A. Mesure de l’impédance de sortie d’un générateur basse fréquence (GBF)

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Problème 1 : Mesures d’impédances
A. Mesure de l’impédance de sortie d’un générateur basse
fréquence (GBF)
On modélise un GBF par une source idéale de tension de force électromotrice
(
)
(
)
m
cos
E t E t
ω
=
en série avec une résistance
g
R
.
On réalise le protocole expérimental suivant :
 À l’aide d’un oscilloscope, on visualise la tension à vide du GBF. On observe une
tension sinusoïdale d’amplitude
0
8 V
E
=
.
 On place ensuite aux bornes du GBF une résistance
R
variable, et on visualise à
l’oscilloscope la tension aux bornes du GBF. On ajuste la valeur de
R
afin
d’obtenir une tension d’amplitude
0
/ 2
E
. Celle-ci est obtenue pour une valeur
c
50
R R
= = Ω
.
1. Schématiser les deux montages utilisés.
2. Déterminer les valeurs de
m
E
et
g
R
.
B. Mesure de l’impédance d’entrée d’un oscilloscope
On modélise l’impédance d’entrée d’un oscilloscope par une résistance
0
R
montée en parallèle avec
un condensateur de capacité
0
C
. On ne tiendra pas compte dans cette partie de la résistance interne
g
R
du GBF.
1. Donner un ordre de grandeur de
0
R
.

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2. À la fréquence
1 kHz
f
=
, on branche aux bornes du GBF une résistance variable
R
en série avec l’oscilloscope. On suppose qu’à cette fréquence, le condensateur de
capacité
0
C
peut être assimilé à un interrupteur ouvert
Pour
0
R
= Ω
, le signal observé à l’oscilloscope a une amplitude
0
E
; pour
1 M
R
= Ω
, cette amplitude est divisée par deux.
Déterminer la valeur de la résistance d’entrée
0
R
de l’oscilloscope.
3. Pour une fréquence plus élevée
100 kHz
f
=
, on réalise le même protocole
expérimental et on obtient une tension sinusoïdale d’amplitude
0
/ 2
E
quand la
valeur de la résistance
R
est égale à
63 k
Ω
.
En déduire la valeur de la capacité
0
C
.
C. Mesure d’impédances par
la méthode des ponts
On cherche à mesurer les caractéristiques
électriques (
L
,
C
,
R
) de différents dipôles.
Le pont ci-contre est alimenté par un
générateur parfait de pulsation
ω
.
I. Condition d’équilibre du pont
Le pont est équilibré si le courant circulant
dans la branche
BD
est nul, c’est-à-dire si la
tension
BD
U
est nulle.
Montrer que la condition d’équilibre du pont s’écrit
1 3 2 4
Z Z Z Z
=
.

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II. Pont de Hay
Le dipôle d’impédance
1
Z
est une bobine de résistance
R
et d’inductance
L
.
Les branches
BC
et
AD
contiennent des résistances
P
et
Q
.
La branche
DC
contient, montés en série, un condensateur de capacité
C
et une résistance
r
.
1. Écrire les expressions des impédances
1
Z
et
3
Z
.
2. Déduire
R
et
L
des valeurs de
P
,
Q
,
r
,
C
et
ω
pour lesquelles l’équilibre du
pont est réalisé.
Calculer
R
et
L
si
3 1
1,0 10 rad s
ω
−
= ×
,
2 k
P
= Ω
,
3 k
Q
= Ω
,
1,4 k
r
= Ω
et
15 nF
C
=
.
III. Pont de Maxwell
Le dipôle d’impédance
3
Z
correspond maintenant à un condensateur de capacité
C
′
et une
résistance
r
′
, montés en parallèle. Les autres branches sont les mêmes que dans la partie précédente.
1. L’équilibre étant obtenu, calculer
R
et
L
en fonction de
P
,
Q
,
r
′
et
C
′
.
2. En déduire les valeurs de
r
′
et
C
′
.
IV. Pont de Wien
Les branches
BC
et
DC
contiennent des résistances
P
et
Q
.
Le dipôle d’impédance
1
Z
correspond à un condensateur
1
C
en série avec une résistance
1
R
.
La branche
AD
contient un condensateur
C
en parallèle avec une résistance
R
.
1. Établir, à l’équilibre du pont, les expressions de
R
et
C
. On posera
1 1 1
x R C
ω
=
.

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2. Calculer les valeurs de
R
et
C
.
Données :
1
500
R
= Ω
,
1
1 F
C
= µ
,
3
1,0 10
P Q
= ×
et
3 1
2,0 10 rad s
ω
−
= ×
.
Problème 2 : Quartz et électronique
Le silicium est, après l’oxygène, l’élément le plus abondant de la planète. Il représente, en masse,
27 %
de la lithosphère. La silice est de l’oxyde de silicium
2
SiO
. Le quartz, dont les propriétés sont
très intéressantes pour réaliser des horloges électroniques, est une forme particulière de cristal de
silice.
Il présente des propriétés physiques très intéressantes : la piézoélectricité. Quand on comprime un
morceau de quartz dans une direction particulière, une tension apparait aux bornes du cristal (c’est
l’effet piézoélectrique). Réciproquement, quand on applique une tension aux bornes d’un quartz, ce
dernier se déforme proportionnellement à la tension électrique (c’est l’effet piézoélectrique inverse).
Le quartz est très intéressant pour l’électronique car on parvient à réaliser des circuits oscillants, à
base de résonateur à quartz, très stables dans le temps. Actuellement, le quartz est remplacé par
certaines céramiques piézoélectriques.
A. Modèle électromécanique du résonateur à quartz
Un morceau de quartz est taillé sous forme de cylindre mince, de diamètre
1, 00 cm
d
=
et d’épaisseur
200 m
e
= µ
. Des électrodes en or sont
déposées sur les faces circulaires du quartz (on suppose que chaque face est
totalement métallisée) (figure ci-contre). On parle d’électrodes de connexion.
On a ainsi réalisé un condensateur plan.
D’un point de vue mécanique, lorsque l’on soumet le disque piézoélectrique à
une tension sinusoïdale
(
)
(
)
cos
V t V t
ω
=
, il va être, dans le cadre d’une
approximation linéaire, le siège d’une vibration mécanique sinusoïdale sous l’effet d’une force
extérieure proportionnelle à cette tension.
Modélisation proposée : un élément de masse
m
du corps piézoélectrique, placé à une distance
x
de
son point de repos, est soumis aux forces suivantes, toutes orientées selon un axe
(
)
O
x
que l’on ne
précise pas ici :

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 une force de rappel type élastique
kx
−
(
0
k
>
) qui a pour origine la rigidité du
matériau ;
des frottements supposés proportionnels à la vitesse et de la forme
d
d
x
h
t
−
(
0
h
>
) ;
une force due à l’effet piézoélectrique
(
)
V t
β
(
0
β
>
) ;
le poids est négligé.
1. En appliquant la loi de la quantité de mouvement au petit élément de masse
m
dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen, établir l’équation différentielle
vérifiée par
(
)
x t
en supposant que le mouvement se fasse selon l’axe
(
)
O
x
.
D’un point de vue électrique, la charge totale
q
apparaissant sur les électrodes planes a deux
origines :
 les deux faces planes du disque forment un condensateur de capacité
P
C
, d’où une charge
(
)
1
q t
;
 l’effet piézoélectrique provoque l’apparition d’une charge
2
q
proportionnelle à
x
:
(
)
(
)
2
q t x t
γ
=
.
2. La capacité d’un condensateur plan s’écrit
0 r
P
S
C
e
ε ε
= où
S
est la surface d’une
électrode,
e
l’épaisseur du condensateur,
0
ε
la permittivité du vide
(
12 1
0
8, 85 10 F m
ε
− −
= × ) et
r
ε
la permittivité relative du quartz (
r
2,30
ε
=
).
a. Estimer alors la capacité
P
C
appelée capacité de connexion.
b. Quelle est la relation entre la charge
1
q
, la capacité
P
C
et la tension
(
)
V t
?
3. En reprenant l’équation différentielle obtenue pour
(
)
x t
, écrire l’équation
différentielle vérifiée par la charge
(
)
2
q t
.