LVH 16/17 Feuille n°12 : Ecoulements parfaits Spé PSI 1

LVH 16/17
Feuille n°12 : Ecoulements parfaits
1 Soit un canal horizontal à section rectangulaire, de côté L = 4,0 m,
Spé PSI page 1
parcouru par de l’eau de masse volumique µ. Le champ des vitesses est
supposé uniforme et stationnaire : 𝑣⃗ = 𝑣𝑢
⃗⃗𝑥 avec 𝑣 = 𝐶𝑡𝑒. La hauteur
d’eau dans le canal est constante : ℎ = 3,0 m.
Un tube en verre coudé a sa partie horizontale insérée dans l’eau. On
note Δh=10 cm la hauteur d’eau dans le tube par rapport à la surface
libre du canal. A l’aide de la relation de Bernoulli, établir le lien entre
Δh, 𝑣 et g, accélération de la pesanteur. En déduire le débit volumique
dans le canal. On prendra g = 10 m.s-2.
2 De l'eau (fluide parfait) circule dans un canal fermé (avec un couvercle non
Δℎ
A
K
représenté) dont la section se réduit brusquement. La figure est une coupe dans un
plan horizontal. On admet que le champ des vitesses est le même en A et en B. On
J
C
admet aussi que vC = vD.
1°) Le fluide étant incompressible, donner l'équation locale régissant l'écoulement.
2°) On a dessiné ci-contre les lignes de courants. En quel(s) point(s) la norme de la
L
vitesse est-elle maximale ? minimale ? pourquoi ?
B
D
3°) vA = vB = 2,0 m.s-1. Quelles sont les vitesses aux points C et D sachant que la
section de sortie est égale aux 2/3 de celle d'entrée ?
4°) En précisant le nom du théorème et toutes les hypothèses nécessaires données par l'énoncé ou semblant réalistes, déterminer la
pression en A et B (C et D étant à la pression atmosphérique).
5°) La vitesse en A est mesurée à l'aide d'un tube de Pitot, relié à un tube en U dans lequel se trouve un liquide de masse
volumique µ' = 1300 kg.m-3. Etablir la relation entre vA et la dénivelée h dans le tube en U.
3 On réalise la vidange d’un récipient à l’aide d’un petit orifice situé en bas. L’axe Oz est vertical ascendant. La section du
𝑧 𝑛
récipient suit une loi 𝑆(𝑧) = 𝑆0 ( ) . Soit s la section de l’orifice.
𝑧0
1°) Donner les hypothèses qui vous semblent raisonnables pour mettre en équation le problème puis déterminer la durée ∆𝑡
nécessaire pour faire passer le niveau de la surface libre de z 1 à z2 < z1.
2°) Quelle est la condition sur n pour que cette durée soit proportionnelle à z 1 – z2 ?
4 DE et DS sont les débits volumiques entrant et sortant. On note h(t) la hauteur d’eau
DE
section S
dans la cuve, v sa vitesse de sortie.
1°) Dans le cas d’une hauteur de fluide constante, déterminer la relation entre v et h.
2°) Exprimer le débit sortant en fonction de h et s.
section s
dh
 F(h)  
cuve
3°) Etablir une équation différentielle pour h(t) (avec DE) sous la forme
dt
4°) On suppose que pour un débit d’entrée constant DE0, la hauteur d’eau est h0,
DS
constante et le débit de sortie Ds0, constant également. A la suite d’une petite
perturbation, le débit d’entrée devient DE(t) = DE0 + D E  t  . La hauteur d’eau devient alors h(t) = h0 + h  t  , et le débit de
sortie DS(t) = DS0 + DS  t  Avec une approximation, déterminer une équation
différentielle liant les petites variations D E  t  et h  t  .
5 Soit une turbine alimentée par un réservoir d’eau dont la surface libre est à une
altitude H au-dessus d’un lac. A la sortie de la turbine se trouve un « diffuseur » qui
renvoie l’eau dans le lac. La section d’entrée du diffuseur est S, sa section de sortie
S’, avec S’ >> S. On note D le débit massique.
1°) La turbine délivre une puissance mécanique P, avec un rendement 𝜂 < 1.
Exprimer P en fonction de D, g, H et 𝜂.
2°) Quel est le rôle du diffuseur ?
6 Une soufflerie est schématisée par la figure ci-contre. L’écoulement de l’air est
incompressible, homogène et parfait. La pesanteur est négligée. Le diamètre de sortie est
DB = 0,15 m. L’air y possède une vitesse v0 = 20 m.s-1. La vitesse à l’entrée est considérée
négligeable. Au niveau de l’hélice, le diamètre est D = 0,40 m. L’air est de masse
volumique  = 1,3 kg.m-3.
1°) Différence de pression existant de part et d’autre de l’hélice (en fonction de v 0 et )
2°) Calculer la puissance Pm à fournir à l’hélice pour qu’elle assure l’écoulement. A.N.
7 On dispose d’une pipette de section S0, avec un rétrécissement de section S1. L’axe Oz est
vertical ascendant.
1°) Justifier que la pression en haut de la pipette est quasi uniforme.
2°) Etablir l’équation permettant de trouver h1 (elle ne sera pas à résoudre) lorsque le doigt bouche le haut de la pipette.
LVH 16/17
Feuille n°12 : Ecoulements parfaits
Spé PSI page 2
On laisse maintenant s’écouler le liquide considéré comme idéal. Après
une phase de démarrage, très brève, on considère l’écoulement quasistationnaire. On définit z comme étant la cote du niveau du liquide dans la
pipette.
3°) Justifier la relation de Bernoulli.
4°) Etablir l’équation différentielle en z vérifiée par le fluide, puis la
résoudre.
8 Un compresseur délivre de l’eau sous une pression de P1 = 129 bar à
une lance (section S1), qui se termine par une petite buse (section S2) où
la pression de sortie est P2 = 1,0 bar. Le débit volumique est de
Dv = 540 L.h-1. On suppose S2 << S1.
1°) Calculer la vitesse v2 à la sortie de la buse, et calculer S2.
2°) Le compresseur est relié en amont à un robinet sous P r = 4,0 bar. La
section du robinet est Sr = 2,0 cm2. La section de la lance est S1 = 20 mm2. Calculer la vitesse du fluide vr dans le robinet, et v1
dans la lance.
3°) Calculer la puissance fournie par le moteur électrique pour comprimer le fluide. Calculer son rendement sachant qu’il
consomme une puissance électrique de Pelec = 2,5 kW.
9
P
P
P
1. Expliciter vr dans la zone III en fonction de r, e, a et v0.
2. A la sortie du dispositif, la pression p(r = R) est égale à la pression ambiante P. Calculer la pression p(r) dans la zone III
(pour b < r < R).
3. Calculer les constantes A et B caractérisant la zone II en écrivant la conservation du débit. Expliciter A, B et b en fonction
de v0, z0, a et e.
4. Calculer la pression pour r < b au niveau du plan z = 0.
5. Calculer la force de pression exercée par le fluide sur la face z = 0 du disque D (0 < r < R), en fonction de P, R, µ, v0, a, e
et z0. En déduire la force totale subie par le disque en prenant en compte la pression ambiante P sur l’autre face.
6. On donne v0 = 10 m/s, a = 5,0 mm, e = 1,0 mm, z0 = 1,0 cm et R = 15 cm. Calculer numériquement l’intensité de la force
totale subie par le disque D et préciser le sens de cette force. Y a-t-il un paradoxe vu qu’on souffle sur le disque ?
10 On suppose que zC = zB. On note Dv le débit volumique dans la conduite.
1°) Exprimer PB en fonction de P0 ,  , g , H et vB puis en fonction de Dv, SB, P0 ,  , g , H.
2°) On note em l’énergie mécanique d’une unité de masse du fluide. Donner les 3 termes qui
composent em. Déterminer le travail fourni par kg de fluide à la turbine. Exprimer la
puissance reçue par la turbine.
P0
z
H
lac
SC
turbine
SB
B
0
C