Physique Statistique R´ esum´ e du cours de

Licence 3 et Magist`ere de physique
R´esum´e du cours de Physique Statistique
Christophe Texier
10 mai 2017

Table des mati`eres
Conseils bibliographiques 3
1` A quoi sert la physique statistique ? 4
2 Description microscopique 4
2.1 ´ Equilibremacroscopique................................ 4
2.2 Descriptionclassique.................................. 4
2.3 Descriptionquantique ................................. 5
2.4 Compter les micro´etats : densit´e d’´etats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Entropie 8
4 Les ensembles de la physique statistique 9
4.1 Ensemble microcanonique (syst`eme isol´e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 Ensemble canonique (syst`eme thermostat´e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.3 Ensemble grand canonique (syst`eme en contact avec un r´eservoir de particules) . 16
4.4 L’´equivalence des ensembles `a la limite thermodynamique . . . . . . . . . . . . . 18
4.5 Relˆachement de contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5 Les statistiques quantiques 20
5.1 L’ensemble grand canonique reformul´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.2 Statistique de Bose-Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.3 Application : le gaz de photons (thermodynamique du rayonnement) . . . . . . . 22
5.4 Statistique de Fermi-Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.5 Limite dilu´ee (r´egime classique, Maxwell-Boltzmann) . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.6 Application : le gaz parfait de fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.7 Application : Condensation de Bose-Einstein dans un gaz atomique . . . . . . . . 25
A Formulaire 26
B Correction des exercices 26
Bibliographie 28
Figure de couverture
Haut : qui sont ces quatre barbus ?
Bas :
⇤100 K, so extraordinary detector sensitivity and sta-
bility are needed. Also, care must be taken to avoid
changes in the signal from antenna side-lobes when
moving the antenna beams, and the effects of atmo-
spheric emission and galactic radiation must be mini-
mized. Early experimenters spent many years develop-
ing receivers and techniques for observations from the
ground, balloons, and aircraft. They successfully de-
tected the dipole effect, a Doppler shift due to the sun’s
velocity with respect to the CMBR frame. The dipole
amplitude is 3.3 mK, ⇥10⌅3TCMBR . However, the early
experiments failed to separate the important intrinsic
CMBR anisotropy from spurious effects.
By the late 1970s, the lessons learned from the early
experiments led to the design of the COBE satellite’s
differential microwave radiometers (DMR) which con-
clusively detected the CMBR anisotropy after a year of
orbital data had been analyzed (Smoot et al., 1992). The
COBE/DMR experiment used differential radiometers
at 31, 53, and 90 GHz to map the sky with beams of 7°
full width. The three frequencies were needed to sepa-
rate the CMBR anisotropy from Galactic radio emis-
sion. These sources have different, but known, fre-
quency dependence. The rms amplitude of the CMBR
on angular scales ⇥7° was found to be 305
K. One
sees why terrestrially based experiments had so much
trouble separating the CMBR anisotropy from the ef-
fects of the 300 K background of the Earth’s environ-
ment. After four years of data the signal-to-noise ratio
in regions of the COBE/DMR map away from the ga-
lactic plane was about 2, so the CMBR anisotropy was
clearly detected (Bennett et al., 1996). Figure 3 shows a
four-year COBE/DMR map in which the galactic signal
has been subtracted using data from all three COBE/
DMR frequencies. The subtraction is not complete near
the galactic plane.
The COBE/DMR result was quickly confirmed using
data from an earlier MIT balloon experiment, the Far
Infrared Survey (FIRS). The measurement was made
using bolometric detectors at 170 GHz and higher. On
their own, the FIRS data were too noisy and contami-
nated by spurious effects to permit an unambiguous iso-
lation of the CMBR anisotropy signal. However, cross
correlation of the FIRS map with the COBE/DMR map
showed a strong common signal. The much higher fre-
quency of the FIRS data provided a measurement of the
spectrum of the common signal; it matched that ex-
pected from a 2.73 K blackbody (Ganga et al., 1993).
After COBE, interest in the CMBR anisotropy turned
to measurements at smaller angular scales. Again, ex-
perimenters have used ground- and balloon-based in-
struments with coherent receivers, bolometric detectors,
and interferometers (see Page, 1997, for a review). Since
the COBE/DMR measured anisotropy only at angles
⇥7°, it was natural for the experiments to move to
smaller angular scales. Also, theorists had found that,
during the decoupling process of the standard model,
certain angular scales are enhanced, embedding measur-
able features in the angular power spectrum of the
CMBR anisotropy (e.g., Bond and Efstathiou, 1987).
These were predicted to appear at scales from about 1°
to 0.1°. Experimental progress at these intermediate an-
gular scales has been rapid, with all three detection tech-
niques contributing to the current picture. Figure 4
shows a plot of the average of many measurements of
CMBR anisotropy amplitude vs angular scale. (Angles
are represented by the spherical-harmonic index l,
angle ⇥180°/l.) The solid line shows the prediction of a
representative theoretical model. One is impressed that
the measurements indicate increased fluctuations at
about the angular scales predicted by the models. How-
ever, even after averaging over all measurements avail-
FIG. 3. (Color) The final four-year sky map (in galactic coordinates) produced by the DMR experiment aboard COBE. Some of
the stronger features seen off the galactic plane are due to real CMBR anisotropy. The 2.73 K CMBR level, the 3.3 mK dipole, and
most of the galactic emission have been subtracted to obtain this map. The temperature range is 150
K. (Figure courtesy COBE
Science Working Group, NASA/GSFC.)
S175
L. Page and D. Wilkinson: Cosmic microwave background radiation
Rev. Mod. Phys., Vol. 71, No. 2, Centenary 1999
Figure tir´ee de l’article : Lyman Page & David Wilkinson, Cosmic microwave background radiation ,
Review of Modern Physics 71, S173 (1999).
2

Conseils bibliographiques
Attention : ces notes de cours succinctes ne dispensent absolument pas d’aller consulter des
ouvrages. Lire des ouvrages scientifiques et apprendre `a en tirer de l’information (sans forc´ement
les lire in extenso) est un exercice essentiel de la formation scientifique.
A. Physique statistique
Les ouvrages les plus faciles d’acc`es :
•Une introduction : volume V du cours de Berkeley de F. Reif [14].
•P´edagogique et plutˆot synth´etique : C. & H. Ngˆo [11].
•Complet et p´edagogique : B. Diu, C. Guthmann, D. Lederer & B. Roulet [6] (l’ouvrage fait ∼1000
pages mais le cœur n’occupe que ∼235 pages, le reste ´etant des compl´ements et illustrations).
•Un livre r´ecent de nos coll`egues Nicolas Sator (UPMC) et Nicolas Pavloff (UPSud) [15].
•Polycopi´e (en anglais) de Henk Hilhorst : http://www.th.u-psud.fr/page_perso/Hilhorst/
•Par deux enseignants de l’´equipe “physique statistique” du magist`ere [17] :
Ouvrages de r´ef´erence :
•Re-citons : B. Diu, C. Guthmann, D. Lederer & B. Roulet [6].
•Un ouvrage tr`es agr´eable : R. K. Pathria & P. D. Beale [12]
(avec discussion des transitions de phases et ses ph´enom`enes critiques).
•Un livre classique et complet : F. Reif [13].
•Un autre classique (plus difficile) : le Landau & Lifchitz [9].
•Tr`es profond et complet, mais ´egalement plus difficile : R. Balian [2, 3].
Exercices :
•Par deux anciens enseignants de l’UPMC et membres du LPTMS (U-PSud) : H. Krivine &
J. Treiner [8].
B. R´eviser la m´ecanique quantique
•Un grand classique : C. Cohen-Tannoudji, B. Diu & F. Lalo¨e [5].
•Deux excellents livres r´ecents : J.-L. Basdevant & J. Dalibard [4] et M. Le Bellac. [10].
•Encore plus r´ecent, assez synth´etique et avec une l´eg`ere coloration mati`ere condens´ee/physique
m´esoscopique , [16] (fait sp´ecialement pour le magist`ere d’Orsay ,).
C. Physique du solide
•Un livre assez descriptif et agr´eable : C. Kittel [7].
•Un classique assez d´etaill´e : N. Ashcroft & N. Mermin [1].
3

1` A quoi sert la physique statistique ?
La physique statistique permet de d´eduire, par l’utilisation de m´ethodes probabilistes, les
propri´et´es des syst`emes aux ´echelles macroscopiques `a partir des lois qui gouvernent les
constituants ´el´ementaires aux ´echelles microscopiques.
Par exemple : `a partir des lois d´ecrivant le mouvement et les interactions en les atomes (m´ecanique
newtonienne), elle permet de pr´edire (et donc de comprendre) les propri´et´es `a l’´echelle macro-
scopique (phases gazeuse, liquide, solide).
C’est une th´eorie sur-couche :il faudra donc injecter l’information sur le niveau de
description de l’´echelle microscopique. Par exemple les lois de la m´ecanique classique : notions
de position, impulsion, espace des phases, le principe fondamental de la dynamique,...
´
Emergence : Il faut toutefois bien comprendre que le niveau fondamental ne se trouve pas
dans la description microscopique. En atteste que diff´erents types de description de l’´echelle
microscopique peuvent conduire `a des r´esultats analogues `a l’´echelle macroscopique.
´
El´ementaire 6=Fondamental
Par exemple, l’existence de diff´erentes phases (gazeuse, liquide, solide) n’est pas contenue dans
les lois de Newton et la description du potentiel d’interaction inter-atomique. C’est le passage
`a la limite N→ ∞ atomes (en fait N∼ NA= 6 ×1023) qui permet de comprendre l’´emergence
de ces diff´erentes organisations de la mati`ere.
2 Description microscopique
L’utilisation du langage probabiliste consiste `a remplacer l’´etude de la dynamique (com-
plexe) du syst`eme, i.e. caract´eriser par quelle succession d’´etats passe le syst`eme, par une in-
formation de nature probabiliste, i.e. d´eterminer avec quelle probabilit´e le syst`eme occupe
un ´etat particulier.
2.1 ´ Equilibre macroscopique
Le cours s’int´eresse aux syst`emes `a l’´equilibre macroscopique :
•Toutes les grandeurs macroscopiques sont stationnaires.
•Les flux macroscopiques sont nuls.
Exemple : Le gaz dans une salle est `a l’´equilibre macroscopique (temp´erature, densit´e,...
constants). Il n’y a pas de flux (pas de ph´enom`ene de convection entretenu par un ventilateur,
par exemple). L’´equilibre macroscopique est `a distinguer de l’´equilibre m´ecanique (immobilit´e).
2.2 Description classique
Consid´erons le cas concret (et important) d’un gaz d’atomes (sans degr´es de libert´e internes),
des atomes d’h´elium par exemple. Dans le cadre de la m´ecanique classique, l’´etat du syst`eme
est caract´eris´e `a un instant donn´e par l’ensemble des positions et impulsions des atomes, i.e. un
point de l’espace des phases :
micro´etat : (r1,··· , rN, p1,··· , pN)≡
Γ∈espace des phases
4

Connaissant  Γ0= Γ(t0), la logique de la m´ecanique classique consiste `a d´eterminer la trajectoire
Γ(t) pour t>t0, en r´esolvant les ´equations du mouvement (en g´en´eral 6N´equations diff´erentielles
non lin´eaires du premier ordre coupl´ees) :
dri(t)
dt=1 mpi(t) et dpi(t) dt=−
∇iV(r1(t),··· , rN(t)) , i = 1,··· , N
Comme le nombre d’atomes est typiquement ´enorme, N∼1023, cette entreprise est d´esesp´er´ee...
L’information probabiliste est encod´ee dans une distribution de probabilit´e dans l’espace des
phase, que nous notons ρ( Γ).
Le micro´etat est caract´eris´e par un vecteur (`a 6Ncomposantes)  Γ qui varie continˆument
dans l’espace des phases. ρ( Γ) est une densit´e de probabilit´e, i.e. ρ( Γ) d6N Γ est la probabilit´e
pour que le syst`eme se trouve dans le volume ´el´ementaire d6N Γ autour de  Γ. Elle satisfait la
condition de normalisation Rρ( Γ) d6N Γ = 1.
Objectif : L’objet du cours sera de d´efinir quelques r`egles simples permettant de d´eterminer
la distribution ρ( Γ), qui d´ependra seulement d’un petit nombre de param`etres macroscopiques
(l’´energie totale pour un syst`eme isol´e, le volume, etc). On parlera ainsi de
macro´etat :ρ(
Γ)
2.3 Description quantique
On aura parfois besoin de se placer dans le cadre de la m´ecanique quantique (par exemple
pour ´etudier la vibration mol´eculaire dans les gaz ou la vibration des corps solides). L’informa-
tion microscopique est cette fois encod´ee dans un vecteur d’´etat, ´el´ement de l’espace des ´etats
quantiques (un espace de Hilbert H) :
micro´etat :|ψ`i ∈ H
o`u en pratique l’´etat quantique |ψ`iest rep´er´e par un ensemble de nombres quantiques re-
group´es dans la notation .
Exemple : si l’on consid`ere une particule libre dans une boˆıte cubique, pour des conditions
aux limites de Dirichlet, les ´etats quantiques (stationnaires) sont de la forme
ψnx,ny,nz(r) = (2/L)3/2sin(nxπx/L) sin(nyπy/L) sin(nzπz/L) avec nx, ny, nz∈N∗
pour une ´energie Enx,ny,nz= (n2
x+n2 y+n2 z)π2~2/(2mL2).
Exemple 2 : ´etat de spin.– Les particules ´el´ementaires portent un moment cin´etique in-
trins`eque appel´e spin (qu’on pourrait interpr´eter, incorrectement, comme le moment cin´etique
caract´erisant la rotation de la particule sur elle-mˆeme). La dimension de l’espace des ´etats de
spins est (2s+ 1). Un exemple important est le cas du spin 1/2 (´electron, proton, neutron,...)
caract´eris´e par deux ´etats de spin : par exemple la base des ´etats propres de la composante Sz
du vecteur spin : {| ↑i,| ↓i}.´ Evidemment, contrairement aux ´etats orbitaux de la particule
dans la boˆıte que nous venons de discuter, les ´etats de spins n’admettent pas de description
classique.
La notion de macro´etat correspond `a se donner l’ensemble des probabilit´es d’occupation des
micro´etats :
macro´etat :{P`}
avec P`P`= 1. La m´ecanique quantique assure le caract`ere discret des micro´etats.
5