Bissectrice et cercle inscrit dans un triangle 1 Tracer

1 Tracer la bissectrice d’un angle
La bissectrice d’un angle est la droite (ou la demi-droite) qui passe par (ou a pour origine) le sommet
de l’angle, et qui partage l’angle en deux angles adjacents de même mesure.
Définition
Tracer une bissectrice avec un rapporteur :
On mesure l’angle à l’aide du rapporteur ; puis on divise cette mesure par 2, et on trace l’angle moitié.
0
180
10
170
20
160
30
150
40
140
50
130
60
120
70
110
80
100
90
90
100
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40
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20
170
180
0
A
B
C
A
B
C
Tracer une bissectrice à l’aide d’un compas :
On trace deux arcs de cercle de centre A, de même rayon, venant couper les deux côtés de l’angle aux points
I et J ; puis, en prenant pour centres ces deux points, on trace à nouveau deux arcs de même rayon que les
arcs précédents, se croisant en un point D. La bissectrice de l’angle  BAC est la demi-droite [AD).
A
B
C
I
J
A
B
C
I
J
A
B
C
I
J
Bissectrice et cercle inscrit dans un triangle

2 Tracer le cercle inscrit dans un triangle
Nous aurons besoin de cette propriété, admise :
•Si un point est situé sur la bissectrice d’un angle,
alors ce point est situé à égale distance des côtés de l’angle.
•Si un point est situé à égale distance des deux côtés d’un
angle,
alors ce point est situé sur la bissectrice de l’angle.
Propriété
I
K
H
Les bissectrices des angles d’un triangle se croisent en un même point ; on dit qu’elles sont concou-
rantes.
Le point commun à ces trois bissectrices est le centre du cercle inscrit dans ce triangle : chacun des
côtés du triangle est tangent à ce cercle.
Propriété
Illustration :
A B
C
Eléments de preuve :
•Le point I est situé sur la bissectrice de l’angle  BAC ; le point I est donc situé à égale distance des côtés
[AB] et [AC] ; on a donc IH=IK
•Le point I est situé sur la bissectrice de l’angle  ABC ; le point I est donc situé à égale distance des côtés
[AB] et [BC] ; on a donc IH=IL
•On en déduit que IH=IK=IL , et donc que les points H,K et L sont sur un cercle Cde centre I.
•De plus, la droite (BC) passe par le point I, et est perpendiculaire au rayon [IL] ; le côté [BC] est donc
tangent au cercle Cen L, et il en est de même pour les côtés [AB] et [AC]
On en conclut que I est le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC.