TP n°2 : lois et théorèmes du courant continu

TP n°2 : lois et théorèmes du courant continu
Lors de ce sujet, nous allons appliquer les différentes lois et théorèmes à des circuits fonctionnant en
courant continu. Leur compréhension est primordiale, ils constituent la base de l’électricité et sont
valables aussi bien en continu que dans d’autres régimes (moyennant une adaptation de l’outil
mathématique).
L’utilisation du logiciel de simulation a été abordée lors de la précédente séance ainsi que dans le
document « Démarrer avec Orcad Pspice ». On n’hésitera pas à s’y référer.
Lors de cette séance, nous ferons référence à des circuits issus de l’électricité automobile, afin de
travailler sur des cas simples et concrets.
On rappelle que les parties écrites en gras et italique sont à préparer avant l’entrée en salle de
TP ;
Sujets abordés : lois générales du courant continu.
1 Loi d’Ohm, loi des mailles, loi des nœuds
Le circuit électrique d'une automobile est alimenté par une batterie 12 V. On s'intéresse au
câblage des ampoules de feux de route FR1 et FR2 (puissance de 60 W chacune sous 12 V) et
du plafonnier P (puissance de 6 W sous 12 V).
1.1
Eléments en parallèle
a) Proposer un schéma de câblage de l'ensemble batterie, ampoules, interrupteurs de
commande.
b) Calculer la résistance de chaque ampoule. On supposera cette valeur constante par
la suite (ce qui est faux, cette résistance dépend de la température qui évolue avec le temps de
fonctionnement de l’ampoule).
c) Calculer le courant dans chaque élément.
Saisir le schéma en l’adaptant au simulateur (l’interrupteur ne présente aucun intérêt pour notre
simulation) et vérifier vos prédéterminations par une analyse de type « point de polarisation ».
1.2
Eléments en série
a) Une erreur de câblage a conduit au branchement en série des deux lampes de feux
de route. Donner le nouveau schéma de câblage et calculer le courant dans chaque
élément. Quelle est alors la puissance absorbée par une lampe dans ces
conditions ? Comparer avec la première question.
b)
Saisir le schéma et vérifier vos prédéterminations par une analyse de type « point de polarisation ».
1.3
Influence d’une résistance de connexion
a) Le câblage est de nouveau celui de la première question (en parallèle). Les cosses de
branchement de la batterie étant mal serrées et oxydées, une résistance parasite r = 0,5 Ω (due
à l'oxydation et au serrage) se retrouve en série avec la batterie.
Donner le nouveau schéma équivalent de l'ensemble.
Déterminer la tension aux bornes des lampes, en passant par le calcul de la résistance
équivalente de l'ensemble.
Calculer la puissance dissipée dans chaque élément. Comparer avec la première question.
Vérifier avec le simulateur.
b) Représenter dans le plan U I la caractéristique de la batterie seule, puis de
l'ensemble batterie résistance parasite.
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Vérifier à l’aide du simulateur le tracé de la caractéristique de l’ensemble batterie résistance parasite.
2 Théorèmes divers
Le moteur thermique d’une automobile ne pouvant démarrer seul, un moteur à courant
continu, nommé fort justement « démarreur », alimenté par la batterie 12 V permet la mise en
rotation de l’ensemble… à condition que la batterie puisse fournir suffisamment d’énergie.
Nous supposerons dans la suite que le démarreur se comporte comme une résistance de
0,08 Ω au moment de la mise sous tension (ce qui est très simpliste mais suffisant pour nos
calculs). Cette résistance doit être traversée par un courant de 100 A pour que le véhicule
puisse démarrer.
2.1
Batterie neuve
Donner la tension minimale aux bornes du démarreur pour permettre la mise en rotation, ainsi
que le courant habituel pour une batterie neuve (résistance interne négligeable) et chargée
sous 12 V.
Vérifier avec le simulateur.
2.2
Batterie usagée
La batterie étant usagée, elle peut être modélisée par une résistance interne série de valeur
0,2 Ω (dans la pratique cette résistance n’est pas linéaire) en série avec une force
électromotrice de 9 V.
Etablir le nouveau schéma, calculer courant et tension dans et aux bornes du démarreur.
Vérifier avec le simulateur.
2.3
Batterie de secours
Afin de permettre le démarrage, on connecte la batterie B2 d’un autre véhicule, en parallèle sur
la batterie B1 initiale, à l’aide de cosses de secours. La batterie B2 est neuve (résistance
interne négligeable), mais les cosses de connexion introduisent une résistance de câblage Rc
de 15 m Ω .Le schéma équivalent de l’ensemble est donc le suivant :
Véhicule 1
Rb1
A
PTA
Vb1
9
0.2
Rd
0.08
B
Rc
Véhicule 2
Vb2
12
0
0.015
cosses
Nous allons maintenant déterminer par diverses méthodes si cette configuration permet le
démarrage du véhicule 1.
2.4
Lois de mailles et des nœuds
Notre système présente 3 mailles dont 2 indépendantes et un nœud, Déterminer les trois
équations qui permettront de calculer les courant dans les trois branches du circuit et la
tension entre les points A et B aux bornes du démarreur.
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Résoudre le système d’équation.
La batterie B1 contribue t-elle au démarrage, ou se fait elle recharger par la batterie B2 ?
Vérifier vos calculs avec le simulateur avec le simulateur.
Remarque ; avec ce schéma plus complexe que les précédents, commence à se poser la question du
sens de circulation du courant : il n’est pas évident sans faire les calculs pour déterminer le signe, de
savoir si le courant dans la batterie B1 rentre ou sort par la borne positive (et donc si la batterie se
charge ou se décharge).
Le logiciel affecte des noms et numéros à toutes
les bornes de tous les symboles des
bibliothèques ; si la différence entre les bornes
« + » et « - » d’un générateur est évidente, c’est
moins simple pour une résistance. Pour afficher
le nom des bornes, double cliquer sur le
symbole pour afficher les propriétés, ouvrir
l’onglet « Pins » (en bas), sélectionner la
colonne « Name » et par l’icône « Display… »
afficher les valeurs (« Value Only ») puis
« OK ».
L’affichage de la polarisation se fait alors de la manière suivante : les tensions sont repérées par des
valeurs signées, tandis que les courants rentrent par la borne sur laquelle ils sont affichés, comme le
montre les deux figures suivantes (la valeur du générateur est 12 V à gauche et – 12 V à droite).
12.00mA
V1
1
1
12.00V
12.00mA
V1
-12.00V
R1
12Vdc
1k
12.00mA
1k
2
0V
2.5
R1
-12Vdc
0
2
0V
12.00mA
0
Théorème de superposition
Calculer courant et tension dans et aux bornes de Rd si la tension de la batterie du véhicule 1
était nulle (cette batterie est toujours présente par la résistance Rb1).
Même question avec le véhicule 2.
Vérifier à chaque fois avec le simulateur.
Notre modèle étant linéaire, on peut donc appliquer le théorème de superposition et faire la
somme des deux tensions, puis des deux courants obtenus. Comparer avec le résultat de la
question précédente.
2.6
Théorème de Thévenin et de Norton
Déterminons maintenant la manière dont le démarreur « voit » le circuit qui l’alimente : il peut
le voir comme un générateur de tension ou de courant.
Calculer le générateur de Thévenin, vu des bornes A et B, équivalent à Vb1, Rb1, Vb2 et Rc.
Tracer sa caractéristique statique.
En déduire les courant et tensions dans et aux bornes du démarreur. Comparer avec les
questions précédentes.
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Même question avec le générateur de Norton.
Tracer à l’aide du simulateur la caractéristique statique de l’ensemble Vb1, Rb1, Vb2 et Rc vue des
bornes A et B. On fera pour cela varier le courant de 0 à 800 A.
Quelle signification accorder aux valeurs négatives de la tension de sortie.
Retrouver sur cette caractéristique la force électromotrice de Thévenin et le courant de Norton. Pour
plus de précision sur la lecture on pourra utiliser les curseurs (icône « Toggle cursor ») :
Les curseurs se déplacent sur la courbe sélectionnée par « glissé » lorsque le bouton gauche de la
souris est enfoncé ou avec les flèches du clavier pour plus de précision (mais moins de rapidité) ;
lorsque plusieurs courbes sont affichées sur un même graphe, on en active une en cliquant sur le
symbole devant le nom de la grandeur sous l’axe des abscisses.
Remplacer maintenant dans le schéma de l’ensemble Vb1, Rb1, Vb2 et Rc vue des bornes A et B par
le générateur de Thévenin équivalent et vérifier par la simulation que le résultat est identique.
Même question avec le générateur de Norton.
On peut également déterminer la tension de Thévenin par une simulation à vide (schéma de gauche),
le courant de Norton par une simulation en court-circuit (schéma de droite) :
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Véhicule 1
Véhicule 1
Rb1
2
Vb1
13.76A
62.50A
2
A
1
13.76A
9.000V
A
1
Vb1
0.2
9
Rb1
10.00V
0.2
9
11.75V
62.50A
0V
B
0V
Véhicule 2
0
Rc
12.00V
Véhicule 2
2
1
1
Vb2
0.018
13.76A
cosses
12
0
Rc
12.00V
2
Vb2
B
0V
0.018
666.7A
cosses
12
13.76A
666.7A
0V
0V
La résistance équivalente peut être déterminée dans le schéma ci-après par le rapport tension sur
courant du générateur :
Véhicule 1
Rb1
A
2
1
50.00A
0V
0.2
V1
10.00V
10Vdc
B
605.6A
0V
Véhicule 2
0
Rc
0V
2
1
0.018 555.6A
cosses
0V
2.7
Théorème de Millman
Calculer la tension aux bornes du démarreur à l’aide du théorème de Millman.
Le principe du théorème de Millman consiste à remplacer chaque branche du circuit entre les deux
points où se trouve l’utilisation, par des générateurs de Norton équivalent.
On fait ensuite la somme des courants (
∑RV ) que l’on divise ensuite par la somme de toutes les
i
i
admittances (1/
∑1/R ), ce qui donne la tension (application de la loi d’Ohm).
i
Dans notre schéma sur le simulateur, remplacer toutes les branches entre A et B par le générateur de
Norton équivalent et vérifier que l’on retrouve bien la même tension aux bornes de Rd.
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