CYCLES DE CODIMENSION 2 ET H3 NON RAMIFIÉ - IMJ-PRG

CYCLES DE CODIMENSION 2 ET H 3 NON
RAMIFIÉ POUR LES VARIÉTÉS SUR LES
CORPS FINIS
par
Jean-Louis Colliot-Thélène & Bruno Kahn
Résumé. — À toute variété projective et lisse X sur un corps fini
on associe son troisième groupe de cohomologie non ramifiée à coefficients Q/Z(2). On passe en revue les liens entre ce groupe, le groupe
de Chow des cycles de codimension 2 sur X, et certaines conjectures
locales-globales pour l’existence d’un zéro-cycle de degré 1 sur les variétés
définies sur un corps global de caractéristique positive. On discute la
structure et la taille du troisième groupe de cohomologie non ramifié.
Ceci amène à conjecturer sa finitude. Nous conjecturons que ce groupe
est nul pour les variétés de dimension 3 géométriquement uniréglées.
Abstract. — To every smooth projective variety X over a finite field
is associated its third unramified cohomology group with coefficients
Q/Z(2). We review the links between this group, the second Chow group
of X and certain local-global conjectures for the existence of a zero-cycle
of degree 1 on varieties defined over a global field of positive caracteristic.
We discuss the structure and the size of the third unramified cohomology group. This leads us to conjecture its finiteness. For geometrically
uniruled threefolds, we conjecture that this group vanishes.
Introduction
À une variété X lisse sur un corps k, on associe ([8], [4]) des groupes
i
de cohomologie non ramifiée Hnr
(X, Q/Z(i−1)), i ≥ 1. On rappelle leur
définition au début du §1. Pour i = 1 on trouve le groupe qui classifie
les revêtements abéliens étales de X. Pour i = 2, on trouve le groupe
2
JEAN-LOUIS COLLIOT-THÉLÈNE & BRUNO KAHN
de Brauer Br(X). Pour X projective, lisse, géométriquement intègre, ces
groupes sont des invariants birationnels.
3
On s’intéresse ici au groupe Hnr
(X, Q/Z(2)) et à ses liens avec le
2
groupe de Chow CH (X) des cycles de codimension deux modulo
l’équivalence rationnelle. Les liens sont établis via la K-théorie et la
cohomologie motivique.
Ceci a déjà fait l’objet de deux articles récents, l’un de Claire Voisin
et du premier auteur [14], l’autre du deuxième auteur [33]. Ces deux
3
articles ont exploré la structure du groupe Hnr
(X, Q/Z(2)) pour X/k
projective et lisse. L’article [14] le fait pour k le corps des complexes.
L’article [33] le fait pour k un corps quelconque, avec application au
corps des complexes et aux corps finis. Ces deux articles établissent un
3
lien entre Hnr
(X, Q/Z(2)) et le conoyau d’applications cycles envoyant
le groupe CH 2 (X) dans des groupes de cohomologie, Betti ou (continue)
l-adique, suivant le cas.
Soit maintenant K un corps de nombres. En 1981, Sansuc et le premier
auteur [10] ont fait une conjecture de nature locale-globale sur le groupe
de Chow CH 2 (V ) d’une surface V /K, projective, lisse, géométriquement
rationnelle définie sur un corps de nombres. Cette conjecture a été établie
pour les surfaces fibrées en coniques sur la droite projective (Salberger,
[53]) mais reste ouverte pour les surfaces cubiques lisses. La conjecture
a été largement généralisée (comme conjecture), et un certain nombre de
cas nouveaux ont été établis (voir le récent article de Wittenberg [62]).
On peut essayer d’établir l’analogue de la conjecture sur un corps global
de caractéristique positive, c’est-à-dire sur le corps des fonctions K =
F(C) d’une courbe C sur un corps fini F.
3
En combinant les liens entre Hnr
(X, Q/Z(2)) et le conoyau d’applications cycles établis dans [33] (voir aussi le §2 du présent article) et un
résultat de S. Saito [50] (voir aussi [5]), nous établissons le :
Théorème 7.7. Soit X une variété projective lisse de dimension 3 fibrée
au-dessus d’une courbe C sur un corps fini F, la fibre générique étant une
surface lisse géométriquement intègre V sur K = F(C). Soit l 6= car(F)
un nombre premier. Supposons que :
(i) La conjecture de Tate [60] vaut pour les diviseurs sur X.
3
(ii) Le groupe Hnr
(X, Ql /Zl (2)) est divisible.
S’il n’y a pas d’obstruction de Brauer-Manin à l’existence d’un zéro-cycle
de degré 1 sur V , alors il existe un zéro-cycle sur V de degré premier à l.
CYCLES DE CODIMENSION 2 ET H 3 NON RAMIFIÉ
3
Motivés par le théorème ci-dessus, nous faisons dans cet article le tour
3
(X, Q/Z(2)), et nous établissons
des propriétés connues du groupe Hnr
quelques liens supplémentaires entre ce groupe et le groupe de Chow des
cycles de codimension 2.
Au §1, on décrit les outils de cohomologie motivique utilisés dans l’article.
Au §2, on donne une preuve simplifiée d’une partie du théorème de [33]
3
sur la structure du groupe Hnr
(X, Q/Z(2)), lorsque le corps de base est
un corps fini F (et plus généralement un corps à cohomologie galoisienne
3
(X, Ql /Zl (2)) est
finie). On voit que pour tout l premier le groupe Hnr
une extension d’un groupe fini par un groupe divisible.
3
(X, Q/Z(2)), princiAux §3, §4 et §5, on discute la taille du groupe Hnr
palement pour X projective et lisse sur un corps fini. Comme dans [33],
on explique que pour de telles variétés certaines conjectures impliquent
3
(X, Q/Z(2)) est fini. On exhibe des classes importantes
que le groupe Hnr
de variétés qui vérifient cette conclusion : citons ici la Proposition 3.2 et
le Théorème 3.12 (ce dernier ne faisant que reprendre des résultats de
[29]). Pour de telles variétés, la condition (ii) du théorème 7.7 (énoncé
3
ci-dessus) équivaut donc à la nullité de Hnr
(X, Q/Z(2)).
La question suivante est l’une des questions ouvertes rassemblées au
§5 :
Question 0.1. — Pour X/F une variété projective et lisse de dimension
3
(X, Q/Z(2)) est-il nul ?
≤ 3, le groupe Hnr
C’est évidemment le cas lorsque X est une courbe. Ceci vaut encore
pour X une surface : c’est un théorème connu de théorie du corps de
classes supérieur (voir la proposition 3.1 ci-après).
Comme rappelé au §4, Parimala et Suresh [45] viennent de le
démontrer pour les variétés X de dimension 3 fibrées en coniques audessus d’une surface. Par analogie avec un théorème de C. Voisin [61]
sur les complexes, on peut espérer que cela soit vrai plus généralement
si X est une variété de dimension 3 géométriquement uniréglée.
Au §6, pour toute variété projective et lisse X/F sur un corps fini, on
établit un lien entre les groupes
Coker[CH 2 (X) → CH 2 (X)G ]
4
JEAN-LOUIS COLLIOT-THÉLÈNE & BRUNO KAHN
et
3
3
Ker[Hnr
(X, Q/Z(2)) → Hnr
(X, Q/Z(2))].
Le théorème 6.8 est un analogue sur un corps fini d’un résultat établi
dans [14] sur un corps de fonctions d’une variable sur les complexes.
Au §7, on établit le théorème 7.7 cité ci-dessus. On montre par ailleurs
comment, pour les surfaces géométriquement rationnelles sur un corps
de nombres, les conjectures sur les zéro-cycles de degré 1 admettent une
traduction en termes de cohomologie non ramifiée.
Notations. — Étant donné un groupe abélien A, un entier n > 0 et un
nombre premier l, on note A[n] le sous-groupe de A formé des éléments
annulés par n, et on note A{l} le sous-groupe de torsion l-primaire de A.
1. Les outils
1.1. Cohomologie non ramifiée. — Soient k un corps et X une kvariété. Pour tout premier l différent de la caractéristique p de k, tout
entier n > 0, tout entier j ∈ Z et tout ouvert U ⊂ X, on dispose du
i
groupe de cohomologie étale Hét
(U, µ⊗j
ln ). En faisceautisant ces groupes
i
(µ⊗j
pour la topologie de Zariski sur X, on obtient des faisceaux HX
ln ).
⊗j
On peut faire la même construction en remplaçant µln par Ql /Zl (j) =
limn µ⊗j
.
−→ ln
i
On définit les groupes de cohomologie non ramifiée Hnr
(X, µ⊗j
ln ) et
i
Hnr (X, Ql /Zl (j)) par les formules
⊗j
i
0
i
Hnr
(X, µ⊗j
ln ) = H (X, HX (µln ))
et
i
i
Hnr
(X, Ql /Zl (j)) = H 0 (X, HX
(Ql /Zl (j)))).
Comme il est expliqué par exemple dans [4], la conjecture de Gersten
pour la cohomologie étale, établie par Bloch et Ogus, permet pour X/k
lisse et intègre, de corps des fonctions k(X), d’identifier ces groupes à
M
i−1
⊗j−1
Ker H i (k(X), µ⊗j
)
→
H
(k(x),
µ
)
n
n
x∈X (1)
et
M
Ker H i (k(X), Ql /Zl (j)) →
H i−1 (k(x), Ql /Zl (j − 1)) ,
x∈X (1)
CYCLES DE CODIMENSION 2 ET H 3 NON RAMIFIÉ
5
où x parcourt l’ensemble des points de codimension 1 de X, le corps
k(x) est le corps résiduel en x et les flèches sont des applications résidus
en cohomologie galoisienne associées aux anneaux de valuation discrète
i
i
(X, µ⊗j
OX,x . On voit ainsi que les groupes Hnr
ln ) et Hnr (X, Ql /Zl (j)) sont
des invariants k-birationnels des k-variétés intègres projectives et lisses.
Pour de telles variétés, ceci permet de les identifier aux groupes de cohomologie non ramifiés introduits par Ojanguren et le premier auteur dans
[8].
Une conséquence de la conjecture de Bloch–Kato (théorème de Voei
vodsky et al.) est que pour i ≥ 1 les groupes Hnr
(X, Ql /Zl (i − 1)) sont la
i
réunion, et non seulement la limite inductive, des groupes Hnr
(X, µ⊗i−1
).
ln
En utilisant les complexes de de Rham-Witt (Bloch, Milne, Illusie),
pour X régulier de type fini sur un corps k de caractéristique p > 0 et
i
(X, Qp /Zp (i − 1)) [33, déf. 2.7, App. A].
i > 0, on définit des groupes Hnr
Pour i ≥ 1, et X lisse sur un corps k, on définit :
M
i
i
Hnr
(X, Ql /Zl (i − 1)).
Hnr
(X, Q/Z(i − 1)) =
l
1.2. Complexes motiviques. — Le présent article, tout comme l’article [33], utilise de façon cruciale les complexes Z(2), version moderne
des complexes Γ(2) de Lichtenbaum, et leurs propriétés. On notera que
celles-ci ne font intervenir que le théorème de Merkurjev–Suslin ; la
conjecture générale de Bloch–Kato (maintenant un théorème, grâce à
plusieurs auteurs, parmi lesquels nous citerons par ordre alphabétique
Rost, Suslin, Voevodsky, Weibel) n’est pas utilisée dans [33] ni dans le
présent article — alors qu’elle l’est, en degré 3, dans l’article [14].
Les complexes Γ(2) et Z(2) sont des objets de la catégorie dérivée des
faisceaux sur le petit site étale d’un schéma X. Étant donné une variété
X lisse (voire un schéma régulier de type fini) sur un corps k d’exposant
caractéristique p et un entier n inversible sur X, on a des triangles exacts
(“suites de Kummer et d’Artin-Schreier”) dans cette catégorie dérivée :
(1.1)
×n
+1
Γ(2) −→ Γ(2) → µ⊗2
n −→,
×pr
+1
Γ(2) −→ Γ(2) → νr (2)[−2] −→
(Lichtenbaum [38, 39], Kahn [27]), et leur variante “moderne”
(1.2)
×n
Zét (2) −→ Zét (2) → µ⊗2
n ,
×pr
+1
Zét (2) −→ Zét (2) → νr (2)[−2] −→
Ces derniers sont des cas particuliers de triangles exacts
(1.3)
×n
Zét (q) −→ Zét (q) → µ⊗q
n ,
×pr
+1
Zét (n) −→ Zét (n) → νr (n)[−n] −→
6
JEAN-LOUIS COLLIOT-THÉLÈNE & BRUNO KAHN
où νr (n) est le faisceau de Hodge-Witt logarithmique de poids n et de
niveau r si p > 1, et est 0 par définition si p = 1. On renvoie à [33, th.
2.6] pour les détails et les références.
1.3. Cohomologie motivique et K-cohomologie. — Certains des
groupes d’hypercohomologie de complexes motiviques utilisés dans le
présent article ont été étudiés dans le passé, en particulier dans l’article
[9], dans le contexte de la K-cohomologie. Ils apparaissent aussi comme
groupes de cycles supérieurs (Bloch).
Rappelons ici que l’on note Ki,X les faisceaux Zariski sur un schéma
X associés au préfaisceau qui à un ouvert U associe le groupe
Ki (H 0 (U, OX )), où Ki (A) est le i-ième groupe de K-théorie d’un
anneau commutatif A, comme défini par Quillen.
Pour la commodité du lecteur, nous répétons ici les identifications (voir
[27, Thm. 1.1 et Thm. 1.6] et [33, §2]) entre les divers groupes qui nous
intéressent ici.
Proposition 1.1. — Pour X une variété lisse sur un corps, on a des
isomorphismes canoniques
2
CH 2 (X, 2) ' H 0 (X, K2 ) ' H2Zar (X, Γ(2)) ' Hét
(X, Γ(2))
2
' H2Zar (X, Z(2)) ' Hét
(X, Z(2));
3
CH 2 (X, 1) ' H 1 (X, K2 ) ' H3Zar (X, Γ(2)) ' Hét
(X, Γ(2))
3
' H3Zar (X, Z(2)) ' Hét
(X, Z(2));
CH 2 (X) = CH 2 (X, 0) ' H 2 (X, K2 ) ' H4Zar (X, Γ(2))
' H4Zar (X, Z(2)).
3
1.4. CH 2 et Hnr
. — Notons que dans la proposition ci-dessus, les isomorphismes entre groupes de cohomologie Zariski et étale s’arrêtent en
degré 3. Outre le triangle exact (1.2), la suite exacte
(1.4)
4
3
0 → CH 2 (X) → Hét
(X, Z(2)) → Hnr
(X, Q/Z(2)) → 0
joue un rôle central dans le présent article. Avec le complexe Γ(2) de
Lichtenbaum [38] à la place de de Z(2), cette suite apparaı̂t pour la
première fois (mais de façon pas complètement explicite) dans un article
de Lichtenbaum ([39], Thm. 2.13, sa démonstration, et remarque 2.14),
où elle est établie à la 2-torsion près. Toujours avec le complexe Γ(2),
elle est établie en toute généralité dans [27, Thm. 1.1]. Sous la forme
moderne ci-dessus, la suite est établie dans [33, Prop. 2.9].
CYCLES DE CODIMENSION 2 ET H 3 NON RAMIFIÉ
7
1.5. Descente. — Enfin on fait de la descente galoisienne sur l’hypercohomologie des complexes Z(2). Dans [14], on fait cela sur les complexes
de Gersten en K-théorie, comme cela avait été fait par Raskind et le premier auteur dans [9], à la suite de Spencer Bloch. Dans divers articles, et
en particulier [26, 27], le second auteur a montré l’utilité de la descente
galoisienne sur l’hypercohomologie étale des complexes Γ(2) ou Z(2).
3
2. Le groupe Hnr
(X, Q/Z(2)) et l’application cycle sur CH 2 (X)
On dit qu’un corps k est à cohomologie galoisienne finie si pour tout
module galoisien fini M et tout entier i ≥ 0 les groupes de cohomologie
H i (k, M ) sont finis. Ceci implique que pour toute k-variété X les groupes
i
de cohomologie étale Hét
(X, M ) sont finis. Exemples de tels corps : les
corps algébriquement clos, les corps finis, le corps des réels, les corps
p-adiques, les corps locaux supérieurs.
Nous allons montrer le théorème suivant, cas particulier simple d’un
théorème du second auteur [33, th. 1.1].
Théorème 2.1. — Soient k un corps à cohomologie galoisienne finie,
X une k-variété lisse et l un premier distinct de la caractéristique. Soit
M le Zl -module de type fini
4
M = Coker CH 2 (X) ⊗ Zl → Hét
(X, Zl (2)) .
Le quotient de H 0 (X, H3 (Ql /Zl (2))) par son sous-groupe divisible maximal est le groupe fini Mtors .
Lemme 2.2. — Soient A un groupe abélien et l un nombre premier. On
a une application naturelle
(2.1)
A ⊗ Zl → lim A/ln .
←−
n
(i) Pour tout n > 0, cette application induit modulo ln un isomorphisme
∼
(A ⊗ Zl )/ln −→ A/ln .
(ii) Le Zl -module limn A/ln est de type fini si et seulement si A/l est
←−
fini. Si c’est le cas, la flèche (2.1) est surjective.
(iii) Soit B un groupe abélien de torsion. Le groupe B ⊗ Zl s’identifie
naturellement au sous-groupe de torsion l-primaire de B.
8
JEAN-LOUIS COLLIOT-THÉLÈNE & BRUNO KAHN
Démonstration du théorème 2.1. — On considère la suite exacte fondamentale (1.4)
4
3
0 → CH 2 (X) → Hét
(X, Z(2)) → Hnr
(X, Q/Z(2)) → 0.
On la tensorise avec Zl . Cela donne
4
3
0 → CH 2 (X) ⊗ Zl → Hét
(X, Z(2)) ⊗ Zl → Hnr
(X, Ql /Zl (2)) → 0.
Du triangle exact (1.2) on déduit la suite exacte de groupes abéliens
(2.2)
4
4
5
n
0 → Hét
(X, Z(2))/ln → Hét
(X, µ⊗2
ln ) → Hét (X, Z(2))[l ] → 0.
Les flèches
4
4
4
Hét
(X, Z(2)) → Hét
(X, Z(2))/ln → Hét
(X, µ⊗2
ln )
induisent des flèches
4
4
4
4
Hét
(X, Z(2)) → lim Hét
(X, Z(2))/ln → lim Hét
(X, µ⊗2
ln ) = Hét (X, Zl (2))
←−
←−
n
n
(où la dernière égalité est ici une définition) et donc
4
4
Hét
(X, Z(2)) ⊗ Zl → Hét
(X, Zl (2)).
4
De (2.2) et de la finitude de Hét
(X, µ⊗2
ln ), on déduit la suite exacte de
Zl -modules de type fini
4
4
5
0 → lim Hét
(X, Z(2))/ln → Hét
(X, Zl (2)) → lim Hét
(X, Z(2))[ln ] → 0.
←−
←−
n
n
Le terme de droite est sans torsion, car c’est un module de Tate. Le
4
4
conoyau de limn Hét
(X, Z(2))/ln → Hét
(X, Zl (2)) est donc sans torsion.
←−4
n
Comme limn Hét (X, Z(2))/l est un Zl -module de type fini, il résulte du
←−
lemme 2.2 (ii) que l’application
(2.3)
θ
1
4
4
Hét
(X, Z(2)) ⊗ Zl −→
Hét
(X, Zl (2))
a son conoyau sans torsion.
Comme l 6= p, l’application composée
4
4
(X, Zl (2))
CH 2 (X) ⊗ Zl → Hét
(X, Z(2)) ⊗ Zl → Hét
est l’application cycle classique [33, rem. 3.1].
Considérons alors le diagramme commutatif de suites exactes
CYCLES DE CODIMENSION 2 ET H 3 NON RAMIFIÉ
(2.4)
9
4
3
0→CH 2 (X) ⊗ Zl →Hét
(X, Z(2)) ⊗ Zl →Hnr
(X, Ql /Zl (2))→ 0




θ

=y
θ1 y
y0
4
(X, Zl (2)) →
M
→0.
CH 2 (X) ⊗ Zl → Hét
où la flèche θ0 est induite par le reste du diagramme. L’image de cette
flèche est évidemment de torsion. Notons
3
(X, Ql /Zl (2)) → Mtors
θ : Hnr
l’application induite. On a vu que la flèche verticale médiane a son conoyau sans torsion, et le diagramme montre que ce conoyau s’identifie à
celui de θ0 . Ainsi θ est surjective.
4
4
(X, Z(2))⊗Zl → Hét
(X, Zl (2)), pour tout
Par définition de la flèche Hét
n > 0, le diagramme suivant commute
4
4
(Hét
(X, Z(2)) ⊗ Zl )/ln −−−→ Hét
(X, Z(2))/ln




y
y
4
Hét
(X, Zl (2))/ln
−−−→
4
Hét
(X, µ⊗2
ln )
La flèche horizontale supérieure est un isomorphisme (lemme 2.2 (i)).
La flèche verticale de droite est une injection, d’après (1.2). On conclut
que
4
4
(Hét
(X, Z(2)) ⊗ Zl )/ln → Hét
(X, Zl (2))/ln
est injectif.
3
(X, Ql /Zl (2)). Passant au quotient modulo ln dans le
Notons K = Hnr
diagramme (2.4), on voit que l’injection
4
4
(Hét
(X, Z(2)) ⊗ Zl )/ln → Hét
(X, Zl (2))/ln
induit une injection
θ0 mod ln : K/ln ,→ M/ln .
On a vu que θ0 induit une surjection θ : K → Mtors . On conclut que θ
induit un isomorphisme
θ mod ln : K/ln → Mtors /ln .
Le groupe Mtors est fini, en particulier d’exposant le fini. Pour n ≥ e,
la projection naturelle Mtors /ln+1 → Mtors /ln est donc un isomorphisme.
Il en résulte que pour n ≥ e, les flèches
K/ln+1 K → K/ln K → Mtors /ln
10
JEAN-LOUIS COLLIOT-THÉLÈNE & BRUNO KAHN
et Mtors → Mtors /ln sont des isomorphismes. Ainsi pout tout tel n, ln K =
ln+1 K. Le sous-groupe le K ⊂ K est donc un groupe divisible, c’est le
sous-groupe divisible maximal Kdiv de K, et le quotient de K par Kdiv
s’identifie au groupe fini Mtors .
3
(X, Ql /Zl (2)) par son sousOn a donc montré que le quotient K = Hnr
groupe divisible maximal s’identifie au sous-groupe de torsion du conoyau
de l’application cycle
4
CH 2 (X) ⊗ Zl → Hét
(X, Zl (2)),
sous-groupe de torsion qui est fini.
Remarque 2.3. — On a vu dans la démonstration que la flèche θ1
de (2.3) a un conoyau sans torsion. On en déduit l’énoncé suivant :
4
4
(X, Z(2)) ⊗ Zl .
(X, Zl (2))tors est dans l’image de Hét
toute classe α ∈ Hét
Dans [33, cor. 3.5], il est démontré que le noyau de θ1 est divi∼
4
(X, Z(2))tors −→
sible, ce qui implique que α provient même de Hét
4
(Hét
(X, Z(2)) ⊗ Zl )tors (voir lemme 2.2 (iii)), donc en particulier de
4
Hét (X, Z(2)).
Si k = C, si X est projective et si on remplace Z(2) par Γ(2), ce dernier
énoncé est dû à Lichtenbaum [39, th. 2.15]. L’argument ci-dessus évite
le théorème de Lieberman, utilisé dans [39], selon lequel l’équivalence
homologique coı̈ncide avec l’équivalence numérique sur les cycles de codimension 2 (théorème reposant in fine sur le théorème (1,1) de Lefschetz).
Si l’on lit cet énoncé à la lueur de la suite exacte
4
3
0 → CH 2 (X) → Hét
(X, Z(2)) → Hnr
(X, Q/Z(2)) → 0,
on voit que le corollaire 2.16 de [39] implique que les contre-exemples
de Atiyah et Hirzebruch à la conjecture de Hodge entière pour les cycles
3
de codimension 2 donnent des exemples sur C avec Hnr
(X, Q/Z(2)) 6= 0
(voir [14]).
Remarque 2.4. — Le théorème [33, Thm. 1.1] du second auteur couvre
aussi le cas où l = p = car k, en remplaçant l’application cycle l-adique
par l’application classe de cycle en cohomologie de Hodge-Witt logarithmique
cl2p
CH 2 (X) ⊗ Zp −→ H 4 (X, Zp (2))
définie dans [33, (3.1)] (qui resterait à comparer avec celle de M. Gros
[20]). Si X est projective et k est fini, le groupe H 4 (X, Zp (2)) est un
Zp -module de type fini [21, Chap. I, Prop. 4.18, p. 589], donc la torsion
CYCLES DE CODIMENSION 2 ET H 3 NON RAMIFIÉ
11
de Coker cl2p est finie. Le théorème 1.1 de [33] identifie ce groupe fini au
3
quotient de Hnr
(X, Qp /Zp (2)) par son sous-groupe divisible maximal. Notons que la démonstration du théorème 2.1 donnée ci-dessus se transcrit
immédiatement dans ce contexte.
Remarque 2.5. — Soit X une variété projective, lisse, géométrique3
ment connexe sur un corps fini F. Supposons Hnr
(X, Ql /Zl (2)) fini
(comme on le verra au §4, c’est peut-être toujours le cas). La proposition
4.3.5 de Saito-Sato [51] établit alors le résultat suivant, cas particulier
3
du Théorème 2.1 : l’ordre de Hnr
(X, Ql /Zl (2)) est égal à l’ordre du
sous-groupe de torsion du groupe
4
Coker CH 2 (X) ⊗ Zl → Hét
(X, Zl (2)) .
3
3. Le sous-groupe divisible maximal de Hnr
(X, Q/Z(2))
Commençons par un rappel.
Proposition 3.1. — Soit k un corps algébriquement clos. Pour toute
k-variété lisse X de dimension d ≤ 2 (resp. pour tout corps de fonc3
(X, Q/Z(2)) = 0 (resp.
tions K/k en au plus 2 variables), on a Hnr
3
(K/k, Q/Z(2)) = 0). La même conclusion est vraie si k est fini et
Hnr
X projective.
Pour la torsion première à p = car(k), le résultat est clair sur un corps
séparablement clos (la dimension cohomologique du corps de fonctions
k(X) est au plus 2) ; sur un corps fini, il est dû à Sansuc, Soulé et au
premier auteur [11, Rem. 2 p. 790]. Pour la p-torsion, le résultat sur un
corps algébriquement clos est dû à N. Suwa [59, lemma 2.1] et sur un
corps fini à K. Kato [34, cor. p. 145], qui se repose sur des résultats de
M. Gros [19]. Enfin, le passage des variétés projectives lisses aux corps
de fonctions découle de la résolution des singularités en dimension ≤ 2
grâce à [4, prop. 2.1.8].
3.1. Correspondances et motifs birationnels. —
Proposition 3.2. — Soit k un corps fini ou un corps séparablement
clos. Soit X une k-variété projective, lisse, géométriquement intègre. S’il
existe un domaine universel Ω contenant k, une surface Y projective et
lisse sur k et un Ω-morphisme Y ×k Ω → X ×k Ω qui induit une surjection
des groupes de Chow de zéro-cycles, alors pour tout l premier distinct de
12
JEAN-LOUIS COLLIOT-THÉLÈNE & BRUNO KAHN
3
la caractéristique de k, le groupe Hnr
(X, Ql /Zl (2)) est fini, et il est nul
pour presque tout premier l.
Démonstration. — Pour établir l’énoncé on peut supposer k fini ou algébriquement clos. Soit d la dimension de X. Soit ∆X ⊂ X ×k X la diagonale. Le morphisme f induit un morphisme
g = (f, idX ) : Y ×k X → X ×k X.
Par un argument utilisé par S. Bloch, l’hypothèse assure l’existence d’un
entier N > 0 tel que la classe de N.∆X ∈ CHd (X ×k X) soit la somme de
la classe d’un cycle Z1 ∈ g∗ (CHd (Y ×k X)), et d’un cycle Z2 ∈ CHd (X ×k
X) de restriction nulle à CHd (X ×k U ) pour U un ouvert de Zariski non
vide de X.
i
(•, Ql /Zl (j)) associés aux
Les groupes de cohomologie galoisienne Hét
corps contenant k satisfont les axiomes des modules de cycles de Rost [49,
(1.11)]. Avec les notations de [49] et [42], le groupe A0 (X, M ) associé à
i
M = Hét
(•, Ql /Zl (j)) sur une k-variété projective et lisse X est le groupe
i
Hnr (X, Ql /Zl (j)).
On dispose donc d’un diagramme commutatif
3
(Y, Ql /Zl (2)) × CHd (Y ×k X)
Hnr
O
f ∗ ×1
+
3
Hnr
(X, Ql /Zl (2))
1×g∗
× CHd (Y ×k X)
3
Hnr
(X, Ql /Zl (2)).
3
3
Hnr
(X, Ql /Zl (2)) × CHd (X ×k X)
Dans ce diagramme, les flèches diagonales sont des accouplements de
correspondances fournis par la théorie de cycles de Rost [42, 15]. La
commutativité du diagramme résulte d’un cas particulier d’une formule
de projection mentionnée dans [42, §1] et établie par F. Déglise [15,
Prop. 5.9 (3)].
L’égalité
N.∆X = Z1 + Z2 ∈ CHd (X ×k X)
3
permet de décomposer la multiplication par N sur Hnr
(X, Ql /Zl (2)) en
la somme de Z1,∗ et Z2,∗ . D’après [42, Prop. 3.1], Z2,∗ = 0.
3
La nullité de Hnr
(Y, Ql /Zl (2)) (Proposition 3.1) et le diagramme cidessus donnent Z1,∗ = 0.
CYCLES DE CODIMENSION 2 ET H 3 NON RAMIFIÉ
13
3
On voit donc que l’entier N annule Hnr
(X, Ql /Zl (2)). D’après le théo3
rème 2.1, le groupe Hnr (X, Ql /Zl (2)) est extension d’un groupe fini par
un groupe l-divisible. Ceci achève la démonstration.
Remarque 3.3. — Lorsque k est séparablement clos, on peut affaiblir
l’hypothèse en demandant seulement que la surface Y soit définie sur Ω.
En effet, si l’on dispose d’un Ω-morphisme Y → X ×k Ω satisfaisant la
condition de l’énoncé, on peut trouver un corps séparablement clos K
avec k ⊂ K ⊂ Ω et une K-surface Y0 telle que Y0 ×K Ω = Y , de sorte que
Ω soit encore un domaine universel pour K. La proposition 3.2 appliquée
3
à la K-variété X ×k K montre que le groupe Hnr
(X ×k K, Ql /Zl (2)) est
fini pour tout premier l distinct de la caractéristique, et qu’il est nul pour
presque tout premier l. Mais l’application de restriction
3
3
Hnr
(X, Ql /Zl (2)) → Hnr
(X ×k K, Ql /Zl (2))
est injective, ce qui suffit à conclure. Cette restriction est en fait un
isomorphisme (rigidité de la cohomologie non ramifiée [4, th. 4.4.1]).
Démonstration alternative de la proposition 3.2.
Lemme 3.4. — Soit A le quotient de la catégorie des groupes abéliens
par la classe de Serre des groupes abéliens d’exposant fini. Pour l 6=
3
(−, Ql /Zl (2)) comme un foncteur de la catégorie
car k, considérons Hnr
des variétés projectives lisses vers A. Alors :
(a) Ce foncteur s’étend en un foncteur sur la catégorie Meff (k, Q) des
motifs de Chow effectifs à coefficients rationnels.
(b) Ce nouveau foncteur passe au quotient à travers la catégorie
Mo (k, Q) des motifs de Chow birationnels.
Démonstration. — (a) La catégorie A est Q-linéaire et abélienne : il suffit
donc de montrer que les correspondances de Chow à coefficients entiers
opèrent sur ce foncteur. Ce fait est justifié ci-dessus.
(b) Une définition de Mo (k, Q) est : l’enveloppe pseudo-abélienne de la
localisation de Meff (k, Q) obtenue en inversant les morphismes birationnels [32, cor. 2.4.2]. Il suffit donc de voir que tout morphisme birationnel
induit un isomorphisme sur H 3 non ramifié, ce qui est bien connu.
Lemme 3.5. — Soient X, Y deux variétés projectives lisses sur un
corps F et soit γ ∈ CHdim Y (Y × X) ⊗ Q une correspondance de Chow.
Supposons que l’application induite
CH0 (YΩ ) ⊗ Q → CH0 (XΩ ) ⊗ Q
14
JEAN-LOUIS COLLIOT-THÉLÈNE & BRUNO KAHN
soit surjective. Alors le motif birationnel de X est facteur direct de celui
de Y .
Démonstration. — C’est une variante de celle de [31, prop. 7.6].
L
Proposition 3.6. — Notons (Q/Z)0 (2) =
l6=car k Ql /Zl (2). Alors,
sous les hypothèses du lemme 3.5 :
3
(X, (Q/Z)0 (2)) est facteur direct
a) Dans la catégorie A, le groupe Hnr
3
du groupe Hnr
(Y, (Q/Z)0 (2)).
3
b) Si F est à cohomologie galoisienne finie, la finitude de Hnr
(Y, (Q/Z)0 (2))
3
(X, (Q/Z)0 (2)) (dans la catégorie des groupes
implique celle de Hnr
abéliens).
Démonstration. — a) résulte des lemmes 3.4 et 3.5. b) D’après a), le
3
(X, (Q/Z)0 (2)) est d’exposant fini. Mais d’après [33,
groupe abélien Hnr
Thm. 1.1] ou encore d’après le théorème 2.1 et la remarque 2.4, pour tout l
premier, ses composantes l-primaires sont extensions d’un groupe fini par
3
(X, (Q/Z)0 (2))
un groupe divisible. Elles sont donc finies, et au total Hnr
est fini.
Les propositions 3.1 et 3.6 donnent immédiatement la proposition 3.2.
Remarque 3.7. — Si l = car k, les arguments ci-dessus fonctionnent à
condition de savoir que les correspondances de Chow à coefficients entiers
3
opèrent sur Hnr
(−, Qp /Zp (2)). La technique de démonstration précédente
∗+1
1
ne s’applique plus, car K 7→ Hét
(K, Qp /Zp (∗)) = Hét
(K, ν∞ (∗)) ne
vérifie pas les axiomes des modules de cycles de Rost à cause du défaut
de pureté de la cohomologie de Hodge-Witt logarithmique. On peut toutefois utiliser la suite exacte (1.4), à condition de savoir que les correspondances de Chow opèrent sur les groupes de Chow supérieurs étales.
Ce fait est rédigé dans [28, app. A], sous réserve de vérification de certaines fonctorialités des groupes de Chow supérieurs (sans la topologie
étale) : ibid., A.1.
Par ailleurs, dans la proposition 3.5 b), il faut exiger que F soit fini si
3
on veut la finitude de Hnr
(X, Qp /Zp (2)) en conclusion.
3.2. Une conséquence d’une conjecture de Bass. — Soit X lisse
sur un corps k, et soit l un nombre premier distinct de la caractéristique
CYCLES DE CODIMENSION 2 ET H 3 NON RAMIFIÉ
15
de k. D’après Bloch et Ogus (1974), on a les suites exactes
⊗2
3
0 → H 1 (X, H2 (µ⊗2
ln )) → Hét (X, µln )
⊗2
3
2
n
4
→ Hnr
(X, µ⊗2
ln ) → CH (X)/l → Hét (X, µln )
et par passage à la limite sur n
3
0 → H 1 (X, H2 (Ql /Zl (2))) → Hét
(X, Ql /Zl (2))
3
4
→ Hnr
(X, Ql /Zl (2)) → CH 2 (X) ⊗ Ql /Zl → Hét
(X, Ql /Zl (2)).
Soit k = F un corps fini. Supposons en outre X/F projective, lisse,
géométriquement intègre. On sait (ceci utilise le théorème de MerkurjevSuslin et les conjectures de Weil, voir par exemple [3]) qu’alors la dernière
suite se réécrit
3
0 → CH 2 (X){l} → Hét
(X, Ql /Zl (2))
3
4
→ Hnr
(X, Ql /Zl (2)) → CH 2 (X) ⊗ Ql /Zl → Hét
(X, Ql /Zl (2))
3
et l’on sait (voir[11]) que le groupe Hét
(X, Ql /Zl (2)) est fini, et nul pour
presque tout l.
L’énoncé suivant est donc connu depuis les années 1980.
Proposition 3.8. — Soit k = F un corps fini, p = car(F). Soit X/F
projective, lisse, géométriquement intègre. Soit l 6= p un nombre premier.
(a) Si le groupe CH 2 (X) est un groupe de type fini, alors le groupe
3
Hnr
(X, Ql /Zl (2)) est de cotype fini.
(b) Le groupe CH 2 (X)/ln est fini si et seulement si le groupe
3
(X, µ⊗2
Hnr
ln ) est fini.
3
(c) Si le groupe Hnr
(X, Ql /Zl (2)) est de cotype fini, alors pour tout
3
2
n
entier n > 0, les groupes Hnr
(X, µ⊗2
ln ) et CH (X)/l sont finis.
3
(d) Le groupe Hnr (X, Ql /Zl (2)) est fini si et seulement si l’application
4
CH 2 (X) ⊗ Ql /Zl → Hét
(X, Ql /Zl (2)) a un noyau fini.
En 1968, Bass a demandé si le groupe K 0 (X) ' K0 (X) d’une variété
X lisse sur un corps fini est de type fini. Si c’est le cas, en utilisant le
théorème de Riemann-Roch sans dénominateurs [22, Formule (15)] cela
implique que le groupes CH 2 (X) est de type fini, et donc que le groupe
3
Hnr
(X, Ql /Zl (2)) est de cotype fini.
16
JEAN-LOUIS COLLIOT-THÉLÈNE & BRUNO KAHN
3.3. Une conséquence de conjectures de Tate, et d’autres. —
Rappelons de [29, p. 978, déf. 1] :
Définition 3.9. — Soit F un corps fini, p = car(F).
a) On note B(F) l’ensemble des classes d’isomorphismes de F-variétés
projectives lisses dont le motif de Chow (à coefficients rationnels) est
dans la sous-catégorie épaisse rigide engendrée par les motifs d’Artin et
les motifs de variétés abéliennes (ou de courbes, c’est la même chose).
On dit que X est de type abélien si X ∈ B(F).
b) On note BTate (F) le sous-ensemble de B(F) formé des variétés X
vérifiant la conjecture de Tate cohomologique pour un nombre premier
l 6= p fixé.
Remarque 3.10. — Comme indiqué dans [29, p. 978, déf. 1 b)], la
condition de b) ne dépend pas du choix de l 6= p. Détaillons l’argument
donné loc. cit. D’après [29, lemme 1.9], l’action de Frobenius sur la cohomologie l-adique de X est semi-simple pour tout X ∈ B(F). D’après
[60, th. 2.9], la conjecture de Tate cohomologique pour (X, l) (en toutes
codimensions) équivaut alors à la conjecture de Tate sur l’ordre des pôles
de la fonction zêta de X, dont l’énoncé ne fait pas intervenir l.
Pour l = p, les arguments ci-dessus s’appliquent encore [44, prop. 8.2
et 8.4] à condition de savoir que l’action de Frobenius sur H 2n (X, Qp (n))
est semi-simple pour la valeur propre 1 : on peut montrer que c’est bien
le cas. (1)
Ainsi, si X ∈ BTate (F), l’application cycle
2i
CH i (X) ⊗ Ql → Hét
(X, Ql (i))
est surjective pour tout entier i et tout nombre premier l.
On montre facilement que la condition X ∈ B(F) est équivalente à la
suivante : il existe une variété abélienne A définie sur F telle que le motif
de Chow de X devienne facteur direct de celui de A après une extension
finie (ou sur la clôture algébrique).
Propriétés 3.11. —
(i) B(F) est stable par produits directs.
(ii) Si f : X → Y est un morphisme surjectif, alors X ∈ B(F) ⇒
Y ∈ B(F) (le motif de Y est facteur direct de celui de X).
1. Nous remercions L. Illusie de nous en avoir fourni une démonstration.
CYCLES DE CODIMENSION 2 ET H 3 NON RAMIFIÉ
17
(iii) Si X ∈ B(F) et dim X ≤ 3, tout éclatement de X de centre lisse est
dans B(F).
(iv) Par un résultat célèbre de Katsura-Shioda, les hypersurfaces de Fermat sont dans B(F).
(v) On sait montrer que de nombreuses variétés abéliennes sont dans
BTate (F), par exemple les produits de courbes elliptiques. Pour d’autres exemples, voir [29, Ex. 1 c)].
(vi) Si X ∈ B(F) et dim X ≤ 3, alors X ∈ BTate (F). C’est énoncé dans
[29, Ex. 1 b)], mais n’est entièrement justifié que dans [30, 4.8.5].
(vii) Conjecturalement, toute variété projective et lisse est dans
BTate (F) : cela résulte de Milne, [41, rem. 2.7] et du théorème
de nilpotence de Kimura (permettant de relever le facteur direct de
l’équivalence homologique à l’équivalence rationnelle), cf [29, th.
5.2, cond. (vi ter)].
Dans [29] (2003), le second auteur a établi un certain nombre de propriétés de la cohomologie motivique de ces variétés. Pour les cycles de
codimension 2, on a en particulier le théorème suivant.
Théorème 3.12 ([29]). — Soit F un corps fini et X une F-variété projective, lisse, géométriquement connexe, dans la classe BTate (F). Alors :
(a) Le groupe CH 2 (X) est un groupe de type fini.
4
(X, Z(2)) est un groupe de type fini.
(b) Le groupe Hét
3
(c) Le groupe Hnr (X, Q/Z(2)) est fini.
Les énoncés (a) et (c) résultent de l’énoncé (b), cas particulier de [29,
Cor. 3.10], et de la suite exacte (1.4). On renvoie à [30] pour le lien entre
ce théorème, les conjectures de Bass sur la génération finie des groupes de
Chow CH i (X), les conjectures de Tate, resp. de Beilinson, sur l’image,
resp. le noyau, des applications cycles
2i
CH i (X) ⊗ Ql → Hét
(X, Ql (i)).
Ainsi, la conjecture mentionnée au point (vii) de la liste 3.11 prédit que
est fini pour toute variété projective lisse sur un corps
fini.
Le corollaire suivant permet parfois de montrer la finitude de
3
Hnr
(X, Q/Z) sans savoir que X ∈ BTate (F). Il résulte immédiatement de
la combinaison du théorème 3.12, de la proposition 3.6 et de l’exemple
3.11 (vi).
3
Hnr
(X, Q/Z(2))
18
JEAN-LOUIS COLLIOT-THÉLÈNE & BRUNO KAHN
Corollaire 3.13. — Soit X/F une variété projective lisse. On suppose
qu’il existe une F-variété projective lisse Y et une correspondance de
Chow γ ∈ CHdim Y (Y × X) ⊗ Q telles que :
(i) Y ∈ BTate (F).
(ii) γ∗ : CH0 (YΩ ) ⊗ Q → CH0 (XΩ ) ⊗ Q est surjectif.
3
(X, Q/Z(2)) est fini.
Alors Hnr
Par exemple, il suffit de trouver (Y, γ) avec dim Y ≤ 3 et Y ∈ B(F).
3
4. Le quotient fini de Hnr
(X, Q/Z(2))
4.1. Solides sur la clôture algébrique d’un corps fini. —
Lemme 4.1. — Soient G un groupe profini et M un Zl -module de type
fini muni d’une action continue de G. Soit M (1) ⊂ M le Zl -module formé
des éléments dont le stabilisateur est un sous-groupe ouvert de G. Le
quotient M/M (1) est sans torsion.
Démonstration. — a) Soit Mtors le sous-module de torsion de M , et soit
M̄ = M/Mtors . Comme Mtors est fini, on a
lim H 0 (U, Mtors ) = Mtors ,
−→
U ⊂G
lim H 1 (U, Mtors ) = 0
−→
U ⊂G
où U décrit les sous-groupes ouverts de G. On en déduit une suite exacte
0 → Mtors → M (1) → M̄ (1) → 0.
∼
Ainsi, M/M (1) −→ M̄ /M̄ (1) et on peut supposer M sans torsion.
b) Supposons M sans torsion. Comme M est un Zl -module noethérien,
on a M (1) = M U pour un sous-groupe ouvert U ⊂ G assez petit. Soit
m ∈ M tel que lm ∈ M (1) , c’est-à-dire (u − 1)(lm) = 0 pour tout u ∈ U .
Alors (u − 1)m = 0 pour tout u ∈ U , donc m ∈ M (1) .
Proposition 4.2. — Soit V une variété projective, lisse, connexe de dimension 3 sur la clôture algébrique F d’un corps fini F. Sous la conjecture
de Tate pour les classes de diviseurs sur les surfaces sur un corps fini, le
3
groupe Hnr
(V, Ql /Zl (2)) est un groupe divisible.
Démonstration. — Il existe un corps fini F et une F-variété projective,
lisse, géométriquement intègre X telle que V = X ×F F. Soit G =
Gal(F/F). D’après un théorème de Schoen ([54], voir aussi [12]), pour V
CYCLES DE CODIMENSION 2 ET H 3 NON RAMIFIÉ
19
de dimension d, la conjecture de Tate pour les diviseurs sur les surfaces
implique que l’image de la classe de cycle
2d−2
CH d−1 (V ) ⊗ Zl → Hét
(V, Zl (2))
est précisément le Zl -sous-module des éléments dont le stabilisateur est
ouvert dans G. Il résulte alors du lemme 4.1 que le conoyau de l’application cycle ci-dessus est sans torsion. Pour d = 3, le théorème 2.1 implique
3
alors que le groupe Hnr
(V, Ql /Zl (2)) est divisible.
Remarque 4.3. — On notera que sur le corps des complexes on dispose
de variétés V projectives et lisses de dimension 3 avec pour l premier
3
convenable Hnr
(V, Ql /Zl (2)) non divisible, c’est-à-dire ([14, Thm. 3.7]
ou Théorème 2.1) tel que le groupe
4
M = Coker CH 2 (V ) ⊗ Zl → Hét
(V, Zl (2))
est non nul. De tels exemples ont été donnés par Kollár (voir [14, §5.3]).
4.2. Solides sur un corps fini fibrés en coniques. —
Théorème 4.4 (Parimala et Suresh [45]). — Soit f : X → S un
morphisme surjectif de variétés projectives lisses sur un corps fini F de caractéristique p différente de 2. Supposons que S soit une surface et que la
fibre générique de f soit une conique (lisse et géométriquement intègre sur
3
(X, Ql /Zl (2)) =
F(S)). Alors pour tout nombre premier l 6= p, on a Hnr
0. (2)
3
Remarquons que Hnr
(X, Q/Z(2)) est a priori annulé par 2, en particulier fini d’après le théorème 2.1. En effet, soient K = F(S) et F = F(X).
Alors F = K(C) où C est une conique. Si c est un point de degré 2 de
C et K 0 = K(c), alors F 0 = K 0 F est K 0 -isomorphe à K 0 (t). Donc
∼
3
3
Hnr
(K 0 /F, Q/Z(2)) −→ Hnr
(F 0 /F, Q/Z(2))
(l’isomorphisme est classique hors de la p-torsion ; pour celle-ci, cf. [7,
ex. 7.4 (3) et th. 8.6.1]), et le groupe de gauche est nul par la proposition
3.1. On conclut par l’argument habituel de transfert.
Dans le théorème 4.4, le cas d’une fibration lisse est simple à expliquer :
2. Ce résultat vient d’être étendu par A. Pirutka [47] aux fibrations en variétés de
Severi-Brauer d’indice premier au-dessus d’une surface.
20
JEAN-LOUIS COLLIOT-THÉLÈNE & BRUNO KAHN
Démonstration. — En gardant les notations ci-dessus, l’application naturelle
H 3 (K, Ql /Zl (2)) → H 3 (F, Ql /Zl (2))
induit une surjection (valable en général pour le corps des fonctions d’une
conique, [57])
3
H 3 (K, Ql /Zl (2)) → Hnr
(F/K, Ql /Zl (2)) → 0.
Soit β ∈ H 3 (K, Ql /Zl (2)). Soient s ∈ S un point de codimension 1 et
x = f −1 (s) ∈ X. Sous l’hypothèse de lissité de f : X → S, x est un point
de codimension 1 et l’extension OS,s ⊂ OX,x est non ramifiée ; d’où
∂x (f ∗ β) = f ∗ ∂s (β) ∈ Br(K(x)).
Toujours sous l’hypothèse de lissité, la fibration en coniques est associée
à une algèbre d’Azumaya A sur S (de dimension 4). D’après un théorème
classique de Witt, on a
Ker (Br(F(s)) → Br(K(x))) = hAs i
où As désigne la fibre de A en s. Mais As = 0 car elle provient d’un
élément du groupe de Brauer d’une courbe projective lisse sur un corps
fini (à savoir, la normalisation de l’adhérence de x dans X).
Ainsi, si β devient non ramifiée dans H 3 (F, Ql /Zl (2)), alors ∂s (β) = 0
3
(K/F, Ql /Zl (2))) →
pour tout s ∈ S (1) . Finalement le morphisme Hnr
3
Hnr (F/F, Ql /Zl (2))) est surjectif, et on conclut par la proposition 3.1. 5. Exemples et questions
Soient F un corps fini, p = car(F) et F une clôture algébrique. Soit
l premier, l 6= p. En grande dimension, une adaptation des exemples
d’Atiyah-Hirzebruch (voir [12]) donne des exemples de V /F projectives
4
et lisses et de classes dans Hét
(V, Zl (2))tors qui ne sont pas dans l’image
de l’application cycle
4
CH 2 (V ) ⊗ Zl → Hét
(V, Zl (2)).
On en déduit immédiatement des exemples de variétés X/F projectives
4
et lisses et de classes dans Hét
(X, Zl (2))tors qui ne sont pas dans l’image
de l’application cycle
4
CH 2 (X) ⊗ Zl → Hét
(X, Zl (2)).
CYCLES DE CODIMENSION 2 ET H 3 NON RAMIFIÉ
21
En utilisant le théorème 2.1, ceci donne des exemples de V /F avec
non nul, et des exemples de X/F
donc non nul.
A. Pirutka [46] a par ailleurs donné des exemples de variétés X/F
projectives et lisses géométriquement rationnelles de dimension 5 avec
3
3
Hnr
(X, Ql /Zl (2)) = 0 et Hnr
(X, Ql /Zl (2)) fini non nul.
Ces exemples et le paragraphe 4 laissent les conjectures et questions
suivantes ouvertes.
3
(V, Ql /Zl (2)) non divisible, et donc
Hnr
3
avec Hnr
(X, Ql /Zl (2)) non divisible, et
3
Conjecture 5.1. — Pour X/F projective et lisse, le groupe Hnr
(X, Ql /Zl (2))
est fini, et il est nul pour presque tout l.
3
Question 5.2. — Existe-t-il V /F projective et lisse, avec Hnr
(V, Ql /Zl (2))
infini ?
Question 5.3. — Pour V /F projective et lisse, de dimension 3, a-t-on
3
(V, Ql /Zl (2)) = 0 ?
Hnr
Ceci serait bien sûr le cas si l’on avait une réponse affirmative à la
question suivante.
Question 5.4. — Pour une variété X/F projective et lisse de dimen3
(X, Ql /Zl (2)) = 0 ?
sion 3, a-t-on Hnr
On dit qu’une variété géométriquement intègre de dimension d est
géométriquement uniréglée si après extension finie du corps de base elle
est rationnellement dominée par le produit de la droite projective et d’une
variété de dimension d − 1. Le corollaire 6.2 de [14], qui repose sur un
théorème de C. Voisin [61], et le théorème 4.4 ci-dessus, de Parimala et
Suresh, nous incitent à proposer la conjecture suivante.
Conjecture 5.5. — Pour X une F-variété projective, lisse, de dimen3
sion 3, géométriquement uniréglée, on a Hnr
(X, Ql /Zl (2)) = 0.
Un cas concret fait l’objet de la question suivante, qui motive en grande
partie le présent article (voir le §7.2 et le §7.3).
Conjecture 5.6. — Soit f : X → Y un morphisme (surjectif à fibre
générique lisse et géométriquement intègre) de variétés projectives, lisses,
géométriquement intègres sur un corps fini F. On suppose que Y est
une courbe et la fibre générique une surface géométriquement rationnelle.
3
Alors le groupe Hnr
(X, Ql /Zl (2)) est nul.
22
JEAN-LOUIS COLLIOT-THÉLÈNE & BRUNO KAHN
On observera que la question suivante, d’apparence plus anodine, est
déjà ouverte.
Question 5.7. — Soit X/F une variété projective et lisse de dimen3
sion 3 qui est géométriquement rationnelle. Le groupe Hnr
(X, Ql /Zl (2))
est-il nul ?
3
6. Descente galoisienne sur Hnr
(X, Q/Z(2)) et sur CH 2 (X)
6.1. Descente galoisienne. — L’énoncé suivant corrige et amplifie la
suite “exacte” (6) de [27, p. 397].
Proposition 6.1. — Soit F un corps d’exposant caractéristique p, et
soit A une F -algèbre régulière semi-locale essentiellement de type fini
sur F , d’origine géométrique et géométriquement intègre. Notons Fs une
clôture séparable de F et As = A ⊗F Fs (qui, par hypothèse, est intègre).
Alors on a un complexe de groupes de cohomologie étale
H 3 (F, Q/Z(2)) → Ker H 3 (A, Q/Z(2)) → H 3 (As , Q/Z(2))
→ H 2 (F, K2 (As )/K2 (Fs ))) → H 4 (F, Q/Z(2)) → H 4 (A, Q/Z(2))
qui est exact, sauf peut-être au terme H 4 (F, Q/Z(2)) où son homologie
est l’homologie d’un complexe
H 3 (A, Q/Z(2)) → H 3 (As , Q/Z(2))G → H 3 (F, K2 (As )/K2 (Fs ))
où G = Gal(Fs /F ).
L
Dans cet énoncé, Q/Z(2) =
l Ql /Zl (2) où, pour l 6= p, Ql /Zl (2) est
un groupe de racines de l’unité tordues, tandis que pour l = p c’est le
faisceau décalé ν∞ (2)[−2], cf. §1.
Démonstration. — On va suivre la technique de [27], en remplaçant les
complexes Γ(X, 2) de Lichtenbaum par les complexes ZX (2) de Bloch,
considérés pour la topologie étale. Cette opération est a priori un peu
désagréable, car ces complexes ne sont que conjecturalement cohomologiquement bornés inférieurement (conjecture de Beilinson-Soulé), et on
travaille avec un corps de dimension cohomologique éventuellement infinie. Que ce problème soit innocent est expliqué dans [33, §2.3].
Soit f : Spec A → Spec F le morphisme structural et soit Z(A/F, 2)
“la” fibre homotopique de Z(2)F → Rf∗ Z(2)A , prise dans la catégorie
CYCLES DE CODIMENSION 2 ET H 3 NON RAMIFIÉ
23
dérivée des complexes de G-modules. On a une suite spectrale de Hochschild-Serre
E2p,q = H p (G, Hq (Z(A/F, 2))) ⇒ Hp+q (F, Z(A/F, 2))
Comme Z(A/F, 2) est un complexe a priori non borné, cette suite spectrale s’obtient en remplaçant ce complexe de faisceaux par un complexe
quasi-isomorphe K-injectif au sens de Spaltenstein, cf. [56, Th. 4.5 et
Rem. 4.6]. Elle converge par l’argument rappelé dans [33, §2.3], ou par
une variante plus concrète de cet argument donnée ci-dessous.
Considérons le diagramme commutatif de triangles exacts
+1
Z(A/F, 2)


y
−−−→
ZF (2)


y
−−−→
Rf∗ ZA (2)


y
−−−→
Q(A/F, 2)


y
−−−→
QF (2)


y
−−−→
Rf∗ QA (2)


y
−−−→
+1
+1
Q/Z(A/F, 2) −−−→ (Q/Z)F (2) −−−→ Rf∗ (Q/Z)A (2) −−−→






+1y
+1y
+1y
La dernière ligne et la valeur de (Q/Z)F (2), (Q/Z)A (2) (1.2) montrent
que Hq (Q/Z(A/F, 2)) = 0 pour q ≤ 1. On déduit alors de la colonne de
gauche que Hq (Z(A/F, 2)) est uniquement divisible pour q ≤ 2, ce qui
donne la première ligne de

uniquement divisible



K (A )/K (F )
2
s
2
s
Hq (Z(A/F, 2)) =

0


 3
H (As , Q/Z(2)))
pour
pour
pour
pour
q
q
q
q
≤2
=3
=4
=5
cf. [27, Lemma 3.1]. La différence avec le calcul de [27] est le cas q ≤ 1,
où l’on trouve 0 (ici ce n’est qu’une conjecture). Le reste du calcul se fait
avec les mêmes raisonnements que dans loc. cit.
En particulier on a E2p,q = 0 pour p > 0, q ≤ 2, ce qui assure la
convergence de la suite spectrale.
24
JEAN-LOUIS COLLIOT-THÉLÈNE & BRUNO KAHN
Comme dans [26], (1.2) donne aussi une suite exacte
(6.1) 0 → H4 (F, Z(A/F, 2)) → H 3 (F, Q/Z(2)) → H 3 (A, Q/Z(2))
→ H5 (F, Z(A/F, 2)) → H 4 (F, Q/Z(2)) → H 4 (A, Q/Z(2)) → . . .
Donc E2p,q = 0 pour q ≤ 1 et q = 2, p 6= 0, d’où un isomorphisme
∼
∼
H 1 (G, K2 (As )/K2 (Fs )) −→ H4 (F, Z(V /F, 2)) −→ Kerη
(6.2)
où η est l’homomorphisme H 3 (F, Q/Z(2)) → H 3 (A, Q/Z(2)) (on a utilisé
(6.1)), et une suite exacte
(6.3) 0 → H 2 (G, K2 (As )/K2 (Fs )) → H5 (F, Z(A/F, 2))
→ H5 (Fs , Z(As /Fs , 2))G → H 3 (G, K2 (As )/K2 (Fs )).
Disposons (6.3) et une partie de (6.1) en croix : pour faire tenir le
diagramme dans la page, on note M = K2 (As )/K2 (Fs ), C = Z(A/F, 2)
et Q/Z(2) = 2.
H 3 (F, 2)
3
H (A, 2)
0
/
2
H (G, M )
/
5
H (F, C)
/
H 3 (As , 2))G
/
H 3 (G, M )
H 4 (F, 2)
H 4 (A, 2)
Le “lemme du 700ème” de Merkurjev-Tignol dit alors que l’homologie
du complexe
0 → H 2 (G, M ) → H 4 (F, 2) → H 4 (A, 2)
en H 2 (G, M ) (resp. en H 4 (F, 2)) est isomorphe à l’homologie du complexe
H 3 (F, 2) → H 3 (A, 2) → H 3 (As , 2)G → H 3 (G, M )
en H 3 (A, 2) (resp. en H 3 (As , 2)G ). La conclusion en suit.
CYCLES DE CODIMENSION 2 ET H 3 NON RAMIFIÉ
25
Sur un corps de caractéristique zéro et de dimension cohomologique 1,
l’énoncé suivant est établi dans [14, Prop. 8.4].
Proposition 6.2. — Soit F un corps d’exposant caractéristique p, de
dimension cohomologique ≤ 2. Soit Fs une clôture séparable de F et
G = Gal(Fs /F ). Soient V une F -variété géométriquement intègre, A un
anneau semi-local régulier de V et As = A ⊗F Fs .
(a) Il existe un isomorphisme
Ker H 3 (A, Q/Z(2)) → H 3 (As , Q/Z(2)) ' H 2 (G, K2 (As )/K2 (Fs ))
naturel en A.
(b) Si V est lisse, cet isomorphisme induit un isomorphisme
Ker H 0 (V, H3 (Q/Z(2))) → H 0 (V ×F Fs , H3 (Q/Z(2)))


M
' Ker H 2 (G, K2 (Fs (V ))/K2 (Fs )) → H 2 (G,
Fs (x)× )
x∈V (1)
où la dernière flèche est induite par les symboles modérés.
Démonstration. — L’énoncé (a) découle immédiatement de la proposition 6.1. On en déduit l’énoncé (b) en considérant l’ensemble des points
x de codimension 1 de Vs et en utilisant les suites exactes courtes
0 → K2 (OVs ,x ) → K2 (Fs (V )) → Fs (x)∗ → 0
de modules galoisiens.
Sur un corps de caractéristique zéro, l’énoncé suivant est établi dans
[14, Thm. 8.5]. A la p-torsion près, la démonstration donnée dans [14],
qui passe par la K-cohomologie, vaut sur un corps parfait de caractéristique p > 0. La démonstration donnée ci-dessous utilise la suite exacte
(1.4).
Théorème 6.3. — Soit F un corps parfait de dimension cohomologique
≤ 1. Soit V une F -variété projective, lisse, géométriquement intègre. Soit
F̄ une clôture algébrique de F et V = V ×F F̄ . On a alors une suite exacte
3
0 → Ker CH 2 (V ) → CH 2 (V )G → H 1 (G, Hét
(V , Z(2)))
3
3
(V, Q/Z(2)) → Hnr
(V , Q/Z(2))
→ Ker Hnr
→ Coker CH 2 (V ) → CH 2 (V )G → 0.
26
JEAN-LOUIS COLLIOT-THÉLÈNE & BRUNO KAHN
Si F n’est pas supposé parfait, cette suite exacte vaut après tensorisation
avec Z[1/p].
Démonstration. — Par un argument de transfert, il il suffit de considérer
le cas où le corps F est parfait.
Considérons le diagramme commutatif
4
0→ CH 2 (V ) −−−→ Hét
(V, Z(2)) −−−→ H 0 (V, H3 (Q/Z(2))) →0






y
y
y
4
0→CH 2 (V )G −−−→ Hét
(V , Z(2))G −−−→ H 0 (V , H3 (Q/Z(2)))G
où les lignes exactes proviennent de (1.4). Dans la suite spectrale de
Hochschild-Serre (à laquelle on peut penser comme suite spectrale d’hypercohomologie du complexe de G-modules Z(2)V )
q
p+q
E2p,q = H p (G, Hét
(V , Z(2))) ⇒ Hét
(V, Z(2))
on a E2p,q = 0 pour p > 2 puisque, par hypothèse, cd(G) ≤ 1. D’après [9,
Thm. 1.8 et Thm. 2.2] et [21] (voir aussi [33, Prop. 4.17 et Rem. 4.18 ]),
2
sur le corps algébriquement clos F , les groupes H 0 (V , K2 ) ' Hét
(V , Z(2))
1
3
et H (V , K2 ) ' Hét (V , Z(2)) sont chacun extension d’un groupe de torsion d’exposant fini par un groupe divisible. Il en résulte E22,q = 0 pour
q = 2, 3. Ainsi la flèche verticale centrale dans ce diagramme est surjec3
tive de noyau H 1 (G, Hét
(V , Z(2))), et le théorème 6.3 résulte du lemme
du serpent.
Remarque 6.4. — Cet argument donne de plus une suite exacte
3
3
Hnr
(V, Q/Z(2)) → Hnr
(V , Q/Z(2))G
4
→ H 1 (F, CH 2 (V )) → H 1 (F, Hét
(V , Z(2)))
à la p-torsion près si k n’est pas parfait.
Question 6.5. — Le théorème 6.3 reste-t-il vrai sans tensoriser avec
Z[1/p] si [k : k p ] = p ?
6.2. Application aux variétés sur les corps finis. — Pour tirer
du théorème 6.3 des conséquences pratiques, il faut contrôler le module
3
galoisien Hét
(V , Z(2)) ' H 1 (V , K2 ). Le théorème suivant regroupe des
résultats de Raskind et du premier auteur [9, Thm. 2.2] pour l 6= p et de
Gros et Suwa [21, §3] pour l = p. Pour X projective et lisse sur un corps F
d’exposant caractéristique p, les groupes H i (X, Zl (j)) et H i (X, Ql /Zl (j))
CYCLES DE CODIMENSION 2 ET H 3 NON RAMIFIÉ
27
ci-dessous utilisés sont pour l 6= p les groupes de cohomologie étale
i
i
(X, Ql /Zl (j)). Pour l = p, ce sont ceux définis par
(X, Zl (j)) et Hét
Hét
Gros et Suwa dans [21]. La finitude des groupes H 3 (V , Zp (2)){p} est
établie par Illusie et Raynaud [25, p. 194]).
Théorème 6.6. — Soit F un corps parfait d’exposant caractéristique p.
Soit V une F -variété projective, lisse,
L géométriquement intègre. Soit
M = M (V ) le module galoisien fini l H 3 (V , Zl (2)){l}.
(a) Il existe une suite exacte naturelle
3
(V , Z(2)) → M → 0,
0 → D → Hét
où le groupe D est divisible.
(b) Pour tout premier l, il existe un isomorphisme naturel
∼
3
H 2 (V , Ql /Zl (2)) −→ Hét
(V , Z(2)){l}.
(c) Pour tout premier l, il existe un isomorphisme naturel de groupes
divisibles
∼
H 2 (V , Ql /Zl (2))0 −→ D{l}
où A0 désigne le plus grand sous-groupe divisible d’un groupe
abélien A.
Soient F un corps fini et V une F-variété projective, lisse, géométriquement intègre. Rappelons que l’on a
H 1 (G, H 2 (V , Ql /Zl (2))0 ) = 0
pour tout premier l.
En effet, ces groupes sont des groupes de coinvariants de groupes divisibles, donc ils sont divisibles. Pour l 6= p, leur finitude, et donc leur
2
nullité, résulte du fait que le groupe de coinvariants Hét
(V , Zl (2))G est
fini (Deligne, voir [11, §2.1]).
Par définition H 2 (V , Qp /Zp (2)) = H 0 (V , ν∞ (2)). La finitude du groupe
des coinvariants de ce dernier groupe sous l’action de G est établie, suivant O. Gabber, dans [11, §2.2, Formule (34)].
On a donc le théorème (cf. [21, Prop. 4.1]) :
L
Théorème 6.7. — Soit F un corps fini. Soit M = l H 3 (V , Zl (2)){l}.
Soit V une F-variété projective,
géométriquement intègre. Soit M
L lisse,
3
le module galoisien fini M = l H (V , Zl (2)){l}. On a un isomorphisme
de groupes finis :
∼
3
H 1 (G, Hét
(V , Z(2))) −→ H 1 (G, M ).
28
JEAN-LOUIS COLLIOT-THÉLÈNE & BRUNO KAHN
La combinaison de ce résultat avec le théorème 6.3 donne :
Théorème 6.8. — Soit F un corps fini. Soit F une clôture algébrique
de F, et soit G le groupe de Galois de F sur F. Soit V une F-variété
projective,
lisse, géométriquement intègre. Soit M le module galoisien
L
fini l H 3 (V , Zl (2)){l}. On a alors une suite exacte
0 → Ker CH 2 (V ) → CH 2 (V ) → H 1 (G, M )
3
3
→ Ker Hnr
(V, Q/Z(2)) → Hnr
(V , Q/Z(2))
→ Coker CH 2 (V ) → CH 2 (V )G → 0.
Théorème 6.9. — Soit F un corps fini de caractéristique p. Soit F une
clôture algébrique de F, et G = Gal(F/F). Soit V une F-variété projective
et lisse, géométriquement
intègre.
L 3
(a) Si l H (V , Zl (2)){l} = 0, on a une suite exacte
3
3
(V, Q/Z(2)) → Hnr
(V , Q/Z(2))G
0 → CH 2 (V ) → CH 2 (V )G → Hnr
4
→ H 1 (F, CH 2 (V )) → H 1 (F, Hét
(V , Γ(2))).
(b) Si V est une variété géométriquement rationnelle, on a un complexe
3
0 → CH 2 (V ) → CH 2 (V )G → Hnr
(V, Q/Z(2)) → 0
qui est exact après tensorisation par Z[1/p].
Démonstration. — L’énoncé (a) est une conséquence immédiate du théorème 6.8 et de la remarque 6.4. Soit l premier, l 6= p. Si V est ration3
(V , Ql /Zl (2)) et Br(V ){l} sont nuls.
nelle, les invariants birationnels Hnr
Comme montré par Grothendieck [23, (8.9)], il résulte de la suite de
Kummer que le quotient de Br(V ){l} par son sous-groupe divisible maxi3
mal est le groupe fini Hét
(V , Zl (1)){l}. Pour V rationnelle, on a donc
3
3
Hét (V , Zl (1)){l} = 0 et donc Hét
(V , Zl (2)){l} = 0. L’énoncé b) résulte
alors du théorème 6.8.
Remarque 6.10. — La question de la surjectivité de la flèche
CH 2 (V ) → CH 2 (V )G sur un corps de base fini avait été posée par
T. Geisser. A. Pirutka [46] vient d’exhiber des exemples de variétés
projectives et lisses sur un corps fini, géométriquement rationnelles, de
3
dimension 5, pour lesquelles on a Hnr
(V, Q/Z(2)) 6= 0 et
Coker CH 2 (V ) → CH 2 (V )G 6= 0.
CYCLES DE CODIMENSION 2 ET H 3 NON RAMIFIÉ
29
Le théorème 6.9 (b) montre directement que, pour les variétés géométriquement rationnelles, la seconde inégalité résulte de la première.
6.3. Le cas des surfaces. — Soit V /F une surface projective et lisse,
géométriquement intègre. Comme rappelé dans la proposition 3.1, on a
3
3
Hnr
(V , Q/Z(2)) = 0 et Hnr
(V, Q/Z(2)) = 0. Le théorème 6.8 donne donc
une suite exacte
0 → H 1 (G, M ) → CH 2 (V ) → CH 2 (V )G → 0.
Comme toute telle surface possède un zéro-cycle de degré 1, cela donne
aussi une suite exacte
0 → H 1 (G, M ) → A0 (V ) → A0 (V )G → 0.
Le théorème de Roitman donne un isomorphisme
'
A0 (V ) → AlbX (F)
entre le groupe de Chow des zéro-cycles de degré zéro modulo équivalence
rationnelle et le groupe des points géométriques de la variété d’Albanese.
Par ailleurs on vérifie que le module galoisien M est isomorphe au dual
D(N S) de la torsion du groupe de Néron-Severi N S de V . On obtient
alors une suite exacte
0 → H 1 (F, D(N S)) → A0 (V ) → AlbX (F) → 0.
L’existence d’une telle suite exacte est un théorème de théorie du corps
de classes supérieur dû à K. Kato et S. Saito [36].
3
7. Le groupe Hnr
(X, Q/Z(2)) et les conjectures sur les
zéro-cycles sur un corps global
7.1. Conjectures sur les zéro-cycles de degré 1. — La conjecture
suivante fut faite pour les surfaces rationnelles par Sansuc et l’un des
auteurs [10] en 1981. Elle fut établie pour les surfaces fibrées en coniques
sur un corps de nombres par Salberger [53] en 1987 (avec une petite
hypothèse restrictive, levée par la suite). Pour des variétés projectives
et lisses quelconques, elle fut suggérée par Kato et Saito [35] en 1985 et
Saito [50] en 1989. On la trouve détaillée dans [5].
30
JEAN-LOUIS COLLIOT-THÉLÈNE & BRUNO KAHN
Conjecture 7.1. — Soit k un corps global. Soit V une variété projective
et lisse, géométriquement connexe. S’il existe une famille {zv } de zérocycles
locaux de degré 1 telle que pour tout élément A ∈ Br(V ) on ait
P
v invv (A(zv )) = 0 alors il existe un zéro-cycle de degré 1 sur V .
Pour l un nombre premier, on peut aussi énoncer une variante lprimaire, où l’on s’intéresse seulement à l’existence d’un zéro-cycle de
degré premier à l.
7.2. Sur un corps global de caractéristique positive. — L’énoncé
suivant, dû à S. Saito en 1989, fait le lien entre une version entière de
la conjecture de Tate pour les variétés sur les corps finis et la conjecture
ci-dessus pour les variétés sur un corps global de caractéristique positive.
Théorème 7.2 ([50], [5]). — Soit F un corps fini, C/F une courbe
projective, lisse, géométriquement connexe, de corps des fonctions k =
F(C). Soit X/F une variété projective, lisse, géométriquement connexe de
dimension d + 1, équipée d’un morphisme dominant p : X → C de fibre
générique V /k lisse et géométriquement intègre. Soit l premier différent
de la caractéristique de F. Si l’application
2d
CH d (X) ⊗ Zl → Hét
(X, Zl (d))
est surjective, et s’il existe une famille de zéro-cycles locaux de degré 1
sur la k-variété V orthogonale au groupe de Brauer de V , alors il existe
sur V un zéro-cycle de degré premier à l.
Notons ici qu’on ne connaı̂t pas de contre-exemple à l’hypothèse de
surjectivité dans le théorème, c’est-à-dire pas de contre-exemple à la
conjecture de Tate entière pour les cycles de dimension 1 (sur la clôture
algébrique d’un corps fini, voir Schoen [54] [12]).
Proposition 7.3. — Soit k un corps fini ou un corps séparablement
clos. Soit X une k-variété projective, lisse, géométriquement intègre de
dimension d ≥ 2. Supposons le groupe de Brauer de X fini. Alors pour
tout l premier distinct de la caractéristique, le groupe
2d−2
(X, Zl (d − 1))
Coker CH d−1 (X) ⊗ Zl → Hét
est fini.
CYCLES DE CODIMENSION 2 ET H 3 NON RAMIFIÉ
31
Démonstration. — On a la suite exacte
0 → CH 1 (X) ⊗ Zl → H 2 (X, Zl (1)) → Tl (Br(X)) → 0,
et le module de Tate Tl (Br(X)), qui est sans torsion, est nul si et seulement si la torsion l-primaire de Br(X) est finie. On peut donc supposer
d ≥ 3. Soit H une section hyperplane lisse (pour k fini, d’après Poonen
[48], on peut trouver une telle section quitte à remplacer le plongement
projectif donné par un plongement de Veronese). On a le diagramme
commutatif
(7.1)
CH 1 (X) ⊗ Zl →


y
2
Hét
(X, Zl (1))


fy
2d−2
CH d−1 (X) ⊗ Zl →Hét
(X, Zl (d − 1))
où les flèches verticales sont données par l’intersection avec la classe du
cycle H d−2 dans CH d−2 (X).
Lorsque le corps k est séparablement clos, le théorème de Lefschetz
fort [16, Thm. 4.1.1] assure que la flèche verticale de droite a noyau et
2d−2
conoyau finis. Le conoyau de CH d−1 (X)⊗Zl → Hét
(X, Zl (1)) est donc
fini.
Supposons k fini. Soit k une clôture algébrique et g = Gal(k/k). On a
le diagramme commutatif
CH 1 (X) ⊗ Zl →


y
2
(X, Zl (1))
Hét


y
→
2
(X, Zl (1))g
Hét


y
2d−2
2d−2
CH d−1 (X) ⊗ Zl →Hét
(X, Zl (d − 1))→Hét
(X, Zl (d − 1))g
où les verticales sont définies par intersection avec la classe de H d−2 .
Pour X projective, lisse, géométriquement connexe sur un corps fini k et
l premier distinct de la caractéristique de k, pour tout entier i ≥ 1 la
suite spectrale de Hochschild-Serre donne naissance à des suites exactes
courtes
2i−1
2i
2i
(X, Zl (i))) → Hét
0 → H 1 (k, Hét
(X, Zl (i)) → Hét
(X, Zl (i))g → 0,
et le théorème de Deligne sur les conjectures de Weil implique que les
2i−1
groupes H 1 (k, Hét
(X, Zl (i))) sont finis (voir [11, §2.1]). L’intersection
d−2
avec la classe de H
définit une application g-équivariante
2d−2
2
(X, Zl (d − 1))
Hét
(X, Zl (1)) → Hét
32
JEAN-LOUIS COLLIOT-THÉLÈNE & BRUNO KAHN
qui est un isomorphisme après tensorisation avec Ql . La flèche induite
2d−2
2
(X, Zl (1))g → Hét
Hét
(X, Zl (d − 1))g a donc la même propriété, son
conoyau est donc fini. Ceci achève la démonstration.
Remarque 7.4. — Sur k algébriquement clos de caractéristique zéro,
la finitude de Br(X) équivaut à la nullité du groupe de cohomologie
cohérente H 2 (X, OX ).
Remarque 7.5. — Dans la proposition 7.3, on aimerait conclure que le
conoyau est nul pour presque tout l. Pour cela, il suffirait de savoir que le
morphisme de Lefschetz f du diagramme (7.1) est surjectif pour presque
tout l. Nous n’avons pas essayé de vérifier si la preuve de Deligne de [16,
Thm. 4.1.1] fournit bien ce raffinement.
Sur un corps fini, la finitude de Br(X) pour toute variété projective et
lisse équivaut à la conjecture de Tate sur les cycles de codimension 1.
Proposition 7.6. — Soit k un corps fini ou un corps séparablement
clos. Soit X une k-variété projective, lisse, géométriquement intègre de
dimension d. S’il existe un domaine universel Ω contenant k, une courbe
Y projective et lisse sur Ω et un Ω-morphisme Y → XΩ qui induit une
surjection des groupes de Chow de zéro-cycles, alors pour tout l premier
distinct de la caractéristique, le groupe
2d−2
Coker CH d−1 (X) ⊗ Zl → Hét
(X, Zl (2))
est fini.
Démonstration. — Comme le groupe de Brauer d’une courbe projective
et lisse sur un corps algébriquement clos ou sur un corps fini est nul, un
argument de correspondances entièrement analogue à celui donné dans
la proposition 3.2 et la remarque 3.3 montre que le groupe de Brauer
Br(X) est annulé par un entier N > 0, donc est, à la torsion p-primaire
près, fini. On conclut alors avec la proposition 7.3.
Théorème 7.7. — Soit F un corps fini, C/F une courbe projective,
lisse, géométriquement connexe, de corps des fonctions k = F(C). Soit
X/F une variété projective, lisse, géométriquement connexe de dimension 3, équipée d’un morphisme dominant p : X → C de fibre générique
une surface V /k lisse et géométriquement intègre. Soit l premier différent
de la caractéristique de F.
Supposons :
CYCLES DE CODIMENSION 2 ET H 3 NON RAMIFIÉ
33
(i) La conjecture de Tate [60] vaut pour les diviseurs sur X.
3
(X, Ql /Zl (2)) est divisible.
(ii) Le groupe Hnr
S’il existe sur la k-surface V une famille de zéro-cycles locaux de degré 1
orthogonale au groupe de Brauer de V , alors il existe sur V un zéro-cycle
de degré premier à l.
Démonstration. — On sait (voir [60]) que l’hypothèse (i) admet plusieurs
formulations équivalentes. Citons-en deux.
(a) La composante l-primaire du groupe de Brauer de X est nulle.
2
(b) L’application Pic(X) ⊗ Ql → Hét
(X, Ql (1))G est surjective, où G
est le groupe de Galois absolu de F et X = X ×F F.
D’après Deligne ([16], théorème de Lefschetz difficile), le cup-produit
par une section hyperplane définit un isomorphisme Galois-équivariant
2
4
Hét
(X, Ql (1)) ' Hét
(X, Ql (2)).
Ceci implique que l’application
4
CH 2 (X) ⊗ Ql → Hét
(X, Ql (2))G
est surjective. Cette flèche se factorise par
4
4
Hét
(X, Ql (2)) → Hét
(X, Ql (2))G ,
qui est un isomorphisme d’après les conjectures de Weil. Ainsi l’application
4
CH 2 (X) ⊗ Zl → Hét
(X, Zl (2))
a un conoyau fini. D’après le corollaire 2.1, ce conoyau est un quotient de
3
Hnr
(X, Ql /Zl (2)), groupe par hypothèse divisible. Donc ce conoyau est
nul. On peut alors appliquer le théorème 7.2.
C’est ainsi qu’on obtient le :
Théorème 7.8 (Parimala–Suresh [45]). — Soient F un corps fini
de caractéristique p différente de 2, et C, S, X des variétés projectives,
lisses, géométriquement connexes sur F, de dimensions respectives 1,2,3,
équipées de morphismes dominants X → S → C, la fibre générique de
X → S étant une conique lisse et la fibre générique de S → C étant une
conique lisse. Soit V /F(C) la fibre générique de l’application composée
X → C.
Si la F(C)-surface V porte une famille de zéro-cycles locaux de degré 1
orthogonale au groupe de Brauer de V , alors il existe un zéro-cycle de
degré 1 sur V .
34
JEAN-LOUIS COLLIOT-THÉLÈNE & BRUNO KAHN
Démonstration. — En utilisant les propriétés des coniques, on voit qu’il
existe une extension finie F0 /F, une courbe C 0 sur F0 et, sur F0 , une
application rationnelle dominante de P1 × P1 × C 0 vers X ×F F0 . Ceci
implique que le groupe de Brauer de X 0 est annulé par un entier N > 0,
donc aussi celui de X. Donc pour l premier distinct de p, le groupe
Br(X){l}, qui est de cotype fini, est fini. L’application
2
CH 1 (X) ⊗ Zl → Hét
(X, Zl (1))
a donc un conoyau fini, c’est-à-dire que la conjecture de Tate vaut donc
pour les diviseurs sur X. D’après le théorème 4.4 (Parimala et Suresh),
3
on a Hnr
(X, Ql /Zl (2)) = 0. Le théorème 7.7 assure alors l’existence sur la
F(C)-surface V d’un zéro-cycle de degré une puissance de p, en particulier
impair. Comme il est clair que V possède un zéro-cycle de degré 4, on
conclut (il suffirait dans l’argument de considérer le cas l = 2).
Pour une autre illustration (un cas “trivial” de la question 5.6),
voir [13].
7.3. Surfaces rationnelles sur un corps global. — Dans cette section, on offre une version via la cohomologie motivique d’une conjecture
faite par Sansuc et le premier auteur en 1981 [10].
Soit k avec cd(k) ≤ 2. Pour simplifier l’exposition, nous supposons ici
car(k) = 0. Soit k une clôture algébrique de k, et G = Gal(k/k). Soit
V une k-surface projective, lisse, géométriquement rationnelle. Notons
V = V ×k k. Soit I = I(V ) l’indice de V , c’est-à-dire le pgcd des degrés
(par rapport à k) des points fermés de V . Soit S le k-tore de groupe
des caractères le réseau galoisien Pic(V ) (qui est autodual). Comme V
est rationnelle, on a CH 2 (V ) = CH0 (V ) = Z. Pour les propriétés de
la K-cohomologie des surfaces rationnelles mentionées ci-dessous, nous
renvoyons le lecteur à [10, 9].
Le raisonnement qui suit raffine celui de la preuve du théorème 6.3.
On dispose du diagramme commutatif
4
0→ CH 2 (V ) −−−→ Hét
(V, Z(2)) −−−→ H 0 (V, H3 (Q/Z(2))) →0






yθ
y
y
4
0→CH 2 (V )G −−−→ Hét
(V , Z(2))G −−−→ H 0 (V , H3 (Q/Z(2)))G
où les lignes exactes proviennent de (1.4).
CYCLES DE CODIMENSION 2 ET H 3 NON RAMIFIÉ
35
Comme V est une surface géométriquement rationnelle, on a
H 0 (V , H3 (Q/Z(2))) = 0,
et la flèche verticale de gauche s’inscrit dans la suite exacte
0 → A0 (V ) → CH 2 (V ) → CH 2 (V )G → Z/I → 0,
où A0 (V ) est le groupe des zéro-cycles de degré zéro modulo l’équivalence
rationnelle, et où I = I(V ) ∈ N est l’indice de V , c’est-à-dire le pgcd des
degrés (sur k) des points fermés de la k-variété V . Pour analyser noyau
et conoyau de
4
4
(V , Z(2))G ,
(V, Z(2)) → Hét
Hét
on utilise la suite spectrale de Hochschild-Serre
q
p+q
E2p,q = H p (G, Hét
(V , Z(2)) ⇒ Hét
(V, Z(2)).
On a E2p,q = 0 pour p > 3 puisque, par hypothèse, cd(G) ≤ 2. Pour tout
1
1
(V , Z(2))/n ⊂ Hét
entier n > 0, on a Hét
(V , µ⊗2
n ) et ce dernier groupe est
1
nul puisque V est rationnelle. Ainsi Hét (V , Z(2)) est divisible, et donc
2
1
(V , Z(2)) = H 0 (V , K2 ), et pour V
H 3 (k, Hét
(V , Z(2))) = 0. On a Hét
0
rationnelle, on a H (V , K2 ) = K2 k, groupe qui est uniquement divi2
sible. On a donc H i (k, Hét
(V , Z(2))) = 0 pour tout i > 0. Enfin on
3
1
a H (V , K2 ) ' Hét (V , Z(2)), et pour V rationnelle, un isomorphisme
∗
Galois-équivariant S(k) = N S(V ) ⊗ k ' H 1 (V , K2 ).
La suite spectrale de Hoschschild-Serre donne alors la suite exacte
4
4
0 → H 1 (k, S) → Hét
(V, Z(2)) → Hét
(V , Z(2))G → H 2 (k, S).
Nous avons donc démontré :
Théorème 7.9. — Soit k un corps de dimension cohomologique
cd(k) ≤ 2 et de caractéristique 0. Soit V une k-surface projective, lisse,
géométriquement rationnelle. Soit S le k-tore dual du module galoisien
Pic(V ). Soit I = I(V ) l’indice de V , c’est-à-dire le pgcd des degrés des
points fermés sur la k-variété V . Il existe une suite exacte naturelle
(7.2)
3
0 → A0 (V ) → H 1 (k, S) → Hnr
(V, Q/Z(2)) → Z/I → H 2 (k, S).
Supposons désormais que k soit un corps de nombres totalement imaginaire. Soit Ω l’ensemble des places de k. On note kv le complété de k
en une place v, et Vv = V ×k kv . Considérons la restriction
Y
A0 (V ) →
A0 (Vv ).
v∈Ω
36
JEAN-LOUIS COLLIOT-THÉLÈNE & BRUNO KAHN
On sait [2] que l’on a A0 (Vv ) = 0 pour presque toute place v, et que
l’application ci-dessus est une flèche entre groupes finis
M
(7.3)
ρ : A0 (V ) →
A0 (Vv ).
v∈Ω
Soit Ω l’ensemble de toutes les places du corps global k. Comme S est
un k-tore, l’application de restriction
Y
H 1 (k, S) →
H 1 (kv , S)]
v∈Ω
a son image dans la somme directe.
Notons
M
X1 (k, S) = Ker[H 1 (k, S) →
H 1 (kv , S)]
v∈Ω
et
Q1 (k, S) = Coker[H 1 (k, S) →
M
H 1 (kv , S)].
v∈Ω
Proposition 7.10. — Soit V /k une surface projective et lisse sur un
corps global k. Soit l un premier distinct de la caractéristique de k.
L’image de l’application de restriction aux complétés de k
Y
3
3
Hnr
(V, Ql /Zl (2)) →
Hnr
(Vv , Ql /Zl (2))
v∈Ω
appartient à la somme directe
L
v∈Ω
3
(Vv , Ql /Zl (2)).
Hnr
Démonstration. — Soit V/U un modèle projectif et lisse de V /k audessus d’un ouvert U = Spec(O) de l’anneau des entiers du corps de
nombres k, ou d’une courbe lisse sur un corps fini, de corps des fractions
le corps global k de caractéristique positive. Soit ξ ∈ H 3 (k(V ), µ⊗2
ln ) une
classe non ramifiée sur V . Les points de codimension 1 où les résidus
sont non nuls sont situés au-dessus d’un nombre fini de points fermés
de U . Quitte à remplacer U par un ouvert non vide, on peut donc supposer que ξ appartient à H 0 (V, H3 (µ⊗2
ln )). Pour tout v ∈ U , son image
3
0
ξv ∈ Hnr
)
appartient
donc
à
H
(V ×O Ov , H3 (µ⊗2
(Vv , µ⊗2
n
l
ln )). Or S. Saito et
K. Sato ont montré que ce dernier groupe est nul ([52], cf. [6, th. 3.16]).
Notons
3
(V, Q/Z(2)) →
X3nr (V, Q/Z(2)) = Ker[Hnr
M
v∈Ω
3
Hnr
(Vv , Q/Z(2))].
CYCLES DE CODIMENSION 2 ET H 3 NON RAMIFIÉ
37
Théorème 7.11. — Soit k un corps de nombres totalement imaginaire.
Soit V une k-surface projective, lisse, géométriquement rationnelle. Soit
S le k-tore dual du module galoisien Pic(V ). Supposons l’indice I(V ) = 1,
ce qui est le cas si V possède un point rationnel. On a une suite exacte
0 → Ker(ρ) → X1 (k, S) → X3nr (V, Q/Z(2)) → Coker(ρ) → Q1 (k, S)
où ρ est la flèche de (7.3).
Démonstration. — Sous l’hypothèse I(V ) = 1, la suite exacte (7.2)
donne une suite exacte courte
(7.4)
3
(V, Q/Z(2)) → 0.
0 → A0 (V ) → H 1 (k, S) → Hnr
Comparant la suite exacte (7.4) sur k et sur les divers complétés de k
donne le résultat.
Conjecture 7.12. — Soit k un corps global. Pour V une k-surface projective, lisse, géométriquement rationnelle, on a
X3nr (V, Q/Z(2)) = 0.
En caractéristique positive, le lien entre cette conjecture et la conjecture 5.6 est discuté à la remarque 7.16 ci-après.
Remarque 7.13. — Dans [10], Sansuc et le premier auteur ont étudié
une flèche
A0 (V ) → H 1 (k, S),
et, pour k un corps de nombres, conjecturé :
Ker(ρ) ' X1 (k, S)
et
Coker(ρ) ,→ Q1 (k, S).
Le théorème 7.11 montre donc qu’à identification près des flèches, dans
le cas I(V ) = 1 et k corps de nombres totalement imaginaire, la conjecture de [10] est équivalente à la conjecture 7.12.
Dans [10], on fait aussi une conjecture de nature locale-globale pour la
propriété I(V ) = 1, c’est-à-dire pour l’existence d’un zéro-cycle de degré
1. Un cas particulier de cette conjecture dit que si l’on a H 1 (k, Pic V ) = 0
(qui équivaut à la condition Br(V )/Br(k) = 0 sur le groupe de Brauer
de V ), alors I(Vv ) = 1 pour toute place v implique I(V ) = 1.
38
JEAN-LOUIS COLLIOT-THÉLÈNE & BRUNO KAHN
Théorème 7.14. — Soit k un corps de nombres totalement imaginaire.
Soit V une k-surface projective, lisse, géométriquement rationnelle. Supposons X3nr (V, Q/Z(2)) = 0. Si H 1 (k, Pic V ) = 0 et si V possède des
zéro-cycles de degré 1 sur tous les complétés kv , alors V possède un zérocycle de degré 1.
Démonstration. — Mettant ensemble les suites (7.2) sur k et sur les kv ,
et utilisant la proposition 7.10, on obtient un diagramme commutatif de
suites exactes
3
H 1 (k, S) → Hnr
(V, Q/Z(2)) → Z/I(V ) → H 2 (k, S)








y
y
y
y
L
L 2
L 1
L 3
v Z/I(Vv )→
v H (kv , S)
v H (kv , S)→
v Hnr (Vv , Q/Z(2))→
La théorie du corps de classes fournit pour tout k-tore S, de groupe des
caractères Ŝ, une suite exacte
0 → Q1 (k, S) → Hom(H 1 (k, Ŝ), Q/Z) → X2 (k, S) → 0.
L’hypothèse H 1 (k, Pic V ) = 0 implique donc Q1 (k, S) = 0 et X2 (k, S) =
0. Le théorème résulte alors d’une chasse au diagramme immédiate.
Remarque 7.15. — Pour H 1 (k, Pic V ) 6= 0, il resterait à décider si
l’hypothèse
X3nr (V, Q/Z(2)) = 0
implique, comme il est aussi conjecturé dans [10], que l’obstruction de
Brauer-Manin à l’existence d’un zéro-cycle de degré 1 est la seule obstruction.
Remarque 7.16. — Aux problèmes de p-torsion près, l’argument cidessus s’applique à toute surface géométriquement rationnelle V sur un
corps de fonctions d’une variable k = F(C), où C est une courbe et F un
corps fini de caractéristique p. Supposons qu’il existe un modèle X → C
de V /F(C) avec X projective et lisse de dimension 3. Pour tout premier
l 6= p, on a alors une inclusion
3
X3nr (V /k, Ql /Zl (2)) ⊂ Hnr
(X/F, Ql /Zl (2)).
Dans le cas d’un corps global de caractéristique p > 0, sous réserve de
l’existence d’un modèle X/C de V /k, la conjecture 5.6 pour X/F implique
donc la conjecture 7.12 pour V /k et donc, à identification près des flèches
CYCLES DE CODIMENSION 2 ET H 3 NON RAMIFIÉ
39
A0 (V ) → H 1 (k, S) (et à la torsion p-primaire près), les conjectures de
Sansuc et du premier auteur sur les surfaces rationnelles.
Pour une variété X/F comme ci-dessus, l’hypothèse (i) du théorème
3
7.7 est satisfaite, et pour l 6= p, le groupe Hnr
(X/F, Ql /Zl (2)) est fini. Le
théorème 7.14 redonne ainsi un cas particulier du Théorème 7.7.
Références
[1] S. Bloch, Lectures on algebraic cycles, Duke University Mathematics Series IV (1980). Second edition : Lectures on Algebraic Cycles : New Mathematical Monographs Series 16, Cambridge University Press (2011).
[2] J.-L. Colliot-Thélène, Hilbert’s theorem 90 for K2 , with application to
the Chow groups of rational surfaces, Invent. math. 71 (1983), 1–20.
[3] J.-L. Colliot-Thélène, Cycles algébriques de torsion et K-théorie
algébrique, in Arithmetic Algebraic Geometry (CIME, Trento, 1991)
Springer L.N.M. 1553 (1993) 1–49.
[4] J.-L. Colliot-Thélène, Birational invariants, purity and the Gersten
conjecture, in K-Theory and Algebraic Geometry : Connections with Quadratic Forms and Division Algebras, AMS Summer Research Institute,
Santa Barbara 1992, ed. W. Jacob and A. Rosenberg, Proceedings of
Symposia in Pure Mathematics 58, Part I (1995) 1–64.
[5] J.-L. Colliot-Thélène, Conjectures de type local-global sur les groupes
de Chow dans la cohomologie étale, in Algebraic K-Theory (1997), W.
Raskind and C. Weibel ed., Proceedings of Symposia in Pure Mathematics
67, Amer. Math. Soc. (1999), 1–12.
[6] J.-L. Colliot-Thélène, Groupe de Chow des zéro-cycles sur les variétés
p-adiques [d’après S. Saito, K. Sato et al.], Séminaire Bourbaki, 62ème
année, 2009-2010, no. 1012.
[7] J.-L. Colliot-Thélène, R. T. Hoobler et B. Kahn, The Bloch–Ogus–Gabber
theorem, in Algebraic K-theory (Toronto, ON, 1996), 31–94, Fields Inst.
Commun., 16, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997.
[8] J.-L. Colliot-Thélène et M. Ojanguren, Variétés unirationnelles non rationnelles : au-delà de l’exemple d’Artin et Mumford, Invent. math. 97
(1989), 141–158.
[9] J.-L. Colliot-Thélène et W. Raskind, K2 -cohomology and the second
Chow group, Math. Ann. 270 (1985), 165–199.
40
JEAN-LOUIS COLLIOT-THÉLÈNE & BRUNO KAHN
[10] J.-L. Colliot-Thélène et J.-J. Sansuc, On the Chow groups of certain
rational surfaces : a sequel to a paper of S. Bloch. Duke Math. J. 48
(1981), 421–447.
[11] J.-L. Colliot-Thélène, J.-J. Sansuc et C. Soulé, Torsion dans le groupe de
Chow de codimension deux, Duke Math. J. 50 (1983), 763–801.
[12] J.-L. Colliot-Thélène et T. Szamuely, Autour de la conjecture de Tate
à coefficients Z` pour les variétés sur les corps finis, in The Geometry of
Algebraic Cycles, ed. R. Akhtar, P. Brosnan, R. Joshua, Clay Mathematics
Proceedings 9, Amer. Math. Soc. (2010), 83–98.
[13] J.-L. Colliot-Thélène et Sir Peter Swinnerton-Dyer, Rational points on
some special cubic surfaces over a global function field, prépublication,
avril 2010, arXiv:1004.2797v2 [math.AG].
[14] J.-L. Colliot-Thélène et C. Voisin, Cohomologie non ramifiée et conjecture de Hodge entière, prépublication, mai 2010, arXiv:1005.2778v1
[math.AG].
[15] F. Déglise, Transferts sur les groupes de Chow à coefficients, Math. Z.
252 (2006) 315–343.
[16] P. Deligne, La conjecture de Weil, II, Pub. math. IHÉS 52 (1980) 137–
252.
[17] T. Geisser et M. Levine, The K-theory of fields in characteristic p, Invent.
math. 139 (2000), 459–493.
[18] T. Geisser et M. Levine, The Bloch-Kato conjecture and a theorem of
Suslin–Voevodsky, Journal für die reine und angew. Math. 530 (2001),
55–103.
[19] M. Gros, Sur la partie p-primaire du groupe de Chow de codimension
deux, Comm. Algebra 13 (1985) 2407–2420.
[20] M. Gros, Classes de Chern et classes de cycles en cohomologie de HodgeWitt logarithmique, Mém. SMF 21 (1985), 1–87.
[21] M. Gros et N. Suwa, Application d’Abel-Jacobi p-adique et cycles
algébriques, Duke Math. J. 57 (1988), 579–613.
[22] A. Grothendieck, La théorie des classes de Chern, Bulletin de la Société
Mathématique de France 86 (1958) 137–154.
[23] A. Grothendieck, Le groupe de Brauer, III : exemples et compléments, in
Dix exposés sur la cohomologie des schémas, North Holland, 1968.
[24] R. Hartshorne, Residues and duality, Lect. Notes in Math. 20, Springer,
1966.
[25] L. Illusie et M. Raynaud, Les suites spectrales associées au complexe de
de Rham–Witt, Publ. math. I.H.É.S. 57 (1983), 73–212 .
CYCLES DE CODIMENSION 2 ET H 3 NON RAMIFIÉ
41
[26] B. Kahn, Descente galoisienne et K2 des corps de nombres, K-theory 7
(1993), 55–100.
[27] B. Kahn, Applications of weight two cohomology, Documenta Mathematica 1 (1996), 395–416.
[28] B. Kahn, Équivalence rationnelle, équivalence numérique et produits
de courbes elliptiques sur un corps fini, version préliminaire de [29],
arXiv:math/0205158.
[29] B. Kahn, Équivalences rationnelle et numérique sur certaines variétés de
type abélien sur un corps fini, Ann. Scient. Éc. Norm. Sup. 36 (2003),
977–1002.
[30] B. Kahn, Algebraic K-theory, algebraic cycles and arithmetic geometry,
in Handbook of K-theory, Vol. 1, Springer, 2005.
[31] B. Kahn, Zeta functions and motives, Pure Appl. Math. Quarterly 5
(2009), 507–570 [2008].
[32] B. Kahn et R. Sujatha, Birational motives, I : pure birational motives,
arXiv:0902.4902v1 [math.AG].
[33] B. Kahn, Classes de cycles motiviques étales, arXiv:1102.0375v2
[math.AG].
[34] K. Kato, A Hasse principle for two-dimensional global fields, J. für die
reine und ang. Math. (Crelle) 366 (1986) 142–181.
[35] K. Kato et S. Saito, Global class field theory of arithmetic schemes,
Contemporary Math. 55 (I) (1985), 255–331.
[36] K. Kato et S. Saito, Unramified class field theory of arithmetical surfaces,
Ann. of Math. 118 (1985), 241–275.
[37] S. Lichtenbaum, Values of zeta-functions at non-negative integers, Lect.
Notes in Math. 1068, 127–138, Springer, 1984.
[38] S. Lichtenbaum, The construction of weight-two arithmetic cohomology,
Inv. Math. 88 (1987), 183–215.
[39] S. Lichtenbaum, New results on weight-two arithmetic cohomology, Grothendieck Festschrift, vol. III, Progress in math. 88 (1990), 35–55.
[40] C. Mazza, V. Voevodsky et C. Weibel, Lecture notes on motivic cohomology, Clay Mathematics Monographs, vol. 2.
[41] J.S. Milne, Motives over finite fields, in Motives (Seattle, 1991), Proc.
Symp. pure Math. 55 (1), Amer. Math. Soc., 1994, 401–459.
[42] A. Merkurjev, Rational correspondences, preprint Feb. 2001, disponible
sur http://www.math.ucla.edu/ merkurev/publicat.htm
42
JEAN-LOUIS COLLIOT-THÉLÈNE & BRUNO KAHN
[43] A. S. Merkurjev et A. A. Suslin, Le groupe K3 d’un corps, Izv. Akad.
Nauk SSSR 54 (1990), 339–356 (trad. anglaise : Math. USSR Izvestija
36 (1990), 541–565).
[44] J. Milne, Values of zeta functions of varieties over finite fields, Amer. J.
Math. 108 (1986), 297–360.
[45] R. Parimala et V. Suresh, Degree three cohomology of function fields of
surfaces, arXiv:1012.5367v1 [math.NT]
[46] A. Pirutka, Sur le groupe de Chow de codimension deux des variétés sur
les corps finis, arXiv:1004.1897v2 [math.AG], à paraı̂tre dans Algebra
and Number Theory.
[47] A. Pirutka, Cohomologie non ramifiée en degré trois d’une variété de
Severi–Brauer, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I 349 (2011) 369–373.
[48] B. Poonen, Bertini theorems over finite fields, Ann. of Math. 160 (2004),
1099-1127.
[49] M. Rost, Chow groups with coefficients, Doc. Math. 1 (1996) 319–393.
[50] S. Saito, Some observations on motivic cohomology of arithmetic schemes,
Invent. Math. 98 (1989), 371-404.
[51] S. Saito et K. Sato, A p-adic regulator map and finiteness results for
arithmetic schemes, Documenta math. Extra Volume Suslin (2010), 525–
594.
[52] S. Saito et K. Sato, A finiteness theorem for zero-cycles over p-adic fields,
with an appendix by U. Jannsen, Annals of Math. 172 (2010), 593–639.
[53] P. Salberger, Zero-cycles on rational surfaces over number fields. Invent.
math. 91 (1988), 505–524.
[54] C. Schoen, An integral analog of the Tate conjecture for one-dimensional
cycles on varieties over finite fields, Math. Ann. 311 (1998), 493–500.
[55] A. Scholl, Classical motives, in Motives (U. Jannsen, S. Kleiman, J.-P.
Serre, eds.), Proc. Symp. pure Math. 55 (1), Amer. Math. Soc., 1994,
163–187.
[56] N. Spaltenstein, Resolutions of unbounded complexes, Compositio Math.
65 (1988), 121–154.
[57] A. A. Suslin, Quaternion homomorphism for the field of functions on a
conic. Dokl. Akad. Nauk SSSR 265 (1982), 292–296. Engl. transl. : Soviet
Math. Dokl. 26 (1982), 72–77 (1983).
[58] A. A. Suslin et V. Voevodsky, Bloch-Kato conjecture and motivic cohomology with finite coeffiicients, in The arithmetic and geometry of algebraic
cycles (Banff, AB, 1998), 117–189, NATO Sci. Ser. C Math. Phys. Sci.,
548, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2000.
CYCLES DE CODIMENSION 2 ET H 3 NON RAMIFIÉ
43
[59] N. Suwa, A note on Gersten’s conjecture for logarithmic Hodge-Witt
sheaves, K-Theory 9 (1995), 245–271.
[60] J. Tate, Conjectures on algebraic cycles in l-adic cohomology, in Motives,
Proc. Symposia Pure Math. 55 (1), AMS, 1994, 71–83.
[61] C. Voisin, On integral Hodge classes on uniruled and Calabi-Yau threefolds, in Moduli Spaces and Arithmetic Geometry, Advanced Studies in
Pure Mathematics 45, 2006, pp. 43-73.
[62] O. Wittenberg, Zéro-cycles sur les fibrations au-dessus d’une courbe de
genre quelconque, arXiv:1010.1883v2 [math.AG].
17 avril 2011
Jean-Louis Colliot-Thélène, C.N.R.S., Université Paris Sud, Mathématiques,
Bâtiment 425, 91405 Orsay Cedex, France • E-mail : [email protected]
Bruno Kahn, Institut de Mathématiques de Jussieu, UMR 7586, Case 247, 4 place
Jussieu, 75252 Paris Cedex 05, France • E-mail : [email protected]

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