Chapitre 2 Logique des propositions (Master M2II)

Chapitre 2
Logique des propositions
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1 – Introduction
Logique
L. Générale
L. Mathématique
L. Philosophique
L. Prédicats
L. P. Premier ordre
L. P. Supérieur
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1 – 1 – But initial de la logique
mathématique
La logique mathématique s’attache à
comprendre, formaliser et de rendre plus
rigoureux le processus de raisonnement et
de preuves utilisés en mathématiques et
dans les sciences exactes.
Pour l’intelligence Artificielle, la logique
mathématiques
nous
permet
la
représentation des connaissances et le calcul
rigoureux des solutions.
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1 – 2 – Théorie logique
Une théorie logique est définie par un
langage avec une syntaxe et une
sémantique.
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1 – 2 – 1 – Langage
Un langage est ensemble de symboles
(Alphabets ) et de règles de construction des
EBF ( Expression Bien Formée ).
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1 – 2 – 1 – Syntaxe
La syntaxe spécifie la manière de
construire des expressions du langage
correct.
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1 – 2 – 3 – Sémantique
La sémantique traite le sens attribué aux
expressions selon ce qu’on appelle des
interprétations.
Elle régie la manière de comprendre les
expressions du langage en vue d’application
déterminée.
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2 – Logiques des propositions : ( L. P. )
2 – 1 – Généralités et définitions
Pour exprimer les idées, formuler des
jugements, transmettre nos expériences,
nous énonçons des propositions. On dit
aussi assertion, jugement, énoncé, …
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2 – 1 – 1 – Proposition
Il est vain de chercher d’une manière exacte
ce que c’est qu’une proposition, mais on
notera donc une faculté particulière de la
proposition c’est qu’elle ne peut être que
VRAIE ou FAUSSE. D’où la définition
suivante :
Proposition = Expression prenant sa valeur
dans l’ensemble { T , F }.
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2–1–2– Langage : Symboles ou Alphabets
Atome : A, B, C, … sont des atomes
(propositions élémentaires )
Connecteurs : ( Opérateurs )
 : négation ( A) NON
 : disjonction ( OU )
 : conjonction ( ET )
 : implication
 : équivalence
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2–1–2– Langage : Symboles ou Alphabets(suite)
Table de vérité : Le VRAI ne peut impliqué
le FAUX.
Soient H et G deux expressions du langage
H
F
F
T
T
G
F
T
T
F
G
T
F
F
T
H  G H  G H G H G
F
F
T
T
T
F
T
F
T
T
T
T
T
F
F
F
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2–1–3–Expression bien formé (ebf ) du langage
( 1 ) un atome est une ebf.
( 2 ) SI h est une ebf ALORS  h est une ebf.
( 3 ) SI h et g sont des ebf ALORS h*g est une
ebf ( avec * désigne  ,  ,  ,  ).
( 4 ) SI h est une ebf ALORS (h) est une ebf.
( 5 ) On ne peut pas trouver une ebf qui n’est pas
engendrer par les trois règles ci–haut.
Remarque : On appelle un littéral toute forme X
ou ¬X avec X est un atome.
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2 – 1 – 4 – formes Normales
2–1–4–1–formes normales conjonctives
G est une forme normale conjonctive si et seulement
si
avec
désigne un littéral.
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2–1–4–2– formes normales disjonctives
est une forme normale disjonctive si et
seulement si
G
avec
désigne un littéral.
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Exemple
Mettre sous forme normale conjonctive
l’expression suivante :
1. On transforme
puis
par (
par (
)
et
)
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Exemple (suite)
2. Réduire le domaine de  à un atome :
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Exemple (suite)
3. Utilisez la distributivité de (1) par rapport à
(2) et inversement.
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2–1–5– Quelques équivalences de base
18
2–1–5–Quelques équivalences de base (suite)
19
2–1–5–Quelques équivalences de base (suite)
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2–1–6–La sémantique du langage de L.P
2 – 1 – 6 – 1 – Interprétation
On appelle interprétation d’une proposition
élémentaire P une application
L’interprétation d’une ebf est l’évaluation de
celle-ci, c’est-à-dire une application I de
l’ensemble des atomes de l’ebf
{ T , F } qui
à chaque atome Ai de l’ebf associe la valeur T ou
F.
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2 – 1 – 6 – 1 – Interprétation (suite)
Exemple :
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2 – 1 – 6 – 2 – Modèle
I est un modèle de G si et seulement si
I(G) = T
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2–1–6–3–Validité et Inconsistance
G est valide ssi  I I(G) = T ( On dit
aussi tautologie )
Sinon G est invalide.
G est inconsistante ssi  I I(G) = F
Sinon G est consistante.
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2–1–6–3–Validité et Inconsistance
Exemple
G1 = P   Q Invalide / consistante
G2 = P   P Valide
G3 = P   P Inconsistante
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2 – 1 – 6 – 4 – Equivalence
G et H sont équivalentes ssi
 I I(G) = I(H)
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2–1–6–5– Conséquence logique
G est conséquence logique de F1 , F2 , . . . , Fn
ssi tout modèle de ( F1  F2  . . .  Fn ) est
modèle de G.
On note : F1 , F2 , . . . , Fn ╞═ G
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2–1–6–6– Théorème de la déduction
F1, F2, . . ., Fn ╞═ G
ssi
(F1  F2  . . . Fn)
G est valide.
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2–1–6–6– Théorème de la déduction(suite)
Preuve
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2–1–6–7–Théorème et Corollaire
G est conséquence logique de F1 , F2 , . . . ,
Fn ssi
( F1  F2  . . .  Fn   G ) est inconsistante
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2–1–7– La Syntaxe
2–1–7–1– Exemples d’axiomes
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2–1–7–1– Exemples d’axiomes (suite)
Vérification de A1 par table de vérité :
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2–1–7–2 – Règle d’inférence
Une règle d’inférence est la représentation
d’un procédé pour établir d’autres ebf à
partir d’une ou plusieurs ebf.
Si ( A1 , A2 , . . . , An ) alors
B
Prémisses
Conclusion
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2–1–7–2 – Règle d’inférence (suite)
La règle de Modus Ponens ( règle de
détachement )
{(G
H ) , G } donne H
Prémisses
Conclusion
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2–1–7–2 – Règle d’inférence (suite)
Autres règles d’inférences :
Modus Tollens
{ ( G  H ) , H } donne  G
Cette règle se déduit aisément de la règle de Modus
Ponens, en effet :
G  H  H  G
Or par M. P.{ H G , H } donne
G
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2–1–7–2 – Règle d’inférence (suite)
Le principe de résolution :
C’est une règle d’inférence qui s’applique à
une famille particulière des ebf et qui sera
traitée dans un chapitre entier.
Principe de Résolution :
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2–2– Propriétés de la logique des propositions
Munie d’une des règles d’inférences M. P. , M. T.
ou le P. R. , la L. P. est :
Saine : tout théorème est ebf valide.
Complète : tout ebf valide est un théorème.
Consistante : on ne peut prouver à la fois qu’une ebf et sa
négation sont des théorèmes.
Fortement Complète : il n’y a pas d’ebf consistante avec les
axiomes qui ne soit pas un théorème.
Décidable : il existe une procédure qui permet de décider en un
nombre fini d’opérations si est ou n’est pas un théorème.
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