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(d) On va donc exprimer la variation de l’énergie mécanique entre l’instant 0 (v= 0et z=z0) et
l’instant t(v= 0 à nouveau et z=z0+ ∆zcorrespondant à une longueur L0. On applique le
théorème de l’énergie mécanique, avec une force dissipative :
∆Em=W
∆Ec+ ∆Ep=W
La variation d’énergie cinétique est nulle puisque (vf inale =vinitiale):∆Ec= 0. La voiture
en parcourant la distance L0voit son énergie potentielle varier de ∆Ep=mg∆zdans laquelle
∆z=L0sin(45°) = ∆z=L0√2
2.
(e) La puissance à dépenser se déduit alors
W=P×T0
mgL0
√2
2=P×T0
P=mgL0
√2T0
(f) Il faut noter que nous n’avons pas eu besoin de préciser si la force de poussée était constante ou
non. Seul compte l’état de la voiture (position et vitesse) au début et à la fin du mouvement.
C
1. ω= 2π/T est en rad.s−1. La période correspond au nombre de seconde pour faire un tour (2πrad).
La pulsation correspond au nombre de radian parcouru en une seconde (faites une régle de trois...).
Le rad est un angle, dont la mesure correspond à un rapport de longeur, ce qui n’a pas d’unité. Donc
$est homogéne à l’inverse d’un temps, s−1. Ensuite gest en m.s−2et len m, du coup :pg
/lest en
pm.s−2
/m=s−1. La formule est homogène. Par ailleurs si g= 0 (cas extrême de l’apesanteur), il n’y
aura pas d’oscillation donc ω= 0. Cela “démontre” que gdoit bien être au numérateur dans cette
formule.
Si la corde du pendule est plus grande, le mouvement de balancier prend plus de temps car le bout
du pendule parcourt une plus grande distance ; laugmente implique que ωdiminue, ce qui est bien
le cas avec la formule.
2. La justification est toujours complexe. Mais on peut tenir un peu près le raisonnement suivant... Si
le ressort est vertical, on doit avoir le poids qui est compensé par la force de rappel dans la position
au repos. Mais la masse intervient dans la formule de Newton, donc il est raisonnable de penser
qu’elle intervient dans la période. En outre plus le ressort est raide (kgrand), moins la masse va être
autorisée à s’éloigner, on peut donc penser que la période sera plus courte (donc la pulsation plus
faible). Enfin, plus l’attraction de la Terre est grande, donc gest grand, plus le ressort s’allonge et la
pulsation change, gpeut aussi intervenir à priori. Au final, $∝mαkβgγ. En procédant par analyse
dimensionnelle :
T−1= [m]α[k]β[g]γ
T−1=Mα(M.T −2)β(L.T −2)γ
T−1= (M)α+βLγT−2(β+γ)
Soit −1 = −2(β+γ); 0 = α+β; 0 = γ,pour T, M et L. Donc γ= 0puisβ=1
/2et enfinα=−1
/2,
ω∝pk
/m.
En fait le système ne dépend pas de la gravité. En soit cela est logique, car en apesanteur, la force du
ressort est toujours présente, donc les oscillations auront toute de même lieu... Enfin, comme nous
le pensions au dé’but, si le ressort est tout mou, kest faible, le mouvement sera très lente, donc
la période grande et la pulsation faible... le cas extrême étant en l’absence de ressort (k= 0), pas
d’oscillation ω= 0 ! La formule est cohérente.
D
1. Une pression, c’est une force par unité de surface =F
S≡kg.m.s−2
m2=kg.m−1.s−2.
–Y=ραvβ≡(kg.m−3)α(m.s−1)β=kgαm−3α+βs−β
d’où α= 1 et β= 2, résultat classique d’hydrodynamique (fin du semestre ; Bernoulli)