Bissectrice et cercle inscrit dans un triangle 1 Tracer

Bissectrice et cercle inscrit dans un triangle
1 Tracer la bissectrice d’un angle
Définition
La bissectrice d’un angle est la droite (ou la demi-droite) qui passe par (ou a pour origine) le sommet
de l’angle, et qui partage l’angle en deux angles adjacents de même mesure.
Tracer une bissectrice avec un rapporteur :
On mesure l’angle à l’aide du rapporteur ; puis on divise cette mesure par 2, et on trace l’angle moitié.
0
50
13
40
40
180 170 160 150 1
0
180
10
70
0 1
30
16
20
20
0
30
0
C
15
C
90 100 110 120
0
8
130
70
14
80 70 60
0
9
0
0
0
50
60
01
1
4
1
0
0
12
B
B
A
A
Tracer une bissectrice à l’aide d’un compas :
On trace deux arcs de cercle de centre A, de même rayon, venant couper les deux côtés de l’angle aux points
I et J ; puis, en prenant pour centres ces deux points, on trace à nouveau deux arcs de même rayon que les
 est la demi-droite [AD).
arcs précédents, se croisant en un point D. La bissectrice de l’angle BAC
C
C
C
J
J
J
B
B
B
I
I
A
A
I
A
2 Tracer le cercle inscrit dans un triangle
Nous aurons besoin de cette propriété, admise :
K
Propriété
• Si un point est situé sur la bissectrice d’un angle,
alors ce point est situé à égale distance des côtés de l’angle.
• Si un point est situé à égale distance des deux côtés d’un
angle,
alors ce point est situé sur la bissectrice de l’angle.
I
H
Propriété
Les bissectrices des angles d’un triangle se croisent en un même point ; on dit qu’elles sont concourantes.
Le point commun à ces trois bissectrices est le centre du cercle inscrit dans ce triangle : chacun des
côtés du triangle est tangent à ce cercle.
Illustration :
C
A
B
Eléments de preuve :
 ; le point I est donc situé à égale distance des côtés
• Le point I est situé sur la bissectrice de l’angle BAC
[AB] et [AC] ; on a donc IH=IK
 ; le point I est donc situé à égale distance des côtés
• Le point I est situé sur la bissectrice de l’angle ABC
[AB] et [BC] ; on a donc IH=IL
• On en déduit que IH=IK=IL , et donc que les points H,K et L sont sur un cercle C de centre I.
• De plus, la droite (BC) passe par le point I, et est perpendiculaire au rayon [IL] ; le côté [BC] est donc
tangent au cercle C en L, et il en est de même pour les côtés [AB] et [AC]
On en conclut que I est le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC.