DM1 DYNAMIQUE BRAS DE ROBOT A MUSCLES ARTIFICIELS PSI Les Ulis

PSI Les Ulis
DM1
CI8 : Dynamique des systèmes
DM1 DYNAMIQUE
BRAS DE ROBOT A MUSCLES ARTIFICIELS1
I
PRESENTATION DU SUJET
L’utilisation de l’énergie pneumatique pour
l’actionnement des manipulateurs présente des
propriétés qui s’avèrent intéressantes pour les
applications en milieu hostile ou du type
biomécanique.
L’étude proposée concerne un manipulateur à
muscles artificiels. Ce dernier, représenté sur
les figures 1 et 2, est un manipulateur à
structure anthropomorphique à 7 degrés de
liberté activés par des paires de muscles
artificiels montés en opposition.
Fig1
II ETUDE
MANIPULATEUR
II.1
Figure 1 :
DU
Modélisation
Pour simplifier l’étude, on se limite
à un manipulateur dont la chaîne
cinématique ouverte est présentée
sur les figures 3 et 4. La
configuration du manipulateur est
fixée par les trois coordonnées
articulaires θ , ϕ et z qui fixent la
position
du
R3 (O3 , x 3 , y 3 , z 3 ) lié à
repère
l’organe
terminal, par rapport au repère
R0 (O1 , x0 , y0 , z0 ) lié à la base du
manipulateur.
Le vecteur position du point
O3 est
défini dans l’espace opérationnel
par ses coordonnées dans le repère
R0 telles que :
Figure 2 : Schéma cinématique du manipulateur
r
r r
O1O3 = x0 x0 + y0 y0 + z0 z0 .
1
CCP 2001
Sciences Industrielles pour l’Ingénieur
1/4
PSI Les Ulis
DM1
CI8 : Dynamique des systèmes
L’accélération de la pesanteur
r
r
r
g est telle que g = − gz0 et le repère R0 (O1 , x0 , y0 , z0 ) sera considéré
comme galiléen. L’optimisation du volume atteignable par l’organe terminal a conduit à adopter les
r r
longueurs projetées dans le plan (O1 , x0 , y0 ) avec O1O2 = O2O3 = L
Figure 3 : Paramétrage géométrique du manipulateur
Le bras 1 est en liaison pivot sans frottement par rapport à la base fixe du manipulateur. Il est
r
soumis à un couple C1 z par l'intermédiaire d'un actionneur dont le corps est solidaire de la base fixe.
L'avant-bras 2 est soumis à un couple
r
C12 z par l'intermédiaire d'un actionneur dont le corps est
solidaire du bras 1. Par construction, les débattements admissibles sont tels que les angles
et
−
3π
π
<ϕ < .
2
2
II.2
0 <θ <
π
2
Modèle géométrique
En fonction de la tâche à réaliser, le calculateur central du manipulateur établit une trajectoire dans
l’espace opérationnel qu’il doit convertir dans l’espace articulaire afin d’élaborer les consignes à
émettre vers les boucles locales de chaque actionneur. Le travail abordé dans cette question est
destiné à :
• établir une relation liant les coordonnées opérationnelles (x0, y0, z0), en fonction des
coordonnées articulaires (θ, ϕ, z). On définit alors le modèle géométrique direct.
• inverser cette relation et établir une relation entre les coordonnées articulaires (θ, ϕ, z) en
fonction des coordonnées opérationnelles (x0, y0, z0). On définit alors le modèle géométrique
inverse.
II.2.1
Q1/
Modèle géométrique direct
r
r
r
Soit O1O3 = x0 ( t ) x0 + y0 ( t ) y0 + z0 ( t ) z0 . Calculer les coordonnées opérationnelles x0, y0 et
z0 en fonction des coordonnées articulaires θ, ϕ et z.
Sciences Industrielles pour l’Ingénieur
2/4
PSI Les Ulis
II.2.2
Q2/
DM1
CI8 : Dynamique des systèmes
Modèle géométrique inverse
Montrer que les coordonnées articulaires θ, ϕ et z en fonction de x0, y0, z0 et L s’écrivent :
x02 + y02
y ϕ
et θ = arctan 0 − .
2
2L
x0 2
a +b
a −b
a +b
a −b
cos
et sin a + sin b = 2 sin
cos
.
On rappelle que cos a + cos b = 2 cos
2
2
2
2
cos
II.2.3
Q3/
ϕ
=
Application
Ecrire les équations du modèle géométrique inverse si le point O3 suit une trajectoire
r
rectiligne selon l’axe ( O1 , x0 ) Valider ce résultat graphiquement à l’aide d’un schéma ; définir
alors la course des actionneurs dans le cas où L < O1O3 <
II.3
3L
.
2
Elaboration du modèle cinématique - dimensionnement en vitesse
Comme pour le modèle géométrique, le travail abordé dans cette question permet d'établir un modèle
cinématique direct qui lie les vitesses opérationnelles aux vitesses articulaires. Dimensionner les
actionneurs en vitesse requiert la connaissance des vitesses articulaires en fonction des vitesses
opérationnelles (inversion du modèle cinématique).
Le robot étudié a une longueur de bras L = 0,5 m. On se place dans la même configuration de
fonctionnement qu'à la Q3/, où le centre de la pince O3 suit toujours une trajectoire rectiligne selon
r
l'axe ( O1 , x0 ) telle que, à t = 0, O1O3 = 0,5m et à t = 1 s, O1O3 = 0,75m avec la loi du mouvement
donnée figure 5.
Q4/ Dériver simplement le modèle géométrique inverse obtenu en Q3/ et déterminer les
•
•
•
•
•
θ , ϕ et z en fonction des grandeurs opérationnelles x0 , z0 , de la
grandeur déjà calculée θ et de la longueur L.
vitesses articulaires
Fig5 –Positions et vitesses
Q5/
II.4
Vérifier vos résultats à l'aide de la figure 5, à l'instant t = 0.75 s et indiquer l'état des
différentes grandeurs articulaires obtenues.
Elaboration du modèle dynamique - Dimensionnement en couple
Le travail abordé dans cette question permet d'établir les couples que doivent fournir les actionneurs
r r
en cours de mouvement. On se limitera à un mouvement dans le plan (O1 , x0 , y0 ) et à l'étude du système
matériel S = {1,2} constitué du bras 1 et de l'avant-bras 2.
On modélise le robot par :
Sciences Industrielles pour l’Ingénieur
3/4
PSI Les Ulis
•
DM1
CI8 : Dynamique des systèmes
le bras 1 avec son équipement, de centre d'inertie G1 tel que
longueur O1O2 = L, d'inertie I par rapport à l'axe
O1G1 =
Lr
x1 , de masse m, de
2
r
(G1 , z ) considéré comme un axe principal
d'inertie.
•
l'avant-bras 2 avec son équipement, de centre d'inertie G2 tel que
de longueur
O2G2 =
r
r
O2C = ( L − r ) x2 , d'inertie I par rapport à l'axe (G2 , z ) considéré comme un axe
principal d'inertie.
•
le poignet 3, caractérisé par son centre O3, de masse négligeable et tel que
Q6/
Q7/
Lr
x2 , de masse m,
2
r r
CO3 = zz + rx3 .
Déterminer le moment cinétique en O1 du solide 1 dans le mouvement de 1 par rapport au
référentiel galiléen R0.
Déterminer le moment cinétique en G2 du solide 2, dans le mouvement de 2 par rapport au
référentiel galiléen. En déduire le moment cinétique
•
•
•
σ O1, 2 / R 0 que l'on écrira sous la forme
σ O1, 2 / R 0 = ( A(ϕ ). (θ + ϕ )+ B(ϕ )θ ) z .
r
δ O1, S / R 0
Q8/
En déduire l'expression du moment dynamique du système S : {1,2} :
Q9/
Appliquer le théorème du moment dynamique en O1 au système matériel S en projection sur
l'axe z et déterminer le couple C1 que doit fournir l'actionneur pour obtenir un tel
•
mouvement. Vérifier votre résultat dans le cas simple où
ϕ = 0 et ϕ = 0 tout au long du
mouvement
On se place dans la même configuration de fonctionnement que dans la partie précédente (II.3) et on
prend les valeurs I = 0.045 kg.m2 et m = 1.7 kg :
Q10/ Dériver l'expression obtenue à la question 4 afin de déterminer les accélérations
••
•
articulaires en fonction des grandeurs opérationnelles x0 , θ et
θ (grandeurs déjà
calculées) et de L. Vérifier que le couple à fournir est proportionnel dans cette
••
configuration à θ , et qu'il est du même ordre de grandeur que celui représenté à la figure 6.
Fig6 – Accélération du robot
Q11/
Quelle équation issue du principe fondamental de la dynamique devrait-on écrire pour
déterminer le couple C12 (ne pas faire les calculs).
Sciences Industrielles pour l’Ingénieur
4/4