Les polyèdres réguliers
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Les polyèdres réguliers Benjamin Barras 25 février 2002 Table des matières Avertissement ii 1 Classification des polyèdres réguliers 1.1 Théorème d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 2 Tétraèdre régulier 2.1 Aire et volume 2.2 Coordonnées . 2.3 Angles . . . . . 2.4 Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6 6 7 8 3 Octaèdre régulier 3.1 Aire et volume . . . . . . . . 3.2 Coordonnées . . . . . . . . . 3.3 Angles . . . . . . . . . . . . . 3.4 Polyèdre dual . . . . . . . . . 3.5 Une construction remarquable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 11 12 12 13 14 4 Hexaèdre régulier ou cube 4.1 Aire et volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Polyèdre dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 18 18 19 5 Dodécaèdre régulier et icosaèdre régulier 5.1 Coordonnées du dodécaèdre . . . . . 5.2 Aire et volume du dodécaèdre . . . . 5.3 Angles du dodécaèdre . . . . . . . . . 5.4 Polyèdre dual du dodécaèdre . . . . . 5.5 Aire et volume de l’icosaèdre . . . . . 5.6 Angles de l’icosaèdre . . . . . . . . . 5.7 Polyèdre dual de l’icosaèdre . . . . . 21 25 26 27 28 29 30 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Aire d’un triangle et volume d’une pyramide 32 B Planches 36 Bibliographie 41 i www. es- athematiques.net Avertissement Le but de ce document, est de calculer quelques propriétés intéressantes des polyèdres réguliers. On trouve dans tout bon formulaire les formules des aires et des volumes concernant ces derniers, mais à ma connaissance on ne trouve pas de démonstrations concernant ces formules. J’ai donc pris soin de mettre un maximum de clarté et de détails dans les calculs et les démonstrations présentés dans ce document. De plus, j’ai fait grand usage de la géométrie d’Euclide, qui reste et restera la base de tout apprentissage en géométrie et qui fait encore et toujours honneur à l’esprit humain. En faisant une rapide recherche sur le Web, on trouve également beaucoup de documents qui donnent les formules utiles pour les polyèdres réguliers. Mais beaucoup contiennent des erreurs grossières soit dans l’aire, soit dans le volume. J’ai pris soins de contrôler mes formules avec plusieurs sources différentes et de plus, les calculs sont souvent effectués de plusieurs manières différentes pour aboutir aux mêmes résultats. J’en profite ici, pour remercier le Prof.Alain Robert (Université de Neuchâtel) qui est l’initiateur de ce document, rédigé le 26 octobre 1995 dans sa première version. Je dois bien avouer que ce document m’a donné beaucoup de travail, mais aussi beaucoup de satisfaction. Benjamin Barras web : icwww.epfl.ch/~barras mail : [email protected] ii Benjamin Barras Chapitre 1 Classification des polyèdres réguliers Le mot polyèdre est formé de deux racines grecques : polus qui signifie nombreux et edra qui se traduit par face ou base. Définition 1 Un polyèdre est un solide dont la frontière est formée de plans ou de portions de plan. Les portions de plan qui comprennent ainsi entre elles le polyèdre, sont les faces. Chaque face, étant limitée par intersections avec les faces voisines, est un polygone. Les côtés de ce polygone sont les arêtes du polyèdre. On appelle sommet d’un polyèdre tout sommet d’une quelconque de ses faces. Définition 2 Un polyèdre est convexe si son intérieur est convexe, ou de manière équivalente, si le polyèdre est entièrement situé du même côté de chaque plan qui contient l’une de ses faces. Définition 3 Un polygone régulier est un polygone dont tous les côtés, et tous les angles sont égaux. Définition 4 Un polyèdre régulier est un polyèdre convexe dont toutes les faces sont des polygones réguliers et identiques. De plus, chacun de ses sommets possèdent le même nombre de faces et d’arêtes. Théorème 5 Il n’existe que cinq polyèdres réguliers. Démonstration : Soient le nombre des côtés de chaque face d’un polyèdre régulier, le nombre des arêtes qui se rencontrent en chaque sommet. Chaque angle d’une face quelconque est donné par En effet, on a (fig 1.1) et 1 www. es- athematiques.net Mais, la somme des angles groupés autour d’un sommet est plus petite que quatre angles droits, qui forment un plan. Chacun d’eux eux est inférieur à Les nombres donc d’où et sont tous deux au moins égaux à 3. Il en résulte que les seuls cas possibles sont " ! ! # ! ! # ! % $ &$ ! Il reste encore à prouver qu’ils existent bel et bien. C’est ce qui va nous occuper durant les pages qui suivent. '( 2 Benjamin Barras www. es- athematiques.net 1.1 Théorème d’Euler Notons ) le nombre de faces, * le nombre d’arêtes et + le nombre de sommets. Alors pour tout polyèdre convexe, on a ) * + , ) Dans le cas des polyèdres réguliers, chaque face possède arêtes, de sorte que est l’ensemble des arêtes des faces et comme chaque arête rencontre exactement deux faces, on a ) - * et comme est le nombre des arêtes qui se rencontrent en chaque sommet, et que chaque arête relie deux sommets, on a également ) + A l’aide du théorème d’Euler, on obtient alors * * . * et donc / * et nous retrouvons l’inégalité du théorème précédent. Reprenons notre calcul, ) * + .0 ) ) ) ) ) d’où l’on tire On peut maintenant entreprendre la classification des polyèdres réguliers. Le tétraèdre (m,n) = (3,3) ) 123 1 L’ octaèdre (m,n) = (3,4) ) 82 L’ hexaèdre (m,n) = (4,3) ou cube ) 12 L’ icosaèdre Le dodécaèdre , ,1 ) 5 4 * 1 ,8 8 ,1 , * , , * , (m,n) = (3,5) : 9 ) 92 ;$ 1 -<9 + .1 + ! .8 , 1:9 * ,!9 , , 1:9 * ,!9 , (m,n) = (5,3) ) 12 = $ 9 , ! + 6 ) 7 19 + $ 19 + ! -<9 ce qui termine notre classification. 3 Benjamin Barras Chapitre 2 Tétraèdre régulier >! On a calculé ) nous dit que notre polyèdre est formé de 4 triangles équilatéraux identiques. On a , et dessiné un tétraèdre (fig 2.1), il faut encore montrer que le tétraèdre régulier existe bel et bien. Pour cela, commençons par étudier un triangle équilatéral (fig 2.2). Dans ce triangle, * est le côté, ? la hauteur. ?@%?BA"C?DA A sont les médiatrices respectives des côtés EGFCHIEJKHLF . 4 ? et ?BA www. es- athematiques.net se coupent en un point M , on a donc M0E MNF et M0E M0H puisque ? et ? A sont des médiatrices, ce qui entraîne MNF M0H et prouve que ? A A passe bien par le point M . Calculons la hauteur ? , Pythagore nous donne Appelons T ? D? O * O *PO d’où le segment HIM , Thalès nous donne alors ? V OU * * T ? ! D? O Q* O *QO T ?DO 5 et donc , et ! S R ? * D * O T 2 ! * ! O C’est un résultat connu, qui nous dit que le point M se situe au 2/3 de la hauteur en partant depuis un sommet. Maintenant, on tire une droite passant par le point M et perpendiculaire au plan dans lequel se trouve le triangle. Soit W un point sur cette droite, comme M0E MNF M0H T ? on aura bien sûr E W H W F W . Il ne nous reste W * et l’on aura le tétraèdre régulier que l’on souhaitait. On calcule alors, donc plus qu’a nous arranger pour que E EXM O M W M W O * O Y T W , soit [ 7\ O * , [ Appelons [ le segment M \ ] O E W O * O et donc !2 ? O * O Z 2 3 * O ! * O représente en fait la hauteur de la pyramide régulière que constitue notre tétraèdre régulier (fig 2.3). W La médiatrice de E passant par ^ coupe [ en un point _ circonscrite au tétraèdre. En effet, par construction on a _2E Thalès nous donne également, Notons _ W ,b _ W ` * [ * OU , (fig 2.4),qui n’est rien d’autre que le centre de la sphère _0F _2H et la médiatrice nous donne _2E _ W . ! 4 R ! W a 7 R * _ *O R R * , et calculons le rapport R/H b S* R ! aR ! ! R R * [ W et donc le point _ se situe au 3/4 de la hauteur [ en partant du sommet ed -f cU [ . Le segment _2M n’est ] rien d’autre que le rayon de la sphère inscrite. Le tétraèdre régulier est un polyèdre assez remarquable, on peut en dire beaucoup de choses, et c’est pour cela qu’on va y consacrer encore quelques pages. 5 Benjamin Barras www. es- athematiques.net 2.1 Aire et volume L’aire totale sera l’aire d’une seule face multipliée par le nombre de faces, soit * ? g * R !2 * R !L *QO hb 8 =b , H O R ! Pour le volume, on sait (voir annexes) que le volume d’une pyramide est ]U base hauteur, soit i 7! DH [ 7! jR !2 * O BR * SR * ] ou R ! i eR 82h R =b ] 8 Zb ] !2 R ! 32 R ! H g base hauteur g R et comme * R ! 2.2 Coordonnées On va chercher les coordonnées des sommets HXKEJCF nos calculs précédents, et pour l’orientation choisie, on a W , dans la base canonique de b ] , centrée en _ . D’après W k #9 9 b lb-:#9 9 h b E k ! ? 9 ! ,b. ! R 9 ! !2 * R ? e R R car b * R ! < n 9 m Pour les coordonnées de F , il faut faire une rotation de du point E . Faire tourner un point d’un angle dans complexe un plan, revient à multiplier ce point, vu comme nombre par le nombre complexe .plan, o .p=qsrt.uv + w + w . Or dans notre cas, on a OC] x et doncdans o ] lcep;q même On doit la bonne K O x , ztrouver ] -9 . Comme y ] k y y O y z y M donc racine du polynôme y y est donc racine U {w R ! . On multiplie donc b. OZ| ]\ O par z, cela nous donne de P(X), on trouve alors o O R ~ ,b,}R R 1 ~ . , b : } R F ! ! ! ! ! ! R }R ~ ,b.:}R }R 1 ~ . , b : } R H ! ! ! ! ! ! R Ces valeurs vont nous permettre de démontrer très facilement, d’autres propriétés du tétraèdre régulier. 6 Benjamin Barras www. 2.3 Angles On va calculer l’angle EG_ W es- athematiques.net W ,2 _ E soit _2E ,b. ! R 9 ~ ! (fig 2.5), pour cela on connaît _ _ W .b,P#9 9 h et Z EG_ W _ W C _2 E W b O b.:h b ]U ~ ! _ E 2 _ WS 9:3 m <8 A 1 A A . ce qui nous donne EG_ on utilise alors la formule W La molécule de méthane est constituée de quatre atomes d’hydrogène placés aux sommets HXKEt%F et d’un atome W , est donc de carbone placé en _ . La mesure de l’angle EG_ l’angle déterminé par deux liaisons de valence C-H de W , EXE A est donc la hauteur du tétraèdre cette molécule. Soit E A le point d’intersection des médiatrices du triangle HLF d et l’on a vu que _2E A ] . Et donc, R 9 , , b soit _2E A 3 3 W est le même que l’angle W _2E A que l’on calcul avec Soit ^ , le point milieu du segment F2H , l’angle E ^ Z W _2E A _2E A C _ W W b O = b U a! d] _2E A _ W . 9 m ! A : A A ce que l’on pouvait déjà voir sur la figure, car EG_ W W _2E A 8:9 m . ce qui nous donne _2E A _2E A ! _2E 7 Benjamin Barras www. es- athematiques.net 2.4 Dual > ]U _2E a vu que _2E A W ]U On 0 _ F , ]U _ (fig 2.6). , traçons de même les points H A KE A CF A qui se trouvent respectivement en ]U _2H , C’est une homothétie de centre _ et de rapport ] U , ce qui nous donne un nouveau tétraèdre régulier de sommets H A CE A CF A W A et d’arête * A ] , ce dernier est appelé polyèdre dual. Et ce n’est pas terminé, soit ^ le milieu du segment F2H , et le milieu du segment EGF , le milieu du segment HIE . On a donc, _0^ _ F 0 b,:}R ! b,:}R ! F2H 1 Zb-:#9 L R 1 9 R! ~ ! ! 9 ! 1 1 _2 .b,P=R 1 }R 1 ! et _2 .b,:;R 1 R 1 ! > _0^ , montrons alors que ^ A est le point se trouvant au milieu du segment E W Soit _0^ A _0^ A _2E E W b.: ! R 9 ~! hb. L ! R 9 ! b.:=R ! 9 ! > _0^ (2.1) (2.2) (2.3) On trouve de même, 8 . En effet, (2.4) (2.5) (2.6) Benjamin Barras www. es- athematiques.net Cela nous donne, W W Par Thalès, on a . Le polyèdre ^ A A A possède 4 faces régulières et donc ^ A A A chaque et identiques, de plus sommet possède 3 arêtes, ce n’estO donc rien d’autre qu’un tétraèdre régulier, d’arête . O Il en est de même pour les polyèdres EX^ A KF0^ A %^HI A qui sont également des tétraèdres réguliers. Le polyèdre ^ A ^ A A au centre, possède 8 faces régulières et identiques et chaque sommet possède 4 arêtes. C’est donc un octaèdre régulier, d’arête . Son volume est donc O i A i i 8 i ce qui nous donne i A e R * ] * A on obtient et si l’on pose * A O donc * i A R : "0 * A ] SR ! : * A ] Ceci termine notre étude sur le tétraèdre régulier. 9 Benjamin Barras Chapitre 3 Octaèdre régulier L’octaèdre régulier est composé de huit triangles équilatéraux tous identiques. Pour le construire, on commence par construire un carré de côté * , soit Le point _ est le point d’intersection des deux diagonales, on a HF O * O * O . * O donc * HLF R et HLF _2H 7 * R Sur la droite perpendiculaire au plan qui contient notre carré, et passant par _ , on y ajoute deux sommets tK distance que l’on calcule comme suit, _2H O 2 _ O LH O * O _2 * 2 _ H R _2 O * O * O * O _2 et pour _2 on prend _2 d’où l’on tire à une soit Notre polyèdre est bien composé de huit triangles équilatéraux tous identiques. Chaque sommet compte quatre arêtes et quatre faces, ce qui nous permet d’affirmer qu’il est bien régulier et termine ainsi notre construction. 10 www. es- athematiques.net 3.1 Aire et volume L’aire de l’octaèdre régulier est ! 2 ! Q* O H * ? ,82@ * R * - R 2 avec ? , hauteur du triangle équilatéral de côté * que l’on a déjà calculé précédemment. Pour le volume, i ,! base hauteur ,g! P* O {* eR ! * ] R b Et bien sûr, notre octaèdre est inscrit dans une sphère de rayon dont le centre est le point _ b _2H _2 L’aire et le volume en fonction de b deviennent, H R !2Zb O et 11 b . Pour , on a * R i 8! Zb ] Benjamin Barras www. 3.2 Coordonnées Dans la base canonique de b ] , centrée en _ H k#b 9 9 W >"9 b 9 es- athematiques.net et pour notre choix, on obtient #9 b 9 , F >b 9 9 E k k#9 9 b , #9 9 b , H E , cherchons alors un point M sur le segment ^ tel que _2M soit perpendiculaire Soit ^ le point milieu du segment I ^ . On a à ^ 2 _ _0^ >"9 9 b #b b 9 .b, Z _2M _0^ T ^ 7 #b b 9 T =b,:~ ~ Z a Zb. T Z T T _2M ^ a =b O T T T 7 Zb O P#1 T ¡ .9 b P d’où T ! et donc _2M ! Z:h Le point M est alors le point d’intersection des médiatrices du triangle HIEX . _2M b * ,f R ! R 1 est le rayon de la sphère inscrite centrée en _ . , 3.3 Angles Calculons l’angle X^ , et soit M A Z la projection verticale de M sur HLEX , alors X^ MN_ C _2 M A b O U > ~! £d ] ¢ M _ N _2M A 6d ] Z d’où X^ 9:3 m <8 A 1 A A . avec _2M A 12 Benjamin Barras www. es- athematiques.net 3.4 Polyèdre dual Prenons pour chaque face le point ¤ A intersection des médiatrices, on obtient ainsi huit points qui deviennent les huit sommets du polyèdre dual. On relie ces derniers selon la figure 3.3, on obtient alors un cube. M0M A , soit b : A A M0M _2M _2M ! Z b MN¥ _0¥ _2M ! :ZZ MN¥ donc Vérifions que l’on a bien MN¥ b P b #9 9 I et ! : h:h ! b ! :h:h b ! : I 9 9 M0M A Par symétrie, on devait nécessairement avoir l’égalité. 13 Benjamin Barras www. es- athematiques.net 3.5 Une construction remarquable Soit H A un point qui part de H et qui arrive en E , et soit E A un point qui part de F et qui arrive en E , et pour finir un point qui part de E et arrive en . Ces trois points partent en même temps et avancent à la même vitesse. Si l’on suit ces trois points, qui forment un triangle H A E A A , on sent bien intuitivement qu’il existe un lieu tel que H A E A A soit un triangle équilatéral. A Déterminons ce lieu, b b 9 HIE 2 _ E _2H > #b b 9 F2E 2 _ E _0F k EX _2 2 _ E >" 9 b b et donc H E H A A H AE 8 T nous donne T O et l’on veut H AE A A A O lb ,1 T O _ H A 2 2 _ H T HIE ,b, T KT 9 _0F T F2E ,b,P T T 9 , _2E A _2E T X , _2 A E ,b,"9 h T KT A _2E A 2 _ H A .b,P" T ¡ 9 9 et de même H A A .b, T :h ¦ T T E . Alors, A A O " T ¡ O H A A O lb O :§¨ T O ¦ T O T O© 1 T soit T O T l9 . Comme 9«ª T ª , on obtient , R $ T 7 Ce nombre est bien connu, car ­®7 P R $ ;¬;T . _2 T N est le nombre d’or. Soit ¯ A tel que _2¯ A H , alors le triangle H A A ¯ A est équilatéral, il suffit de faire une rotation du triangle HIEX autour de M (point d’intersection des médiatrices du triangle HLEX ) pour s’en convaincre. 14 Benjamin Barras www. es- athematiques.net Notre nouveau polyèdre comporte une face par face de l’octaèdre et une face par arête de l’octaèdre. On a ainsi vingt faces composées de triangles équilatéraux identiques. De plus, cinq arêtes et cinq faces se rencontrent en chaque sommet. On obtient alors un icosaèdre régulier. Nous avons pour les coordonnées de chaque sommet, H A CE A CF A W A b. T KT 9 b.: T :T 9 blP T T 9 bl T T 9 A K A K° A K[ A b,P#9 Z T T b,:"9 KT :KT bl"9 T : T blP#9 Z T T ¯ A Z± A K² A C A b,P T 9 Z T b-: T 9 KT b. T 9 KT b,P T 9 Z T U ³ R $ . On remarquera que l’on passe de H AD´ jA ´ ¯ A par permutation circulaire des coordonnées. avec T O 15 Benjamin Barras www. es- athematiques.net Calculons l’aire et le volume de l’icosaèdre régulier. On a alors, 9 9 donc H A E H A E A .b," T ¡ !2 H ,<92 * A j R * A Le volume est composé de 20 pyramides de hauteur _2M , avec b _2M ! : ZZ et donc _2M i ! H b ! $ R !2 * A O *A R ! R !2=: T A ,=b, T * A $ R !2 * A O b on a alors R ! !$ * A ] $ P #! R $ * A ] !2 R $ Le rayon de la sphère inscrite à l’icosaèdre est f A _2M b : *QA *PA eR !2#! R $ * A T R ! R ! R ! !2 R $ et le rayon de la sphère circonscrite est, comme T T O b A O _2H A O .b O K T O T O * A O T O T O T O on a alors, b AO 6 * A O : 4 * A O ­ O 6* A O =$ R $ T O µ b A * A $ R $ et finalement 16 Benjamin Barras Chapitre 4 Hexaèdre régulier ou cube Le cube est le polyèdre régulier qui nous est le plus familier, il compte 6 faces et sa construction ne demande pas grand commentaire. 17 www. 4.1 Aire et volume Pour l’aire on a H ,12 * O es- athematiques.net i * ] . Le rayon de la sphère circonscrite est b O > * O * O * O ! * O et le volume b-R ! * et donc Ce qui nous donne pour l’aire et le volume, H ,82hb O et i 8 !2 R ! Zb ] Le rayon de la sphère inscrite est tout simplement fNa * 4.2 Coordonnées b ] , et pour notre choix, on a /* /* OU O U OU OU OU UO /* OU OU OU /* OU OU Pour les coordonnées du cube, dans la base canonique de OU * : OU OU OU KC°«K[ OU * : OU OU b ¶d P Z:h . ou en fonction de , on aura par exemple H \ ] HNCEt%F W * : OU OU * : OU OU 18 OU OU Benjamin Barras www. es- athematiques.net 4.3 Polyèdre dual Plus intéressante est la construction de son dual. On place un sommet à chaque intersection des deux diagonales d’une face, et on relie ces sommets entre eux de la manière suivante, Notre nouveau polyèdre possède huit faces toutes identiques, chaque sommet compte quatre faces et quatre arêtes, c’est donc un octaèdre régulier. coordonnées du point M A , intersection des médiatrices du triangle H A E A A . * P U 9 9 , E A Calculons * #9 U les Avec H A 9 et A * :#9 9 U cela nous donne, O _ ^ A 0 ^ A A _2M A _2H A * :"9 9 O O H A E A * : 9 9 * ~ 9 * < * :< 9 * ~ ~ ! ! ^ A A * : 9 ! * :~ ~ a _0^ A ]U _2H , cela signifie, que le point MNA On voit donc que _2MNA même un calcul. De plus, H AE A H AE A _2M A b A avec f A,b A est sur la droite joignant _ 9 * P < à H , ce qui méritait quand * : #9 9 * < 9 9 * ~ 9 * *A R ! ! ! * jR a! R * A BR ·* A 1 ,f A R _2 A 4* S* A R ·* A R les rayons de la sphère inscrite et circonscrite de l’octaèdre régulier. 19 Benjamin Barras www. Calculons encore l’aire H H A i A A et le volume i A es- athematiques.net ^ * B \ ] on obtient, A A A O * A * A BR ! . R !2 * A O * A O @ * 5! * A O R * A SR ! * A ] de nouveau polyèdre. Avec 82 h ¸ n* + p D? *P¹Dº p g! h¸ *n+ p D? *P¹Dº p ¹ f2,82 ¹ f2.! On peut également inscrire un tétraèdre régulier dans un cube, cela nous donne la figure suivante, On se convainc très facilement que notre nouveau est bien un tétraèdre régulier. On obtient également quatre W [~CF20°0[ quipolyèdre tétraèdres HIN0[~CHIE F2KHLF eux ne sont pas réguliers. On peut noter que les coordonnées d’un tétraèdre peuvent s’exprimer de manière très simple. Calculons le volume de notre tétraèdre régulier, i A A * ] i ¼v » LH N0[ * ] ! D * O * 5 ! * ] avec * * AA R , cela nous donne i AA 7 ! * ] a ! * A A ] e R * AA ] R Ce qui termine notre étude sur le cube. 20 Benjamin Barras Chapitre 5 Dodécaèdre régulier et icosaèdre régulier Le dodécaèdre régulier est composé de douze pentagones réguliers et identiques, nous commencerons notre étude par un pentagone régulier. 21 www. es- athematiques.net Soit ½ une racine cinquième primitive de l’unité, donc racine de c y¾ y P y y ] y O y k y comme ½ est une racine primitive, ½ est racine de M y , alors c ½ ½ ½IO ½ ] .9 et ½ ¾ ½ ½ c et À ½ O ½ ] on a alors les relations posons ¿ c ¿ À > et ¿ À ½ ] ½ ½ ½IO ¿KÀ sont alors racines du polynôme y O y et donc, ¿ P R $ et À P R $ I­ ½ c ½ ¾ ce qui veut dire que ½ est racine du polynôme Á O ¿ Á et donc ½ 7 P ¿ . ¿ O a :< P R $ ¡w à : $ R $ K ½ ] À et ½ O ½ ] ½ ¾ ce qui veut dire que ½ O est racine du polynôme Á O À Á et donc Maintenant, ½ O ½IO a : À  À O a :~ : R $ ¡w à : $ R $ K Continuons, ½ ½ c ¿ M y et ½ + + Æ Tous ces calculs nous donnent les valeurs de cU P R $ cU P R $ ¸ u Nous passons maintenant au calcul de ? C¤ . Soit, uv uv ¸È- * = uv + Æ * h­ * O ? O .u O ­ ¡­t l9 , on a et comme O ¡­ O :" ­ ,8 u ­ et donc O $ ­ w Et finalement, ¤ * + * OU  O w Ä+ Ç+ w # et Å OU Å OU UO $ R $ UO $ R $ uhuv + # ? h­Jhu * O = ­ O h u O d’où u O : ¡­ O * O h­J¦;­ O ¦­ ] ,8 !2;­t¦!2h­ O $ * O ­ O * O soit u  ­ O * $ R $ . Ce qui termine nos calculs sur le pentagone régulier. 22 Benjamin Barras www. es- athematiques.net Faisons maintenant la construction du dodécaèdre régulier en utilisant la méthode classique d’Euclide. On commence par construire un pentagone régulier de côté * (fig. 5.2), ensuite on construit un petit toit dont la base est un carré de ¸ ¸ côté (fig. 5.3), et l’on colle six de ces petits toits sur un cube d’arête (fig. 5.4). 23 Benjamin Barras www. Calculons la hauteur ? et donc ? A OU * A es- athematiques.net du petit toit (fig. 5.5), ;¸ O "¸ * K O ? A O Q* O avec ȸ * h­ ­ I * O : ­ O ¦ ­ !2 * O * O ? A O ,!2 * O ¦ * O =­ O * O h® . Vérifions maintenant que les pentes coïncident, c’est-à-dire et pour l’autre pente, OU h* ¸ * =­ .­J É V * OU :"¸ : "­J .J ­ É A OU * 4* * UO * Cela prouve que la construction est bien correcte. Il nous est facile maintenant de calculer le rayon b de la sphère circonscrite au dodécaèdre, en effet b O > : = ¸ O : h ¸ O : h ¸ O et donc car le centre _ b-a R !2h­J * SR ! R ;$ * de la sphère et du cube coïncident. 24 Benjamin Barras www. es- athematiques.net 5.1 Coordonnées du dodécaèdre Nous allons calculer les coordonnées de chacun des points, afin de nous faciliter la tâche par la suite. On prend, b ] d comme d’habitude la base canonique de , et centrée en _ , cela nous donne en posant \ ] HN%FKC[ ¥«CÊ i y : h:Z :h: C : :h C : Z:h K Z C P : : C : h: C P : Calculons les coordonnées de E , E < *B 9 =¸ * k< *B 9 * "­ et comme donc E bË U R !2;­t * O :"­} : 9 ­ EtC°« b CÌ Í %ÎÈKÁ%Ï t W C¯Z± on obtient O hb , "­J * 2 R ! h­ ­t : 9 ­ ce qui nous donne, P"­J 9 ­ C P ¡­ 9 ­ K P ¡­ P#9 ­ ­J C P#9 ­ Z ¡­ K P#9 I­ P"­ ­J : 9 C P"­ Z ¡­ 9 K PI­ Z 9 I­ Z ¡­ ¡­ 9 K P "­J 9 I­ K P #9 I­ ­t K PI­ ­J : 9 et voilà notre dodécaèdre complètement déterminé, ou presque. 25 Benjamin Barras www. es- athematiques.net 5.2 Aire et volume du dodécaèdre Pour calculer le volume, on aura besoin de calculer les coordonnées du point M qui est le point milieu de la face HIE F W . Soit ^ , le point milieu du segment W , alors _0^ _ W W "­ h ¦­ 9 #9 ­t 9 ­ 9 9 ^E _2E _0^ P"­J 9 ­ :­ 9 9 : 9 ­ ? u u ­ ­t -h­J R $ ? ? Calculons le rapport ce qui nous donne _2M /fÐ ­ _0^ ^E :"­J 9 R $ R $ R $ "­ : 9 ­ b :"­ 9 ­ R $ R ; $ [ est le rayon de la sphère inscrite au dodécaèdre et c’est également la hauteur De plus _2M pyramide à base polygonale qui nous servira à calculer le volume du dodécaèdre régulier. _2M lfN [ b R =$ ­ ,­ , et comme bË U R avec O O * h ­ ­  [ R $ O O * ­ R $  : Calcul de l’aire, H H [ de la  " ­ ­ b h­t  ­ b Å $ R $ O O R ;$ O R ;$ !2h­J * on a *  #!­ :­ *  ­ O "­ R $ R $ * Å $ R $ L R 9 ;­  ­ L $ * ? ,!9 * B* O l!2 R $ *QO ;­  ­ O R $ !2 R $ *QO  "­ ­ .!2 R $ *QO  ­ !Xl!2 *QO Å $ L9 R $ !2 R $ !2Zhb ­ O =­t  ­ R $ hb O  ¦­ P"­ O O Å R $ hb O  !2¡­}-Zb O $ 92 9 R $ 26 Benjamin Barras www. es- athematiques.net Calcul du volume, i i ! H [ ! Z!2 R $ *PO ;­t  ­ O * ;­ O R $ * ] h­ ] ­ O 6* ] P":­ :­ * ] : ;$ R $ ! H [ b ;­ ! R $ =b O ­  ­ O R =$ Z b Z b ] ] :­ O 7 "­ !2 R ! !2 R ! Zb ] : !2 R ! $ R $  ­ O S* ] ­  ­O Ce qui termine nos calculs sur l’aire et le volume. 5.3 Angles du dodécaèdre d n"­ 9 ­ On a calculé _2M \ ¾ l’angle entre deux faces estU donc P #Ñ ce qui nous donne ÑÓÒ : 1 m !! A $¼ A A . _2M A \ d &"­ 9 I­ U¾ !2¦­ N­ ­ MNMN_ _ C _2 _2M M A ­ : O ­ O I­t $ A O O ­ >}R $ $ $ ce qui nous donne pour le point opposé 27 et Benjamin Barras www. es- athematiques.net 5.4 Polyèdre dual du dodécaèdre On prend les points centraux de chacune des faces comme sommets de notre nouvelle construction, et on relie chaque sommet adjacent par une arête, cela nous donne Notre polyèdre dual est formé de vingt faces et douze arêtes. Les faces sont des triangles équilatéraux tous identiques, et chaque sommet compte cinq faces et cinq arêtes. On obtient donc, un icosaèdre régulier. On calcul les coordonnées de chaque sommets du dual, en partant du point M calculé précédemment et par symétrie, on obtient tous les autres d sommets. Cela nous donne, en posant ² \ H A KE A CF A W A A K A K° A C[ A ¯ A ± A K² A K A ² P"­ ² P#9 ² P"­ 9 ­ ­ ­ ­ : 9 U¾ C² P I­J 9 ­ C² P #9 ­ I­t C² P"­ I ­J : 9 28 C² P I­t 9 I­ K² P #9 I­ I­t C² PI­ I­t 9 K² P "­ 9 K² P #9 I­ ­ K² PI­ ­ I­ 9 Benjamin Barras www. es- athematiques.net 5.5 Aire et volume de l’icosaèdre Faisons d’abord quelques calculs, H A W A _ W A _2H A ² :"­ : 9 I­ ² :"­ : 9 ­ ² #9 9 I:­ H W ² ­Ô * est la longueur de l’arête de l’icosaèdre. Soit M le point d’intersection des médiatrices du A A A A triangle H A [ A ± A , alors H A [ A _2[ A _2H A ² : #9 I­ ­ ² "­ 9 ­ ² I­t : I­ h _ A ^ A _2H A H A [ A ² :"­ : 9 ­ ² :I­t : I­ h ^ A± A ² : ­ _G± A 0 _ ^ A ² : ­Jz ~ ­ ­ ² " ­ I­t : 9 ² P < ­ ~ ­ ­ ~ ­J I­Õ _0^ A ! ^ A ± A ² : ­ ~ ­ ­ ² g! :< ­tÕ ~ ­t : I­Õ ² ! ::­ I­ : ­ R $ Z !2 R $ b On voit que la droite passant par les points _ et F , passe par M A . Le rayon A de la sphère circonscrite à l’icosaèdre f f est , le rayon de la sphère inscrite au dodécaèdre. Et le rayon A de la sphère inscrite à l’icosaèdre est _2M A . On va calculer ces deux rayons en fonction de * A , l’arête de l’icosaèdre. La hauteur [ A de la pyramide H A [ A ± A _ est [ A f A _2M A lb, !2 R $ R $ * A :R ­ =$ R $ !2 R $ * A "­J :"­ * A P ­ R ! L R ! ! R $ *A R !b b A [ ;­  ­ 5 * A  ­ O O R =$ * A à $ R $ _2M A On retrouve bien les valeurs déjà calculées, lors de l’étude de l’octaèdre régulier. Passons au calcul de l’aire et du volume, H A i A <9g * A ? A $ R !2 * A O ! H A [ A ! R $ $ * 92 * A R 2 ! *A ! $ R ! * AO ! ]A 29 R $ R ! *A Benjamin Barras www. es- athematiques.net On retrouve également les valeurs calculées précédemment. H A ! * AO $ R 2 #! R $ ! R $ ! R $ * ! R $ Zb 32 R ;$ b O ! 2 R $ = $ =b O ]A $ ! = ­ O b A ] Z82=­ ] =$ R ;$ A ] :"­ .: 32 $ R $ hb A ] R ;$ ­ Remarque : On a beaucoup travaillé avec des polynôme en , or on a vu que l’on a toujours pu ramener un polynôme ­ , en un polynôme en ­ de degré 1 ou 0, cela est dû au fait que le polynôme ­ O Ô­} est un en de degré "­ qui est de degré 2 et dont une polynôme irréductible sur ¥ et de ce fait, on peut construire l’extension de corps ¥ ­ × base est Ö . i A R $ 5.6 Angles de l’icosaèdre F On va calculer l’angle d’inclinaison de deux faces de l’icosaèdre, comme le point M , on a Z ce qui nous donne #Ñ A est sur la droite qui relie _ à # b O ¬ ! "­J : 9 ­ Z: ¦­ _2_2E EJ C F0 F0_ _ b ! O }R ! $ ÑÓÒ !8Pm A <! A A . 30 Benjamin Barras www. es- athematiques.net 5.7 Polyèdre dual de l’icosaèdre Le dual de l’icosaèdre se construit toujours de la même façon. On prend comme nouveau sommet, pour une face donnée, le point M qui est le point d’intersection de ses médiatrices. Comme on l’a déjà vu, si l’on prolonge la droite _2M , elle passe par un sommet du dodécaèdre, ceci pour chacune des faces. Ce qui veut dire que le dual de l’icosaèdre est un dodécaèdre. En effet, notre construction nous montre que l’on a une homothétie de centre _ et de rapport R $ ­] !L R $ ! R $ 2 Cela nous donne, 31 Benjamin Barras Annexe A Aire d’un triangle et volume d’une pyramide Avant de commencer nos calculs, on aura besoin de deux formules. Soit, Ê ! ¨ O O !O Ê A O UO ]U : OU Démonstration : On fait le calcul suivant, ¿ O OO !O ¨ O ¿O ¿ OO h O ¿ ] ]] !] ¨ & Ø ] ¿] !¿O !¿ ] 2 ! ! ] !2h OO != ] ! O D! on fait la somme dans chacun des membres de droite et de gauche, en simplifiant, il nous reste O Ê ce qui nous donne, a ] !2 Ê A 2 ! Ê : Ê a et cela nous permet de calculer l’autre somme, !2 Ê A O ¦!2@ : et termine notre démonstration. 32 soit ! z Ê A7 www. es- athematiques.net Maintenant, on peut passer au calcul de l’aire d’un triangle quelconque, soit le triangle HL^ W [ en W M A W .Ù M On divise le segment M et donc B HL ^ H^ [ O H^ [ O H^ [ W H A^ A 6 M AWW Ù H^ M d’où H A ^ A -ÙGDHL ^ vaut donc, D[ P g DHL^ ¨ : [ ¨ H^ B [ P e W et l’aire des rectangles extérieurs au triangle H^ est, H A A H ^ D[ DH ^ HL^ [ : ¨ O HL^ [ P O HL^ [ : On a alors la relation, H A H w f;pQ HL^ de la figure HX . parties égales, on aura alors L’aire des rectangles intérieurs au triangle HL^ H A W D[ ¨ B HL^ D [ W H A A et comme on peut prendre aussi grand que l’on veut, on obtient HL^ [ 7 = ¸ n* + pI ?D*¹Bº p ¹ f H w ¼f pQ H ^ W 7 33 Benjamin Barras www. es- athematiques.net On peut maintenant calculer le volume d’une pyramide, dont la base est un triangle quelconque. Soit celui de la figure A.2, on divise le segment M W [ en parties égales, on aura alors M A W -ÙX [ et donc H A E A -ÙG HI E et ? A .ÙG ? où ? est la hauteur du triangle HLEGF passant par F , et ? A celle celle du triangle H A E A F A passant par F A . Ces relations W s’obtiennent facilement si l’on voit que le triangle H A E A F A s’obtient par une homothétie du triangle HIE F de centre Ù et de rapport ¬; . Donc, wH f¼pQ H A E A F A 7 ? A H A E A a ? HIE : Ù O H w f¼pQ HLEGF Ù O H w f¼pQ HIE F , on Maintenant, si l’on fait la somme des prismes droits à l’intérieur de la pyramide, en notant H obtient i A & O H D[ P g [ H ] H g [ ] g! H ! [ : O H [ ¨ O H D [ ¨ O : z ! O 34 Benjamin Barras www. es- athematiques.net et si l’on fait la somme des prismes droits à l’extérieur de la pyramide, on obtient i AA On a alors la relation, O H [ @O ! O i A i v¼» HIE F W n O H [ [ H ] H [ ] ! H ! [ et comme on peut prendre aussi grand que l’on veut, on obtient ¨ O H B [ i AA i ¼v » IH EGF W 4H ! [ a ! h ¸ n* + p ? *P¹Bº p ¹ f Si la base est un polygone quelconque, on peut découper notre polygone de façon à n’obtenir plus que des triangles (fig. A.3). De cette manière, on applique notre formule pour chacun des triangles, et comme ils ont tous la même hauteur, on obtiendra également i 7 ! H H HLÚ [ 7 ! = ¸ Q* + Ip ? *P¹Bº p ¹ f O U 35 Benjamin Barras Annexe B Planches 36 www. es- athematiques.net 37 Benjamin Barras www. es- athematiques.net 38 Benjamin Barras www. es- athematiques.net 39 Benjamin Barras www. es- athematiques.net 40 Benjamin Barras Bibliographie [1] Leçons de géométrie élémentaire 1&2. Jacques Hadamard. Ed. J.Gabay. [2] Les mathématiques dans l’occident médiéval. Jean de Siebenthal. Ed. Terre haute. [3] Géométrie plane. André Delessert. Ed A.Delcourt&Cie. [4] Introduction à la géométrie de l’espace. André Delessert. Ed. L.E.P. [5] Géométrie. Oscar Burlet. Ed. L.E.P. [6] Géométrie de l’espace et du plan. Yvone et René Sortais. Ed. Hermann. [7] Le livre des polyèdres. Roger le Masne. Ed. chez l’auteur. [8] Cours de géométrie analytique, différentielle et représentative. Jean de Siebenthal. Cahiers de l’EPFL. [9] Le nombre d’or. Claude-Jacques Willard. Ed. Magnard. [10] Géométrie 1&2. Marcel Berger. Ed. Nathan. [11] La géométrie élémentaire. André Delachet. Ed. Puf. [12] Théorie des corps. Jean-Claude Carrega. Ed. Hermann. [13] Équations algébriques et théorie de Galois. Claude Mutafian. Ed. Vuibert. 41
