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SESSION 2017
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CONCOURS BLANC
PCSI
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EPREUVE DE PHYSIQUE-CHIMIE
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DUREE : 4 H
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L’UTILISATION D’UNE CALCULATRICE EST AUTORISEE
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Aucun document ni autre matériel, quel qu'il soit, n'est autorisé. Les
téléphones portables doivent être éteints et placés sur le bureau du surveillant
de salle.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en
expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 10 pages.
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction :
les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.
Toute application numérique ne comportant pas d'unité ne donnera pas lieu à
attribution de points.
Les parties chimie et physique doivent être rédigées sur des copies séparées.
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Partie CHIMIE : Le dioxygène dans la chimie de l’environnement (≈1h30)
(d’après banque PT 2014)
1. Autour de l’élément oxygène
Q1. Écrire la configuration électronique de l’oxygène (Z=8) dans son état fondamental. En déduire son numéro
de colonne et de ligne dans le tableau périodique, justifier brièvement.
Q2. Écrire la configuration électronique du soufre (Z=16) et indiquer le nombre d’électrons de valence qu’il
possède.
Q3. Proposer une représentation de Lewis du dioxyde et du trioxyde de soufre. On pensera à indiquer les
charges formelles s’il y en a.
2. Étude cinétique de la décomposition de l’ozone en solution aqueuse
Lors de la préparation d’eau potable, l’ozone O3 joue le rôle de désinfectant et dégrade les substances
organiques ce qui leur confère une meilleure biodégradabilité. D’un point de vue microscopique, ce
processus est permis par la dégradation de l’ozone en radical hydroxyle HO. Dont le pouvoir oxydant
assure la dégradation d’un grand nombre de polluants.
3
La cinétique de la dégradation de l’ozone selon l’équation O3( aq )  O2 ( aq ) est très sensible aux conditions
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opératoires et l’ordre par rapport à la réaction fait encore l’objet d’études ; il dépend en particulier du
mode d’initiation. On étudie ici les modes d’initiation thermique et par voie photochimique.
2.1. Initiation par voie thermique
On suppose que la réaction admet un ordre α par rapport à l’ozone. On note k la constante de vitesse.
Q4. Écrire et résoudre l’équation différentielle régissant l’évolution de la concentration d’ozone dans le temps
dans l’hypothèse où   1. En déduire l’expression du temps de réaction :
t1 / 2 
ln 2
k
Q5. Écrire et résoudre l’équation différentielle régissant l’évolution de la concentration d’ozone dans le temps
dans l’hypothèse où   2 . En déduire l’expression du temps de réaction :
t1 / 2 
1
, où Co est la concentration en ozone à t=0.
Co k
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Les résultats sont obtenus à T1=20°C pour diverses concentrations initiales en ozone dissous :
Q6. A partir des temps de demi-réaction, indiquer la valeur probable de α. En déduire la valeur de la
constante de vitesse k(T1).
A la température T2=30°C la constante de vitesse vaut k T2   0,18 min 1 .
Q7. Donner l’expression de l’énergie d’activation EA en fonction de R, la constante des gaz parfaits, T1, T2, k(T1)
et k(T2). Calculer EA en kJ.mol-1.
Donnée : R=8,314 J.mol-1.K-1
2.2 Initiation par voie photochimique
L’ozone en solution aqueuse absorbe les radiations UV (maximum d’absorption 254 nm), ce qui permet
d’initier la réaction selon le mécanisme réactionnel ci-dessous :
On note kj la constante de vitesse du mécanisme (j) et vj la vitesse associée. L’eau étant en large excès, on
pose : v1  k1 O3  .
On cherche à établir la loi de vitesse de disparition de l’ozone : v  
dO 3 
.
dt
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Une simulation informatique donne l’évolution des concentrations en fonction du temps :
Q8. Énoncer l’approximation de l’état quasi-stationnaire. En utilisant le résultat de la simulation
informatique, indiquer en justifiant les espèces pour lesquelles cette approximation s’applique.
Q9. Justifier que : v  v1  v2  v3
Q10. Montrer que : v  k1 O3   2k 2
k1
O3 3 / 2 .
k4
Q11. Expliquer pourquoi le premier terme est négligeable devant le deuxième. En déduire l’ordre de la
réaction dans le cas où la réaction est initiée par voir photochimique.
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Partie PHYSIQUE (≈2h30)
Problème 1 : Impédance d’une bobine (Petites mines)
On dispose d’une bobine B que l’on assimilera à l’association série d’une inductance L et d’une
résistance r. (L et r sont des constantes positives, indépendantes de la fréquence).
Détermination de r et L à partir d’un oscillogramme.
On place, en série avec la bobine, un résistor de résistance R = 40  et un condensateur de capacité C =
10 µF.
Le GBF (générateur basses fréquences) est réglé pour délivrer une tension sinusoïdale de fréquence
f = 250 Hz (la pulsation sera notée ) et de valeur crête à crête de 10 V.
Deux tensions sont visualisées sur un oscilloscope numérique.
On obtient un oscillogramme équivalent au graphe suivant
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1) Déterminer l’amplitude Ue de la tension ue et l’amplitude UR de la tension uR.
2) Déterminer l’amplitude I du courant i.
3) Rappeler l’expression générale de l’impédance Z d’un dipôle quelconque (module de l’impédance
complexe). Calculer alors l’impédance ZAM du dipôle AM.
4) Des deux tensions, uR(t) et ue(t), laquelle, et pourquoi d’après l’oscillogramme, est en avance sur
l’autre ?
5) Déterminer précisément, à partir de l’oscillogramme, le déphasage  u e / i entre ue et i, (c’est-à-dire
entre ue et uR).
6) Ecrire l’expression générale de l’impédance complexe ZAM en fonction de r, R, L, C, .
7) Ecrire l’expression de l’impédance complexe ZAM en fonction de son module ZAM et du déphasage
 ue / i .
8) Exprimer r en fonction de R, ZAM et  u e / i . Calculer sa valeur.
9) Exprimer L en fonction de C, , ZAM et  u e / i . Calculer sa valeur.
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Problème de physique II : Le Millenium Bridge
Mines-ponts MP et PSI 2016 (partie I)
Pour marquer le millénaire, une nouvelle passerelle
a été construite au dessus de la Tamise à Londres
pour un coût total de plus de 20 millions de Livres
Sterling. Quand elle fut ouverte aux piétons on
remarqua très vite qu’elle se balançait latéralement
et verticalement en cas de forte affluence. Avec un
grand nombre de piétons, son mouvement oblique
était tel que la plupart d’entre eux s’arrêtaient et
s’accrochaient aux rampes. Des images et des
vidéos ont montré que ces mouvements latéraux
pouvaient avoir une amplitude moyenne de 75 mm
et qu’ils se produisaient avec des fréquences de
l’ordre du Hertz. Le pont fut donc fermé deux jours
après son ouverture au public. Dix-huit mois de
recherches furent nécessaires pour résoudre le
problème et faire les modifications préconisées par
les ingénieurs qui furent donc finalement consultés.
L’objectif de ce problème est la modélisation de
plus en plus fine d’une passerelle piétonne et la
compréhension de certains problèmes posés par le
Millennium Bridge de Londres.

Les vecteurs sont surmontés d’un chapeau s’ils sont unitaires û x ou d’une flèche dans le cas général v .
À l’exception de i tel que i2 = -1, les grandeurs complexes sont soulignées : z  ₵. Un point sur une
dx
grandeur indique la dérivée par rapport au temps de cette grandeur : x 
.
dt
I. — Oscillateur simple
Un oscillateur est constitué d’une masse m, dont le centre
d’inertie G est repéré par Ia position x dans le référentiel
galiléen (O, û x ) - voir figure 1. L’origine O se situe au niveau
du sol. L’oscillateur est relié à un support fixe par
I’intermédiaire d’un ressort linéaire de raideur k et de longueur
à vide l0 ainsi que d’un amortisseur linéaire de viscosité α,

exerçant sur m une force de frottement F f  xû x . À tout
instant t , on assimile la distance OG à la longueur l(t) du
ressort. L’ensemble est soumis à l’accélération de la pesanteur

avec g   gû x avec g = 9,81 m.s-2..
FIGURE 1 – Oscillateur
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1 – En appliquant la relation fondamentale de la dynamique établir l’équation différentielle
X  20 X   02 X  0 dans laquelle on a introduit la fonction X t   xt   ~
x est une constante
x où ~
que l’on déterminera en fonction de g , ω0 et l0. On précisera les expressions et significations de ω0 et ξ.
2 – Dans le régime libre, le système est mis en vibration uniquement par des conditions initiales non nulles
X(0) = X0 ≠ 0 et X  V0  0 . Déterminer les solutions du régime libre (en fonction de ω0, ξ, X0, V0 et t)
pour les cas ξ = 0 et 0 < ξ < 1 et préciser leur comportement. Dans certains cas, le vent peut induire sur le

système une force proportionnelle au vecteur vitesse que l’on écrit Fv   xû x , avec β > 0. Quelle peut-être
la conséquence de ce phénomène ?
Différents cas peuvent être examinés pour l’excitation (ou forçage) F(t) de l’oscillateur étudié lors des deux
premières questions. Nous nous placerons dans l’optique d’une passerelle piétonne.
L’action de la marche d’un piéton est caractérisée par un contact continu sur la surface du sol puisque le
second pied touche le sol avant que le premier ne le quitte. La force engendrée comprend une composante
verticale et une composante horizontale non prise en compte dans cette partie.
FIGURE 2 – Forçage d’une passerelle par la marche d’un piéton
Dans Ie cadre d’un modèle simplifié, nous représenterons cette force, appelée charge, par un vecteur



périodique F t   F0  F1 cos 2ft  .

Le vecteur F0 correspond à la force statique, c’est-à-dire au poids du piéton, la fréquence f correspond à


celle d’une marche normale. Nous considérerons que F1  0 ,4 F0 .Ces deux vecteurs seront supposés
constants et orientés comme  û x .

On note F0  F0 le module de la force statique, Y = X + F0/mω02 la réponse en déplacement de
l’oscillateur et Y =Ymeiωt sa représentation complexe.
3 – Que devient l’équation de l’oscillateur en Y sous le forçage piéton ? Déterminer la fonction de transfert
H(ω), rapport de la représentation complexe de la réponse en déplacement Y sur la représentation complexe
1/ 02
de l’excitation E = F1/m. On montrera que H  
.
1   2  2i
4 – Sous quelle condition portant sur ξ un phénomène de résonance peut-il se produire ? Pour quelle
pulsation ωr , obtient-on alors ce phénomène ? Exprimer le gain en amplitude à la résonance H  r  dans la
limite ξ2<<1.
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5 – En se plaçant dans l’hypothèse ξ2<<1 et à partir d’une analyse de la courbe 1 de la figure 3, déterminer
un ordre de grandeur de ξ ainsi que la valeur de la pulsation propre ω0 de l’oscillateur modélisant le
Millennium Bridge avant la mise en place des amortisseurs harmoniques.
FIGURE 3 – Schéma et réponse d’un amortisseur harmonique appliqué au modèle du Millennium Bridge
6 – Pourquoi est-il important de déterminer les fréquences de résonance d’une structure soumise à une action
périodique ?
Afin d’étudier précisément les propriétés du forçage que constitue la marche d’un piéton, on réalise
l’acquisition en laboratoire du signal correspondant à cette sollicitation.
7 – Quel(s) type(s) de capteur(s) est-il envisageable d’utiliser pour obtenir un signal électrique issu de la
marche d’un piéton ?
L’acquisition est effectuée sur des durées allant de quelques secondes à quelques minutes. Les signaux ainsi
obtenus sont similaires mais pas parfaitement identiques. Chacun de ces signaux présente les
caractéristiques essentielles du signal de la charge combinée représentée sur la figure 2. On calcule alors le
spectre de ces signaux en les échantillonnant en N = 300 points équidistants sur un intervalle [tmin, tmax]. Les
différents spectres obtenus sont rassemblés sur la figure 4.
FIGURE 4 – Spectres des signaux correspondants à la marche d’un piéton
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8 – Analyser et interpréter aussi précisément que possible ces différents spectres. Sont-ils tous exploitables ?
Lequel vous paraît le plus pertinent ? En déduire la (ou les) fréquence(s) caractéristique(s) de la marche
étudiée. Était-ce qualitativement prévisible ?
On pourra s’aider du rappel ci-dessous sur le théorème de Shannon :
Le théorème d'échantillonnage, dit aussi théorème de Shannon ou théorème de Nyquist-Shannon, établit les
conditions qui permettent l'échantillonnage d'un signal de largeur spectrale et d'amplitude limitées. Dans le cas
général, le théorème d'échantillonnage énonce que l’échantillonnage d'un signal exige un nombre d'échantillons par
unité de temps supérieur au double de l'écart entre les fréquences minimale et maximale qu'il contient.
Dans le cas le plus courant, la fréquence minimale du signal est négligeable par rapport à la fréquence maximale et le
théorème affirme simplement : la représentation discrète d'un signal exige des échantillons régulièrement
espacés à une fréquence d'échantillonnage supérieure au double de la fréquence maximale présente dans ce
signal.
9 – À partir d’une exploitation des données fournies dans le sujet, expliquer l’origine du problème
concernant le Millennium Bridge et justifier que l’installation d’amortisseurs harmoniques ait pu le résoudre.
Fin de l’épreuve
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