Chapitre 3 : Sommaire : DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAIT

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25/12/2006 M.D.F. - Rafic Younès 1
UNIVERSITE LIBANAISE
FACULTE DE GENIE
DEPARTEMENT MECANIQUE
MECANIQUE DES FLUIDES
INCOMPRESSIBLES
Rafic YOUNES
25/12/2006 M.D.F. - Rafic Younès 2
Chapitre 3 :
DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAIT
Sommaire :
I – Introduction
II – Équation fondamentale de la
dynamique
III – Application
IV – Théorème de Bernoulli
V – Applications
VI – Théorème d’Euler
VII – Application

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INTRODUCTION
Dynamique des fluides :
Il s’agit de tenir compte de toutes les forces agissant
sur les particules fluides en cours de mouvement.
Une description quantitative du mouvement peut
être déduite d’équations fondamentales.
Les forces en jeu sont uniquement des forces de
surface dues uniquement à la pression et des forces
de volume dues à la gravitation.
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Fluide parfait
en mouvement Fluide réel en
mouvement
Les forces de surface sont normales
Fluide réel ou
parfait au repos
12−
Fd r
21−
Fd
r
12−
Fd
r
12−
Fd
r
21−
Fd
r
21−
Fd
r
INTRODUCTION
Fluide parfait et fluide réel :

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Volume VC
Surface S
∫⋅⋅= VC
VdgF
τρ
r
r
(
)
τ dfdargdSnf VCS ⋅=⋅⋅ ∫∫∫∫∫
r
r
∫⋅⋅−= S
SdSnpF r
r
dt
Vd
mFFF VS ⋅=+=
∑rrr
Soit un volume VC d’un fluide parfait animé d’une
accélération γ, délimité par une surface S dans un
repère Galiléen R.
La formule du gradient permet de passer d’une intégrale de surface à
une intégrale de volume
avec
&
D’où
()
∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ⋅⋅=⋅⋅+⋅∇− VCVCVC d
dt
Vd
dgdp
τρτρτ
r
dt
Vd
gp ⋅=⋅+∇−
ρρ
r
)(
ÉQUATION FONDAMENTALE
Vitesse V
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∫⋅= VC VV dfF
τ
r
r
∫⋅⋅= S
SdSnF r
r
σ
Volume VC
Surface S
dt
Vd
mFFF VS
r
rrr ⋅=+=
∑
Généralisation
&
Soit σ le tenseur des forces surfaciques
et fVle champ des forces volumiques
(
)
τ dfdivdSnf VCS ⋅=⋅⋅ ∫∫∫∫∫
r
La formule d’Ostogradeski permet de passer d’une intégrale de
surface à une intégrale de volume
D’où
()
∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ⋅⋅=⋅+⋅∇− VCVC V
VC d
dt
Vd
dfd τρττσ
r
dt
Vd
fV⋅=+∇−
ρσ
r
)(
ÉQUATION FONDAMENTALE
Vitesse V

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ÉQUATION FONDAMENTALE
[]
VgradV
t
V
dt
Vd ⋅⋅+
∂
∂
=z
V
y
V
x
VgradV zyx ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=⋅
avec
nS e
r
V
e
dt
dV
dt
Vd rr 2
+=
En coordonnés
cylindriques : r
eRe
dt
dV
dt
Vd rr ⋅−⋅= 2
ϖ
θ
()
gpVrotV
V
grad
t
Vr
rrr +∇−=∧−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
∂
∂)( 1
22
12
ρ
[
]
()
VrotV
V
grad
VgradV
rr ∧−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=⋅⋅
22
12
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5 inconnues…
Pression
Masse volumique
3 composantes de la
vitesse
5 équations…
1 Équation de continuité
3 Équations du principe
fondamentale de la
dynamique
Masse volumique
constante
ÉQUATION FONDAMENTALE

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APPLICATION
Soit un réservoir cylindrique rempli d’un fluide
incompressible de masse volumique
ρ et animé
d’un vitesse de rotation .
Trouver l’équation de la
surface libre du fluide
en écoulement établi.
k
r
r
⋅Ω=Ω
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APPLICATION
Projection de l’Équation d’Euler dans le repère cylindrique :
Axe radial :
Axe ortho-radial :
Axe vertical :
r
p
r∂
∂
⋅−=⋅Ω−
ρ
1
2
0
1=
∂
∂
⋅−
θρ
p
0
1=−
∂
∂
⋅− g
z
p
ρ
(
)
zrpp ,
=
()
zf
r
zrp +⋅Ω⋅= 2 ),( 2
2
ρ
te
Czg
r
zrp +⋅−⋅Ω⋅= ρρ
2
),( 2
2
r
eRe
dt
dV
gp rrr ⋅⋅Ω−⋅=+∇− 2 )(
1
θ
ρ
A la surface p = patm :te
atm C
g
p
g
r
z+
⋅
+⋅Ω=
ρ 2
2
2