A. Mesure de l’impédance de sortie d’un générateur basse fréquence (GBF)

Problème 1 : Mesures d’impédances
A. Mesure de l’impédance de sortie d’un générateur basse
fréquence (GBF)
On modélise un GBF par une source idéale de tension de force électromotrice
E ( t ) = E m cos ( ωt ) en série avec une résistance Rg .
On réalise le protocole expérimental suivant :
À l’aide d’un oscilloscope, on visualise la tension à vide du GBF. On observe une
tension sinusoïdale d’amplitude E 0 = 8 V .
On place ensuite aux bornes du GBF une résistance R variable, et on visualise à
l’oscilloscope la tension aux bornes du GBF. On ajuste la valeur de R afin
d’obtenir une tension d’amplitude E 0 / 2 . Celle-ci est obtenue pour une valeur
R = Rc = 50 Ω .
1. Schématiser les deux montages utilisés.
2. Déterminer les valeurs de E m et Rg .
B. Mesure de l’impédance d’entrée d’un oscilloscope
On modélise l’impédance d’entrée d’un oscilloscope par une résistance R0 montée en parallèle avec
un condensateur de capacité C 0 . On ne tiendra pas compte dans cette partie de la résistance interne
Rg du GBF.
1. Donner un ordre de grandeur de R0 .
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2. À la fréquence f = 1 kHz , on branche aux bornes du GBF une résistance variable
R en série avec l’oscilloscope. On suppose qu’à cette fréquence, le condensateur de
capacité C 0 peut être assimilé à un interrupteur ouvert
Pour R = 0 Ω , le signal observé à l’oscilloscope a une amplitude E 0 ; pour
R = 1 MΩ , cette amplitude est divisée par deux.
Déterminer la valeur de la résistance d’entrée R0 de l’oscilloscope.
3. Pour une fréquence plus élevée f = 100 kHz , on réalise le même protocole
expérimental et on obtient une tension sinusoïdale d’amplitude E 0 / 2 quand la
valeur de la résistance R est égale à 63 kΩ .
En déduire la valeur de la capacité C 0 .
C. Mesure d’impédances par
la méthode des ponts
On cherche à mesurer les caractéristiques
électriques ( L , C , R ) de différents dipôles.
Le pont ci-contre est alimenté par un
générateur parfait de pulsation ω .
I. Condition d’équilibre du pont
Le pont est équilibré si le courant circulant
dans la branche BD est nul, c’est-à-dire si la
tension U BD est nulle.
Montrer que la condition d’équilibre du pont s’écrit Z1 Z 3 = Z 2 Z 4 .
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II. Pont de Hay
Le dipôle d’impédance Z1 est une bobine de résistance R et d’inductance L .
Les branches BC et AD contiennent des résistances P et Q .
La branche DC contient, montés en série, un condensateur de capacité C et une résistance r .
1. Écrire les expressions des impédances Z1 et Z 3 .
2. Déduire R et L des valeurs de P , Q , r , C et ω pour lesquelles l’équilibre du
pont est réalisé.
Calculer R et L si ω = 1, 0 × 103 rad s−1 , P = 2 kΩ , Q = 3 kΩ , r = 1, 4 kΩ et
C = 15 nF .
III. Pont de Maxwell
Le dipôle d’impédance Z 3 correspond maintenant à un condensateur de capacité C ′ et une
résistance r ′ , montés en parallèle. Les autres branches sont les mêmes que dans la partie précédente.
1. L’équilibre étant obtenu, calculer R et L en fonction de P , Q , r ′ et C ′ .
2. En déduire les valeurs de r ′ et C ′ .
IV. Pont de Wien
Les branches BC et DC contiennent des résistances P et Q .
Le dipôle d’impédance Z1 correspond à un condensateur C 1 en série avec une résistance R1 .
La branche AD contient un condensateur C en parallèle avec une résistance R .
1. Établir, à l’équilibre du pont, les expressions de R et C . On posera x1 = R1C 1ω .
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2. Calculer les valeurs de R et C .
Données : R1 = 500 Ω , C 1 = 1 µF , P = 1, 0 × 103Q et ω = 2, 0 × 103 rad s−1 .
Problème 2 : Quartz et électronique
Le silicium est, après l’oxygène, l’élément le plus abondant de la planète. Il représente, en masse,
27 % de la lithosphère. La silice est de l’oxyde de silicium SiO2 . Le quartz, dont les propriétés sont
très intéressantes pour réaliser des horloges électroniques, est une forme particulière de cristal de
silice.
Il présente des propriétés physiques très intéressantes : la piézoélectricité. Quand on comprime un
morceau de quartz dans une direction particulière, une tension apparait aux bornes du cristal (c’est
l’effet piézoélectrique). Réciproquement, quand on applique une tension aux bornes d’un quartz, ce
dernier se déforme proportionnellement à la tension électrique (c’est l’effet piézoélectrique inverse).
Le quartz est très intéressant pour l’électronique car on parvient à réaliser des circuits oscillants, à
base de résonateur à quartz, très stables dans le temps. Actuellement, le quartz est remplacé par
certaines céramiques piézoélectriques.
A. Modèle électromécanique du résonateur à quartz
Un morceau de quartz est taillé sous forme de cylindre mince, de diamètre
d = 1, 00 cm et d’épaisseur e = 200 µm . Des électrodes en or sont
déposées sur les faces circulaires du quartz (on suppose que chaque face est
totalement métallisée) (figure ci-contre). On parle d’électrodes de connexion.
On a ainsi réalisé un condensateur plan.
D’un point de vue mécanique, lorsque l’on soumet le disque piézoélectrique à
une tension sinusoïdale V ( t ) = V cos ( ωt ) , il va être, dans le cadre d’une
approximation linéaire, le siège d’une vibration mécanique sinusoïdale sous l’effet d’une force
extérieure proportionnelle à cette tension.
Modélisation proposée : un élément de masse m du corps piézoélectrique, placé à une distance x de
son point de repos, est soumis aux forces suivantes, toutes orientées selon un axe ( Ox ) que l’on ne
précise pas ici :
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une force de rappel type élastique −kx ( k > 0 ) qui a pour origine la rigidité du
matériau ;
des frottements supposés proportionnels à la vitesse et de la forme −h
dx
dt
(h > 0 ) ;
une force due à l’effet piézoélectrique βV ( t ) ( β > 0 ) ;
le poids est négligé.
1. En appliquant la loi de la quantité de mouvement au petit élément de masse m
dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen, établir l’équation différentielle
vérifiée par x ( t ) en supposant que le mouvement se fasse selon l’axe ( Ox ) .
D’un point de vue électrique, la charge totale q apparaissant sur les électrodes planes a deux
origines :
les deux faces planes du disque forment un condensateur de capacité C P , d’où une charge
q1 ( t ) ;
l’effet piézoélectrique provoque l’apparition d’une charge
q2
proportionnelle à
x :
q2 ( t ) = γ x ( t ) .
2. La capacité d’un condensateur plan s’écrit C P =
électrode,
e
l’épaisseur
du
condensateur,
ε0εrS
où S est la surface d’une
e
ε0
la
permittivité
du
vide
( ε0 = 8, 85 × 10−12 F m−1 ) et εr la permittivité relative du quartz ( εr = 2, 30 ).
a. Estimer alors la capacité C P appelée capacité de connexion.
b. Quelle est la relation entre la charge q1 , la capacité C P et la tension V ( t ) ?
3. En reprenant l’équation différentielle obtenue pour x ( t ) , écrire l’équation
différentielle vérifiée par la charge q2 ( t ) .
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4. Considérons le circuit représenté sur la figure
ci-contre.
Montrer que la charge q2 ( t ) est équivalente à la
charge d’un condensateur de capacité C S dans le
circuit série R , L , C S dont la tension aux bornes est V ( t ) . On donnera alors les
expressions de R , L et C S en fonction de m , h , β , γ et k .
B. Impédance équivalente
On considère ici négligeable la résistance R précédente.
Le schéma électrique correspondant est indiqué sur la
figure ci-contre.
Pour les applications numériques, on prendra
L = 500 mH , C S = 0, 0800 pF , C P = 8, 00 pF .
On se placera toujours en régime sinusoïdal forcé (les
grandeurs dépendront de la pulsation ω ).
1.a. Déterminer l’impédance complexe Z AB du dipôle équivalent entre A et B .

j 
Montrer qu’on peut l’écrire Z AB =  −

 αω 
1−
1−
ω2
ωr2
ω2
. On donnera, en fonction de L ,
ωa2
C P et C S les expressions de α , ωa2 et ωr2 .
b. Montrer que ωa2 > ωr2 .
2. Donner
les
valeurs
numériques
des
fréquences
respectivement aux pulsations ωa et ωr .
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fa
et
fr
correspondant
3. Étudier le comportement inductif ou capacitif du quartz en fonction de la
fréquence. On rappelle qu’un dipôle a un
comportement inductif (respectivement
capacitif) si la partie imaginaire de son
impédance est positive (respectivement
négative).
4. Tracer
l’allure
de
Z AB = Z AB ,
module de l’impédance complexe du quartz, en fonction de la fréquence.
C. Étude expérimentale de la résonance
On désire étudier la réponse fréquentielle du quartz. On l’insère pour cela dans un circuit comportant
un GBF de résistance de sortie Rg , une résistance Rv variable, et un oscilloscope.
Dans cette partie, on néglige toujours la résistance du quartz, sauf dans la question 3..
On réalise alors le montage de la figure ci-contre.
1. Calculer le rapport de la tension de sortie VS à la tension d’entrée VE ( H =
VS
VE
)
en fonction de Rv et de Z AB .
2. On choisit, pour chaque fréquence, la résistance Rv de telle façon que H =
1
.
2
Que vaut alors le module de l’impédance du quartz en fonction de Rv ?
3.a. Autour du pic de résonance d’intensité situé vers fr = 796 kHz , on mesure une
bande passante de 50 Hz . Quelle est la valeur numérique du facteur de qualité ?
b. En supposant que le facteur de qualité soit donné par la relation Q =
estimer la valeur de la résistance R du quartz.
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L ωr
,
R
D. Principe d’une montre à quartz
Une horloge comprend un oscillateur et un système permettant de compter les oscillations. Le quartz
utilisé possède une fréquence de résonance f1 = 32768 Hz . Cela signifie que 32768 fois par
seconde une impulsion électrique est émise par le circuit oscillant. Un dispositif électrique doit
compter les impulsions. Ces compteurs fonctionnent dans la technologie binaire (suite de 0 et de 1 ).
Une impulsion électrique correspond à la valeur 1 . La valeur 0 correspond à aucun signal électrique.
1. Compteur modulo 2
Un compteur modulo 2 fournit en sortie une impulsion chaque fois qu’il reçoit 2
impulsions en entrée. Le signal de fréquence f1 fourni par le circuit à quartz est
envoyé à l’entrée de ce compteur. Quelle est alors la fréquence du signal de sortie ?
2.
Cascade de compteurs modulo 2
a.
Écrire le nombre 32768 sous la forme 2k où k est un entier naturel.
b.
Quel est le nombre de compteurs modulo 2 qu’il est nécessaire d’utiliser afin de commander
le chiffre des secondes ?
Problème 3 : Impédance d’une bobine
On étudie une bobine d’inductance L et
de résistance r .
On associe en série avec cette bobine, un résistor de résistance R = 40 Ω et un condensateur de
capacité C = 10 µF .
Le GBF (générateur basses fréquences) est réglé pour délivrer une tension sinusoïdale de pulsation
ω.
Deux tensions sont visualisées sur un oscilloscope numérique.
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On étudie le filtre pour lequel la tension d’entrée est u e et la tension de sortie uR .
1. Représenter les schémas équivalents à basse puis à haute fréquence. En déduire la
nature du filtre.
2. Exprimer la fonction de transfert H en fonction de r, R, L, C , ω .
3. Mettre H
sous la forme H =
H max
. On exprimera littéralement
ω

ω

0
1 + jQ 
− 
 ω
ω 
0
H max , le paramètre ω0 ainsi que le facteur de qualité Q de ce circuit en fonction de
r , R, L, C .
La figure 5 représente la réponse en gain de ce filtre.
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4. Déterminer, à partir du graphe et des données initiales, les valeurs de r et L .
Problème 4 : Action d'un filtre sur un signal
périodique
Un filtre a pour fonction de transfert
H=
−1
1+ j
ω
ω0
a) Quelle est la nature du filtre ? Quelle est la fréquence de coupure ? On donne ω0 = 1,2.105 rad.s-1.
Trouver vS en régime forcé et commenter éventuellement le résultat sachant que ve vaut
successivement (v0 et v1 sont des constantes) :
b) ve(t) = v0cos(ω0t) ;
c) ve(t) = v0cos(ωt);
d) ve(t) = v0cos(ω0t) + v1;
e) ve(t) = v0cos(ω0t) + v1 cos(2ω0t);
f) ve (t) est le créneau représenté ci-dessous, de période T = 10-2 s ;
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g) ve (t) est le créneau représenté ci-dessous, de période T = 10-5 s.
Problème 5 : Filtre linéaire ou non ?
On envoie sur différents filtres le signal e(t) dont le spectre est donné ci-dessous. Les spectres des
signaux de sortie des filtres numéro 1, 2 et 3 sont donnés ci-dessous.
a) Conclure quant à la linéarité des différents filtres.
b) Pour les filtres linéaires, donner leur nature. On proposera des ordres de grandeur pour leurs
caractéristiques.
Problème 6 : Exemple de filtrage
On considère le filtre représenté en figure ci-dessous. On donne les valeurs : R = 80 Ω, L = 200 mH
et C = 10 μF, et on pose ω02 LC = 1 .
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a) Par un raisonnement qualitatif, donner la nature du filtre.
b) Déterminer la fonction de transfert H(jω) =
vs
.
ve
c) Tracer la courbe |H(jω)|. En déduire l'ordre de grandeur de la pulsation de coupure.
Le filtre est alimenté par une fonction périodique ve(t) de fréquence f =
dessous. On appelle α =
+∞
Tf
T
le rapport cyclique. On décompose e(t) sous la forme :
e(t ) = c0 + ∑ cn cos(nωt + Φ n ) avec ω =
n =1
1
= 1000 Hz , représentée ciT
2π
2V 0
, c0 = αV0 et cn =
sin(nπα ) .
T
nπ
d) On se propose de déterminer le signal de sortie s(t). Expliquer pourquoi la tension de sortie s(t) est
sensiblement constante dans le temps. Déterminer la valeur sm de cette constante en fonction de V0 et
a.
e) Vérifier que, pour obtenir un ordre de grandeur convenable de l'ondulation résiduelle de la tension
de sortie s, il suffit de ne considérer dans le calcul que le fondamental dans la série de Fourier. On
calculera son rapport avec l'harmonique n = 2 pour α =
3
.
4
f) Déterminer alors l'ondulation Δs = smax - smin de la tension de sortie. En déduire le taux
d'ondulation
∆s
. Calculer sa valeur numérique.
sm
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