I - Les différentes formes du théorème des milieux
CHAPITRE V - TRIANGLES ET PARALLÈLES
I - Les différentes formes du théorème des milieux
1. Premier théorème des milieux (montrer que des droites
sont parallèles)
Théorème
trianglemilieux
parallèle
Exemple: !"
"
#
$!"
%$!&
%$"&
'
(
"
!"
2. Deuxième théorème des milieux (calculer une longueur
connaissant des milieux)
Théorème
triangle)milieux
égale à la moitié
Exemple:!(*+
"
#
, * +
%,&%&
,-./
'
)
(
" %*+&
%,&0
*+ =,
1=./
1=23
*+-23
3. Trois ième théorème des milieux ( montrer qu'un point est
le milieu d'un segment)
Théorème
trianglemilieu#parallèle
milieu
Exemple: 4!5%5!&" 45
%!4&%!4&
6
4!5
%5!&
45
'
#
(
"
%!4&
%!4&
$
!
"
7
7
,
* +
./
4
!
5
II - « Petit »Théorème de Thalès (proportionnalité
des longueurs dans le triangle)
1. Énoncé
Théorème
,$(%,$%,(
(MN) et (BC) sont parallèles
alors
,
,$ =,
,( =
$(
.
Remarques :
•!48
•"8#969
"
,$( ,$ ,( $(
"
, , ,
2. Calcul d'une longueur avec des rapports égaux
Exemple 1 : 6 !" 4: ! "
6%;4%;"!;:-<;"-14:-.;!-2
(;4!"
;4:0O∈ %;4&L∈ %;:&!"==4:
>0
HO
HT=HL
HE=OL
TE
2
HT =1
<=OL
.
•#1?HT-2?<
HT =2×<
1=.<
HT-.<
•#<?OL-1?.
OL =1×.
<=1/
OL-1/
Exemple 2 : 6 $(
6%,$
%,(!,$-1,(-2$(-@,-<
(,
,
$(
,
$(
H
TE
OL
;
4:
!"
.
1
<
2
,0$∈ %,&(∈ %,&$(==
#969
!66#
,-1<?,$
,$(,
1<
"
,$( ,(-2 ,$-1 $(-@
"
, AN = 2,5 × 3 cm ,-< MN = 2,5 × 4 cm
,90AN = 7,5 cmMN = 10 cm
III - Agrandissement, réduction dans le plan
1. Définitions
Définitions
A B B# même forme longueurs des côtés de F' sont
proportionnelles aux longueurs des côtés de F0
•B#B CD
•B#B C
(rapport d'agrandissement ou de réduction
Remarque : BB#kB#B
C
k
Exemple : (E9
9
(89EF
(89EE09(89
E899E
"E9
C
2
Remarque :"E892
2. Propriété
Propriété
mesures des angles perpendicularité
parallélisme6
Exemple 1 : Calcul des longueurs dans une réduction
,
$(
× 2,5
"G55G5-25-@"'4H
I<G5>
'4H
>
G5
A'4HF(4'4H
( '4H G5 I<
6
'4H
-
G5
-3IJ
"'4H4
I<G5
!0
4'-I<?5G-I<?2-C<4'-C<
4H-I<?5-I<?@-14H-1
Exemple 2 :Déterminer si une figure est un agrandissement ou une réduction
60
,$-K,(-@$(-<,B-1/,:-@1:B-2<
",:B,$(F
",:B,$(E0
,:
,$ =@1
K
-I.
,B
,( =1/
@
-I.
:B
$( =2<
<
-I.
",:B,$(
Remarque :",:B,$(
9!6
partieII
2L
G
5 @L
4
'
H
1L
C<L
A
B
C
E
F
1
/
4
100%
