiture a un cylindre unique, dont un cycle prend deux tours de l’arbre moteur. La température des
gaz à l’admission sera prise égale à 77˚C.
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1. Calculer la température des gaz en fin de compression.
2. Le gasoil utilisé pour les moteurs diesel est un hydrocarbure de haute masse molaire, de masse volumique 800 kg.m−3 .
Quelle est la masse de carburant injectée à chaque cycle (à 136 km/h) ?
3. Quelle est la masse d’air admise à chaque cycle ?
4. La combustion (supposée complète) des hydrocarbures lourds dégage une énergie de 46,8 kJ.g−1 .
Quelle serait la température TC en fin de combustion, dans le cadre des hypothèses de ce problème ?
VA
5. En déduire le rapport volumétrique
(qui détermine le point de la course du piston où l’injection
VC
doit cesser) ?
6. Que vaut alors le rendement théorique r ?
7. Quelle serait la puissance, en chevaux (1 cheval = 736 watts), de ce moteur fonctionnant exactement
selon le cycle proposé ?
8. La fiche technique donne : puissance à 5000 tr/min : 50 chevaux. Quelle(s) explication(s) voyez-vous
à cette valeur numérique ?
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