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Physique DM no12 (facultatif) : Thermodynamique de MPSI
DM n˚12 (facultatif) - Thermodynamique de
MPSI
À rendre pour le mardi 7 mars
1 Transformations d’un gaz parfait
On considère un cylindre vertical de section Sfermé par un pi-
son horizontal de masse négligeable, se déplaçant sans frottement.
Le cylindre est muni d’un robinet (R) dans sa partie inférieure. Sauf
indication contraire, le robinet est fermé.
Le cylindre contient, dans l’état d’équilibre initial E1,nmol d’air,
à la température T1=T0(T0est la température extérieure supposée
constante) et à la pression P1=P0(P0est la pression atmosphérique
supposée constante).
L’air est considéré comme un gaz parfait et on note γle rapport des capacités thermiques isobare et
isochore : γ=CP
CV, avec CP,CVet γconstantes.
On note P,Vet Tles pression, volume et température du gaz dans un état d’équilibre quelconque. On note
Rla constante des gaz parfaits.
Données : S= 1,0.10−2m2;n= 0,20 mol ; R= 8,314 J.K−1.mol−1;T0= 300 K ; P0= 1,0.105Pa ; γ=
1,40.
On notera que ce problème est composé de deux parties indépendantes.
PARTIE A : Le piston, les parois du cylindre et le robinet sont supposés être
diathermanes (parfaitement perméables à la chaleur).
1.1 Questions préliminaires de la partie A
1. Enoncer la relation de Mayer pour un gaz parfait. En déduire l’expression de CPet CVen fonction de
γ,Ret n.
2. Rappeler les expressions différentielles dUet dHdes énergies interne et enthalpie du gaz parfait
contenu dans le cylindre en fonction de CV,CPet dTpuis en fonction de n,R,γet dT.
3. En déduire la variation d’énergie interne ∆Uet d’enthalpie ∆Hau cours d’une transformation faisant
passer le système d’une température T1à une température T2.
4. Enoncer le premier principe.
1.2 Compressions du gaz
1. L’opérateur appuie très lentement sur le piston de manière à ce que la pression du gaz devienne
égale à P2= 1,5 P1. Une fois l’équilibre thermodynamique atteint, le gaz est dans l’état d’équilibre
E2avec une pression P2, une température T2et un volume V2.
a) Quels sont les adjectifs qualifiant cette tranformation parmi : réversible, irréversible, quasi-
statique, adiabatique, isochore, isobare, isotherme, monobare, monotherme ?
b) Exprimer puis calculer la température T2et le volume V2du gaz.
c) Représenter la transformation dans le diagramme de Clapeyron.
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d) Exprimer le travail Wrreçu par le gaz au cours de la transformation en fonction de n,R,V1et
V2. Calculer numériquement Wr.
e) Exprimer la variation d’énergie interne ∆U.
f) En déduire le transfert thermique Q. Calculer numériquement Q.
2. Le système étant de nouveau dans son état initial E1(P1,T1,V1), l’opérateur applique brutalement
une force de norme Fconstante sur le piston jusqu’à atteindre un état d’équilibre E3pour lequel la
pression du gaz est égale à P3= 1,5 P1. La température du gaz est alors T3et son volume V3.
a) Quels sont les adjectifs qualifiant cette tranformation : réversible, irréversible, quasi-statique,
adiabatique, isochore, isobare, isotherme, monobare, monotherme ?
b) En écrivant l’équilibre mécanique du piston, exprimer puis calculer F.
c) Exprimer puis calculer la température T3et le volume V3du gaz.
d) Représenter la transformation dans le diagramme de Clapeyron.
e) Exprimer le travail W′
rreçu par le gaz au cours de la transformation en fonction de P3,V1et V3.
f) Exprimer la variation d’énergie interne ∆U′.
g) En déduire le transfert thermique Q′. Calculer numériquement Q′.
h) Comparer Wret W′
r,Qet Q′puis Wr+Qet W′ r+Q′. Commenter.
1.3 Fuite de gaz
Partant de l’état E3(pression P3= 1,5 P1, volume V3, température T3), on ouvre le robinet pendant un
court instant, jusqu’à ce que la pression dans le cylindre soit égale à P0, puis on referme le robinet.
Le volume V3est maintenu constant pendant cette transformation. On note n′la quantité de gaz sorti du
cylindre.
La température du gaz dans le cylindre juste après avoir refermé le robinet est T′
3= 280 K.
1. Justifier rapidement et sans calcul la diminution de température observée.
2. Calculer la quantité de gaz n′qui est sorti du cylindre.
3. Donner l’expression du travail Wreçu par les nmol de gaz initialement présentes dans le cylindre. On
notera V′
3le volume total occupé par le gaz restant dans le cylindre et le gaz sorti du cylindre.
4. On attend que l’équilibre thermique soit atteint, puis on réouvre le robinet. Que se passe-t-il ? Quelle
est la quantité de matière restant dans le cylindre lorsque l’équilibre thermodynamique est à nouveau
atteint ?
PARTIE B : Le piston, les parois du cylindre et le robinet sont maintenant
supposés être calorifugés.
1.4 Questions préliminaires de la partie B
1. Donner l’expression de la première identité thermodynamique.
2. Établir les expressions différentielles dSde l’entropie du gaz parfait contenu dans le cylindre, en
fonction de n,R,γ,Tet V, et dT et dV , puis en fonction de n,R,γ,Pet V, et dP et dV .
3. Déduire de la question précédente la loi de Laplace vérifiée par les variables Pet Vpour une trans-
formation adiabatique réversible d’un gaz parfait.
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1.5 Compressions du gaz
1. Dans cette partie le robinet (R) est fermé. Un opérateur appuie très lentement sur le piston de
manière à ce que la pression du gaz devienne égale à P2= 1,5P1.
a) Préciser le type de transformation subie par le gaz.
b) Exprimer puis calculer le volume V2et la température T2du gaz.
c) Exprimer le travail Wrreçu par le gaz au cours de cette transformation en fonction de n,R,T1
et T2. Calculer Wr.
d) Que vaut la variation d’entropie du gaz au cours de cette transformation ? Que vaut l’entropie
créée ?
2. Le robinet (R) est toujours fermé dans cette partie. Le système étant de nouveau dans son état initial
(P1,V1,T1), l’opérateur applique brutalement une force de norme Fconstante sur le piston jusqu’à
atteindre un état d’équilibre pour lequel P3= 1,5P1. Le volume du gaz est alors V3et sa température
T3.
a) En écrivant l’équilibre mécanique final du piston, exprimer puis calculer F.
b) Exprimer le travail Wireçu par le gaz au cours de la transformation, en fonction de P3,V1et V3.
c) En utilisant le premier principe de la thermodynamique, exprimer le volume V3du gaz en fonction
de V1,γet du rapport P1
P3
. Calculer V3. En déduire la température T3du gaz dans le cylindre.
d) Calculer le travail Wiet le comparer à Wr.
e) Calculer la variation d’entropie du gaz ainsi que l’entropie créée. Commenter.
1.6 Ouverture du robinet
L’opérateur bloque le piston dans une position telle que V4= 2,80L, T4=T0= 300K et P=P4. Les
parois du cylindre et le robinet étant toujours calorifugés, l’opérateur ouvre le robinet pendant un court
instant jusqu’à ce que la pression dans le cylindre soit égale à la pression atmosphérique P0, puis il referme
le robinet. On note n′la quantité de gaz sorti du cylindre au cours de l’ouverture, qu’on suppose aussitôt
en équilibre thermique et mécanique avec l’extérieur (pression P0et température T0). La température du
gaz resté dans le cylindre est alors T5= 276K.
1. Calculer la pression P4du gaz.
2. Calculer la quantité n′sortie du cylindre.
3. Exprimer le travail Wreçu par les nmoles du gaz initialement présentes dans le cylindre en fonction
de n′,Ret T0. Calculer W.
A partir de l’état précédent (P0,V4,T5) où le cylindre contient n′′ moles, le dispositif n’étant pas
parfaitement calorifugé, la température dans le cylindre va, au bout d’une certaine durée, être égale à
la température extérieure T0.
4. Quelle sera alors la pression P6dans le cylindre ?
5. Exprimer puis calculer le transfert thermique Qreçu par le gaz contenu dans le cylindre.
6. Calculer la variation d’entropie du gaz contenu dans le cylindre pour cette nouvelle transformation.
Calculer l’entropie créée.
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2 Etude de différentes transformations subies par un gaz parfait
On considère un dispositif expérimental constitué d’un cylindre vertical ouvert dans l’atmosphère, aux
parois indéformables, de section S, dans lequel deux pistons de masse et d’épaisseur négligeables peuvent
se déplacer librement. Ces deux pistons, notés Π0et Π1définissent deux compartiments étanches dans le
cylindre (voir figure ci-dessous).
On utilisera le symbole 0 pour repérer les grandeurs relatives au compartiment inférieur et le symbole 1
pour repérer les grandeurs relatives au compartiment supérieur. On appellera notamment d0la longueur du
compartiment 0 la distance qui sépare le fond du cylindre du piston Π0et d1la longueur du compartiment
1 la distance qui sépare les deux pistons.
Quelle que soit la nature des fluides contenus dans les compartiments, on supposera qu’à l’équilibre la
pression est uniforme dans les compartiments. On supposera dans toute la suite que les frottements lors du
déplacement des pistons sont totalement négligeables du point de vue énergétique.
Compartiment 0
Compartiment 1
Piston Π0
Piston Π1
d1
d0
Un mécanisme, non décrit ici, permet de modifier au gré de l’utilisateur, la nature des parois du cylindre
et des pistons de la façon suivante :
– Les parois peuvent être calorifugées (interdisant alors les échanges d’énergie sous forme de chaleur).
– Les parois peuvent être rendues perméables à la chaleur.
Par ailleurs un système mécanique permet de bloquer ou de débloquer le mouvement de chacun des pistons
sans modifier la géométrie du système.
Données générales :
– Section du cylindre : S= 1O−2m2
– Accélération de la pesanteur : g= 10 m.s−2
– La pression atmosphérique est constante et égale à Patm = 105P a
2.1 Étude de différentes transformations subies par un gaz parfait
Pour cette partie de l’étude, le compartiment inférieur contient du dioxygène assimilé à un gaz parfait.
Le compartiment supérieur contient du diazote également assimilé à un gaz parfait. Les parois du cylindre
et le piston Π1sont perméables à la chaleur. Le piston Π0est calorifugé.
Données :
– Rapport de capacités thermiques du dioxygène : γ0= 1,4
– Constante massique du dioxygène : r0= 260 J.K−1.kg−1
– Rapport de capacités thermiques du diazote : γ1= 1,4
– Constante massique du diazotee : r1= 297 J.K−1.kg−1
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Physique DM no12 (facultatif) : Thermodynamique de MPSI
Remarque : On appelle constante massique d’un gaz parfait le rapport de la constante Rdes gaz parfait
sur la masse molaire du gaz.
1. On bloque le piston Π0Le piston Π1peut se déplacer librement. Le dispositif expérimental est alors
dans l’état d’équilibre noté A.
Le dioxygène contenu dans le compartiment 0 est caractérisé par une pression P0
A= 105P a et une
température T0
A= 300 K. La longueur du compartiment 0 est alors d0 A= 0.2m.
Le diazote contenu dans le compartiment 1 est caractérisé par une pression P1
A= 105P a et une
température T1
A= 300 K. La longueur du compartiment 1 est alors d1 A= 0.15 m. On place le cylindre
au contact d’une source (thermostat) à la température TS= 600 K. Chacun des sous-systèmes,
constitué par chacun des gaz (repéré comme les compartiments par 0 et 1), atteint un nouvel état
d’équilibre (B).
On note T0
B,P0 B, et d0 Brespectivement la température du dioxygène (gaz 0), la pression du dioxygène
et la hauteur du compartiment 0 dans cet état d’équilibre.
De la même façon T1
B,P1 B, et d1 Breprésentent la température du diazote (gaz 1), la pression du diazote
et la hauteur du compartiment 1 dans son nouvel état d’équilibre.
a) Calculer la masse m0de dioxygène contenue dans le compartiment 0 et la masse m1de diazote
contenue dans le compartiment 1.
b) Caractériser la transformation subie par le dioxygène. En déduire T0
B,P0 B, et d0 B.
c) Caractériser la transformation subie par le diazote. En déduire T1
B,P1 B, et d1 B.
d) Calculer la quantité d’énergie reçue par transfert mécanique (travail) par le dioxygène (W0
A→B),
et par le diazote (W1
A→B) au cours de la transformation.
e) Calculer la quantité d’énergie reçue par transfert thermique (chaleur) par le dioxygène (Q0
A→B),
et par le diazote (Q1
A→B) au cours de la transformation.
f) Calculer la variation d’entropie ∆S0
AB pour le dioxygène entre les deux états d’équilibre.
g) Calculer la variation d’entropie ∆S1
AB pour le diazote entre les deux états d’équilibre.
h) Calculer l’entropie produite Sc
A→Bau cours de la transformation.
2. Les deux sous-systèmes étant chacun dans leur propre état d’équilibre (repéré par l’indice B), on bloque
le piston Π1, puis on débloque le piston Π0(qui est toujours calorifugé).
Le cylindre est toujours au contact de la source à la température TS= 600 K.
Chacun des sous-systèmes atteint un nouvel état d’équilibre (C).
On note T0
C,P0 C, et d0 Crespectivement la température du dioxygène, la pression du dioxygène et
la hauteur du compartiment 0 dans son nouvel état d’équilibre. De la même façon T1
C,P1 C, et d1 C
représente la température du diazote, la pression du diazote et la hauteur du compartiment 1 dans
son nouvel état d’équilibre.
a) Que peut-on dire sur les températures T0
Cet T1 Cet sur les pressions P0 Cet P1 Cdu dioxygène et du
diazote dans l’état d’équilibre C ?
b) Déterminer les longueurs d0
Cet d1 C. En déduire les pressions P0 Cet P1 C.
c) Calculer les variations d’énergie interne ∆UBC et d’entropie ∆SBC pour le système (les deux gaz)
entre les deux états d’équilibre.
d) En déduire l’entropie produite Sc
B→Cau cours de la transformation.
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