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Electromagnétisme
TD EM4 : Mouvement des particules chargées dans les
champs
E
et
B
But du chapitre
 Etudier le mouvement de particules chargées dans des champs électrostatiques ou
magnétostatiques uniformes et constants.
 Donner la loi d’Ohm microscopique et un modèle pour estimer la conductivité d’un
matériau.
 Présenter l’effet Hall
 Introduire la force de Laplace
Plan prévisionnel du chapitre
I – Force de Lorentz
1°) Expression
2°) Puissance de la force de Lorentz
II - Modèle classique de la conduction électrique dans un milieu conducteur
1°) Description du phénomène
2°) Modèle de Drude
3°) Vecteur densité de courant
4°) Loi d’Ohm locale - Loi d’Ohm globale
III - Effet Hall classique
IV – Force de Laplace
Savoirs et savoir-faire
Ce qu’il faut savoir :
 Définir la force de Lorentz en explicitant ses termes. Définir la force de Laplace en
expliquant son origine.
 Démontrer les expressions des puissances des forces électrique et magnétique.
 Définir le vecteur densité de courant et le relier au courant électrique. Donner les lois d'Ohm
locale et globale (notamment formule du calcul de R).
 Expliquer qualitativement l'effet Hall dans un conducteur parallélépipédique.
Ce qu’il faut savoir faire :
 Déterminer l'équation de la trajectoire d'une particule chargée dans un champ électrostatique
uniforme
 Déterminer les équations paramétriques de la trajectoire d'une particule chargée dans un
champ magnétostatique uniforme
Applications du cours
Dans toutes les applications, on considère que le poids des particules chargées sera négligeables par
rapport aux forces de Lorentz.
Application 1 : Accélération linéaire d’une particule
Deux électrodes planes et parallèles portées aux potentiels respectifs V0 et V1 créent un champ
uniforme
E
= E.
x
u
permettant d’accélérer une particule de masse m et de charge q ayant traversée
la plaque P0 en O avec une vitesse initiale
0
v
= v0.
x
u
(v0 > 0).

Electromagnétisme
1°) On considère que la particule accélérée est un proton (q > 0), la tension U entre les deux
électrodes est positive U = V0 – V1 > 0.
a) Etablir l’équation horaire liant x la position de la particule au temps t. Pourquoi peut-on dire
que la particule est animée d’u mouvement uniformément accéléré ?
b) Exprimer v1 la vitesse de la particule au niveau de la plaque P1 en fonction de v0, q, U et m.
2°) On considère maintenant le canon à électrons d’un oscilloscope cathodique, la particule à
accélérer est un électron (q < 0).
a) Quel est alors le signe de la tension U entre les deux électrodes.
b) Exprimer v1 la vitesse de la particule au niveau de la plaque P1 en fonction de v0, e, U et m
où e est la charge électrique élémentaire e = 1,6.10-19 C.
Application 2 : Déflexion électrostatique
a) Un électron (masse m, charge q = -e), émis par une cathode (potentiel V0 = 0} sans vitesse
appréciable (v0 = 0), est accéléré par une anode (potentiel V1 = 100V) dans un canon à électrons.
Quelle est la vitesse v1 de l'électron au niveau de l'anode?
On donne: e = 1,610-19 C, m = 9.1 10-31 kg.
b) L'électron entre alors à l'instant t = 0, dans un condensateur plan dont les armatures de longueur l
= 0,20 m, distantes de d = 0,10 m, sont soumises à une tension U = 2,0 V.
 Déterminer l'ordonnée ys de l'électron à la sortie du condensateur en fonction de l, d, v1 et U
; commenter le résultat.
 Calculer ys puis le temps τ mis par l'électron pour traverser le condensateur.
c) Que se passe-t-il si l'on remplace la tension continue U par une tension sinusoïdale u(t) =
Ucos(ωt), avec une période T = 2,0.10-2 s ?
Application 3 : Mouvement d’une particule chargée dans une région de
l’espace où règne un champ magnétostatique uniforme et stationnaire
On considère une particule chargée de masse m et de charge q soumise à l’action d’un champ
magnétique uniforme et stationnaire.
1°) Comment évolue la vitesse de la particule chargée au cours du temps ?
2°) On suppose que la particule possède une vitesse initiale
0
v
colinéaire au champ
.z B Bu
. La
particule se trouve en M0 (x0, y0, z0) à l’instant t = 0.
Exprimer les coordonnées x, y et z du point M position de la particule à l’instant t en fonction de x0,
y0, z0, v0 et t. Quel est le mouvement de la particule ?

Electromagnétisme
3°) On considère un champ magnétique uniforme
B
= B.
z
u
agissant sur un électron (m, q = - e) se
trouvant au point O à l'instant t = 0 avec une vitesse initiale
0
v
= v0.
x
u
. A l’instant t, l’électron se
trouve en M de coordonnées x, y, z et son vecteur vitesse a pour coordonnées vx, vy, vz.
a) Exprimer
x
dv
dt
,
y
dv
dt
,
z
dv
dt
en fonction de ω, vy et vx.
b) Montrer que le mouvement est plan et a lieu dans le plan (Oxy).
c) On souhaite exprimer x et y en fonction du temps. Pour ce faire on définit la variable
complexe Z = x + jy.
 Exprimer
Z
en fonction de vx et vy.
 Montrer que
dZ jZ
dt
.
 Exprimer alors
Z
en fonction de v0, ω et t.
 Exprimer Z en fonction de v0, ω et t. En déduire les expressions de x et y en fonction
de v0, ω et t.
 Quel est le mouvement de l’électron dans le plan 0xy ? Préciser ses caractéristiques.
 Quelle est la période de rotation des électrons ?
4°) Considérons des particules (m. q) pénétrant en 0, avec une vitesse initiale
0
v
= v0.
y
u
dans une
région où règne un champ magnétique uniforme
B
= B.
z
u
(pour 0 < y < l ; charge q positive dans
le cas de la figure). Les particules décrivent des arcs de cercle dans le plan xOy orthogonal à
B
=
B.
z
u
, et sortent de la région du champ avec une vitesse v (voir la question 3°). La déviation
magnétique de ces particules est caractérisée par l'angle α = (
0
v
;
v
).
Exprimer α en fonction de l et R.
5°) Des électrons pénètrent en O à l’instant t = 0 dans une zone de l’espace ou règne un champ
magnétique uniforme
B
avec une vitesse initiale
0
v
tel que (
B
;
0
v
) = α.
a) En s’aidant des questions 2 et 3, exprimer les coordonnées x, y et z de l’électron en fonction
du temps.
b) Pourquoi dit-on que les électrons sont animés d’un mouvement hélicoïdal uniforme ?
Déterminer la période T de ce mouvement et son pas Δz = z(t+T) - z(t).

Electromagnétisme
Application 4 : Conduction métallique – Vitesse d’ensemble
Soit un fil de cuivre cylindrique de section S = 1 mm2 et parcouru par un courant I = 10 A. Sachant
que le réseau métallique du cuivre peut être assimilé à un réseau d'ions fixes Cu+ et à des électrons
mobiles (un électron libre par atome), calculer :
 le nombre d'électrons libres par unité de volume n* ;
 la vitesse d'ensemble v des charges mobiles.
Données numériques : µCu = 8,8 103 kg.m-3 (masse volumique du cuivre) ; MCu = 63,6 g.mol-1 ; NA
= 6,023.1023 mol-1 ; e = 1,6.10-19 C.
Exercices
Exercice 1 : Principe du cyclotron
1. Calculer numériquement la période T0 et la pulsation ω0 dite « cyclotron » du mouvement d'un
proton de vitesse initiale
0
v
dans un champ magnétique
B
uniforme perpendiculaire à
0
v
; on
donne : B =
B
= 1,0 T, e = 1,6 10-19 C (charge du proton) et m = 1,66 10-27 kg (masse du proton).
2. Un cyclotron est un accélérateur de particules formé de deux boîtes métalliques semi-
cylindriques D1 et D2 placées de sorte que
B
soit parallèle aux génératrices du cylindre.
Des protons sont injectés à vitesse nulle par une source d'ions au centre O du système. Une
différence de potentiel sinusoïdale de pulsation ω, V(t) = Vm.cos(ωt), est appliquée entre D1 et D2
de sorte qu'un proton passant d'une boîte à l'autre trouve toujours dans l'espace entre elles un champ
électrique lui communiquant une accélération. On néglige la durée du passage d'une boîte à l'autre.
a) Le rayon des boîtes D1, et D2 est r = 0,5 m. Quelle est l'énergie maximale E à laquelle on peut
accélérer un proton dans ce dispositif ? On exprimera ce résultat en joules (J) et en méga-électron-
volts (1 MeV = 1,6 10-13 J). Quelle est la vitesse v d'un tel proton ?
b) Quelle serait la différence de potentiel V0 continue nécessaire pour accélérer un proton à cette
vitesse en une seule fois à partir d'une vitesse nulle (entre les plaques d'un condensateur plan, par
exemple) ?
3. On émet en O un proton au moment où la différence de potentiel entre D1 et D2 a sa valeur
maximale Vm = 104 volts. Quel est le nombre maximal de tours qu'il peut effectuer dans l'appareil ?
Quelle est la durée du parcours ?
Exercice 2 : Accélération et déflexion électrostatiques
Une particule électrisée (masse m, charge q > 0} se déplace dans une région de l'espace ou règne un
champ électrique
E
uniforme dirigé selon l’axe Oz d'un repère Oxyz (
,,
x y z
u u u
). On négligera la
pesanteur et on supposera la particule non relativiste.
Au temps t = 0, la particule est en O avec la vitesse v0.
y
u

Electromagnétisme
a) Déterminer à chaque instant la vitesse
v
de la particule, puis l'équation de sa trajectoire. On
posera A =
qE
m
.
b) De quel angle α. le vecteur
v
aura t-il tourné si la particule reste soumise à l'action
E
sur la
longueur d comptée selon Oy ?
c) Application numérique :
q = e = 1,6.10-19 C ; m = 9,1.10-31 kg ; E = 1.0 105 V.m-1; d = 2.0 cm.
Lorsque la particule arrive en O, elle a été précédemment accélérée, à partir d'une vitesse nulle, par
une d.d.p. de 4,0 kV.
Donner numériquement l'expression z = f(y) de la trajectoire, et calculer α en degrés.
Exercice 3 : Spectromètre de Dempster
On produit des ions positifs, de charge q, qui sortent de la chambre d'ionisation par une fente F avec
une vitesse négligeable. On considère deux types d'ions de même charge et de masses différentes
m1 et m2. Ces ions sont accélérés par une tension U appliquée entre les deux plaques P et P' :
VP – VP’ = U >0
a) Exprimer les vitesses vl et v2 de ces ions au point O.
b) À partir du point O, les ions de charge q et de masse ml ou m2, subissent l'action d'un champ
magnétique uniforme
.z B Bu
, dans la zone de déviation du spectromètre. Les vitesses initiales sont
1.y
vu
et
2.y
vu
- Montrer que les mouvements des ions sont circulaires uniformes et déterminer les expressions des
rayons R1 et R2.
- En déduire la distance d entre les impacts A1 et A2.
c) Calculer numériquement d sachant que :
B = 0,10 T, U = 3 000 V, ml = 68 u, m2 = 70 u, u = 1,66.10-27 kg (unité de masse atomique), e =
1,6.10-19 C, q = 2e (les ions considérés sont deux isotopes du zinc).
Exercice 4 : Action simultanée de
E
et
B
Une particule de masse m et de charge électrique positive q est émise dans une région de l'espace où
sont superposés un champ magnétique
B
et un champ électrique
E
constants et uniformes. On
décrit le mouvement de la particule par rapport à un repère cartésien Oxyz, de vecteurs unitaires
,,
x y z
u u u
liés à un référentiel galiléen.
Les orientations des champs sont telles que
.x B Bu
et
.z E Eu
, B et E étant des quantités
positives. On néglige l'action de la pesanteur.